Teoria das Estruturas I -Aula 07 - Vigas Isostáticas - Parte IV - Vigas Gerber.
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Fig 4.1
Viga biapoiada
A B
A
a
x
x L - x
L
b
B
HBVBVA
C
I II
x
P
y
ADMF
DEC
BC
C
+
+
-
Pab L
Pa L
Pb L
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-A B
A B
C
M
xx
L
a
I II
SI SII
b
DMF
DEC
A B
HB
x
y
+
-M
a L
Mb L
ML
ML
ML
ML
Fig 4.2
Viga biapoiada
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HB
x
y
S
q
x
L
qx
A B
qL2
x2
qL2
A BDMF
+ qL2
8
qL2
8
A B
DEC
qL
+
-qL2
qL2
qL2
Fig 4.3
Viga biapoiada com carregamento uniforme
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Fig 4.4
Viga biapoiada submetida a carregamento triangular
HB
xA B
xL
yq
R∆(x) = q(x) . x/2 = qx2 / 2L
q(x)
S
BA
M máx.
DMF
DEC tg = 0
tg = 0
+
+
-
qL 6
qL 3
L3
qL2
9
qL6
x3
qL3
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BA4 tf
5,1 tf
3 m 4 m 4 m 2 m
I II III IV 7,9 tf
2 tf 7 tf
1 2 3
1 2 3
15,3
19,5
DMF(tfm)
15,8
BA
+
1,1
0,9
5,1
DEC(tf )
7,9
BA
-
+
Fig 4.5 Viga biapoiada com três forças concentradas
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Fig 4.6
Viga biapoiada com carregamento uniforme
BA
q = 1tf/m
13 m
VBVA
HB
6,5
6,5
-
+
DEC(tf )
BA
DMF(tfm)
BA
+ qL2
8 = 21,1
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Fig 4.7
Viga biapoiada com momento concentrado
BAHA C
M = 200 kNm
L = 10 m
LSC
LSC
LSC
a = 4 m
I II
b = 6 m
VA VB
120
80
DMF(kNm)
-
+
20
DEC(kN) +
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C
5 tf/m
R = 5 × 3/2 = 7,5
R(x)
q(x)
x – 2
x – 23
x
HA
VBVA
1 m
3 m
tg = 0
BA
DEC(tf )
LSC
DEN - Nulo
+
DMF(tfm)
xQ= 0 = 3,34
-
+
LSC
LSC
LSC
LSC
LSC
3
Mm
áx. =
4,34
1,5
6
2 m
III
= 5
qL2 9IIFig 4.8
Viga biapoiada com carregamento triangular parcial
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Fig 4.9
Viga biapoiada. A) Exercício proposto; B) Diagramas dos ESI
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Fig 4.10
Princípio da superposição (diagramas dos momentos fletores)
HAVA VB
a = 3 m
L
P = 13 tf q = 1tf/m
DMF(tfm)
30
(q)
(P)
+
+15
b = 10 m
(P + q)
qa2/8 = 1,125
a/2 a/2 b/2b/2
+
45
qL2/8 = 21,13
qb2/8 = 12,5
qb2/8 = 12,5
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10
(P) DEC(tf )
(q)
(P + q)
6,5
6,5
16,5
13,5
30,5
+
+
+
-
-
-
9,5
Fig 4.11
Princípio da superposição (diagramas dos esforços cortantes)
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120 kNm
1,5 m 1,5 m 3,6 m
I II III
I II IIIDC120 kNm100 kN
AB
A B
50 kN/m
6,6 m
80 kNHA
MA
60 kN
VA
50 kN/m
34
Fig 4.12
Viga engastada e livre ou viga em balanço.
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Fig 4.13
Linhas de Estado ou Diagramas dos ESI
80
DN(kN) +
DMF(kNm)
120-
588
363
1,2 2,4
228 qL
III2
9=
72
150
90
DEC(kN)
tg = 0
+
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A
DMF (tfm)DQ (tf )
3 m
2 m
0,5 tf/m
3,6 tf/m
3tfy
x
BHB
VBMB
--
24,3
14,7
8
3,4
3
3,9
5,6
8
11,2
1 m
4 m
Fig 4.14
Viga em balanço típica de dimensionamento de muro de arrimo
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Fig 4.15
Viga em balanço
200 N/m
200 N/m
800 N3
BA2
MA
HA
VA
666
DMF(Nm)
20 m
53313
444444
4666
5331
3
tg ≠ 0
+
DEC(N)
4666
666
- 444
DN(N)
= 10000qL2
8
= 10000qL2
8
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A B C1
A B
2A B C
1 2
Fig 4.16
Diferenciação entre nó e apoio
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Fig 4.17
Viga biapoiada dotada de balanço à direita
A A
HA
VA VB
B
P
C
P
α
a a a a
I D II III
HA
VA VB
B
P
C
P senα
P cosα
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Fig 4.18
Diagramas dos esforços internos
P cos
α
DN
- -
DMFPa senα
+-
DEC P senαP/3 (1 - senα)
P/3 (2 + senα)
+ +-
(1 - senα)2Pa3
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Fig 4.19
Viga biapoiadadotada de balanços e diagramas dos esforços internos
15 kN/m10 kN
AB
CD
2 m 2 m 2 m
LII = 4 m
VB
2 m 2 m
E
30 kN
HD
VD
DEC(kN)
33,3
2,2 m
10
26,7
30
+ +
--
Mm
áx =
17
6,6
DMF(kNm)
20
60
qLII2/8 = 30kNm
30
2 2
+-
-
I II III IV
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Fig 4.20
Viga biapoiada dotada de balanços e respectivas linhas de estado
DA
5 tf
10 tf3 tfm 2 tf/m
8 tf/m
1,5 1
VB
34
3,5 1,5 2,5
I II III IV V
B C E F
HE
4,7 tf/m
VE
DN(tf )
DMF(tfm)
DEC(tf )
tg=0
5
5
23,55
24,45
15,55
+
-
+
6 -
811
,03
6,25
13,05
12,25
12,25
2,25
18,48
28,16
21,48
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Fig 4.21
Viga Gerber
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Fig 4.22
A) Exemplos de vigas Gerber; B) Identificação das vigas simples associadas, classificação em SEP e CEP e sequência de cálculo
1
A B A B C D A B B11 2
CEP III CEP II CEP II
SEP I
1 2B1
SEP I
B
SEP I
1
1
A
CEP II
A
B
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Vão extremo
A B C D
q q
q
q
Vão extremoBalanço BalançoVão intermediário
L1 L3
L1
+ +--
L’’2 L’’2L’2
XB
L2
qL22
8
qL12
8
L1
M =q(L’2)2
8
+q(L’’2)2
2
qL’2L’’22
A
B
C
Fig 4.23Escolha da melhor posição das rótulas para uma solução otimizada: A) modelo genérico; B) solução limite como três vigas biapoiadas; C) solução otimizada
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Fig 4.24
Viga contínua com três vãos: estrutura hiperestática
HA
VA VB VC VD
A B C D
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Fig 4.25
Viga Gerber: estrutura isostática
A B 1 2
M2 = 0M1 = 0
C D
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A
E F
B
10 tf
10
I II III 1 2IV V VI VII
10 10 10 105 5
25 tf
2 tf/mC D
20 tf
5 tf
HA
VA VB VC VD
Fig 4.26
Viga Gerber
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-
-
- -
- -
+
+
++
13,75
175
75
35
10
10 12,5
7,55
DN(tf )
DEC(tf )
DMF(tfm)
3,75
37,5
25
50
Fig 4.27Linhas de estado da Viga Gerber
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Fig 4.28
Viga inclinada com carregamento vertical distribuído q ao longo da projeção horizontal LH
q.LH = R
y (local)Y (global)
x (local)
AHA = 0
VA = (qLH/2)
VB = (qLH/2)
L V =
Lse
nα
B
X (global)
LH = Lcosα
LR
cos
α
α
R senα
R
α
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A
q.(LH/L).senα = qcosα senαq.(LH/L).cosα = qcos2α
B
q.(LH/2)senα
q.(LH/2)cosα
q.(LH/2)cosα
q.(LH/2)senα
Fig 4.29
Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local)
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DN
DMF
+
A
B
-
+
qLH2
senα
qLH2
senα
qLH2
8
DEC
A
B
-
+
qLH2
cosα
qLH2
cosα
Fig 4.30Diagramas dos esforços solicitantes internos
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Fig 4.31
Viga inclinada com carregamento horizontal distribuído q ao longo da projeção vertical LV
qLVse
nα
qLV
qL Vcosα
HA = qLv
q.LV = R VB =qLVtgα
2
VA =qLVtgα
2
y (local)Y (global)
x (local)
A
L V =
Lse
nα
B
X (global)
LH = Lcosα
L
α
α
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A
q.(L V/L).cosα = qcosα senαq.(L V/L).senα = qsen2 α
B
Fig 4.32
Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local)
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Fig 4.33Viga inclinada com carregamento vertical distribuído ao longo do comprimento inclinado L da viga
α
q
VA = qL/2
VB = qL/2
L V = Ls
enα
Lq.L
cosα
q.L senα
q.L
LH = Lcosα
α
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A
q.L.cosα/L = q cosαB
q.(L/2)senα
q.(L/2)cosα
q.(L/2)cosα
q.(L/2)senα
qLsenα/L = qsenα
Fig 4.34
Carregamento distribuído referido ao sistema local. Duas componentes: uma na direção do eixo (direção x-local) e outra na direção perpendicular ao eixo (direção y-local)
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Fig 4.35
Diagramas dos esforços solicitantes internos
DN
DEC
DMF
+
A
B
-
+
A
B
-
+
q.cosα L2/8
q(L/
2)se
nα
q(L/
2)se
nα
q(L/
2)co
sα
q(L/
2)co
sα