MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ -...
-
Upload
trinhduong -
Category
Documents
-
view
222 -
download
0
Transcript of MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ -...
www.muhendisiz.net
1
MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ
1. GİRİŞ
Kinematik analiz , mevcut mekanizmanın konum, hız ve ivme gibi kinematik
parametrelerin elde edilmesidir. Kinematik analiz mekanizmaların dinamik analizi
için ilk basamak teşkil ettiği gibi, mekanizmaların sentezi için de temel teşkil eder.
Mekanizmaların kinematik analizinde iki ayrı yöntem uygulanır. Bunlardan
birincisi grafik yöntem diğeri ise analitik yöntemdir. Grafik yöntemin temel dayanağı
geometri ve kinematik bağıntılardır. Kinematik bağıntılar geometrik temsil edilerek
mekanizma uzuvlarının hız ve ivmeleri, bundan önceki bölümlerde olduğu gibi,
çizim yoluyla elde edilir. Bu yöntemin bazı kolaylıkları, kolaylıkla çözüme
varılması, mekanizmanın konumlarının görülebilir olması ve yüksek dereceli cebirsel
denklemlerle ve bunların çözümleriyle uğraşılmamasıdır. Ancak bu yöntemin
uygulanmasında ölçü ve çizim hataları yapılabildiğinden pek hassas sonuçlar
beklenmemelidir. Mekanizmanın bir konumu söz konusu olduğunda yapılan hatalar
yok varsayılabilirse, bu hataları yüzde iki veya bir mertebesinde tutmak mümkün
olabilir, isteyerek grafik yöntem kullanılmaktadır. Çoğu kere mekanizmacı veya
konstrüksiyon mühendisleri mekanizmanın uzuvlarına ait hız ve ivmelerin en büyük
veya en küçük değerlerini bilmek isterler. Bu durumda mekanizmanın bir tek
konumu yerine çok konumu söz konusudur. Mekanizmanın çok konumu için, konum
sayısına bağlı olarak, grafik yöntem oldukça yorucu ve zaman alıcı olur.
www.muhendisiz.net
2
Mekanizmaların analitik yöntemle kinematik analizinde geometrik ve cebirsel
esaslardan hareketle sonunda mekanizmanın uzuvlarına ait konum, hız ve ivmeleri
için analitik bağıntılar bulunur.
Bu bağıntıların çözümlenebilmesi ve değerlendirilmesi çağımızda
computerler yardımıyla çok kolay hale gelmiştir. Hemen söylemek gerekir ki her
mekanizma için analitik bağıntıların bulunuşu sanıldığı kadar kolay değildir. Üç
çubuk mekanizması, krank biyel mekanizması ve buna benzer bazı az uzuvlu
mekanizmalar için analitik bağıntıların elde edilmesi nispeten kolay ve mümkün olsa
da, çok uzuvlu mekanizmalar için güçlükler vardır.
Elektronik hesap makinelerindeki hızlı gelişmeler mekanizmaların analitik
yöntemle analizine olan ilginin artmasına yol açmıştır. Mekanizmanın analizi için
matematik bağıntılar bir kere doğru olarak elde edildikten sonra mekanizmanın
konum, hız ve ivme bağıntılarındaki parametreler sonsuz değiştirilerek istenilen elde
edilebilir. Ayrıca bu amaçla yapılan programlar saklanıp gerektiğinde tekrar
kullanılabilir. Makinelerde mevcut mekanizma sayısının fazlalığı her mekanizma için
ayrı matematik bağıntıların önceden bulunmasını gerektirir. Tüm mekanizmaları bir
tek matematik bağıntıyla temsil etmek mümkün olamayacağına göre analitik yöntem
konum, hız ve ivmeleri için matematik bağıntıları elde edilmiş veya elde edilmesi
mümkün olan mekanizmalar için iyi sonuç verir. Hemen söylemek gerekir ki
düzlemsel ve hacmi mekanizmaları kapsamına alan programlar geliştirmek gerek
mekanizmaların analizi gerekse sentezi için çok yararlı olacaktır.
2.MAFSAL MEKANİZMALARI
www.muhendisiz.net
3
Düzgün olmayan çevrimli mekanizmalarda hız ve ivmeler belirir. Mesela bir
kol mekanizmasının biyeli muylu sayesinde düzgün hızla (çevre hızı) çevrilirken,
piston pernosundaki diğer bir yatak değişen hız ve ivmelere maruz kalmaktadır. Her
iki biyel yatağında hareket şartları farklıdır.
Bir muylunun ve piston pernosunun hareketi sorunu bir noktanın hareketi
sorunudur. Bütün bir biyelin hareketi ise bir düzlemin hareketi sorunudur. Eğer bütün
ayrı noktaların hareketleri belirli ise o zaman bir düzlemin hareketi incelenebilir.
Biz mekanizmaların kinematik analizini yapmadan önce maddesel noktanın
hareketini inceleyeceğiz. Ayrıca mekanizma mafsallarını hareketli noktalar şeklinde
düşünüceğiz.
2.1 Maddesel noktanın hareketi
Maddesel nokta bir doğru üzerinde hareket ediyorsa buna maddesel
noktanın doğrusal hareketi denir. Verilmiş olan bir t anında maddesel nokta, doğru
üzerinde belirli bir yerde bulunur. Maddesel noktanın P yerini tanımlamak için doğru
üzerinde sabit bir O noktası ve bir pozitif yön seçilirse, P noktasının konumu
tamamen belli olur (Şekil 1.a). OP = u nun t zamanına göre değişme şekli P nın
hareketini belirleyecektir. P nın hareketi, u ile t arasındaki matematik ilişki verildiği
takdirde, belirli bir harekettir. Bu ilişki ;
(1) u = f (t)
bağıntısı ile ifade edilir.
www.muhendisiz.net
4
Burada noktanın başlangıç konumu P0 büyük önem taşır. Bu konum
başlangıç zamanı olarak isimlendirilen t0 anında işgal ettiği konumdur. P0 başlangıç
konumu bu durumda ;
OP0 = u0 = f (t0)
ile belirlidir. OP0 = u0 , OP = u ve alınan yol PP0 ise, s = u – u0 dir. Bilindiği
gibi hız ve ivme yolun zamana göre 1. ve 2. türevleridir :
(2) v =dtds m / s (Hız)
(3) b =dtdv = 2
2
dtsd (m /s2) (İvme)
2.2 Bir noktanın eğrisel hareketi
Bir nokta herhangi bir a eğrisi boyunca hareket ediyorsa nokta eğrisel
hareket yapıyor denir. Noktanın verilen bir t zamanında P yerini tanımlamak için
eksenleri sabit bir x, y, z karşılaştırma takımı seçer ve 0 başlangıç noktasını P ye
bağlayan r vektörünü çizeriz (Şekil 1.b). Bu r vektörüne konum vektörü denir.
Konum vektörü zamanın bir fonksiyonudur, yani r = r (t) dir. Ox, Oy, Oz
eksenlerinin birim vektörleri i, j, k, P noktasının koordinatları, x, y, z olursa, r
konum vektörü,
www.muhendisiz.net
5
(4) r = xi + yj + zk
yazılabilir. OP veya r in yönündeki birim vektör e, ise gösterilirse,
(5) r = r er
dir. Burada
(6) r = 222 zyx ++
dır.
Şimdi D t zaman aralığında nokta P den P1 e gelmiş olsun, (Şekil 1c). Bu
esnada r vektörü D r kadar değiştirilmiştir, yani
D r = r1 – r
dir. Maddesel noktanın Dt zaman aralığındaki ortalama hızıtr
DD oranı olarak
tanımlanır. Burada Dr bir vektör ve Dt bir skaler olduğundan Dr / Dt oranı, P den
geçen ve Dr ile aynı doğrultuda ve yönde olan bir vektördür. Maddesel noktanın t
anındaki ani hızı;
v =dtdr
tr
t=
DD
®D 0lim = r
www.muhendisiz.net
6
v hız vektörü ile gösterilir. Görülmektedir ki Dr / Dt limiti bize r (t) vektör
fonksiyonunun türevini vermektedir. Şimdi hız vektörünün yönünü inceleyelim. PP1
yaz uzunluğunu Ds olarak tanımlayalım. Buradan;
==DD
®D dsdr
sr
s 0lim et
yazabiliriz. Burada et birim vektör olup P noktasında yörüngeye teğettir. Diğer
taraftan v = =dtdr r eşitliğinden
v = ÷øö
çèæ÷øö
çèæ=
dtds
dsdr
dtdr
(7) v = tt esedtds ·
=×
yazılabilir.
www.muhendisiz.net
7
Şekil 1
www.muhendisiz.net
8
Eğer Dt zaman aralığında hızda Dv değişimi meydana geliyorsatvDD oranı
bize maddesel noktanın bu Dt zaman aralığındaki ortalama ivmesini verir. Maddesel
noktanın t anındaki ivmesi
(8) b =··
®D===
DD r
dtrd
dtdv
tv
t 2
2
0lim
dir. r = xi +yj +zk konum vektörünün zamana göre türevi
v =dtdkzk
dtdz
dtdjyj
dtdy
dtdixi
dtdxr
dtdr
+++++==·
dir. Burada
0===dtdk
dtdj
dtdi
olduğundan
v = kdtdzj
dtdyi
dtdx
dtdr
++=
veya
(9) v = kzjyix···
++
www.muhendisiz.net
9
dır. İvme ise
(10) b = kdt
zdjdt
ydidt
xdrdt
rddtdv
2
2
2
2
2
2
2
2
++===··
veya kzjyixb······
++=
dır. İvme büyüklüğü
(11) b =······
++ 222 zyx
dır.
Maddesel noktanın v hızı
(12) v = v et
şeklinde bilinmektedir. Maddesel noktanın ivmesini elde etmek için bu ifadenin t ye
göre türevini almamız gerekir.
(13) b =dtde
vedtdv
dtdv t
t +=
dir. Bilindiği gibi ,
www.muhendisiz.net
10
dtds
dsd
dde
dtde tt ××=
dir.dtds = v , n
t edde
=q
ver
q 1=
dsd olduğundan (burada r eğrilik yarıçapıdır),
nt ev
dtde
r=
bulunur. Buradan
(14) b = nt evedtdv
r
2
++
elde edilir. Şu halde ivmenin skaler bileşenleri
(15) bt = dtdv , bn =
r
2v
dir. Buradan anlaşılacağı gibi ivmenin teğetsel bileşeni maddesel noktanın hızının
şiddetinin değişimini, normal bileşeni ise doğrultusundaki değişimi ifade etmektedir.
Limitte (Ds ® 0) et ile et + Det vektörlerinin tanımlandığı düzleme
oskülatör düzlemi denir. Dq 0® için limitte Det vektörü, et birim vektörüne normal
olmaktadır. Bu sebepten şimdi Det , ile aynı özelliklere sahip olan bir birim vektör
tanımlamak gerekecektir. Bu vektör yörüngeye teğet olmakta ve oskülatör düzlemi
www.muhendisiz.net
11
içinde bulunmakta ve Det ile aynı doğrultuya sahip olmaktadır. P1 ve P2 yöründe
normalleri C noktasında kesişirler (Şekil1c). Birim vektör tanımlandığı gibi
yörüngeye normaldir ve oskülatör düzleminde bulunmaktadır ve ayrıca eğrinin
merkezine yönelmiştir. Bu birim vektöre asal normal en adı verilir. Eb = et xen birim
vektörü et , en , eb sağ takımını tamamlar ve P deki binormal adını alır. Bu durumda
binormal oskülatör düzlemine diktir.
2.3 Grafik türev
2.3.1 Metotlar
Yolun zamana göre türevini almakla hız ve teğetsel ivme bulunabilir. Bu
hem analitik olarak hem de grafik olarak yapılabilir. Analitik metod daha
dolambaçlıdır, çünkü -özel haller dışında- yol-zaman değişiminin denklemi her
zaman basit bir şekilde karşımıza çıkmaz. Bu denklemin ayrıca iki kat türevi de
oldukça zahmetlidir. Örneğin santrik krank biyel mekanizması için yol-zaman
değişimi
(15) ( )úú
û
ù
êê
ë
é÷øö
çèæ--±-=
2
sin11cos1 aababas
eşitliği ile belirlidir. Burada :
www.muhendisiz.net
12
www.muhendisiz.net
13
Şekil 2
s – iç ölü noktaya nazaran alınan yol
a - kol uzunluğu
b - biyel uzunluğu
a - kol dönme açısı (iç ölü noktadan ibaret)
¾ işaret ileri strok,
+ işaret ise geri strok içindir.
Buna karşılık grafik metot kısa zamanda sonuca ulaşır. Sonucun emniyetli
olması ilk planda çizimin hassaslığına bağlıdır. Çizim hassaslığına ise seçilen ölçek
ve keza serbest seçilebilir aralık bağlıdır. Çizim hassaslığına ise seçilen ölçek ve keza
serbest seçilebilir aralık taksimatı ile etki yapılabilir.
Şekil 2a ve şekil 2d de iki farklı metot gösterilmiştir. Birinci örnekte (Şekil
2a) eğrinin eğimi nokta nokta tespit edilir. Bunun için önce n normali aranır ve buna
bir dik çıkılır. Resim düzlemine dik olarak resmin üzerine konulmuş bir cam normal
www.muhendisiz.net
14
doğrultusunun bulunmasını sağlar. Cam önce tahmin edilen doğrultuya getirilir ve
eğri ile kesişme noktası etrafında olmak üzere cam önünde bulunan eğri parçasının
simetri dirsek (büküm) teşkil etmeksizin bu eğriye ekleninceye kadar döndürülür
Bundan önce yol-zaman eğrisinin altında planlanan hız eğrisinin apsis ekseni tespit
edilir. Bu eksen koordinat başlangıcından sol tarafa doğru p mesafesi kadar (pol
ağırlığı) uzatılır. Yol-zaman eğrisinin normali üzerine, hız-zaman eğrisinin apsis
ekseni üzerine işaretlenen bu p mesafesinin kestiği nokta bulunur. Bu ordinat değeri
yol-zaman eğrisinin muhtelif teğet eğimleri ve dolayısıyla hızlarla orantılıdır.
Bundan sonra muhtelif ordinat değerleri yatay olarak ait olduğu apsis taksimatı
üzerine aktarılır. Aynı tarzda ivme değişimi eğrisi de tespit edilir (Şekil 2a).
Diğer bir metotta eğrinin muhtelif doğrularının teğetleri kullanılmayıp
sadece eğrinin iki noktasının sınırladığı dilim ele alınır. Bu dilimin eğimi iyi bir
yaklaşımla aralık ortasının teğet eğimi olarak alınabilir (Şekil 2b ve 2c). Bazı defa
teğet ve dilim eğimleri birbirleriyle uyuşmayabilir. Yeteri derecede dar aralık
atmakla bu fark çok küçük tutulabilir. Bu metodun faydası şudur: Bir dilimin eğimi
bir eğrinin bilinen iki noktası vasıtasıyla tamamen belirlidir. Halbuki teğetin eğimi
tahmine bağlıdır.
Bu metot, bundan önce anlatılanda olduğu gibi aynı tarzda uygulanabilir.
Türev almada, sola doğru uzatılmış apsis üzerinde alınan sabit bir noktadan her aralık
dilimine paralel çizilir. Unutulmamalıdır ki, ait olduğu eksen mesafeleri aralık
ortasındaki eğime tekabül etmektedir. Buradan şu zorunluluk ortaya çıkmaktadır: Hız
eğrisi taksimatını yarım aralık kaydırılmış çizmek gerekir. İkinci türevde taksimatı
tekrar kaydırmak gerekeceğinden yol-zaman eğrisi taksimatı ile ivme eğrisi taksimatı
birbirine böylece tekrar uyuşacaktır.
www.muhendisiz.net
15
Bu metodun karakteristik tarafı ilk iki eğrinin (Şekil 2d ve s ve v eğrileri)
poligon gibi kesikli çizgi şeklinde görünmesidir. Bütün köşe noktalar tam tespit
edilmiş değerlerdir.
2.3.2 Ölçekler :
Her iki metodun sonucu v hız ve bt teğetsel ivmenin nasıl değiştiğidir.
Eğrilerin sayısal değerlendirilmesi şu bilgilere bağlıdır:
1. Mekanizma şemasının M resim ölçeği, yani yol-zaman eğrisi için
ordinat ölçeği.
2. Mekanizmanın devir sayısı n (d/d)
3. Grafiğin uzunluğu T (cm) (örneğin 1 döngü için zaman)
4. Hız grafiğinde p pol uzaklığı (cm)
5. İvme grafiğinde q pol uzaklığı (cm)
Buna göre şu ölçekler meydana gelmektedir:
Zaman ölçeği Yol ölçeği
(17) mt = tn ×60 s / cm (18) ms = M100
1 m / cm
Hız ölçeği
mv = npT
Mmpm
t
s ×××
=× 60100
1
www.muhendisiz.net
16
(19) mv = npT
M×
×× 31061
cmsm /
İvme ölçeği
mb= 23 60106
nq
TpM
Tmq
m
t
v
××××=
×
(20) mb = 25
2
1063n
pqMT
××××× cm
sm 2/
Örnek : Şekil 2d’de araştırılan krank-biyel mekanizması için şu değerler kabul
edilsin:
M = 1:5 = 0,2 n = 300 d-d T = 6 cm
q = q = 0,7 cm
Buna göre şu ölçekler ortaya çıkar:
mt = 033,06300
60=
× s/cm
ms = 05,02,0100
1=
×m/cm
www.muhendisiz.net
17
mv = 14,27,0033,0
05,0=
× cmsm /
mb = 927,0033,0
14,2=
× cmsm 2/
Hız ve ivmenin tespitinde eşit büyüklükte pol aralıkları alınırsa, yani p = q , böylece
Hız ölçeği içinpT
ve ivme ölçeği için2
÷÷ø
öççè
æpT emsali ortaya çıkar.
RAUH’a göre T diyagram uzunluğu için kol dairesinin çevresi a××p2 ve
pol aralığı için de kol uzunluğu (a) alınırsa, hız ölçeği için 2p ve ivme ölçeği için 4p2
olur.
Bu şu ölçek eşitliklerini vermektedir.
(21) mv = nM×× 3103
pcm
sm /
(22) mb = 24
2
109n
M××p
cmsm 2-
www.muhendisiz.net
18
Buna göre v ve b için ölçekler sadece M resim ölçeğine yani yol-zaman
diyagramına ve devir sayısına bağlıdır.
Pol aralığını her iki halde de 0,1 T olarak almak şayanı tavsiye olduğundan,
emsaller hız ölçeği için 10 ve ivme ölçeği için 102 olur ve formüller,
(23) mv = nM×× 2106
1cm
sm /
(24) mb = 23106,3
1 nM×× cm
sm 2/
şeklini alır.
Türev almada her iki pol hali için Şekil 3 de bir grafik verilmiştir. Bu
grafikten hız ve ivme grafiklerinin değerlendirilmesinde beher cm ve beher cm d
değerleri devir sayısına bağlı olarak alınabilir. Hız ve ivme tespitinde aynı pol şartını
kullanmak gereklidir. Ölçek grafiği (Şekil 3) bütün devir sayısı alanları için üniversal
kullanışlıdır ve (21), (22), (23) ve (24) formüllerindeki ilişkileri ifade eder.
2.4 Mekanizmadaki hareket seyri üzerinde uzuv uzunluğunun etkisi
Daha önce de işaret edildiği gibi, en az bir tam dönme hareketli uzva sahip
mekanizma teknik uygulama açısından büyük öneme sahiptir. Pistonlu makinelerde
tam döner uzuv krank koludur. Krank-biyel mekanizması, kol-sarkaç kol
mekanizmasının özel bir halidir. Tam dönebilir mafsal için şart bu durumda kol-
www.muhendisiz.net
19
sarkaç kol mekanizmasında açıklanabilir. Bu şart bütün dört mafsallı zincir
mekanizmaları için geçerlidir.
2.5 GRASHOF Teoremi
Tam dönebilirlik esasen bütün dört mafsalda da mümkündür, ancak kol
uzunluklarının belirli şartı sağlaması gerekir (Şekil 4-m). Herhangi bir uzunluk hali
için GRASHOF teoremi :
En küçük ve en büyük uzvun uzunlukları toplamı,diğer iki uzvun
uzunlukları toplamından küçük olursa dört köşe mafsallısında en küçük uzuv
komşu uzuvlar karşısında tam dönme hareketine sahiptir. Bu arada en büyük
uzuv, en küçük uzvun komşusu ve karşısında bulunabilir.
Şekil 4 de karakteristik kol uzunlukları kol-sarkaç mekanizması örneğinde
açıklanmıştır. Üst iki sıra (Şekil 4a-f) ile en alt sırada (Şekil 4k-m) verilen
mekanizmalar GRASHOF şartını gerçekleştirirler.
Ancak örnekte gösterilen a-c mekanizmaları belirliliği haiz
mekanizmalardır. Diğer şekillerde uzuvların toplamı birbirine eşittir ve böylece
belirsizliği haiz mekanizmalar hasıl olmaktadır (Şekil 4d-f).
Şekil 4g, h ve i de gösterilen mekanizmalar GRASHOF şartını
sağlamaktadır. Bu sebepten bu mekanizmalarda tam dönme hareketine sahip uzuv
bulunmamaktadır. Eğer dört uzvun en küçüğü tam dönme hareketi yapabilirse, bu
dönme iki komşu uzva göre izafidir, yani bu durumda 2 tam dönebilir mafsal söz
konusudur. Aynı hal, c karşıt uzvun hareketi için de geçerlidir. Özel bir hal olarak bu
c uzvu da tam bir dönme hareketi yapıyorsa (Şekil 4-m), bu durumda ayrıca iki adet
www.muhendisiz.net
20
tam dönme hareketi yapabilen mafsal var demektir. Bu durumda dört köşe mafsal
mekanizmasında tam dönebilir mafsalların sayısı
0 veya 2 veya 4
dür.
www.muhendisiz.net
21
Şekil 3
www.muhendisiz.net
22
www.muhendisiz.net
23
Şekil 4
3. ÜÇ ÇUBUK MEKANİZMASININ ANALİTİK YÖNTEMLE ANALİZİ
3.1 Konum analizi
Önce üç çubuk mekanizmasının analitik yöntemle analizinde izlenecek yol,
önce mekanizmanın diğer uzuvlarının tahrik uzvuna göre konumlarını belirleyen
parametrelerin geometrik, trigonometrik ve vektörel cebir esaslarından veya
hepsinden yararlanarak tespitinden ibarettir.
Elde edilen konum denkleminin zamana göre birinci türevi hızı ve ikinci
türevi de ivme denklemini verir. Bir mekanizmanın analitik yöntemle kinematik
analizinde bu mekanizmanın tahrik ve sabit uzvu dışında diğer bütün uzuvlarının
konumu bilinmeyen olarak karşımıza çıkar. Bu nedenle her uzvun konum denklemi
ayrı ayrı bulunmak mecburiyetindedir.
Önce şekil 5.1’deki üç çubuk mekanizmasının 3 ve 4 uzuvlarının
konumlarını belirleyelim. Bu amaçla da karmaşık sayılardan yararlanalım.
(5.1) r1 + r2 + r3 – r4 = 0
vektörel eşitliği yazılabilir.
www.muhendisiz.net
24
Bu vektörleri karmaşık sayılarla ifade edelim.
r1 = r1 eij11
r2 = r2 eij21
r3 = r3 eij31
r4 = r4 eij41
buna göre (5.1) denklemi
(5.3) r1 eij11 + r2 eij21 + r3 eij31 – r4 eij41 = 0
olacaktır. Diğer taraftan genel olarak
(5.4) eij = cos j + i sin j
olduğu hatırlanıp (5.3) denkleminden
(5.5) r1 cos j11 + r2 sin j21 + r3 cos j31 – r4 cos j41 = 0
(5.6) r1 sin j11 + r2 sin j21 + r3 sin j31 – r4 sin j41 = 0
elde edilir. Bu bağıntıda j11 = 180° olduğundan
(5.7) -r1 + r2 cos j21 + r3 cos j31 – r4 cos j41 = 0
www.muhendisiz.net
25
(5.8) r2 sin j21 + r3 sin j31 – r4 sin j41 = 0
elde edilir. (5.7) ve (5.8) denkleminden j31 yok edilirse
(5.9) k1 cos j41 – k2 cos j 21 + k3 – cos (j21 - j41) = 0
olur. Burada
k1 =2
1
rr
(5.10) k2 =4
1
rr
k3 =44
21
24
23
22
2 rrrrrr ++-
tanımlanmıştır.
(5.11) sin j41 =( )( )2/tan1
2/tan2
412
41
jj
+
(5.12) cos j14 =( )( )2/tan1
2/tan1
412
412
jj
-+
www.muhendisiz.net
26
trigonometrik dönüşümlerle (5.9) bağıntısı
(5.13) A tan2 (j41 / 2) 9 B tan (j41 / 2) +C = 0
olur. Bu bağıntıda
A = (1 – k2) cos j21 – (k1 – k3)
(5.14) B = - 2 sin j21
C = k1 + k3 – (1 + k2) cos j21
olarak tanımlanır. (5.13) denkleminin çözümü
(5.15) j41 = 2 arctan ÷÷ø
öççè
æ -±-A
ACBB2
42
olur.
www.muhendisiz.net
27
Şekil 5.1 Üç çubuk mekanizmasının konum vektörleri
Eğer (5.7) ve (5.8) denklemlerinden j41 yok edilirse,
(5.16) k4 cos j21 + k1 cos j31 + k5 – cos (j21 - j31) = 0
bulunur. Burada k4 ve k5;
(5.17) k4 =3
1
rr
(5.18) k5 =( )
32
23
22
21
24
2 rrrrrr ++-
bağıntılarından hesaplanır. j31 parametresini veren denklem;
(5.19) D = (k4 + 1) cos j21 + k5 – k1
(5.20) E = (k4 – 1) cos j21 + (k1 + k5)
www.muhendisiz.net
28
üzere
(5.21) D tan2 (j31 / 2) + B tan (j31 / 2) + E = 0
Bu denklemin çözümü;
(5.22) j31 = 2 arctan ÷÷ø
öççè
æ --D
DEBB2
42m
3.2 Hız analizi
Şekil 5.1 deki üç çubuk mekanizması matematik pozitif yönde j31 açısıyla
A0A uzvundan tahrik edilsin. (5.3) denklemini t zamanına göre getirsek ve j11 =180°
yazılırsa
(5.23) r2 w21 eij21 + r3 eij31 – r4 w14 eij41 = 0
elde edilir. Buradan da reel ve karmaşık kısımların sıfıra eşit olduğu yazılırsa
(5.24) r4 w41 sin j41 = r2 w21 sin j21 + r3 j31 sin j31
(5.25) r4 w41 cos j41 = r2 w21 cos j21 + r3 j31 cos j31
eldeedilir.Bu denklemden
www.muhendisiz.net
29
(5.26) w41 =( )( )3141
3121
4
212
sinsin
jjjjw
--
rr
(5.27) w31 =( )( )4131
2141
3
212
sinsin
jjjjw
--
rr
3.3 İvme analizi
Burada (5.23) ile verilen bağıntı t zamanına göre bir kere daha türetilirse
ir2 a21 eij21 + i2r2 w21 eij21 + ir3 a31 eij31 +i2 r3 w231 eji31 =
(5.28) = ir2 a41 eij41 + i2r4 w41 eij41 + eij41 = 0
buradan da
(5.29) a31 = NRMSMUPR
--
(5.30) a41 = NRMSNUPS
--
olarak hesaplanır. Burada
M = r4 sin j41
www.muhendisiz.net
30
N = r3 sin j31
P = r2 (a21 sin j21 + w221 cos w21) + r3 w2
31 cos j31 – r4 w241 sin j41
R = r4 cos j41
S = r3 cos j31
U = r2 (a21 cos j21 - w221 sin w21) - r3 w2
31 sin j31 + r4 w241 sin j41
olarak tanımlanmıştır.
4. KRANK-BİYEL MEKANİZMASININ ANALİTİK YÖNTEMLE ANALİZİ
4.1 Konum analizi
Şekil 5.2’de gösterilen eksantrik krank-biyel mekanizmasında A0A kolu w21
açısal hızıyla tahrik edilsin. Verilen herhangi bir konumda uzuvların 1 uzvuna göre
konumlarını belirleyen açıları j11 , j21 , j31 , j41 ile gösterelim.
www.muhendisiz.net
31
Şekil 5.2
r2 = r2 eij21 = A0A
r4 = r4 eij41 = HB
r3 = r3 eij31 = BA
r1 = r1 eij11 = HA
ve şekil 5.2’den
(5.31) r1 + r2 – r3 – r4 = 0
buradan da
(5.32) r2 eij21 + r1 eij11 – r3 eij31 r4 eij41 = 0
bulunur. 5.32 bağıntısı reel ve sanal kısımlarına ayrılarak
www.muhendisiz.net
32
(5.33) r2 cos j21 + r1 cos j11 – r3 cos j31 – r4 cos j41 = 0
(5.34) r2 sin j21 + r1 sin j11 – r3 sin j31 – r4 sin j41 = 0
olur. Bu bağıntıda j11 = 180° ve j41 = 90° yazarsak 5.33 ve 5.34 bağıntısı
(5.35) r2 cos j21 – r1 – r3 cos j31 = 0
(5.36) r2 sin j21 – r4 – r3 sin j31 = 0
elde edilir. 5.35 ve 5.36 denklemlerinden j31 yok edilir ve r1 yerine de s yazılırsa
(5.37) s2 + 2 l2 s + l3 = 0
elde edilir. Burada
(5.38) l2 = - r2 cos j21
(5.39) l3 = r22 + r4
2 – r32 –2r2 r4 sin j21
olarak tanımlanmıştır. (5.37) denklemi çözülürse B noktasının A0 mafsalından geçen
dik eksene göre apsisi, diğer bir kelimeyle stroku
www.muhendisiz.net
33
(5.40) s = 32
22 lll -- m
bulunur. r2, r4, r3 belirlendiğinden her j21 konumu için s kolaylıkla bulunur. Biyel
uzvunun konumunun belirlenmesi ise
(5.41) j31 =sr
rr--
212
4212
cossin
arctanjj
bağıntısı ile olur. Önce j21 konumuna karşı gelen s stroku 5.40 yardımıyla
hesaplanıp elde edilen değer 5.41’de aynı j21 için yerleştirilerek j31 açısı bulunur.
4.2 Hız analizi
Vektörel eşitliği karmaşık sayılar tarzında yazılırsa
(5.42) r2 ej21 + r1 ej11 – r3 eij31 – r4 eij41 = 0
ve bu eşitlik zaman göre türetilirse,
(5.43) iw21 r2ij21 +
·
r 1 eij11 - iw31 r3 eij31 = 0
elde edilir. Bu denklemde sanal ve karmaşık kısımları ayıralım ve (dr1 / dt) =·
s
yazalım.
www.muhendisiz.net
34
(5.44) r2 w21 sin j21 -·
s cos j11 – r3 w31 sin j31 = 0
(5.45) r2 w21 cos j21 +·
s sin j11 – r3 w31 cos j31 = 0
Ayrıca (5.45) denkleminde j11 = 180° yazılırsa
(5.46) w31 =313
21212
coscosjjw
rr
bulunur.
Buradaki j31 açısının nasıl hesaplanacağı konum analizinde açıklanmıştı.
j21, r2, r3 ve w21 verildiğinden w31 açısal hızı 5.46 ile hesaplanır. B noktasının hızı
(5.47)·
s( )
31
2131212 cos
sinjjj
w-
×== rdtds
olarak elde edilmiş olur.
4.3 İvme analizi
(5.43) denkleminden zaman göre bir defa daha türevini alalım.
www.muhendisiz.net
35
(5.48) ir2 a21 eij21 – r2 w221 ej21 +
··
s eij11 – ir3 a31 ej31 + r3 w231 . eji31 = 0
bağıntısı bulunur. Bu ifadenin reel ve karmaşık kısımlarını ayırırsak,
(5.50) r2 (a21 cos j21 - w221 sin j21) – r3 (a31 cos j31 - w2
31 sin j31) = 0
elde ederiz. Burada a21 = dw21 / dt ve a31 = dw31 / dt dir.
(5.51) a31 =( )
313
31231321
22121212
cossinsincos
jjwjwja
rrr +-
ve (5.50) bağıntısından da
(5.52) a21 =( ) ( )
11
312313131321
22121213
coscossincossin
jjwjajwja +-+ rr
5. MEKANİZMALARDA DÖNÜŞÜM (TAHVİL) ORANI
Mekanikte dönüşüm oranı tahrik eden uzvun devir sayısının tahrik
edileninkine oranı olarak tanımlanır.
(5.53) i =te
t
te
t
nn
ww
=
www.muhendisiz.net
36
Gerçel anlamdaki dönüşüm oranı düzgün dönüşümlü olmayan
mekanizmaların kinematik analizi için oldukça önemli kavramdır. (5.53) ile
tanımlanan dönüşüm oranı yalnızca dişli çark, zincir ve kayış-kasnak mekanizmaları
içindir. Bu kavramın herhangi bir mekanizmanın kinematik analizinden
yararlanılacak tarzda genişletilmesi gerekir.
Mekanizma tekniğinde dönüşüm oranı herhangi iki açısal hızın birbirine
oranı olarak düşünülecek. Bu iki açısal hız aynı yöndeyse i oranı pozitif, zıt yönde
iseler negatiftir.
Dönüşüm oranı için iki durum söz konusudur;
Basit dönüşüm oranı, iki açısal hızın müşterek uzvun varsa bu çevrim oranı
basit dönüşüm oranıdır. Örneğin,
(5.54)21
412141 w
w=-i dir.
Köşegen dönüşüm oranı, farklı uzuv çiftlerine ait açısal hızların oranıdır.
(5.55)21
342123 w
w=-i olur.
www.muhendisiz.net
37
Şekil 5.3 Kol –Sarkaç kol mekanizmasında basit dönüşüm oranı
www.muhendisiz.net
38
Şekil 5.4 Dönüşüm oranlarına örnekler
5.1 Basit dönüşüm oranının bulunuşu
Genel dönüşüm oranı için burada da üç çubuk mekanizması örnek
alınacaktır (Şekil 5.5).
4 uzvunun 1 uzvuna göre hareketinde w41 açısal hızı verilsin, bu konumda 3
uzvunun 2 uzvuna göre hareketindeki w32 açısal hızı istensin.
www.muhendisiz.net
39
Şekil 5.5 Üç çubuk mekanizmasında genel dönüşüm oranı
Burada müşterek bir uzuv yoktur. Dönüşüm oranı
(5.57) i41-32 = w41 / w32
şeklinde olacak, alt rakamların düşey eşleştirilmesiyle elde edilecek polleri
birleştiren kolineasyon ekseni k12-34 yardımıyla bulunacaktır. Polleri gösterirken alt
rakamlar çiftinde rakamların sırasının önemi yoktur. Bu sebepten önce küçük rakam
sonra da büyük rakam yazılır. Fakat hızların ve kuvvetlerin gösterilmesinde rakam
değişikliği hız ve kuvvetin yönünün değişmesi demektir.
Örneğin:
(5.58) w23 = - w32
olur. 12 ve 34 pollerini birleştiren k12-34 ekseni ile k14-23 ekseni R noktasında
kesişirler. Buna göre
(5.59) i14-32 = w41 / w32 = | R,23 | / | R,14 |
olmak zorundadır, yani köşegen üzerindeki, pollerin açısal hızlarının oranı
kolineasyon eksenlerinin R kesim noktasının bu pollere olan mesafelerinin oranı
gibidir. (5.59) ile verilen dönüşüm oranı negatiftir. 4 uzvu saat göstergesi yönünde
dönerken ters yönde döner. (5.59) dan w32 bulunur.
www.muhendisiz.net
40
w23 = - w32 olduğundan
(5.60) i41-23 = w41 / w23
olur.
Şimdi de i43-21 = (w43 / w21) dönüşüm oranını bulalım:
Açısal hızlara ait rakamların düşey eşleştirilmesiyle k13-24 kolineasyon
ekseni bulunur.
K12-34 Ç k12-34 = íSý
olsun,
(5.61) i43-21 = w43 / w21 = | 12,S | / | 34,S |
olacak ve S noktası 12 ve 34 pollerinin dışında olduğundan i43-21 > 0 olur. Bunun
sonucu w41 açısal hızı ile w23 açısal hızı aynı yöndedir.
Krank-Biyel mekanizmasında dönüşüm oranı (Şekil 5.6), 4 pistonu 1
uzvuna açılmış kanal içinde doğrusal hareketli olduğundan w41 = 0 olup
(5.62) i41-21 = w41 / w21 = 0
www.muhendisiz.net
41
Şekil 5.6
Buna rağmen bunlarda 4 uzvunu VB = V41 hızı ile 2 krankının w21 açısal hızı
arasında
(5.63) V41 / w21 = | 12,24 | = < r > / M
bağıntısı bulunmaktadır. Burada M şekil ölçeğidir.
6. KAYNAKÇA
www.muhendisiz.net
42
1. Mekanizma tekniği, Doç. Dr. Galip KEÇECİOĞLU, 1975
2. Mekanizma tekniği, Bekir DİZİOĞLU, çev. Fuat PASİN
3. Mekanizma tekniği, Mustafa SABUNCU