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8/18/2019 Modulo6_SistEcuaLin_jvg_Ok.pdf

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Universidad Nacional de Salta Me preparo para estudiar IngenieríaFacultad de Ingeniería Sistemas de ecuaciones lineales

1 Ing. José Vicente Giliberti

Conceptos previosEcuación lineal en una variableRecordemos que una ecuación lineal en una variable se puede escribir en lasformas:

ax + c = 0 (1) ó ax = b (2),

x se denomina variable.a se denomina coeficiente.b y c se denominan términos independientes (no afectan a la variable).

Nota: como toda expresión de la forma (1) se puede llevar a la (2), vamos autilizar ésta última para nuestro análisis posterior.

Una solución de una ecuación lineal es un valor de la variable quereemplazado en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera.

Si encontramos diferentes valores de la variable para los cuales la igualdad esverdadera, la totalidad de los mismos se denomina soluc ión general . En esteúltimo caso cada valor de la variable que satisface la ecuación se denominasolu ción part icular .

De acuerdo a los valores de a, b y c en la ecuación, podemos clasificarla así:

Clase 1: Ecuación con solución única

Si a 0 la ecuación (2) tiene solución única, la cual se obtiene despejando laincógnita. En este caso la solución es:

x = . b

b aa

1= .

El conjunto solución se expresa así:

CS = { xR/ x = b/a} CS = {b/a}

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación 3 x12 = 0 y expresa el conjunto solución.Solución:

3 x12+12 = 0+123 x = 12

(1/3). 3 x = (1/3).121 x = 4 Clase 1

Entonces CS = {4}

CS = { xR

/ x = 4}.


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Clase 2: Ecuación sin solución

Si a = 0 y b 0 la ecuación (2) no tiene solución, porque tendríamos unaexpresión de la forma:

0. x = b

para la cual es imposible encontrar algún valor de x que la verifique.En este caso el conjunto solución es:

CS = Φ CS = { }

El símbolo Φ se usa para representar el conjunto vacío, es decir un conjuntoque no tiene elementos.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación 4( x1) = 4 x3 y expresa el conjunto solución.Solución:

4( x1) = 4 x34 x4 = 4 x3

4 x4+(4 x+4) = 4 x3+(4 x+4)(4 4 4+4) .x = 3+4+44

0.x = 1 Clase 3Luego CS = Φ.

Nota: La definición de la ecuación lineal en una variable exige que 0a ,

pero como part icular idad la ecuación bax con a = 0 y b = 0 severifica para cualquier valor de la variable y en consecuencia se dice

que tiene infinitas soluciones.

Ecuación lineal con dos variablesUna ecuación lineal con dos variables es una expresión de la forma:

ax + by + c = 0 (3)

Si pensamos en una ecuación de este tipo como una condic ión que debencumplir las variables, nos daremos cuenta que en este caso x e y no puedenser independientes, es decir que una vez fijada una de ellas, automáticamentequeda determinada la otra.

Por ejemplo, si b 0 podemos despejar la variable y de la ecuación (3),

obteniendo:a c

y xb b

= (4) y en consecuencia CS = , a c

x xb b

.

Esto significa que: de una ecuación con dos o más variables sólo podemosdespejar una variable de la misma (que estará en función de las otras llamadasvariables libres). Una ecuación de este tipo tendrá infinitas soluciones que se


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obtienen dando a las variables libres los infinitos valores que pueden tomar.Como en el caso de una ecuación lineal en una variable, cada una de estassoluciones se llama solución particular .

Obser vación: la ecuación (4) es la expresión de una función lineal escrita enforma explícita y su representación gráfica es una recta(conjunto de infinitos puntos), cuya pendiente (inclinación) es m = –(a/b) y la ordenada al origen (valor donde la recta interceptaal eje y) es n = –(c/d ).

Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL)2x2

Un sistema de ecuaciones lineales está formado por varias ecuaciones lineales(condiciones) que deben satisfacerse simultáneamente. En el caso de dos

ecuaciones lineales con dos variables el sistema tiene la forma:

11 12 1a x a y b

21 22 2a x a y b

La llave significa que las ecuaciones no se deben considerar por separado,sino formando parte de un sistema.

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el valor de las variables x e y que hacen que las 2 ecuaciones sean verdaderas.

Si b1 0 ó b2 0 el sistema se llama no homogéneo o in homogéneo .

Clasificación de los SELDe acuerdo a la existencia o no de solución, los sistemas se clasifican en:

1 – Compatibles o consistentes: son aquellos que admiten al menos unasolución.

2 – Sistemas incompatibles o inconsistentes: son aquellos que carecen de

solución.

De acuerdo a la cantidad de soluciones que posean los sistemas se clasificanen:

1 – Determinados: son lo que tienen solución única.

2 – Indeterminados: son los que tienen infinitas soluciones.

Resumiendo esta clasificación podemos hacer el siguiente esquema:


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Determinados → tienen solución única Compatibles

(tienen solución)

Indeterminados → tienen infinitas soluciones

SEL

Incompatibles → no tienen solución

Nota: dos sistemas de ecuaciones lineales (con las mismas variables) sellaman sistemas equivalentes cuando tienen el mismo conjuntosolución, es decir si toda solución de cualquiera de ellos es tambiénsolución del otro.

Criterio para garantizar la unicidad de la solución

La expresión11 22 21 12

a a a a se conoce como determinante del sistema y se

simboliza con la letra .

Si = 11 22 21 12a a a a 0 el sistema tiene solución única

Método de eliminación de Gauss

Entre los métodos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dosvariables encontramos el de igualación, el de sustitución, el de determinante(en caso que sea posible) y el de reducción por sumas y restas. Este último seconoce también como método eliminación de Gauss y su fundamento estransformar un sistema, mediante ciertas operaciones denominadas

elementales, en otro equivalente que sea más fácil de resolver.Las operacion es elementales (OE), llamadas así por no alterar el conjuntosolución, son:

OE1 – el intercambio de dos ecuaciones cualesquiera. Por ejemplointercambiar la primera y segunda ecuación.

OE2 – la multiplicación de una ecuación por un escalar distinto de cero.Por ejemplo multiplicar la primera ecuación por 3.

OE3 – la suma o resta a una ecuación de un múltiplo de otra. Porejemplo a la segunda ecuación restarle la primera ecuación

multiplicada por 4.


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6 2 2

3 4 4

6 2 2

6 8 8

6 2 2

0 10 6

La ventaja de este método es que nos permite ver si existen ecuaciones(condiciones) que están de más, porque de alguna manera sus requerimientosya se encuentran en otra ecuación o en alguna combinación de otrasecuaciones. Si es así, podemos eliminarlas y trabajar con la menor cantidad deecuaciones (que se dicen independientes).

Sugerencia: Colocar como primera ecuación aquella cuyo coeficiente de laprimera variable es distinto de cero, en caso contrariointercambiar las ecuaciones.

Ejemplo 3Sea el sistema: ¿Qué es esto?

6 2 2 x y E1 → 3 4 4 x y E2 →

E1 significa ecuación 1 y E2 significa ecuación 2.

Como en el método de reducción, la idea es transformar una de las ecuacionesen una ecuación lineal en una variable, la cual ya sabemos resolver. Para ellomultiplicamos ambos lados de E2 por 2 y sabemos que por la ley uniforme laigualdad no varía, entonces tendremos el sistema equivalente:

6 2 2 x y E1 → 6 8 8 x y E´2 →

Lo que hemos hecho podemos expresarlo en símbolos así: E´2 = 2 E2. Estosignifica que la ecuación E´2 se obtuvo al multiplicar la ecuación E2 por 2.Si ahora hacemos E´2 – E1 y colocamos el resultado en lugar de la segundaecuación, obtenemos el sistema equivalente:

6 2 2 x y E1 → 0 10 6 x y E´´2 →

Al igual que en el caso anterior, podemos expresar: E´´2 = E´2 – E1. O sea que

la ecuación E´´2 se obtuvo al restarle a la ecuación E´2 la ecuación E1. La ecuación E´´2 es de Clase 1 y resulta sencillo despejar la variable y:

310 6

5 y y .

Conociendo el valor de y podemos reemplazarlo en la ecuación (1) y nosqueda:

3 6 16 8

6 2 2 6 25 5 5 15 x x x


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Los valores de x e y encontrados verifican simultáneamente ambas ecuacionesy constituyen el conjunto solución del sistema. Para expresar dicha soluciónescribimos:

8 3, /15 5

x y x y

SC o bien en forma más compacta 8 3,

15 5

S

C

En este caso se trata de un sistema compatible determinado.

Nota: Es importante aclarar que cuando usamos llaves no especificamosorden alguno entre los elementos que ellas encierran, en cambio el usode paréntesis nos indica que los elementos encerrados entre ellostienen un cierto orden. En la forma compacta el primer elemento delparéntesis corresponde a la variable x y el segundo a la variable y.

Actividad con Gogebra

- Con el botón Deslizador crea 6 deslizadores de nombres a11, a12,b1, a21, a22 y b2 respectivamente y que varíen entre un mín de 10 yun máx de 10. Los 3 primeros de color rojo y los 3 últimos de colorazul (esto se logra seleccionando el objeto y con click derecho elegirla opción propiedades).

- Haz click en el botón Elige y Mueve y selecciona el deslizador a11(se resaltará el cursor del mismo). Con las teclas de cursor a la

derecha /izquierda lleva el valor del cursor del deslizador a cero.- Realiza el procedimiento anterior para todos los deslizadores.- En la barra de entradas (abajo) escribe primero la ecuación

a11x+a12y=b1. Presiona Enter.- Luego escribe la ecuación a21x+a22y=b2. Presiona Enter.- Haz click en el botón Elige y Mueve y luego un click en el deslizador

a11. Con las teclas de cursor a la derecha /izquierda varía el valor deldeslizador y observa qué sucede en la ventana gráfica.

- Realiza la acción anterior para cada uno de los deslizadores.- Luego lleva los deslizadores a los siguientes valores (que

corresponden a los coeficientes del Ejemplo3 de la cartilla): a11=6,

a12=2, b1=2, a21= 3, a22=4 y b2=4. Puedes hacer esto ingresandolos mismos en la barra de entrada.

- En el botón de Nuevo Punto selecciona la opción Intersección de 2 objetos. Haz click primero en la recta roja y luego en la azul. Observaqué sucede en la Vista gráfica y en la Vista algebraica.

- Los valores del punto A que aparecen en la vista algebraicaconcuerdan con la solución del sistema de ecuaciones?

- Experimenta con los sistemas de los Ejemplo 4 (infinitas soluciones) yEjemplo 5 (solución vacía). Saca tus propias conclusiones.


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1 3 4

3 9 12

11 12 1

21 22 2

a a b x

a a b y

Matrices

Como de una ecuación a otra lo que cambia son los coeficientes y los términosindependientes, si respetamos el orden en el que aparecen las variables encada ecuación, podemos trabajar en forma más sencilla con los objetos que

aparecen a la derecha de los sistemas vistos en el Ejemplo 3. Dichos objetosse denominan matrices.

Para nosotros, por el momento, una matriz es un conjunto de númerosordenados en filas (sentido horizontal) y columnas (sentido vertical), peropuedes investigar en cualquier libro de álgebra lineal la definición formal, lasoperaciones que puedes realizar con ellas, las propiedades que cumplen, etc.

Así el sistema:

11 12 1a x a y b

21 22 2

a x a y b

se puede escribir en forma matricial de la siguiente manera:

o en forma abreviada A2x2. X2x1 = B2x1 .

La matriz A se denomina matriz de coeficientes.La matriz X se denomina matriz de incógnitas.La matriz B se denomina matriz de términos independientes.

Para aplicar el método de Gauss vamos a emplear la matr iz amp l iada que esla que tiene en la primera columna los coeficientes de x, en la segunda loscoeficientes de y, y en la tercera los términos independientes.

Preguntas 1 a 4: ¿Cuántas filas y columnas tiene la matriz A?¿Cuántas filas y columnas tiene la matriz X?¿Cuántas filas y columnas tiene la matriz B?¿Cuántas filas y columnas tiene la matriz ampliada del Ejemplo3?

Ejemplo3Consideremos el sistema:

Matriz ampliada3 4 x y E1 →

3 9 12 x y E2 →


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3 9 12

3 9 12

3 9 12

0 0 0

1 3 4

4 12 10

Podemos ver que el lado izquierdo de la ecuación E2 es el triple del ladoizquierdo de la ecuación E1 y ocurre lo mismo con los lados derechos deambas ecuaciones. Es decir que la ecuación E2 difiere de la E1 sólo en unaconstante, por lo tanto no se trata de una ecuación independiente y enconsecuencia puedo eliminarla. Así nos queda sólo la ecuación E1 que es una

ecuación lineal en 2 variables y como ya vimos tendrá infinitas soluciones.Este hecho se pone en evidencia cuando aplicamos el método de Gauss pararesolver el sistema.

Si multiplicamos ambos miembros de E1 por 3 obtenemos el siguiente sistemaequivalente:

3 9 12 x y E´1 → 3 9 12 x y E2 →

Es decir que: E´1 = 3 E1

Si ahora hacemos E’2 = E2 – E´1 y ponemos el resultado en lugar de lasegunda ecuación, el sistema equivalente será:

3 9 12 x y E´1 → 0 0 0 x y E´2 →

La última ecuación E´2 es de forma similar a las de Clase 2, es decir verdaderapara todo valor de las variables, y por lo tanto no nos sirve para encontrar unasolución. Esto significa que la condición requerida por ella ya se encuentra en

la otra ecuación y como dijimos antes podemos eliminarla.Si nos quedamos con la ecuación E´1 y despejamos y tendremos:

1 49 3 12

3 3 y x y x

Es decir que x puede tomar cualquier valor real (se convierte en una variablelibre), pero el valor de y que satisface la ecuación será el dado por la ecuaciónanterior.

El conjunto solución o solución general del sistema, se expresa en este caso

así:

1 4

, ,3 3

x y x x

SC

En este ejemplo tenemos un sistema compatible indeterminado.

Ejemplo 5Sea el sistema: Matriz ampliada

3 4 x y E1 →

4 12 10 x y E2 →


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4 12 16

4 12 10

4 12 16

0 0 6

En este caso observamos si multiplicamos por 4 ambos miembros de E1 obtenemos:

4 12 16 x y E´1 → 4 12 10 x y E2 →

Esto es: E´1 = 4 E1. Si ahora hacemos E’2 = E2 – E´1 y ponemos el resultado en lugar de la segundaecuación, obtenemos:

4 12 16 x y E´1 → 0 0 6 x y E´2 →

La última ecuación E´2 es de Clase 3 y no tiene solución ya que no existenvalores para x e y que reemplazados en la ecuación verifiquen la igualdad a –6.

Esto representa una contradicción y por lo tanto el sistema no tendrá solución:Entonces podemos escribir CS = Φ.

Ejercicio 1

Resuelve por Gauss, clasifica y expresa el conjunto solución de:

2 1

3 2 5 0

x y

x y

Interpretación geométrica de un sistema de 2 ecuaciones con 2 variables

Si observamos cada ecuación de un sistema veremos que en general tiene laforma ax + by + c = 0. Como vimos se trata de una ecuación lineal con 2variables, y como sólo podemos despejar una de ellas, habrá una variable libre.Esto significa que existirán infinitas soluciones.Considerando a x como variable libre o independiente y despejando a y (variable dependiente) de la ecuación, tendremos que:

a c y x

b b = (5)

Si ahora hacemos una tabla con dos columnas, donde en la primera escribimosdiferentes valores de x y en la segunda colocamos los valores de y correspondientes que resultan de la ecuación (5), lo que obtenemos es unconjunto de pares ordenados que pertenecen a la ecuación.La tabla tendrá el siguiente aspecto:


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X a c y x

b b =

x1 a c y x

b b

1 1=

x2 a c y xb b

2 2=

… …

xn a c y x

b b

n n=

Como sabemos, existe una relación uno a uno entre el conjunto de paresordenados de números reales y los puntos del plano (a cada par ordenado lecorresponde uno y sólo un punto del plano coordenado). Graficando estos

puntos en un sistema de ejes cartesianos ortogonales tendremos una gráficaaproximada de la función definida por la ecuación y la misma será una recta.

Es decir que la representación gráfica de cada ecuación del sistema será unalínea recta (o simplemente recta).

Las posiciones relativas entre las rectas en el plano son:

a) Rectas concurrentes: son aquellas que concurren en un punto, es decir quehay un punto que es común a ambas. Gráficamenteson rectas que se cortan.

r 1 Condición de concurrencia r 2

11 12

21 22

a a

a a

b) Rectas coincidentes: son aquellas que tienen infinitos puntos en común.Gráficamente son rectas que se superponen.

Condición de coincidenciar 1

r 2 11 12 1

21 22 2

a a b

a a b

r 1 = r 2

Gráficamente una recta se encima de la otra.

c) Rectas paralelas: son aquellas que no tienen punto en común.


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1

1

2

2

2

0

Condición de paralelismo

11 12 1

21 22 2

a a b

a a b

r 1 r 2

Relacionando estas condiciones con los sistemas de dos ecuaciones linealescon dos variables, podemos decir que:

- un sistema con solución única se corresponde con la representación gráficade rectas concurrentes.

- un sistema con infinitas soluciones se corresponde con rectas coincidentes.- un sistema sin solución se corresponde con rectas paralelas.

Ejemplo 6Resuelve en forma analítica, clasifica, expresa el conjunto solución y verificagráficamente, el siguiente sistema:

Completar2 0 x y E1 →

9 x y E2 →

Para resolver el sistema usando Gauss multiplicamos E2 por 2 y obtenemos:

Completar2 0 x y E1 → 2 2 18 x y E´2 →

Pregunta 5: ¿A qué es igual E´2? Expresa la igualdad simbólicamente.Si ahora hacemos la diferencia entre E´2 y E1, y el resultado se pone en lugarde la segunda ecuación, el nuevo sistema será:

Completar2 0 x y E1 → 0 3 18 x y E´´2 →

Pregunta 6: ¿qué operación elemental hemos realizado? Expresa esto

simbólicamente.

La ecuación E´´2 es una ecuación lineal en una variable y como en este caso elcoeficiente que acompaña a la variable y es 80, la ecuación tiene solución

única. Despejando y vemos que y y18

= = 63

Ahora reemplazamos este valor en la ecuación de arriba, es decir E1 yobtenemos la ecuación 2 x – 6 = 0 de la que podemos despejar la incógnita x.Esto es:


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x x x 2 6 = 0 2 = 6 = 3

Es decir que se trata de un sistema compatible determinado cuyo conjuntosolución es:

CS = {(3,6)}

Como sabemos la gráfica de cada una de las ecuaciones es una recta y paradibujarlas necesitamos dos puntos. Para obtenerlos primero despejamos lavariable y de cada una de las ecuaciones y construimos las siguientes tablas:

Para E1 x y x 2

x1 = 0 y1 = 0 x2 = 2 y

2 4

Para E2

x y = – x+9 x1 = 5 y1 = 4 x2 = 7 y2 = 2

Según esto para graficar los infinitos puntos que verifican la ecuación (1)hemos obtenido los pares ordenados (0,0) y (2,4). Para la ecuación (2) lospares son (5,4) y (7,2).

Si representamos los puntos correspondientes a estos pares coordenados,tenemos la siguiente gráfica:

En el gráfico se observa claramente que los valores encontrados para x e y ( x=3 e y=6) son las coordenadas del punto común a ambas rectas.

Ejercicio 2Resuelve en forma analítica, clasifica, expresa el conjunto solución y verificagráficamente (en papel y verifica con Geogebra), el siguiente sistema:

x – y = 3

2 x –2 y = 6


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11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a a a b

a a a b

a a a b

2 9 x y z

3 6 5 0 x y z 2 4 3 1 x y z

1 1 2 9

3 6 5 0

2 4 3 1

2 9 x y z

0 3 11 27 x y z

0 2 7 17 x y z

1 1 2 9

0 3 11 27

0 2 7 17

Sistemas Homogéneos (SH)

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo cuando sus términosindependientes son todos iguales a cero. Su forma general es:

11 12 0a x a y

21 220a x a y

Estos sistemas siempre admiten como solución a los valores x = 0 e y = 0,conocida como solución trivial , por lo que son sistemas compatibles.Pueden ser determinados, si la única solución es la trivial o indeterminados siexisten otras soluciones además de ella.Estos sistemas se resuelven de la misma manera que los no homogéneos.

Extensión del método de Gauss para resolver (SEL)3x3

El método de eliminación de Gauss que aprendiste, puede ser usado pararesolver en general un sistema de “m” ecuaciones con “n” variables y enparticular uno de 3 ecuaciones con 3 variables cuya forma general es:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

Los aij se llaman coeficientes (donde i varía entre 1 y 3 y j varía entre 1 y 3)Los x j se llaman variables (donde j varía entre 1 y 3).Los bi se llaman términos independientes (donde i varía entre 1 y 3).

Para que tengas una idea de cómo resolver un sistema de este tipo veremosun:

Ejemplo 7Resuelve el siguiente sistema y expresa el conjunto solución.

E1

E2 E3

Como hicimos antes hacemos E´2 = E2 – 3E1 y al resultado lo colocamos enlugar de la segunda ecuación. También podemos hacer E´3 = E3 – 2E1 y alresultado lo colocamos en lugar de la tercera ecuación, así obtenemos elsiguiente sistema:

E1 E´2

E´3


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2 9 x y z

0 3 11 27 x y z

0 0 3 x y z

1 1 2 9

0 3 11 27

0 0 1 3

0 3 33 27 3 6 2 x y y y

2 6 9 1 x x

2 x y z

1 x y z 3 5 x y z

1 1 1 2

1 1 1 1

1 3 1 5

2 x y z

0 2 0 3 x y z 0 2 0 3 x y z

1 1 2 9

0 2 0 3

0 2 0 3

2 x y z

0 2 0 3 x y z

0 0 0 0 x y z

1 1 2 9

0 2 0 3

0 0 0 0

Si ahora hacemos E´´3 = 3E´3 –2E´2 y al resultado lo colocamos en el lugar dela tercera ecuación, obtenemos el sistema:

E1 E´2

E´´3

De la última ecuación (que es de Clase 1) vemos que z = 3 . Reemplazandoeste valor en E´2 nos queda:

Finalmente reemplazando los valores obtenidos en E1 llegamos a:

Es decir que se trata de un sistema compatible determinado y su conjuntosolución es:

CS = {(1, 2, 3)}

Pregunta 7: ¿qué operaciones elementales hemos realizado para pasar de unsistema a otro (o de una matriz a otra)?

La última matriz obtenida se llama matr iz escalonada (ME) porque parececomo si se hubiese formado un escalón con los ceros. Es la que tiene cerosdebajo de los elementos de igual subíndice.


E1 E2 E3

Calculamos E´2 = E2 + E1 y al resultado lo colocamos en lugar de la segundaecuación. También podemos calcular E´3 = E3 – E1 y colocar el resultado enlugar de la tercera ecuación, así obtenemos el siguiente sistema:

E1 E´2 ()E´3

Si ahora hacemos E´´3 = E´3 – E´2 y ponemos el resultado en lugar de latercera ecuación, obtenemos:

E1 E´2

E´´3


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2 x y z

0 2 0 3 x y z

1 1 1 2

0 2 0 3

3 3 12 2

2 2 2 x z x z x z

2 3 1 x y z

3 2 7 x y z 5 3 4 2 x y z

1 2 3 1

3 1 2 7

5 3 4 2

2 3 1 x y z

0 7 11 10 x y z 0 7 11 7 x y z

1 2 3 1

0 7 11 10

0 7 11 7

2 3 1 x y z

0 7 11 10 x y z

0 0 0 3 x y z

1 2 3 1

0 7 11 10

0 0 0 3

La última ecuación es similar a la de la particularidad indicada para unaecuación lineal en una variable. La fila de ceros en la matriz indica que hay unavariable libre y que podemos eliminar la última ecuación. Esto se debe a que esverdadera para cualesquiera x, y y z pertenecientes a los reales y por lotanto no nos sirve para hallar la solución. Así nos queda el sistema:

E1 E´2

De la segunda ecuación podemos despejar y para obtener:3

2 y .

Reemplazando este valor en la primera ecuación y despejando x, escribimos:

Es decir que se trata de un sistema compatible indeterminado cuyo conjuntosolución es:

1 3, ,

2 2 z z

s

C

Obser vación: no era necesario hacer el último cálculo ya que en el sistema() la 2ª y la 3ª fila son iguales por lo tanto podemos eliminar latercera y trabajar con las restantes.


E1 E2 E3

Calculamos E´2 = E2 – 3E1 y al resultado lo colocamos en lugar de la segundaecuación. También podemos calcular E´3 = E3 – 5E1 y colocar el resultado enlugar de la tercera ecuación, así obtenemos el siguiente sistema:

E1 E´2 E´3

Si ahora calculamos E´´3 = E´3 – E´2 y colocamos el resultado en el lugar de latercera ecuación, tendremos el sistema:

E1 E´2

E´´3


16/19



La última ecuación es de Clase 2 y no tiene solución, en consecuencia se tratade un sistema incompatible cuyo conjunto solución es:

CS = Φ


17/19



1 4 7

0 0 0

1 1 2 5

0 3 1 2

0 0 0 8

2 1 3

0 2 4

5 2

3

6 3 3

y x

x y

Trabajo Práctico

Tema: Resolución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 variablesMétodo de Gauss.

Actividades

Actividad 1

Escribe el siguiente sistema en forma matricial:

Actividad 2 Relaciona las matrices con los conjunto solución mediante una flecha. Justificatu respuesta.

CS = 5

,22

CS = Φ CS = 7 4 , y y

Actividad 3 Completa el siguiente sistema de manera que el mismo represente:

… x + 5 y = …

3 x – … y = 6

a) un par de rectas concurrentesb) un par de rectas coincidentesc) un par de rectas paralelas

En todos los casos justifica tu respuesta.

Ejercicios

Ejercicio 1Realiza la interpretación gráfica del siguiente sistema y escribe el conjuntosolución.

x – y –3 = 0

2 x –2 y = 6


18/19



4 2

3 7

x y

x y

12

12

x y x

x y y

Realiza la verificación de tu trabajo con el Geogebra.

Ejercicio 2

Resuelve y clasifica a los siguientes sistemas:

a) b)

Realiza la verificación de tu trabajo con el Geogebra.

Problemas

Problema 1 Un ingeniero le pidió a su capataz que reparta una gratificación entre suspeones de la siguiente manera: si le da $14 a cada uno le sobran $ 7 y si le da$15 le faltan $26 ¿Cuál es el valor de la gratificación y cuántos son los peones?

Problema 2 El perímetro de una finca de forma triangular es de 2700 m. Si la diferenciaentre dos de sus lados es de 300 m ¿Cuál es la longitud de cada uno de suslados?

Aplicaciones químicas

Problema 3

i) El ácido sulfúrico cuya fórmula es: H2SO4, en donde los númerosescritos como subíndices son el número de átomos en la fórmula. Si sesabe que el hidrógeno tiene número de oxidación +1, el oxígeno 2,¿cuál es el número de oxidación del S en este compuesto? Como elcompuesto no tiene ninguna carga neta: ¿Cuánto debe valer la suma delos números de oxidación de todos los átomos del compuesto?

ii) Ídem para el nitrógeno (N) en el ácido nítrico HNO3

iii) Ídem para el fósforo (P) en el ácido fosfórico H3PO4


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Problema 4

El dióxido de manganeso (MnO2) reacciona con el ácido clorhídrico (HCl)

formando cloruro de manganeso (MnCl2), gas cloro(Cl2) y agua (H2O).Encuentra los coeficientes de la ecuación:

a . MnO2 + b . HCl → c . MnCl2 + d . Cl2 + e . H2O

Encuentra el valor de los números enteros a, b, c, d y e que conformen unconjunto de números enteros con los menores valores. Si solo puedes plantear4 ecuaciones fija el valor de uno de los valores a determinar.

Aplicaciones físicas

Problema 5 Un automóvil parte de Bs. As. (km 0) a Mar del Plata (km 400) y lleva unavelocidad constante de 120 km/h. En el mismo instante parte otro automóvildesde Mar del Plata hacia Bs. As. Con una velocidad constante de 80 km/h.¿Qué tiempo tardan en cruzarse y en qué lugar lo hacen?

Problema 6

Dos estaciones de ferrocarril distan entre sí 100,0 km. De la estación A sale unten que tardará 2 hs en llegar a B; de B sale otro tren hacia A, donde llegará enuna hora y media. Calcular a qué distancia de A se cruzarán, y en qué tiempodespués de haber partido simultáneamente cada uno de su estación.

Problemas adicionales

1- El óxido de sodio presenta la siguiente composición elemental en peso:

Con 10 g de sodio y 50 g de oxígeno, ¿qué masa máxima de óxido se puedeformar?

2 - La Veloz del Norte parte de Buenos Aires hacia Córdoba a las 7:00 de lamañana; al medio día parte otra Veloz del Norte desde Córdoba. Amboscolectivos recorren los 720,0 km en 12:00 hs. Calcular a qué hora y a quédistancia de Buenos Aires se produce el encuentro.

Elemento %Sodio 74.2Oxígeno 25.8

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