И красавица, и И красавица, и умница – степенная умница – степенная

функция!функция!

И красавица, и И красавица, и умница – степенная умница – степенная

функция!функция!

Авторы: Румянцева Анна,Авторы: Румянцева Анна,Колмыкова Ирина,Колмыкова Ирина,

11 класс11 класс

Цель исследования

• Выяснить в чём заключается и отчего зависит «многоликость» степенной функции и рассмотреть примеры функциональных зависимостей из жизни, выражающихся через неё.

Гипотеза

Если степенные функции столь разнообразны по свойствам, то это связано со значением основания и показателя степени.

В ходе исследования:

• Рассмотрели различные виды степенных функций.

• Убедились, что их свойства зависят от значений x и n.

• Исследовали зависимость периода колебаний математического маятника от длины.

• Убедились в том, что движение тела, брошенного горизонтально – это движение по ветви параболы.

Результаты исследования

Степенная функция с чётным натуральным

показателем Свойства:• 1.D (f)=R• 2. Возрастает на

множестве неотрицательных чисел, убывает на множестве неположительных чисел

• 3. Функция чётная

Степенная функция с нечётным натуральным

показателемСвойства:• 1.D (f)=R• 2. E (f) =R• 3.Функция

возрастает на R

• 4.Функция нечётная

Степенная функция с целым отрицательным

показателем n-нечётное числоСвойства:1.D(f),Е(f)- любое число,

кроме 0.2.Нечётная3.Убывает на D(f)

Степенная функция с целым отрицательным

показателем n-чётное число• Свойства:• 1.D(f) - любое число,

кроме 0.• 2.Функия чётная• 3.убывает на R+;

возрастает на R-.

;0 ;0

Степенная функция с положительным

дробным показателем

• 1. D(f)-множество неотрицатель-ных чисел

• 2.Ни чётная, ни нечётная

• 3.Возрастает на D(f)

Степенная функция с отрицательным

дробным показателем• 1. D(f)-

множество положительных чисел

• 2.Ни чётная, ни нечётная

• Убывает на D(f)

Функциональные зависимости в жизни, выражающиеся

через степенную функцию(Физика)

• Закон Бойля-Мариотта: pV=C=const.

Зависимость объема V идеального газа данной массы от давления p при постоянной температуре T.

Функциональные зависимости в жизни, выражающиеся через

степенную функцию(Биология)

Посредством степенной функции f(x) = Axª описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса животного. Здесь х – вес животного; f(x) – количество кислорода, поглощаемого животным в единицу времени; А и a – параметры, постоянные для данного класса живых существ. Для млекопитающих и птиц, например, a= 0,74, А = 70, для рыб a = 0,8, А = 0,3.

Многие законы природы выражаются в виде

квадратичной зависимости

• Скорость воды в реке на разных глубинах разная: у дна и у поверхности наименьшая, где-то внутри потока она наибольшая. По данным некоторых исследователей можно считать, что если от оси OY отложить горизонтальные отрезки, равные по длине скорости воды на соответствующей глубине, то получится парабола с горизонтальной осью, вершина которой находится на 1/3 глубины потока

Эксперимент

• Математический маятник — материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебательные движения. Период Т колебаний математического маятника пропорционален длине маятника в степени ½.

• Пусть L=0,25 мИз опыта и теории: Т≈1с

Изучение движения тела, брошенного

горизонтально.

Пустив шарик по желобу, убедились в том, что реальная баллистическая траектория

движения совпадает с расчётной.

t,c 0 0,05 0,10 0,15 0,2

Y,м 0 0,012 0,049 0,11 0,196

X,м 0 0,06 0,12 0,18 0,24

Выводы• Рассмотрели свойства степенной функции в

зависимости от значения основания и показателя степени и убедились в справедливости выдвинутой гипотезы.

• 2.Познакомились с некоторыми примерами функциональных зависимостей, выражающихся через степенную функцию.

• 3.Проверили зависимость периода колебаний математического маятника от его длины.

• 4.Изучили движение тела, брошенного под углом к горизонту, как пример функциональной зависимости, выражающейся через степенную функцию.

Информационные источники.

• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы. Кн. для учащихся. – М: Просвещение, 1988. – 416с

• Саенко П.Г. Физика: Учеб. для 9 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1990.-172с.

• Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.-283с.