Modelos Numéricos para cálculo dinámico de puentes de ... de materiales/Resistencia... · de...

MEacuteTODOS NUMEacuteRICOS EN INGENIERIacuteA VJM Goicolea C Mota Soares M Pastor y G Bugeda (Eds)

copySEMNI Espantildea 2002

MODELOS NUMEacuteRICOS PARA CAacuteLCULO DINAacuteMICO DEPUENTES DE FERROCARRIL DE ALTA VELOCIDAD

JM Goicolea Jaime Domiacutenguez Barbero JA Navarro y F Gabaldoacuten

Grupo de Mecaacutenica ComputacionalEscuela Teacutecnica Superior de Ingenieros de Caminos (ETSICCP)

Universidad Politeacutecnica de MadridCiudad Universitaria 28040 Madrid Espantildea

e-mail goicoleamecanicaupmes web httpw3mecanicaupmes

Palabras clave Caacutelculo dinaacutemico de estructuras ferrocarril de alta velocidad

Resumen Los puentes y viaductos para ferrocarril de alta velocidad estaacuten sometidos a accio-nes dinaacutemicas elevadas ya que al efecto claacutesico de la carga (aislada) moacutevil se viene a sumarla resonancia que se manifiesta para velocidades por encima de 220 kmh Los meacutetodos devaloracioacuten del impacto dinaacutemico claacutesicos disponibles en la ingenieriacutea y plasmados en las ins-trucciones de proyecto no recogen esta posibilidad de resonancia El disentildeo de estas estructurasexige teacutecnicas numeacutericas de caacutelculo dinaacutemico que son el objeto de este artiacuteculoLas teacutecnicas aplicables son de distinto tipo variando desde procedimientos analiacuteticos me-

diante cotas superiores de las sumas de armoacutenicos que componen la respuesta a modeloscompletos de elementos finitos que incluyen la interaccioacuten dinaacutemica vehiacuteculo estructura em-pleando o no teacutecnicas de reduccioacuten modalSe presentan asimismo en este artiacuteculo de forma resumida dos trabajos de investigacioacuten

aplicada con repercusiones importantes para el disentildeo de los puentes de ferrocarril que uti-lizan las teacutecnicas numeacutericas anteriormente descritas En primer lugar mediante un estudio deun nuacutemero amplio de casos de puentes y trenes de altavelocidad se cuantifica la importanciade los efectos de la interaccioacuten vehiacuteculo-estructura en puentes de luces cortas (entre 10 y 40m) demostraacutendose que la reduccioacuten de los efectos dinaacutemicos puede alcanzar un 45 de larespuesta total Por otra parte se realiza una campantildea de caacutelculos para poacuterticos y marcos depasos inferiores de ferrocarril cuyo tratamiento dinaacutemico a priori exige meacutetodos de caacutelculocomplejos capaces de tratar estructuras hiperestaacuteticas Se demuestra que es posible establecerun meacutetodo maacutes sencillo con caraacutecter de envolvente dinaacutemica basado en el caacutelculo de una vigaisistaacutetica equivalente


1 INTRODUCCIOacuteN Y ESTADO DE LA TEacuteCNICALa construccioacuten nueva de infraestructura de transporte ha experimentado un auge en los uacutel-

timos antildeos en Espantildea y en otros paiacuteses Europeos Dentro de ella la parte principal en nuestropaiacutes es la dedicada a las nuevas liacuteneas de alta velocidad ferroviaria siendo este capiacutetulo tambieacutenprioritario en algunos paiacuteses vecinos como Francia Estas nuevas liacuteneas de ferrocarril suponenuna alternativa muy competitiva para el transporte entre las ciudades situadas a distancias me-dias En estos momentos en Espantildea se encuentra en operacioacuten la liacutenea MadridndashSevilla en esta-do avanzado de construccioacuten la MadridndashBarcelonandashfrontera Francesa y en diversos estados deproyecto o adjudicacioacuten las CoacuterdobandashMaacutelaga MadridndashValencia y MadridndashValladolidndashGaliciaEsta importante actividad ingenieril pone de actualidad uno de los aspectos estructurales maacutes

importantes asociados especiacuteficamente al disentildeo de los puentes y estructuras de ferrocarril losefectos dinaacutemicos debidos a las cargas moacuteviles de los trenes La importancia de la respuestadinaacutemica ha sido conocida desde los inicios del ferrocarril este motivo propicioacute el estudio baacutesi-co de una carga moacutevil sobre una viga isostaacutetica cuyas soluciones claacutesicas fueron desarrolladas(entre otros) por Timoshenko [9] Asimismo dentro de la literatura claacutesica deben citarse losimportantes trabajos de Fryba [10 11] que recopilan modelos y aspectos muy diversos de ladinaacutemica de puentes de ferrocarrilLas normas existentes hasta ahora [12 13 14] para el caacutelculo de los puentes de ferrocarril

tienen en cuenta la respuesta dinaacutemica a traveacutes de un coeficiente de impacto que representa elaumento de la respuesta dinaacutemica respecto a la estaacutetica para una uacutenica carga moacutevilSeguacuten este coeficiente el incremento dinaacutemico adquiere [12] un valor maacuteximo de = 132

para una viacutea recta ideal (sin considerar irregularidades) El coeficiente de impacto se calcularaacuteal final como la envolvente

= max(1 + + )

donde este uacuteltimo sumando () responde al efecto de las irregularidades de la viacuteaLa consideracioacuten del coeficiente de impacto es suficiente para tener en cuenta el efecto

dinaacutemico de una uacutenica carga moacutevil pero no tiene en cuenta la posible resonancia que se pro-duciriacutea por la repeticioacuten ciacuteclica de cargas Sin embargo a este respecto hay que mencionar quepara las frecuencias de vibracioacuten y distancias entre ejes de las composiciones circulantes laresonancia no ha sido un fenoacutemeno que se diera en la praacutectica iexclhasta la aparicioacuten de la altavelocidadEn efecto por encima de las velocidades de 200 oacute 220 kmh para las distancias entre ejes de

los coches ferroviarios reales (entre 13 y 20 m) mdashque para una velocidad determinada son lasque determinan la frecuencia de repeticioacuten de las cargasmdash pueden empezar a aparecer fenoacuteme-nos resonantes Como ejemplo en [1] se documentan las mediciones resonantes evidenciadasen el viaducto del Tajo para el tren AVE a una velocidad de 219 kmh En la citada referencia sediscute en detalle de forma general la resonancia en puentes de ferrocarril que a pesar de cons-tituir un fenoacutemeno claacutesico de respuesta dinaacutemica ha permanecido ausente hasta el momento delas normas de caacutelculo En consecuencia no ha sido tenido en cuenta en el proyecto salvo porel margen que proporcionan los coeficientes de seguridad

2


El problema teacutecnico que se plantea en la ingenieriacutea estructural es de gran calado la sociedaddemanda la ejecucioacuten de un gran nuacutemero de estructuras y puentes para las nuevas liacuteneas de altavelocidad pero no se dispone auacuten de meacutetodos de caacutelculo fiables praacutecticos y suficientementecontrastados en las instrucciones y normas de proyecto Esta ausencia se ha comenzado a paliarcon algunas de las instrucciones de caacutelculo maacutes recientes entre las que cabe destacar la Italiana[15] el nuevo borrador de Eurocoacutedigo 1 [16] y el nuevo borrador Espantildeol [8]Sin embargo a pesar de estas nuevas propuestas que siacute consideran adecuadamente los fenoacute-

menos resonantes existe auacuten una carencia de conocimientos sobre los efectos dinaacutemicos realesen numerosos sistemas estructurales de los puentes de ferrocarril por lo que resulta a nuestrojuicio muy necesario un esfuerzo investigador importanteDesde el punto de vista teacutecnico siacute existen diversos modelos para el caacutelculo basados en di-

naacutemica estructural lineal Sin embargo puede decirse que estos meacutetodos son insuficientementeconocidos por el momento por los ingenieros Los modelos maacutes sencillos en cuanto a su apli-cacioacuten son los basados en la descomposicioacuten como una suma de armoacutenicos de la respuestadinaacutemica con el consiguiente establecimiento de cotas absolutas mediante procedimientos ana-liacuteticos [3 1] El inconveniente asociado a estos modelos es que soacutelo son vaacutelidos para estructurasisostaacuteticas no pueden se aplicados directamente en casos hiperestaacuteticos Este tipo de modelosse describe someramente en el apartado 2 En el apartado 6 se describe una analogiacutea que permiteextender de forma indirecta la aplicacioacuten de estos modelos a ciertas estructuras hiperestaacuteticasEl siguiente tipo de modelos disponibles para el anaacutelisis son los basados en el caacutelculo di-

naacutemico directo con integracioacuten en el tiempo de la respuesta para una serie de cargas moacutevilesrepresentativas de los ejes del tren [1] Estos procedimientos se pueden abordar mdashaunque concierta dificultad para el preprocesomdash mediante coacutedigos de elementos finitos En algunos casosde estructuras sencillas (vigas isostaacuteticas vigas continuas de dos o tres vanos) es posible apli-car este procedimiento tambieacuten mediante una extraccioacuten analiacutetica exacta de los modos Estosmodelos se discuten en el apartado 31 y con ellos pueden resolverse como es loacutegico el caacutelculodinaacutemico en todo tipo de estructurasPor uacuteltimo los tipos de modelos maacutes completos son los que consideran conjuntamente la

vibracioacuten de la estructura y la dinaacutemica del vehiacuteculo ferrovario Este se tiene en cuenta a traveacutesde los resortes y amortiguadores de las suspensiones y las masas y conexiones que proporcio-nan las cajas de los vehiacuteculos Algunos de estos modelos con interaccioacuten vehiacuteculondashestructurase describen en el apartado 4 y han sido analizados con mayor detalle en [1] y referencias alliacutecitadas Como es loacutegico con estos modelos se pueden abordar tambieacuten todo tipo de estructurassiempre que se disponga de los datos dinaacutemicos de los trenes reales mdashalgo que desgraciada-mente a menudo no ocurremdash Esta posibilidad es a costa de un mayor esfuerzo de caacutelculo y unacomplejidad maacutes elevada en el planteamiento del modelo Desde una perspectiva de investiga-cioacuten resultan interesantes o incluso a menudo imprescindibles sin embargo no puede pensarseen un uso general de estos meacutetodos para caacutelculos estaacutendar de proyectoEn el resto del artiacuteculo se ofrece en primer lugar una descripcioacuten de las caracteriacutesticas baacutesicas

de los meacutetodos numeacutericos de caacutelculo A continuacioacuten se presentan dos aplicaciones praacutecticasde los mismos en las que se abordan sendas cuestiones de cierta relevancia La primera de

3


ellas (apartado 5) trata de la valoracioacuten de la reduccioacuten dinaacutemica que se produce por efecto dela interaccioacuten vehiacuteculondashestructura La segunda (apartado 6) desarrolla el caacutelculo dinaacutemico deestructuras en poacutertico tiacutepicas de pasos inferiores y propone un meacutetodo simplificado (envolventedinaacutemica) basado en la analogiacutea con una viga isostaacutetica

2 MODELOS NUMEacuteRICOS BASADOS EN SERIES DE ARMOacuteNICOSEste tipo de modelos partiendo de distintos desarrollos matemaacuteticos desarrollan en uacuteltima

instancia una combinacioacuten de series de armoacutenicos Todos ellos introducen tambieacuten un mismoconcepto de especial relevancia en la interpretacioacuten intuitiva de la respuesta la impronta dinaacute-mica asociada a un tren de cargas dadoComo su propio nombre indica la impronta dinaacutemica de un tren no es maacutes que la laquofirmaraquo

entendida como una curva geomeacutetrica que caracteriza su agresividad en relacioacuten a los efectosdinaacutemicos producidos en un puente de ferrocarril Los modelos de este tipo propuestos hasta elmomento son

DER Basado en la Descomposicioacuten de la Excitacioacuten en la ResonanciaLIRMeacutetodo simplificado basado en la Liacutenea de Influencia Residual (LIR)IDPMeacutetodo simplificado de la Impronta Dinaacutemica Proporcional

Los meacutetodos DER y LIR nacen dentro del grupo de expertos reunidos por el Instituto Euro-peo de Investigacioacuten Ferroviaria (ERRI) en su comiteacute D214 sobre puentes de ferrocarril paravelocidades superiores a 200 kmh [3] El meacutetodo IDP ha sido desarrollado en [1] y [17]Todos estos modelos tienen su aplicacioacuten limitada al aacutembito de los puentes isostaacuteticos en los

que se considera que la respuesta dinaacutemica queda significativamente representada considerandouacutenicamente el primer modo de vibracioacuten a flexioacuten de la estructura Ademaacutes se basan en queeste primer modo se representa mediante una funcioacuten armoacutenica lo que facilita el desarrolloanaliacutetico de las series que resultanEl meacutetodo DER parte de la descomposicioacuten de la respuesta dinaacutemica del puente en serie de

Fourier y se centra en el estudio del teacutermino que corresponde a la resonancia en frecuencias Deesta manera se obtiene una cota de la aceleracioacuten maacutexima en el centro del vano como productode dos funciones la primera de ellas caracteriza la respuesta del puente y la segunda es la quese denomina impronta dinaacutemica del trenEl desarrollo matemaacutetico del meacutetodo LIR se fundamenta en el anaacutelisis de las vibraciones

libres producidas tras el paso de cada carga moacutevil individual en un puente isostaacutetico seguacuten elanaacutelisis dinaacutemico de una viga sometida a la accioacuten de sucesivas cargas moacutevilesLa propuesta IDP se centra en el estudio de la aceleracioacuten maacutexima residual de cada carga

moacutevil aislada de la que se deduce una interpretacioacuten ligeramente mejor ajustada de la improntadinaacutemica que el meacutetodo LIR En particular tiene en cuenta el amortiguamiento que se producedesde que un eje entra en el puente hasta que lo abandona y lo deja con un estado de vibracioacutenresidualTodos estos meacutetodos terminan acotando analiacuteticamente la maacutexima solicitacioacuten dinaacutemica

en teacuterminos de aceleracioacuten o desplazamiento en un punto dado como producto de tres teacutermi-

4


nos En este triple producto queda diferenciada claramente la contribucioacuten de la estructura y laagresividad del tren circulanteSirva como ejemplo la propuesta del meacutetodo LIR para la aceleracioacuten maacutexima Este valor en

el centro del vano se obtiene como producto de los factores siguientes

= Cacel middot A(r) middot G($) (1)

donde Cacel = 1M es una constante (la inversa de la masa total del tramo isostaacutetico)$ = vf0 (longitud de onda) con v la velocidad de circulacioacuten y f0 la fecuencia propia (Hz) delprimer modo de vibracioacuten y r = $(2l) siendo l la longitud del tramo isostaacutetico Los demaacutesteacuterminos tienen la siguiente definicioacuten

A(r) =r

1 r2

e2

r + 1 + 2 cos

r

e

r (2)

G($) =N

maxi=1

$amp

xi(

x1

Fi cos (2ampi) e2i

)2

+

xi(

x1

Fi sen (2ampi) e2i

)2

(3)

En estas expresiones es la tasa de amortiguamiento xi son las distancias de cada uno de losN ejes de carga Fi al primer eje de la composicioacuten y ampi = (xi x1)$El teacutermino G($) (ecuacioacuten (3)) es el denominado con anterioridad impronta dinaacutemica De-

pende soacutelo de la distribucioacuten de las cargas por eje del tren y del amortiguamiento Cada tren decargas tiene una impronta dinaacutemica propia del mismo que es independiente de las caracteriacutesti-cas mecaacutenicas de los puentes En la figura 1 se representa la impronta dinaacutemica del tren ICE2para distintos valores de amortiguamiento

A(r) es una funcioacuten determinada para cada caso particular de puente depende de la longituddel puente (l) de su frecuencia natural (f0) de su amortiguamiento () y del rango de velocida-des de circulacioacuten (v) en estudio A esta funcioacuten del paraacutemetro r se le llama liacutenea de influenciadinaacutemica del puenteDe los tres teacuterminos considerados ni Cacel ni A(r) dependen de las caracteriacutesticas del tren

Separando las contribuciones del puente y las del tren (G($) impronta dinaacutemica) se hace po-sible determinar raacutepidamente los paraacutemetros criacuteticos de luz y longitud de onda (proporcional ala velocidad de circulacioacuten del tren v) que hacen maacutexima la respuesta del tablero

3 MODELOS NUMEacuteRICOS BASADOS EN CARGAS MOacuteVILESEsta clase de meacutetodos se basan en el caacutelculo dinaacutemico de la estructura sometida a una serie

de cargas moacuteviles de valores dados representativas de cada eje de la composicioacuten ferroviaria Elmodelo de la estructura puede estudiarse bien mediante una integracioacuten completa del sistemacon N grados de libertad bien mediante una reduccioacuten de grados de libertad a partir de unanaacutelisis modal que reduzca sustancialmente el nuacutemero de ecuaciones a integrar A su vez lareduccioacuten modal se puede realizar mediante una extraccioacuten numeacuterica aproximada de los modosde vibracioacuten capacidad existente en la mayoriacutea de los programas de caacutelculo por elementosfinitos o bien alternativamente mediante un caacutelculo analiacutetico de los mismos para ciertos casos

5


Figura 1 Impronta dinaacutemica del tren ICE2 seguacuten distintos valores del iacutendice de amortiguamiento

de estructuras sencillas en las que esto resulta posible

31 Meacutetodos analiacuteticosEl problema claacutesico de un puente isostaacutetico biapoyado puede tratarse mediante los modos de

vibracioacuten exactos que responden a las hipoacutetesis de la viga de Bernouilli [5] siendo las formasmodales (n(x) = sen(nxl) y las frecuencias asociadas )n = (n)2

EI(ml4)

Para estructuras maacutes complejas de tipo hiperestaacutetico no es posible en general una extraccioacutenanaliacutetica de modos de vibracioacuten y frecuencias propias Sin embargo estas soluciones se hanobtenido para poacuterticos (intraslacionales) y para vigas continuas de dos o tres vanos [10] Parapoacuterticos rectangulares el procedimiento [7] es algo maacutes complejo que en el caso de la vigabiapoyada Por ejemplo en la figura 2 se muestran los dos primeros modos de oscilacioacuten Laexpresioacuten de la frecuencia propia correspondiente al primer modo se expresa a traveacutes de unparaacutemetro b mediante la ecuacioacuten

)1 =

+b

ld

2 EI

md(4)

donde ld es la luz del dintelEdId es su rigidez a flexioacuten ymd es su masa por unidad de longitudEl paraacutemetro b se obtiene resolviendo la ecuacioacuten no lineal

kp(1 cosh(kib) cos(kib))

cosh(kib) sen(kib) senh(kib) cos(kib)+

1 cosh b cos b

(cosh b + 1) sen b (cos b + 1) senh b= 0 (5)

6


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)

En esta ecuacioacuten el subiacutendice h se refiere al hastial del poacutertico

b=32491 b=43363

Figura 2 Dos primeros modos de oscilacioacuten de un poacutertico correspondiente a un paso inferior de una liacutenea deferrocarril de alta velocidad y valor de la constante b para caacutelculo de la frecuencia propia seguacuten la ecuacioacuten (4)

Una vez que se conocen los modos de oscilacioacuten es necesario integrar las ecuaciones de ladinaacutemica Para ello la solucioacuten baacutesica es la respuesta de la estrutura a una carga aislada (figura3) Se consideraraacute una viga continua de longitud l siendo (i(x) Mi y )i la forma modal lamasa modal y la frecuencia propia del modo i-eacutesimo respectivamente La ecuacioacuten diferencialpara una carga puntual F que recorre la estructura con velocidad constante v es

Miyi + 2i)iMiyi + )2i Miyi = F (i(vt) (7)

siendo yi la amplitud del modo de vibracioacuten (flecha de la estructura) i la fraccioacuten de amorti-guamiento criacutetico del modo i y ((bull) una notacioacuten con el significado siguiente

((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)

Figura 3 Respuesta bajo carga puntual aislada

7


Una vez que se conoce la respuesta a una carga puntual aislada la respuesta a un tren decargas se obtiene como la superposicioacuten de respuestas a cargas puntuales Fk (figura 4) Laecuacioacuten diferencial correspondiente al modo i es en este caso

Miyi + 2i)iMiyi + )2i Miyi =

nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1

Figura 4 Respuesta a un tren de cargas

32 Meacutetodos de elementos finitosEl caacutelculo dinaacutemico de puentes de ferrocarril basado en modelos de cargas moacuteviles tambieacuten

se puede abordar mediante meacutetodos de elementos finitos Estos meacutetodos tienen una aplicabili-dad general para cualquier tipo de estructuras incluyendo si se desea comportamientos de tipono linealEn este caso se realiza una discretizacioacuten espacial de la estructura en elementos finitos ob-

tenieacutendose un modelo con un nuacutemero discreto N de grados de libertad y una discretizacioacutentemporal en pasos de tiempo El anaacutelisis se puede realizar mediante la integracioacuten directa en eltiempo del modelo completo o mediante anaacutelisis modal En ambos casos el problema baacutesico aresolver es el sistema de ecuaciones diferenciales

Md + Cd + Kd = f (10)

dondeM es la matriz de masas C es la matriz de amortiguamientosK es la matriz de rigidezf es el vector de fuerzas externas y d es el vector (incoacutegnita) de desplazamientos nodalesMediante la integracioacuten directa del modelo completo se resolveriacutea en cada paso de tiempo

el sistema completo de N grados de libertad en el que las ecuaciones quedan acopladas Esteprocedimiento es vaacutelido tambieacuten para el caso en el que se deseen incluir efectos no lineales enla respuestaSi el comportamiento de la estructura es lineal se puede realizar una anaacutelisis modal con una

reduccioacuten notable de grados de libertad En una primera fase se resuelve el problema de auto-valores obteniendo numeacutericamente los n autovalores (frecuencias propias) y modos normalesde vibracioacuten maacutes significativos (generalmente n $ N ) A continuacioacuten estos modos de vibra-

8


cioacuten se integran en el tiempo Las ecuaciones quedan desacopladas reducieacutendose la respuestade cada modo a la ecuacioacuten dinaacutemica de un sistema con un grado de libertad [5]El procedimiento maacutes sencillo para modelizar el tren de cargas es aplicar escalones de carga

en cada nodo A cada nodo se le asigna en cada instaacutente una carga si el eje estaacute en un elementoque contiene al nodo en cuestioacuten En tal caso la magnitud de la carga nodal depende de ladistancia del eje al nodo Este procedimiento se esquematiza en la figura 5 para un nodo geneacutericoA

fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v

Figura 5 Definicioacuten de la fuerza nodal en el nodo A para una carga moacutevil F

Este esquema adaptado para los trenes reales definidos en la instruccioacuten [8] se ha implemen-tado en el programa de elementos finitos FEAP [6] Con esta metodologiacutea y la integracioacuten en eltiempo de los modos de oscilacioacuten se han obtenido los resultados descritos en el apartado 6

4 MODELOS NUMEacuteRICOS BASADOS EN INTERACCIOacuteNVEHIacuteCULO-ESTRUCTURAEste tipo de modelos representan en el caso maacutes general (figura 6) la suspensioacuten prima-

ria con sus valores de rigidez y amortiguamiento por eje (Kp Cp) la suspensioacuten secundariacon los correspondientes valores de rigidez y amortiguamiento por bogie (Ks Cs) la masa nosuspendida correspondiente a la masa nominal del eje de la rueda (mw) la longitud masa ymomento de inercia del bogie (LB MB JB) la masa suspendida y momento de inercia quecorresponden a la caja del vehiacuteculo (MJ) y la geometriacutea del vehiacuteculo longitud total (L) dis-tancia entre el centro de gravedad de la caja del vehiacuteculo y los pivotes de los bogies delanteroy trasero (dBd dBt) y la distancia entre ejes de un bogie (deB) En aquellos vehiacuteculos en losque el sistema de guiado no se realice a traveacutes de sistemas tipo bogies se adaptariacutea el esquemaanterior a la configuracioacuten particular de los ejes y del sistema de suspensioacuten con el nivel dedetalle equivalenteLos modelos completos anteriores no siempre son necesarios pudiendo realizarse una sim-

plificacioacuten de los mismos Se denominan modelos simplificados de caacutelculo con interaccioacuten

9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd

Figura 6 Modelo completo de interaccioacuten vehiacuteculondashestructura

vehiacuteculondashestructura aquellos en los que se modelizan las suspensiones de cada eje de formaindependiente sin tener en cuenta el efecto de acoplamiento de la caja del vehiacuteculo De es-ta forma se tienen en cuenta (ver figura 7) la suspensioacuten primaria con sus valores de rigidezy amortiguamiento por eje (Kp Cp) la suspensioacuten secundaria con los correspondientes valo-res de rigidez y amortiguamiento por bogie la masa no suspendida correspondiente a la masanominal del eje de la rueda maacutes la parte proporcional de la masa totalmente suspendida (cajadel vehiacuteculo) (mns)1 y la masa suspendida que en este caso en valor es equivalente a la parteproporcional de la masa del bogie (ms) Existe otra variante equivalente a esta modelizacioacuten

masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp

Figura 7 Modelo simplificado de interaccioacuten vehiacuteculondashestructura (izqda) Variante al modelo propuesta en laficha UIC-776-2 [4] (dcha)

propuesta en la futura ficha UIC 776-2 [4] y que se representa en la figura 71Noacutetese que aunque se denomina de la misma manera mdashmasa no suspendidamdash a mns (modelo simplificado)

y amw (modelo completo) la manera de calcular estos valores es diferente

10


Es importante sentildealar que en los modelos simplificados de interaccioacuten cada eje es indepen-diente del restomdashlo que significa que no hay interaccioacuten entre los ejes de un mismo vehiacuteculomdashmientras que en los modelos completos existe cierta interaccioacuten entre ellos pues la modeliza-cioacuten parte de la totalidad de la caja del vehiacuteculo

Modelo con interaccioacuten propuestomdash Este modelo se ha implementado en [2] aplicacioacuteninformaacutetica que ha servido de base para el desarrollo del trabajo de investigacioacuten expuesto eneste artiacuteculo Se considera un tren de k cargas representadas cada una de ellas seguacuten un modelosimplificado de interaccioacuten vehiacuteculo estructura (cfr figuras 8 y 9)

yk(t) y2(t) y1(t)w(x t) =

ni=1 qi(t) middot i(x)

d2 xd1 = 0dk

Figura 8 Traacutensito de un tren de cargas seguacuten el modelo simplificado de interaccioacuten vehiacuteculo-estructura definicioacutengeomeacutetrica de variables

mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj

Figura 9 Elemento simplificado deinteraccioacuten del tren de cargas

Al considerar en el caacutelculo un tren de cargas se incrementael nuacutemero de ecuaciones diferenciales a resolver en el caso deuna carga aislada se limita al nuacutemero de modos de vibracioacutenconsiderados n maacutes la correspondiente al sistema mecaacutenico delelemento simplificado de interaccioacuten en total n+1 Suponiendoun grupo de k cargas tendremos que resolver un sistema den + k ecuaciones diferencialesLas ecuaciones correspondientes a los modos de vibracioacuten

del puente variacutean en el teacutermino de la carga modal puesto quepara cada instante se deberaacute calcular queacute cargas se encuentransobre la deformada y el valor de la amplitud correspondiente ala posicioacutenPara el caso general se plantean las siguientes ecuaciones

Para cada modo de vibracioacuten (i = 1 n)

Mi qi + Ci qi + Ki qi =k(

j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11


Para cada elemento de interaccioacuten (j = 1 k)

mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)

En las ecuaciones (11) y (12) se ha empleado la notacioacuten ((bull) definida en la ecuacioacuten (8)Por otra parte se denomina dj

rel a la posicioacuten relativa del elemento j sobre el puente Tomandoel instante inicial t = 0 cuando la cabeza de la composicioacuten estaacute en la entrada al puente (x = 0)resulta

djrel = vt dj (13)

Teniendo en cuenta la naturaleza de las ecuaciones que resultan (sistema de ecuaciones di-ferenciales lineales de segundo orden) se recomienda para su integracioacuten la regla trapezoidalvariante de la familia -Newmark definida por = 14 y + = 12 En [1] se discuten este yalgunos otros aspectos sobre la implementacioacuten de modelos de integracioacuten en caacutelculo dinaacutemicode puentes de ferrocarril

5 VALORACIOacuteN DE LA INTERACCIOacuteN DINAacuteMICA VEHIacuteCULOndashESTRUCTURAEN PUENTES ISOSTAacuteTICOS

51 ObjetoLa consideracioacuten de la interaccioacuten vehiacuteculondashestructura implica una reduccioacuten de las solicita-

ciones debido a la existencia de mecanismos que facilitan la disipacioacuten de energiacutea (amortigua-dores) o sistemas que la intercambian entre ambos subsistemas (suspensiones) Para situacionesno resonantes o puentes hiperestaacuteticos los efectos de interaccioacuten no suelen ser determinantesen el caacutelculo recomendaacutendose la utilizacioacuten de modelos de cargas puntuales Sin embargo entableros isotaacuteticos de luces cortas (10 30) m aparecen efectos resonantes pronunciados y ace-leraciones elevadas y en muchas ocasiones dichos modelos de cargas puntuales dan resultadospor encima de los liacutemites permitidosCon los modelos de interaccioacuten vehiacuteculondashestructura se puede conseguir por el contrario

una reduccioacuten efectiva de estos resultados El problema es que estos modelos de interaccioacutenson a menudo excesivamente complejos para aplicar a nivel de proyecto El presente estudiotiene como objeto cuantificar numeacutericamente la reduccioacuten obtenida en el comportamiento dinaacute-mico de puente isostaacuteticos como consecuencia de la utilizacioacuten de los modelos de interaccioacutensimplificada propuestos en el apartado (4)El objeto de esta aplicacioacuten es evaluar la reduccioacuten efectiva que es posible aplicar a los

caacutelculos dinaacutemicos realizados sin considerar la interaccioacuten vehiacuteculo-estructura tales como losdescritos en los apartados 2 y 3 tiacutepicos por otra parte de lo esperable en un proyecto real deingenieriacutea

12


52 Alcance y resultadosSe ha realizado un anaacutelisis modal utilizando el primer modo de vibracioacuten sin tener en cuenta

la deformacioacuten por cortante comparando un modelo de cargas puntuales con el modelo de in-teraccioacuten La integracioacuten temporal se ha realizado usando la regla trapezoidal Se han analizadopuentes isostaacuteticos de luces (l) entre 10 y 40 m cuyas caracteriacutesticas siguen las propuestas enel cataacutelogo de puentes isostaacuteticos de [3] El barrido de velocidades es de (120 420) kmhcon v = 25 kmh Los trenes de carga utilizados han sido los correspondientes al ICE2 EU-ROSTAR y Talgo AV detallados en [1] y las tasas de amortiguamiento = 05 = 1 = 15 y = 20 Para la implementacioacuten del modelo se ha usado la aplicacioacuten [2]Los caacutelculos realizados como era de esperar muestran una reduccioacuten significativa de los

desplazamientos y velocidades maacuteximas para los modelos con interaccioacuten Como muestra delos resultados obtenidos se incluye el cuadro (1)

Cuadro 1 Reduccioacuten aceleracioacuten y desplazamiento max del modelo interaccioacuten simplificada respecto del de car-gas puntuales V linea

max = V0 =270 y 375 kmh

A la vista de los resultados anteriores se concluye en primer lugar que los modelos de cargaspuntuales sobrevaloran de forma clara en teacuterminos generales la respuesta en aceleracionesy desplazamientos de una estructura en teacuterminos comparativos los modelos de interaccioacutenpueden reducir los valores de la aceleracioacuten maacutexima en puentes isostaacuteticos hasta en un 45respecto los modelos de cargas puntualesPor otra parte la reduccioacuten de la respuesta dinaacutemica para una misma hipoacutetesis de luz y

amortiguamiento es mayor en el campo de aceleraciones que en el de desplazamientos y lomismo puede decirse a medida que aumenta la velocidad de proyecto de la liacuteneaPor uacuteltimo se observa tambieacuten que la reduccioacuten de la respuesta es menor seguacuten aumenta la

tasa de amortiguamiento y la luz del puente

13


l

h

Figura 10 Idealizacioacuten estructural como poacutertico aplicable a poacuterticos reales y marcos

6 RESPUESTA DINAacuteMICA DE POacuteRTICOS DE PASOS INFERIORES61 ObjetoLos pasos inferiores (poacuterticos marcos o boacutevedas) de ferrocarril son por lo general estruc-

turas en las cuales el tablero tiene una sustentacioacuten hiperestaacutetica por lo que no son aplicablesdirectamente los procedimientos simples de evaluacioacuten de los esfuerzos dinaacutemicos del aparta-do 2 Seriacutean aplicables a costa de una mayor complejidad los otros meacutetodos descritos en losapartados 3 y 4 empleando varios modos de vibracioacuten en el caacutelculoConfluyen ademaacutes otros aspectos que complican una correcta modelizacioacuten de la respuesta

dinaacutemica el posible cubrimiento de tierras por debajo de balasto y subbalasto la vibracioacutentransmitida al terreno en contacto con los hastiales o estribos etcTodo lo anterior contribuye a una paradoja indeseable las estructuras maacutes simples y en las

que en la praacutectica no se evidencian efectos de resonancia son las que a priori exigiriacutean unesfuerzo de caacutelculo mayor para la valoracioacuten correcta de los efectos dinaacutemicos En el presenteestudio se explora la posibilidad de ajustar un modelo de caacutelculo maacutes simple a traveacutes de unaviga isostaacutetica equivalente que sea envolvente dinaacutemica de los desplazamientos y aceleracionesde poacuterticos y marcosTanto los poacuterticos como los marcos que constituyen los pasos inferiores se han modelizado

como poacuterticos planos empotrados en los apoyos (figura 10) La justificacioacuten es la escasa energiacuteade deformacioacuten que absorbe la losa inferior ante el paso de los trenes

62 Justificacioacuten del modeloEn vigas isostaacuteticas sometidas a trenes de carga el primer modo de vibracioacuten es el que tiene

una importancia preponderante Para una viga de un vano con sustentacioacuten general la frecuenciapropia del primer modo de vibracioacuten se puede expresar como

) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)

con 1 = 1 para vigas isostaacuteticas y 1 = 06642 para vigas biempotradas El dintel de unpaso inferior se encuentra entre los dos casos mencionados ya que puede suponerse en ciertamedida como una viga con empotramientos flexibles en sus extremos Los paraacutemetros del dintelson en primera aproximacioacuten su longitud lsu rigidez a flexioacutenEI y su masa linealm Con una

14


determinada longitud de una viga isostaacutetica equivalente y ajustando el resto de paraacutemetros eacutestapodriacutea proporcionar ideacutentica frecuencia propia fundamental que el marco y por tanto tendriacuteasimilar respuesta dinaacutemica Con esta filosofiacutea la analogiacutea podriacutea hacerse de varias manerasseguacuten se conserve del dintel su lm EI o su masa totalM = ml Esta uacuteltima opcioacuten surge paramantener la energiacutea cineacutetica de vibracioacuten en la viga equivalenteLas diferencias entre el comportamiento dinaacutemico del marco y su viga equivalente se po-

driacutean remediar ajustando proporcionalmente las m y EI ficticias asignadas a la viga de formaque se mantuviese el cociente entre ambos k = EIm De acuerdo a [1] esta variacioacuten pro-porcional permitiriacutea mantener invariable la primera frecuencia de vibracioacuten y sin modificar lasvelocidades criacuteticas de resonancia esto es sin modificar la forma de las envolventes disminuiro aumentar los maacuteximos desplazamientos y aceleraciones Por tanto el objetivo seraacute obteneruna viga cuyas envolventes sean lo maacutes parecidas a las del marco y ajustar a continuacioacuten (encaso necesario) m y EI conservando su proporcioacuten (coeficiente k) para ajustar en los picoslos maacuteximos desplazamientos y aceleraciones

63 Verificacioacuten del modelo simplificadoPara establecer el modelo de viga equivalente maacutes adecuado se han definido cuatro vigas

para cada marco de luz l con longitudes leq cada una de l 095l 090l y 085l En todas ellasse conserva la masa total del dintel de modo que mviga = mdintellleq Para la obtencioacuten de larigidez a flexioacuten EI de la viga se han igualado las frecuencias del primer modo de vibracioacuten

(EI)eq =)2marco mviga l4eq

4(15)

Se ha considerado el mismo amortiguamiento en el marco y la viga y no se ha tenido en cuentala deformacioacuten por cortante ni la aportacioacuten de las tierras En este uacuteltimo aspecto se estaacute del ladode la seguridad ya que se puede considerar que las masas adicionales disminuiriacutean las maacuteximasaceleraciones y desplazamientos Para el caacutelculo no se han tenido en cuenta ni los efectos deinteraccioacuten vehiacuteculondashestructura ni las irregularidades del carril Las estructuras elegidas para elanaacutelisis han sido 4 pasos inferiores del tramo de ferrocarril de alta velocidad CoacuterdobandashMaacutelagacon luces de 85 87 98 y 15 m Esto hace un total de 20 estructuras siendo calculados losmarcos con el programa de elementos finitos [6] y las vigas con la aplicacioacuten [2] Para cada casose han calculado las envolventes de aceleraciones desplazamientos y coeficientes de impacto bajo el paso de los 7 trenes especificados en la [8] El barrido de velocidades ha sido de(120 420) kmh con v = 5 kmh Con todo ello se han realizado un total de 8540 caacutelculosdinaacutemicos Como muestra de los resultados se incluyen las figuras 11 y 12

64 Discusioacuten de los resultadosCon el criterio de que las envolventes de aceleraciones de la viga y del marco fueran lo

maacutes parecidas puesto que este es el aspecto criacutetico en estas estructuras se ha elegido la vigaequivalente de longitud l De esta manera la viga isostaacutetica equivalente tendraacute la misma longitudl masa lineal m y amortiguamiento que el dintel del marco y se calcula EI de acuerdo a la

15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )

Velocidad tren (kmh)

ace marco 1ace viga equiv l=L

ace viga equiv l=095L

Figura 11 Envolventes de aceleraciones maacuteximas del marco 1 y sus vigas equivalentes de longitudes l y 095l parael tren TALGO AV

0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)


dis marco 1dis viga equiv l=L

dis viga equiv l=095L

Figura 12 Envolventes de desplazamientos maacuteximos del marco 1 y sus vigas equivalentes de longitudes l y 095lpara el tren TALGO AV

16


ecuacioacuten (15) Por tanto las conclusiones del estudio son

es posible definir una viga isostaacutetica equivalente para el caacutelculo dinaacutemico de las tipolo-giacuteas de marcos usuales en pasos inferiores de ferrocarril la cual conserva la forma de lasenvolventes de aceleraciones (a) desplazamientos (amp) y coeficientes de impacto ()La viga isostaacutetica equivalente estaacute en teacuterminos praacutecticos siempre del lado de la seguridaden los puntos criacuteticos para el disentildeo que son las velocidades de circulacioacuten a las queaparecen los picos maacuteximos de las envolventes tanto para a como para amp y Ademaacutesno es necesario el ajuste del cociente k = EI

m mencionado en el apartado (62)En el resto de velocidades no criacuteticas para las cuales no se produce el pico maacuteximo deresonancia de la magnitud medida los resultados de la viga equivalente casi siempre sonenvolventes de los resultados del marco (figuras 11 12) pero no se puede afirmar congeneralidad que la viga isostaacutetica equivalente sea envolvente del marco para cualquiervelocidad no criacutetica Sin embargo este aspecto carece de relevancia al no ser determinantepara el disentildeo y dimensionamiento de la estructuraEl comportamiento dinaacutemico de los marcos analizados no presenta especiales problemasLa amaxcdv = 169 ms2 035 g y siempre 1 liacutemites establecidos en [8 16]

7 CONCLUSIONESDe forma esquemaacutetica se resaltan las siguientes observaciones finales

Los puentes de ferrocarril de alta velocidad por la posibilidad real de la resonancia exigenpara su dimensionamiento la consideracioacuten de la vibracioacuten dinaacutemica bajo las cargas moacutevi-les de los trenes para lo que existen diversos modelos numeacutericos descritos en este artiacuteculode menor o mayor complejidadResulta de gran importancia aplicar dichos meacutetodos de caacutelculo dinaacutemico en la investiga-cioacuten aplicada para conocer mejor las facetas maacutes relevantes de la respuesta dinaacutemica delos puentes desde el punto de vista del proyecto asiacute como poder disponer de meacutetodos einstrucciones de proyecto suficientemente praacutecticas contrastadas y simples de utilizarEs necesario emplear en ciertas ocasiones meacutetodos complejos de caacutelculo que involucren in-teraccioacuten vehiacuteculo-estructura con objeto de valorar de forma maacutes realista la aproximacioacutenque se hace con los meacutetodos maacutes sencillos

REFERENCIAS[1] J Domiacutenguez Dinaacutemica de puentes de ferrocarril para alta velocidad meacutetodos de caacutelculo

y estudio de la resonancia Tesis Doctoral Escuela Teacutecnica Superior de Ingenieros de Ca-minos Canales y Puertos de Madrid (UPM) 2001 Publicada por la Asociacioacuten Nacionalde Constructores Independientes (ANCI)

[2] Caldintav v20 Caacutelculo Dinaacutemico para trenes de alta velocidad Grupo de Mecaacutenica Com-putacional 2002

17


[3] Comiteacute ERRI D214 Design of Railway Bridges for Speed up to 350 kmh Dynamic loa-ding effects including resonance Final report Draft C European Rail Research Institute(ERRI) 1998

[4] Comiteacute ERRI D214 Ponts-Rails pour vitesses gt 200 kmh Final report Part B Proposi-tion de fiche UIC 776-2R European Rail Research Institute (ERRI) 1999

[5] Clough R y Penzien J Dynamics of StructuresMc Graw-Hill 1993[6] Taylor RL FEAP A Finite Element Analysis Program Userrsquos Manual httpwwwce

berkeleyedu~rlt[7] Goicolea JM Domiacutenguez J Gabaldoacuten F y Navarro JA Estudio de fenoacutemenos resonan-

tes en puentes de ferocarril II Caacutelculo de pasos inferiores Informe teacutecnico Diciembre2001

[8] Instruccioacuten de acciones a considerar en el proyecto de puentes de ferrocarril Ministeriode Fomento 2001 Pendiente de publicacioacuten

[9] Timoshenko SP y Young DH Vibration problems in engineering Van Nostrand NY1955 (3a ed)

[10] Fryba L Vibration of solids and structures under moving loads Academia PragueNoordhoff 1972

[11] Fryba L Dynamics of railway bridges Thomas Telford 1996[12] Union Internationale des Chemins de Fer (UIC) UIC Code 776-1 R Charges a prendre

en consideration dans le calcul des ponts-rails (1979)[13] Comiteacute Europeo de Normalizacioacuten Eurocoacutedigo 1 Bases de proyecto y acciones en estruc-

turas parte 3 acciones de traacutefico en puentes traducido y publicado por AENOR (1998)[14] Ministerio de Obras Puacuteblicas y Urbanismo Instruccioacuten ralativa a las acciones a conside-

rar en el proyecto de puentes de ferrocarril 1975[15] Ferrovie dello Stato Sovraccarichi per il calcolo dei ponti ferroviari 1997[16] European Committee for Standardization prEN 1991-2 EUROCODE 1 - Actions on

structures Part 2 Traffic loads on bridges 2002[17] Jorge Nasarre y de Goicoechea comunicacioacuten particular Subdireccioacuten General de Planes

y Proyectos de Infraestructuras Ferroviarias del Ministerio de Fomento (2000)

18

Introduccioacuten y estado de la teacutecnica

Modelos numeacutericos basados en series de armoacutenicos

Modelos numeacutericos basados en cargas moacuteviles

Meacutetodos analiacuteticos

Meacutetodos de elementos finitos

Modelos numeacutericos basados en interaccioacuten vehiacuteculo-estructura

Valoracioacuten de la interaccioacuten dinaacutemica vehiacuteculo--estructura en puentes isostaacuteticos

Objeto

Alcance y resultados

Respuesta dinaacutemica de poacuterticos de pasos inferiores

Objeto

Justificacioacuten del modelo

Verificacioacuten del modelo simplificado

Discusioacuten de los resultados

Conclusiones


1 INTRODUCCIOacuteN Y ESTADO DE LA TEacuteCNICALa construccioacuten nueva de infraestructura de transporte ha experimentado un auge en los uacutel-

timos antildeos en Espantildea y en otros paiacuteses Europeos Dentro de ella la parte principal en nuestropaiacutes es la dedicada a las nuevas liacuteneas de alta velocidad ferroviaria siendo este capiacutetulo tambieacutenprioritario en algunos paiacuteses vecinos como Francia Estas nuevas liacuteneas de ferrocarril suponenuna alternativa muy competitiva para el transporte entre las ciudades situadas a distancias me-dias En estos momentos en Espantildea se encuentra en operacioacuten la liacutenea MadridndashSevilla en esta-do avanzado de construccioacuten la MadridndashBarcelonandashfrontera Francesa y en diversos estados deproyecto o adjudicacioacuten las CoacuterdobandashMaacutelaga MadridndashValencia y MadridndashValladolidndashGaliciaEsta importante actividad ingenieril pone de actualidad uno de los aspectos estructurales maacutes

importantes asociados especiacuteficamente al disentildeo de los puentes y estructuras de ferrocarril losefectos dinaacutemicos debidos a las cargas moacuteviles de los trenes La importancia de la respuestadinaacutemica ha sido conocida desde los inicios del ferrocarril este motivo propicioacute el estudio baacutesi-co de una carga moacutevil sobre una viga isostaacutetica cuyas soluciones claacutesicas fueron desarrolladas(entre otros) por Timoshenko [9] Asimismo dentro de la literatura claacutesica deben citarse losimportantes trabajos de Fryba [10 11] que recopilan modelos y aspectos muy diversos de ladinaacutemica de puentes de ferrocarrilLas normas existentes hasta ahora [12 13 14] para el caacutelculo de los puentes de ferrocarril

tienen en cuenta la respuesta dinaacutemica a traveacutes de un coeficiente de impacto que representa elaumento de la respuesta dinaacutemica respecto a la estaacutetica para una uacutenica carga moacutevilSeguacuten este coeficiente el incremento dinaacutemico adquiere [12] un valor maacuteximo de = 132

para una viacutea recta ideal (sin considerar irregularidades) El coeficiente de impacto se calcularaacuteal final como la envolvente

= max(1 + + )

donde este uacuteltimo sumando () responde al efecto de las irregularidades de la viacuteaLa consideracioacuten del coeficiente de impacto es suficiente para tener en cuenta el efecto

dinaacutemico de una uacutenica carga moacutevil pero no tiene en cuenta la posible resonancia que se pro-duciriacutea por la repeticioacuten ciacuteclica de cargas Sin embargo a este respecto hay que mencionar quepara las frecuencias de vibracioacuten y distancias entre ejes de las composiciones circulantes laresonancia no ha sido un fenoacutemeno que se diera en la praacutectica iexclhasta la aparicioacuten de la altavelocidadEn efecto por encima de las velocidades de 200 oacute 220 kmh para las distancias entre ejes de

los coches ferroviarios reales (entre 13 y 20 m) mdashque para una velocidad determinada son lasque determinan la frecuencia de repeticioacuten de las cargasmdash pueden empezar a aparecer fenoacuteme-nos resonantes Como ejemplo en [1] se documentan las mediciones resonantes evidenciadasen el viaducto del Tajo para el tren AVE a una velocidad de 219 kmh En la citada referencia sediscute en detalle de forma general la resonancia en puentes de ferrocarril que a pesar de cons-tituir un fenoacutemeno claacutesico de respuesta dinaacutemica ha permanecido ausente hasta el momento delas normas de caacutelculo En consecuencia no ha sido tenido en cuenta en el proyecto salvo porel margen que proporcionan los coeficientes de seguridad

2








3













4






A(r) =r

1 r2

e2

r + 1 + 2 cos

r

e

r (2)

G($) =N

maxi=1

$amp

xi(

x1

Fi cos (2ampi) e2i

)2

+

xi(

x1

Fi sen (2ampi) e2i

)2

(3)







5






EI(ml4)


)1 =

+b

ld

2 EI

md(4)




1 cosh b cos b


6


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)


b=32491 b=43363





((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)


7




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones








3













4






A(r) =r

1 r2

e2

r + 1 + 2 cos

r

e

r (2)

G($) =N

maxi=1

$amp

xi(

x1

Fi cos (2ampi) e2i

)2

+

xi(

x1

Fi sen (2ampi) e2i

)2

(3)







5






EI(ml4)


)1 =

+b

ld

2 EI

md(4)




1 cosh b cos b


6


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)


b=32491 b=43363





((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)


7




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones













4






A(r) =r

1 r2

e2

r + 1 + 2 cos

r

e

r (2)

G($) =N

maxi=1

$amp

xi(

x1

Fi cos (2ampi) e2i

)2

+

xi(

x1

Fi sen (2ampi) e2i

)2

(3)







5






EI(ml4)


)1 =

+b

ld

2 EI

md(4)




1 cosh b cos b


6


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)


b=32491 b=43363





((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)


7




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones






A(r) =r

1 r2

e2

r + 1 + 2 cos

r

e

r (2)

G($) =N

maxi=1

$amp

xi(

x1

Fi cos (2ampi) e2i

)2

+

xi(

x1

Fi sen (2ampi) e2i

)2

(3)







5






EI(ml4)


)1 =

+b

ld

2 EI

md(4)




1 cosh b cos b


6


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)


b=32491 b=43363





((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)


7




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones






EI(ml4)


)1 =

+b

ld

2 EI

md(4)




1 cosh b cos b


6


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)


b=32491 b=43363





((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)


7




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones


siendo

kp = 4

-I3d

I3h

md

mhki =

lhld

4

Id

Ih

mh

md(6)


b=32491 b=43363





((x) =

((x) si 0 lt x lt l

0 en otro caso(8)

v

F

Lvt y(t)


7




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones




nejes(

k=1

Fk (i(vt dk) (9)

L

Fk1Fk F3F4 F1F2

dk1

d1





Md + Cd + Kd = f (10)




8




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones




fA

tt1 t2 t3

F

A 1 A A + 1

t = t1

F

A 1 A A + 1

t = t2

F

A 1 A A + 1

t = t3

Fv v v






9


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones


MB JBMB JB

deBLB L

M J

dBddtd



masa suspendida

masa no suspendida

ms

mns

CpKp

masa suspendida

F fuerza aplicada

ms

CpKp




10






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones






d2 xd1 = 0dk


mja

mjs

mj = mja + mj

s

kj cj






j=1

(i(djrel)

0g mj + mj

a yj1

(11)

11



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones



mjay

j + kj [yj n(

i=1

qi (i(djrel)] + cj

yj

n(

i=1

qi(i(djrel)

n(

i=1

qi v(i(d

jrel)

)= 0

(12)



djrel = vt dj (13)







12






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones






max = V0 =270 y 375 kmh




13


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones


l

h









) =2

(1l)2

EI

m(rads) (14)


14







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones







4(15)




15


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones


0

05

1

15

2

25

3

150 200 250 300 350 400

Acel

erac

ion

(ms

2 )





0

5e-05

00001

000015

00002

000025

00003

000035

00004

000045

150 200 250 300 350 400

Desp

laza

mie

nto

(m)





16










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones










17
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones
















18








Objeto



Objeto




Conclusiones

Modelos Numéricos para cálculo dinámico de puentes de ... de materiales/Resistencia... · de...

Documents

Transcript of Modelos Numéricos para cálculo dinámico de puentes de ... de materiales/Resistencia... · de...