MONOGRAFIA_G7

“UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES”

FACULTAD:

“CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y CONTABLES”

ESCUELA:

ADMINISTRACION Y SISTEMAS

UEC:

METODOS CUANTITATIVOS DE NEGOCIO

TEMA:

Presentado por:

Lino Moya Yossef Laura De la cruz Kenyo Guizado Marcelo Cheysi Unchupaico Salazar Jans

HUANCAYO-2015-I-PERÚ

PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y TRANSBORDO.


DEDICATORIA

ESTE TRABAJO ESTA DEDICADO MIS PADRES Y A MIS DOCENTES QUE NOS BRINDAN EL APOYO INCONDICIONAL QUE NECESITAMOS PARA NUESTRO DESARROLLO PERSONAL, PROFESIONAL

Métodos Cuantitativos de Negocios Página 2


INTRODUCCION

En el presente trabajo estudiaremos tres modelos de problema de programación lineal, donde se resuelve con el método noreste, pero que debido a sus características especiales ha permitido desarrollar un método más práctico de solución. El modelo de transporte se define como una técnica que determina un programa de transporte de productos o mercancías desde unas fuentes hasta los diferentes destinos al menor costo posible. También estudiaremos el problema del transbordo en el que entre fuentes y destinos, existen estaciones intermedias.



TRANSPORTE Y TRANSBORDO

1.-EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.

El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de programación lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el método Simplex, existe un algoritmo simplicado especial para resolverlo.

Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal es la situación conocida como problema del transporte o problema de la distribución de mercancías.

Se trata de encontrar los caminos para trasladar mercancía, desde varias plantas (orígenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos), de manera que se minimice el costo del transporte.

Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe cumplir:

1) La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.2) El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de unidades que entran en destino.

Métodos de trasporte para solucionar:

a) MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la


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consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE LA ESQUINA NOROESTE

Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina superior izquierda).

PASO 1:

En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.PASO 2:

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.



PASO 3:

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

b) MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO

El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DEL COSTO MÍNIMO

PASO 1:

De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un

empate, este se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor

cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida ya sea

por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se

procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada,

restándole la cantidad asignada a la celda.


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PASO 2:

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o

demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero

arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con

demanda u oferta cero (0) según sea el caso.PASO 3:

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede

un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el

método, "detenerse".

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el

caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

c) MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE VOGEL

El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3

pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la

culminación del método.PASO 1

Determinar para cada fila y columna una medida de penalización

restando los dos costos menores en filas y columnas.




PASO 2

Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la

resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En

caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio

personal).PASO 3

De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso

anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta

asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza

este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se

tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la

restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES

- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o

demanda, detenerse.

- Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva,

determine las variables básicas en la fila o columna con el método de

costos mínimos, detenerse.

- Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y

demanda, determine las variables básicas cero por el método del

costo mínimo, detenerse.

- Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1

hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.



Ejemplo de Formulación

A modo de ejemplo, construyamos el modelo de programación lineal para el siguiente problema.

1.2 Formulación General

Un problema de transporte queda definido por la siguiente información:

1. Un conjunto de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta si.

2. Un conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda dj.


http://alejandra090290.files.wordpress.com/2010/04/trans.gif


3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo unitario de transporte cij

Consideremos:

xij = número de unidades enviadas desde el punto de oferta i al punto de demanda j

EJEMPLO:

Problema del transporteUna empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en soles por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo?

Tienda A Tienda B Tienda CFábrica I 3 7 1Fábrica II 2 2 6

En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas.

En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z = 800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las 1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, 1000 – x unidades serán enviadas desde II a A.Del mismo modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, 700 – y, deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibirá z desde I y 600 – z desde II.

En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho:

Envíosa la tienda A (1000)

a la tienda B (700)

a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800)

X y 800 – x – y



Desde la fábrica II (1500)

1000 – x 700 – y x + y – 200

La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma:Como x + y + z = 800 , se tiene que z = 800 – x – y, de donde, 600 – z = 600 – (800 – x – y) = x + y - 200.

Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades:

x 0 ; 1000 – x 0 ; y 0; 700 – y 0 ; 800 - x – y 0 ; x + y - 200 0

Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones:

1000 x 0 ; 700 y 0 ; 800 x + y 0

Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario.Se obtiene:

Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 – y) + (800 - x – y) + 6(x + y – 200) = 6x + 10y + 3000

En definitiva, el programa lineal a resolver es :

Minimizar:Z = 6x + 10y + 3000sujeto a: 1000 x 0 700 y 0 800 x + y 0

La región factible se da en la imagen del margen.

Sus vértices son A(200,0) ; B(800,0) ; C(100,700) ; D(0,700) y E(0,200).

El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es:

en A, 4200 en B, 7800

en C, 10600



en D, 10000

en E, 5000

El mínimo se da en A , cuando x = 200 e y = 0.

Luego, las cantidades a distribuir son:

Envíos a la tienda A (1000)

a la tienda B (700)

a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800)

200 0 600

Desde la fábrica II (1500)

800 700 0

El problema de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos.

PROBLEMA DE TRANSBORDO

Como una extensión necesaria del problema de transporte en el que sólo se consideran transportes directos entre dos clases de nodos, origen y destino, se presenta ahora el problema de transbordo, en el cual se considera que las unidades pueden fluir entre cualquier par de nodos en las combinaciones posibles siguientes: de nodo de suministro a otro que también surte, de nodo demandante a otro que también demanda, desde un nodo de transbordo a otro con la misma función, de un nodo de transbordo a un destino, e incluso de un origen a un destino. Se generaliza así la red de distribución.

Definición: Dada una red de n nodos ( i ), de los cuales, algunos son orígenes con oferta de un cierto producto, algunos otros son transbordos y destinos, que demandan el mismo producto. El objetivo es satisfacer tal demanda con la capacidad F i j de ramas (i, j) de conexión, a expensas de la oferta de los orígenes, cumpliendo el objetivo de costo mínimo.

Ejemplo 4-6. Red a transbordo, oferta = demanda sin capacidad (TRANSBOBAL).



Figura 4-56. Problema de transbordo balanceado, red ejemplo TRANSBOBAL.

Equilibrio: oferta = 250 + 150 = 400 = 70 + 60 + 180 + 90 = demanda

Modelo de programación lineal, red balanceada, no capacitada (TRANSBOBAL)

Primera parte del modelo, definición de variables:

Sea: X i j = Unidades enviadas del nodo ( i ) al nodo ( j ), a través de la rama ( i, j ).

C i j = Costo de enviar una sola unidad utilizando la rama ( i, j )

Segunda parte del modelo, función objetivo:

Mínimo Z =70 X13 + 110 X15 + 90 X23 + 100 X 24 + 30 X 35 + 50 X36 + 40 X46

Cuarta parte: Condición de no negatividad para variables: Todas las X i j >= 0



Con las sumas de, oferta y demanda iguales, la suma de coeficientes en cada columna ( i, j ) y el lado derecho de las restricciones, debe resultar cero.

Ejemplo 4-7. Red de transbordo con capacidades en ramas, sin balancear, pues oferta y demanda son desiguales, (TRANSBONOBAL).

Figura 4-57. Red transbordo capacitada, no balanceada, ejemplo TRANSBONOBAL.

Programación lineal de una red, capacitada, no balanceada (TRANSBONOBAL)

Primera parte del modelo, definición de variables:

Sea: X i j = Unidades enviadas del nodo ( i ) al nodo ( j ), a través de la rama ( i, j ).

Segunda parte del modelo, función objetivo:

Mínimo Z = 70 X13 + 110 X 15 + 90 X 23 + 100 X 24 + 30 X 35 + 50 X 36 + 40 X46

Tercera parte del modelo:



Cuarta parte: Condición de no negatividad para las variables: Toda X i j >= 0.

Observaciones al problema de transbordo

El problema de transbordo es importante porque su manejo conceptual es suficiente para entender otros problemas de flujo en redes tales como el problema simple de transporte, ruta mínima y el problema de flujo máximo. El modelo matemático de programación lineal resulta con una estructura muy ordenada, particular para todos los problemas que se puedan modelar mediante un gráfico de red, de esta manera las observaciones siguientes son características:

1. Todo problema de transporte que se modela mediante un gráfico de red, puede a su vez modelarse matemáticamente con programación lineal.

2. El modelo de programación lineal correspondiente a una red de transbordo, debe definir una variable X i j para cada rama ( i, j )de la misma y por lo tanto, la función objetivo de costo, debe contener tantos términos como ramas se tengan.

3. El modelo de programación lineal debe tener, además, restricciones de capacidad por cada rama de la red; también debido a la importante propiedad de conservación de flujo para las redes de transporte, deben plantearse tantas restricciones, como nodos deban cumplir dicha propiedad.

4. La estructura matemática de la programación lineal correspondiente a una red de transporte resulta muy especial, de tal manera que las restricciones de conservación de flujo, ordenadas matricialmente, resultan en columnas ( i , j ), las cuales contienen un coeficiente (+1) y un (-1) verificando la suma cero para cada una de ellas; e inclusive, para la columna de los términos independientes a la derecha de las restricciones, también se verifica suma cero, siempre y cuando se trate de un problema balanceado con respecto a oferta y demanda.



5. La solución óptima del problema de transbordo debe resultar de valor entero, siempre y cuando las constantes del modelo sean enteros.

6. Si un problema se puede modelar, primeramente con un gráfico de red, entonces se tiene la posibilidad de resolverlo mediante uno de los varios algoritmos específicos para redes que resultan altamente eficientes (inclusive más que el algoritmo simplex), gracias a la estructura especialmente sencilla de la programación lineal. Aprovechando tal circunstancia se ha logrado resolver problemas muy grandes conteniendo miles de variables y restricciones.

7. El problema de transbordo se puede resolver con el conocido algoritmo simplex, utilizando alguno de los programas de computo comercial de programación lineal con la que se formule el problema; también se puede intentar la optimización del mismo utilizando el Algoritmo de Transporte, que es un simplex simplificado, haciendo la conversión a la tabla usual, utilizando artificios de existencia de unidades en todos los nodos. Otro método es construir la red de distribución y determinar el costo mínimo desde los nodos de suministro hasta los otros nodos y considerar tales costos como unitarios en las respectivas celdas de la tabla de transporte.

Conversión de un problema de transbordo para resolver con algoritmo simplex simplificado del problema de transporte.

Considere la red de transbordo no balanceada entre oferta y demanda del ejemplo TRANSBONOBAL para resolver con el algoritmo simplex de transporte ya visto.

Primero es necesario hacer la siguiente conversión a la tabla usual de transporte y luego se procede con la aplicación del algoritmo.

Figura 4-58. Tabla de conversión a problema de transporte del ejemplo TRANSBONOBAL.

M = coeficiente de costo muy grande en las celdas de rutas no válidas.



oferta = 250 + 170 = 420 > 400 = 70 + 60 + 180 + 90 = demanda

oferta - demanda = 420 - 400 = 20 = demanda # 7 ( ficticia ).

Para la conversión de un problema de transbordo a uno de transporte, se considera que cada uno de los nodos de transbordo 3 y 4, pueden recibir y enviar la totalidad de la oferta, procediendo de la siguiente manera:

Máximo { oferta = 420 , demanda = 400 } = 420

Las 420 unidades son lo máximo que puede pasar por un nodo de transbordo del problema ejemplo y se considera como la cantidad que amortigua la demanda en competencia.



CONCLUSIONES

El problema de transporte y transbordo es parte de la programación lineal.

El problema de transporte y transbordo, es un problema relacionado a organizaciones cuya responsabilidad es el transporte de mercadería.

Su objetivo principal en minimizar costos al momento del transporte y transbordo de mercaderías.



ANEXOS




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