03- Akışkan Hareketini Yöneten Genel Denklemler

8/17/2019 03- Akışkan Hareketini Yöneten Genel Denklemler

1/24

BÖLÜM 3

AKIŞKAN HAREKETİNİ YÖNETEN GENEL DENKLEMLER

ve

AKIM TİPLERİ

3.1. Bazı önemli kavramlar

3.1.1 Uzayda sabit konumlu sonlu kontrol hacmi

3.1.2 Debi

3.1.3 Hareketi takiben alınmış türev

3.2. Genel denklemlerin integral formları

3.2.1 Süreklilik denkleminin integral formu

3.2.2 Momentum denkleminin integral formu

3.3.3 Enerji denkleminin integral formu

3.3.4 Denklemlerin bilançosu

3.3. Genel denklemlerin diferansiyel formları

3.3.1 Diverjans teoremi

3.3.2 Süreklilik denkleminin diferansiyel formu

3.3.3 Momentum denkleminin diferansiyel formu

3.3.4 Enerji denkleminin diferansiyel formu

3.4. Akımların sınıflandırılması

3.4.1 Akımın göreceliği3.4.2 Daimi ve daimi olmayan akımlar, sanki-daimi akım

3.4.3 Yörünge, akım filamenti ve akım çizgisi kavramları

3.4.4 Sürtünmeli akımlar, sürtünmesiz akımlar

3.4.4.1 Sınır tabaka:

3.4.4.2. Laminer ve türbülanslı sınır tabaka, geçiş bölgesi

3.4.4.3. Sınır tabakada hız değişimi, yüzey sürtünmesi

3.4.4.4. Sınır tabaka ayrılması

3.4.4.5. Sınır tabaka gelişimini etkileyen faktörler, Reynolds sayısı3.4.4.6. İz bölgesi

3.4.4.7. Sınır tabaka ve izin akım alanı üzerindeki etkisi ve havacılıktaki önemi

3.4.4.8. Sürtünmesiz akım yaklaşımı


2/24

Akışkan hareketini yöneten genel denklemler

UCK 351 Aerodinamik Ders Notları M. Adil Yükselen

1

3.1-Bazı Önemli Kavramlar

3.1.1-Uzayda Sabit Konumlu, Sonlu Kontrol Hacmi

Kontrol yüzeyi

d U

V

n

dS

Kontrol hacmi

3.1.2- Debi

A Yüzey alanı

V r

Akışkanın birim zamanda

aldığı yol – hız

nr

yüzey normali

h Prizmanın yüksekliği A

h= V n

Tavan ve tabanı

paralel prizma

n

V

V

V

V

hacımsal debi = Birim zamanda A yüzeyinden geçen akışkan hacmi

= prizmanın hacmi = Taban alanı × Yükseklik ( )nV AQ rr⋅⋅=

Kütlesel debi = Hacımsal debi × yoğunluk ( )nV AQm rr

&& ⋅⋅⋅=⋅= ρ ρ


3/24



2

3.1.3- Hareketi Takiben Alınmış Türev

( x , y , z ) kartezyen koordinat sisteminde bir A( x , y , z , t ) fonksiyonunu göz önünealalım.

Fonksiyonun tam diferansiyeli dt t

Adz z

Ady y

Adx x

AdA∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Düzenlenerekt

A

dt

dz

z

A

dt

dy

y

A

dt

dx

x

A

dt

dA

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Hız tanımı wdt

dzv

dt

dyu

dt

dxk w jviuV ===→++= ,,,rrrr

Böylece z

Aw

y

Av

x

Au

t

A

dt

dA

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

Ayrıca gradyan tanımı gereği k z

A j

y

Ai

x

A A

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

Böylece hareketi takiben alınmış türev AV t

A

Dt

DA∇⋅+

∂

∂=

r

Bu ifadede ilk terim zamana göre değişimleri, ikinci terim ise konuma göre değişimleriifade etmektedir. Sadece konuma göre alınmış türevlerden farklı olduğunun anlaşılmasıiçin de türev sembolü olarak küçük d harfi yerine büyük D harfi kullanılmaktadır.


4/24



3

3.2- Genel Denklemlerin İntegral Formları

3.2.1- Süreklilik Denkleminin İntegral Formu

Kütlenin korunumu prensibi : Kütle yok edilemez / yoktan var edilemez

∫∫ ⋅⋅=S

dS nV rr

ρ ∫∫∫υ

υ⋅ρ∂

∂−= d

t

∫∫∫∫∫υ

υ⋅ρ∂

∂−=⋅⋅ρ d

t dS nV

S

rr

Sonuç olarak süreklilik denkleminin integral formu

0dS nV d t

S

=⋅⋅ρ+υ⋅ρ∂

∂∫∫∫∫∫

υ

rr

U kontrol hacminin S

yüzeyinden birim zamanda

çıkan net kütle miktarı

U kontrol hacmindeki kütle

miktarının birim zamandaki

de ğ i şimi

=


5/24



4

3.2.2- Momentum Denkleminin İntegral Formu

Hareketin korunumu prensibi : Dış kuvvetler toplamı atalet kuvvetine eşittir

dt

V d mamF

rrr

⋅=⋅=∑

Sabit kütle için ( )V mdt

d F

rr=∑

Dış kuvvetler toplamı = Momentumun birim zamandaki değişimi

Dış kuvvetler

Bünyesel kuvvetler Gravitasyonel kuvvetler ∫∫∫υ

υ⋅ρ⋅= d f r

Elektromanyetik kuvvetler

Not : f

r

birim kütleye etkiyen bünyesel kuvvettir

Yüzeysel kuvvetler Basınç kuvvetleri ∫∫ ⋅−=S

dS n pr

Teğetsel kuvvetler viscF r

=

Momentumun birim zamandaki değişimi

Kontrol yüzeyinden çıkan ve giren kütlelerin taşıdıklarımomentumlar arasındaki fark

( )∫∫ ⋅⋅⋅ρ=S

V dS nV rrr

Kontrol yüzeyindeki kütle miktarının değişimindenkaynaklanan momentum değişimi ( )∫∫∫υ ⋅υ⋅ρ∂∂=

V d t

r

Sonuç olarak Momentum denkleminin integral formu

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫υυ

υ⋅⋅ρ++⋅−=⋅⋅⋅ρ+⋅υ⋅ρ∂

∂d f F dS n pV dS nV V d

t visc

S S

rrrrrrr


6/24



5

3.2.3- Enerji Denkleminin İntegral Formu

Enerjinin korunumu prensibi Enerji yok edilemez, yoktan var edilemez, form değiştirir

Termodinamiğin 1. Kanunu

Çevre

δ δδ δ qÇevreden

sisteme sokulanısı

δ δδ δ wÇevre tarafından

sistem üzerinde

yapılan i ş

Sistem

deSistemin

enerjisindekide ğ i şim

dewq =δ+δ (birim kütle başına)

B 3 Birim zamanda sistemin

enerjisindeki de ğ i şim

V

n

dS

B1

Birim zamandagiren ısı

B 2 Birim zamanda

yapılan i ş

321 B B B =+

NOT:

Enerji denklemi aslında güç boyutunda olmakla birlikte, bir alışkanlık eseri olarak “enerjidenklemi” tabiri kullanılmaktadır.


7/24



6

B1 – Sisteme birim zamanda sokulan ısı miktarı:

1- Radyasyon veya yanma yoluyla birim zamanda sokulan ısı ∫∫∫ ⋅⋅=υ

υ ρ d q&

Not : q& birim kütle başına sokulan ısı

2- Viskoz kaynaklı (ısı iletimi, kütle difüzyonu) olarak sokulan ısı viscQ

&=

Böylece visc1 Qd q B && +⋅⋅= ∫∫∫

υ

υ ρ

B2 – Çevrenin sistem üzerinde birim zamanda yaptığı iş:

İş tanımı

F

r

kuvvetinin yaptığı iş r d F rr

⋅

F r

kuvvetinin birim zamanda yaptığı iş V F dt

r d F

rrr

r

⋅=⋅

O halde, çevrenin sisteme etkittiği kuvvetlerin yaptığı iş

F

x

y

z

r

dr

1- Basınç kuvvetleri nin yaptığı iş ( )∫∫ ⋅⋅−=S

V dS n prr

2- Bünyesel kuvvetler in yaptığı iş ( )∫∫∫υ

⋅υ⋅ρ⋅= V d f rr

3- Viskoz kuvvetler in yaptığı iş viscW &=

Böylece ( ) ( ) viscS

W V d f V dS n p B &rrrr+⋅υ⋅ρ⋅+⋅⋅−= ∫∫∫∫∫

υ

2

B3 – Sistemin enerjisinin birim zamanda değişimi:

Birim kütle başına enerji 22

1V e +=

e İç enerji (Durağan sistem için sadece iç enerji vardır)

2

2

1V Kinetik enerji (Hareketli sistem için ilaveten kinetik enerji vardır.


8/24



7

Kontrol yüzeyinden çıkan ve giren kütlelerin taşıdıklarıenerjiler arasındaki fark

( )∫∫

+⋅⋅⋅ρ=S

2V 2

1edS nV

rr

Kontrol hacmindeki kütle miktarının değişiminden

kaynaklanan enerji değişimi( )

∫∫∫υ

+⋅υ⋅ρ

∂

∂= 2V

2

1ed

t

Sonuç olarak Enerji denkleminin integral formu

( ) ( ) ( )

visc

visc

S S

22

Qd q

W V d f V dS n pV 2

1edS nV d V

2

1e

t

&&

&rrrrrr

+⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅⋅+⋅

+⋅

∂

∂

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

υ

υ υ

υ ρ

υ ρ ρ υ ρ

NOT:

- Dışardan bir şaft ile güç sokuluyorsa şaft W & terimi eklenmeli

- Yükseklik farkı önemliyse 2

2

1V e + +gz şeklinde potansiyel enerji terimi eklenmelidir.

3.2.4- Denklemlerin Bilançosu

Genel denklemler

0dS nV d

t S

=⋅⋅+⋅

∂

∂∫∫∫∫∫ rr ρ υ ρ

υ

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅∂∂

υ υ

υ ρ ρ υ ρ d f F dS n pV dS nV V d t

visc

S S

rrrrrrr

( ) ( ) ( )

visc

visc

S S

22

Qd q

W V d f V dS n pV 2

1edS nV d V

2

1e

t

&&

&rrrrrr

+⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅⋅+⋅

+⋅

∂

∂

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

υ

υ υ

υ ρ

υ ρ ρ υ ρ

1 süreklilik + 3 momentum + 1 enerji denklemi = Toplam 5 adet denklem

Bilinmeyenler ( ) e pwvuV ,,,,,r

ρ Toplam 6 adet bilinmeyen

O halde, denklem sayısı çözüm için yeterli değildir.

İlave denklemler (Termodinamik bağıntılar) İlave bilinmeyen

Hal denklemi T R p ρ = T

Kalorik mükemmel gazlar için T ce v=

SONUÇ OLARAK

7 adet denklem (ve bağıntı) ile 7 bilinmeyen çözülebilir.


9/24



8

3.3- Genel Denklemlerin Diferansiyel Formları

3.3.1- Diverjans Teoremi

A bir vektörel veya skaler büyüklük olmak üzere bir yüzey integrali diverjans teoremiyardımıyla bir hacim integraline dönüştürülebilir

∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅υ

υ d AdS n AS

r

3.3.2- Süreklilik Denkleminin Diferansiyel Formu

Süreklililik denkleminin integral formu 0dS nV d t

S

=⋅⋅+⋅∂∂ ∫∫∫∫∫ r

r

ρ υ ρ υ

Yüzey integrali hacim integraline dönüştürülerek ( ) ( )∫∫∫∫∫ ⋅⋅∇=⋅⋅υ

υ ρ ρ d V dS nV S

rrr

İntegraller birleştirilerek ( ) 0=⋅

⋅∇+

∂

∂∫∫∫υ

υ ρ ρ

d V t

r

Kontrol hacmi sonsuz küçük yapıldığında integrand sıfıra eşitlenerek süreklilikdenkleminin diferansiyel formu

( ) 0=⋅∇+∂

∂V

t

r ρ

ρ Daimi akım için 0=

∂

∂

t

ρ → ( ) 0=⋅∇ V

r

ρ

↓

( ) 0=⋅∇+∇+∂

∂V V

t

rr ρ ρ

ρ

↓

Materyal türev tanımı kullanılarak

0=∇+ V Dt

D r ρ

ρ Daimi, sıkıştırılamaz akım 0=

Dt

D ρ → 0=∇V

r


10/24



9

3.3.3- Momentum Denkleminin Diferansiyel Formu

Momentum denkleminin integral formu

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++⋅−=⋅⋅⋅+⋅⋅∂∂ υ υ υ ρ ρ υ ρ d f F dS n pV dS nV V d

t visc

S S

rrrrrrr

Basınçla ilgili yüzey integrali hacim integraline dönüştürülerek

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++∇−=⋅⋅⋅+⋅⋅∂∂

υ υ υ

υ ρ υ ρ υ ρ d f F d pV dS nV V d t

visc

S

rrrrrr

Bu vektörel eşitlik örneğin bir (x,y,z) kartezyen koordinat sisteminde

Hız vektörü k w jviuV rrrr

++=

Teğetsel kuvvet vektörü k F jF iF F visc zvisc yvisc xviscrrrr

−−− ++=

Bünyesel kuvvet vektörü k f j f i f f z y xrrrr

++=

olmak üzere üç bileşene ayrılarak örneğin x bileşeni

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅⋅++∂∂

−=⋅⋅⋅+⋅⋅∂

∂−

υ υ υ

υ ρ υ ρ υ ρ d f F d x

pudS nV ud

t xvisc x

S

rr

Akı terimi hacim integraline dönüştürülerek ve integraller birleştirilerek

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫

⋅++

∂

∂−=⋅

∇+

∂

∂−

υ υ

υ ρ υ ρ ρ

d f f x

pd uV

t

u xvisc x

r

Kontrol hacmi sonsuz küçük yapılarak Momentum denkleminin diferansiyel formu

Veya Navier-Stokes denklemleri

( ) ( ) xvisc x f f x

puV

t

u⋅++

∂

∂−=∇+

∂

∂− ρ ρ

ρ r

Benzer işlemlerle y bileşeni ( ) ( ) yvisc y f f y pvV

t v ⋅++

∂∂−=∇+

∂∂ − ρ ρ ρ

r

Benzer işlemlerle z bileşeni( ) ( ) zvisc z f f

z

pwV

t

w⋅++

∂

∂−=∇+

∂

∂− ρ ρ

ρ r

Daimi akım 0≡∂

∂

t ↓

Bünyesel kuvvet ihmal edilirse 0≡ f r

↓

Viskoz etkiler ihmal edilirse 0≡visc f r

↓


11/24



10

Euler denklemleri

( )

( )

( ) z pwV

y

pvV

x

puV

∂∂−=∇

∂

∂−=∇

∂

∂−=∇

r

r

r

ρ

ρ

ρ

Veya Navier-Stokes denklemlerinde

örneğin x bileşeninde( ) ( ) xvisc x f f

x

puV

t

u⋅++

∂

∂−=∇+

∂

∂− ρ ρ

ρ r

Soldaki terimler açılarak ( ) xvisc x f f x

pV uuV

t u

t

u⋅++

∂

∂−=∇+∇+

∂

∂+

∂

∂− ρ ρ ρ

ρ ρ

rr

Düzenlenerek ( ) xvisc x f f x puV

t uV

t u ⋅++

∂∂−=

∇+∂∂+

∇+∂∂ − ρ ρ ρ ρ rr

İlk terim süreklilik denklemi gereği sıfır olup xvisc x f f

x

puV

t

u⋅++

∂

∂−=

∇+∂

∂− ρ ρ

r

materyal türev kavramı kullanılarak xvisc x f f x

p

Dt

Du⋅++

∂

∂−= − ρ ρ

Benzer işlemlerle y bileşeni yvisc y f f y

p

Dt

Dv⋅++

∂

∂−= − ρ ρ

Benzer işlemlerle z bileşeni zvisc z f f z

p

Dt

Dw⋅++

∂

∂−= − ρ ρ


12/24



11

3.3.4- Enerji Denkleminin Diferansiyel Formu

Enerji denkleminin integral formu

( ) ( ) ( )

viscvisc

S S

Qd qW

V d f V dS n pV edS nV d V et

&&&

rrrrrr

+⋅⋅++

⋅⋅⋅+⋅⋅−=

+⋅⋅⋅+⋅

+⋅

∂∂

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

υ

υ υ

υ ρ

υ ρ ρ υ ρ 22

2

1

2

1

Benzeri şekilde yüzey integralleri hacim integrallerine dönüştürülerek, integrallerbirleştirilerek ve kontrol hacmi sonsuz küçültülerek enerji denkleminin diferansiyel formu

( ) viscvisc qqwV f V pV V eV et

&&&rrrr

++++−∇=

+∇+

+⋅

∂

∂ ρ ρ ρ ρ 22

2

1

2

1

Daimi akım 0≡∂

∂

t ↓

Bünyesel kuvvet ihmal edilirse 0≡ f r

↓

Viskoz etkiler ihmal edilirse 0,0 ≡≡ viscvisc qw && ↓

Adyabatik olay halinde (ısı ilavesi yok) 0≡q& ↓

( )V pV V e rr −∇=

+∇ 2

2

1 ρ


13/24



12

3.4. Akımların sınıflandırılması

Aerodinamik incelemelerinde karşılaşılan akımları çeşitli bakımlardan sınıflamakmümkündür. Yapılan sınıflamalar

- akımı yöneten denklemlerde bazı terimleri ihmal ederek teorik çalışmalardaçözümü kolaylaştırdığı gibi

- deneysel çalışmalarda da uygun deney sisteminin seçilmesini

sağlamaktadır. Söz konusu sınıflamalardan en önemli bazıları şunlardır:

- Daimi akımlar, daimi olmayan akımlar,- Sürtünmesiz akımlar, sürtünmeli akımlar,- Bir-boyutlu, iki-boyutlu, üç-boyutlu akımlar,- Sıkıştırılamaz akımlar, sıkıştırılabilir akımlar,- Subsonik (sesaltı), transonik, süpersonik (sesüstü) ve hipersonik akımlar

Bu sınıflamaların bazıları bütün bir akım alanı için söz konusu olabildiği gibi bazıları birakım alanının belli bir bölgesini karakterize edebilir.

Bu bölümde sadece ilk iki sınıflama üzerinde durulacak, diğer sınıflamalar ise izleyenbölümde incelenecektir.

3.4.1. Akımın göreceliği:

Aerodinamik bilimi, daha önce de belirtildiği gibi, hava içerisinde hareket eden cisimleretrafındaki olayları veya duran bir cisim etrafındaki hava hareketi nedeniyle meydanagelen olayları ya da bu ikisinin birleşimi şeklinde, hareket eden bir cisim etrafında yinehava hareketi nedeniyle meydana gelen olayları inceler. Bu incelemeler Newtonmekaniğinin üç temel kanununa dayanır. Aerodinamik incelemelerde gözleyicinin konumune olursa olsun veya diğer bir deyişle seçilen eksen takımı ne olursa olsun aynı temelfiziksel prensipler ve matematiksel denklemler kullanılır.

Örneğin, sabit hızla yatay uçuş yapmakta olan bir uçağı göz önüne alalım. Yerde bulunanbir gözleyiciye göre uçak hareketsiz hava içerisinde (rüzgar yok kabul ediliyor) uçmaktave hava içerisindeki herhangi bir hareket uçağın bu hareketi nedeniyle oluşmaktadır Bunakarşılık uçağın pilotu bir diğer gözlemci olarak düşünülürse, pilot uçak içerisinde sabit birkonumdadır. Hava uçağa doğru gelmektedir ve uçak havanın hareketini bozmaktadır. Heriki gözlemci de uçak ve havanın karşılıklı etkileşimlerini aynı denklemlerle inceleyeceklerve aynı çözüme (örneğin uçağa etkiyen kuvvetler için) ulaşacaklardır. Sadece, pilotkonumundaki gözlemci için denklemlerdeki bazı terimler sıfır olacaktır. Bu da

çözümlemede bazı kolaylıklar sağlayacaktır.

S

V

O

x

z

(a) (b)

z

x S

V

O

Şekil: Akımın göreceliği


14/24



13

Olayların bu şekilde değişik referanslara göre incelenebilmesine "izafilik prensibi" adıverilir. Aerodinamikte olayların incelenmesinde çoğu zaman, elde edilen denklemlerindaha basit olması nedeniyle, incelenmekte olan cisme bağlı eksen takımında çalışılmasıtercih edilir. Yani cisim sabit, hava hareketli kabul edilir.

Akımın izafiliğini daha iyi anlayabilmek için durgun hava içerisinde sabit hızla uçan uçağın

burun kısmındaki durma noktası civarındaki olayları göz önüne alalım:

Yerdeki gözlemciye göre uçağın burnundaki S noktası ileri doğru V hızı ile hareketetmektedir ve bu noktadaki hava molekülleri de aynı hızla hareket etmektedir. Uçağınilerisindeki bir O noktasında yer alan hava molekülleri uçak yaklaşınca yavaşça ileriyedoğru hızlanmaya başlar. Uçak bu moleküle yetişince de uçakla aynı hızla hareketedevam eder.

Uçaktaki gözlemciye göre ise uçağın ilerisindeki O noktasında yer alan bir akışkanmolekülü uçağa doğru V hızı ile yaklaşmaktadır. Molekül, uçağa yaklaştıkça yavaşlar vetam S noktasına gelince durur. İki gözlemcinin bakış açısına göre olaylar farklı gibigörünmekteyse de, sonuçlar her iki halde de aynıdır. Yani her iki halde de S noktası

civarında oluşan basınç alanı, ve bunun uçak üzerinde yarattığı kuvvet aynıdır.

Gerçekte, genellikle atmosfer içerisinde ve büyük boyutlarda meydana gelen aerodinamikolayları, akımın izafiliği prensibinden yararlanarak "rüzgar tüneli" adı verilen özel deneyortamlarında modellemek ve deneysel olarak incelemek mümkün olmaktadır. Rüzgartünelinin "deney odası" adı verilen bölümüne, incelenecek cismin bir modeli sabit olarakoturtulmakta ve model üzerine istenilen hızda hava gönderilerek arzu edilen gözlemlergerçekleştirilebilmektedir.

3.4.2 Daimi Akım, Daimi Olmayan Akım

Bir hava akımının daimi olup olmayışı akım içerisinde gözlenen olayların zamana bağlı

olup olmayışını ifade eder.

Daimi akımda akım alanının her hangi bir noktasında akım hız ve doğrultusu, basıncı,yoğunluğu, sıcaklığı vb. gibi birtakım karakteristikleri hep aynıdır. Yani zamanladeğişmez.

Daimi olmayan akımda ise akım alanının seçilen noktasındaki akım karakteristiklerizamanla değişir.

Bazı hallerde bir gözlemciye göre daimi olmayan bir akım, diğer bir gözlemciye göredaimi olabilir. Diğer bir deyişle seçilen eksen takımına göre daimi veya daimi olmayan butip akımlara sanki daimi akım denilmektedir. Bu tip akımları gerçek daimi olmayanakımlardan ayırmak gerekir.

Örneğin şekildeki gibi durgun hava içerisinde düzgün doğrusal hareket yapan bir kanatgöz önüne alınırsa, herhangi bir P(x,y) noktasında kanadın etkisiyle meydana gelen akımhızı ve doğrultusu ile basıncın değeri zamanla kanadın konumu değiştikçe değişir. Oysakanat düzgün doğrusal hareket yaptığından, değişik zamanlarda kanat etrafındaki akımalanının fotoğrafı çekilirse olayların birbirinin benzeri olduğu görülür. Aynı kanat sabit,üniform, paralel hızlı bir akım alanı içerisine konup yakındaki bir P(x,y) noktasıincelenirse, bu noktadaki hız ve basıncın zamanla değişmediği görülür.


15/24



14

y

t 3

P (x,y )

Daimi olmayan akım Daimi akım

V

t 2 t 1

x

x

P (x,y )y

Şekil: Sanki-daimi akım

Görüldüğü gibi ilk bakış açısıyla "daimi olmayan tipten" bir olay olarak nitelendirilen akımalanı, ikinci bakış açısıyla "daimi" bir olay olmaktadır.

Gerçek daimi olmayan akıma iyi bir örnek olarak küt cisimlerin arkasındaki akım

alanlarını göstermek mümkündür. Örneğin, şekildeki gibi bir otomobilin arkasında çokkarışık ve zamanla çok çabuk değişim gösteren bir akım bulunduğunu özellikle tozlu biryolda veya yağmurlu bir havada fark etmek mümkündür. Silindir etrafındaki akım da butip cisimler için iyi bir örnek teşkil eder. Silindirin gerisinde girdaplı bir bölge oluşur ki bubölgeye iz adını veririz. Bu bölgedeki herhangi bir P(x,y) noktasındaki akımkarakteristikleri zamana önemli bir şekilde bağlıdır ve akım daimi değildir. Buna karşılıksilindirin ön tarafında göz önüne alınan diğer bir Q(x,y) noktasında ise akımın zamanladeğişimi ihmal edilebilir mertebelerdedir. Bu nedenle bu kısımdaki akım "daimi" kabuledilebilir.

Şekil: Gerçek daimi olmayan akım

3.4.3. Yörünge, akım filamenti ve akım çizgisi kavramları:

Akım alanlarının incelenmesinde akışkan zerrelerinin hareket doğrultuları ve yollarıylailgili önemli bazı kavramlar akışkan yörüngesi, akım filamenti ve akım çizgisi

kavramlarıdır.

Yörünge: Herhangi bir akışkan akımı çok sayıda akışkan zerrelerinin hareketi olarak gözönüne alınırsa, herhangi bir akışkan zerresinin hareketi sırasında izlediği yola bu akışkanzerresinin yörüngesi denir. Herhangi bir akım alanındaki akışkan zerrelerinin her biriningenel olarak ayrı bir yörüngesi bulunmakla birlikte bazı akışkan zerrelerinin yörüngeleriüst üste çakışabilir.

Akım filamenti : Bir akım alanının herhangi bir noktasından ardarda çıkmış bulunanakışkan zerrelerinin herhangi bir anda bulundukları noktaları birleştiren çizgiye akımfilamenti adı verilir. Örnek olarak bir sigaradan çıkan duman filelerini gösterebiliriz.

Daimi akımlarda akım filamentleri şekillerini korurken, daimi olmayan akımlardaki akımfilamentleri zamanla yer ve şekil değiştirirler.


16/24



15

Akım çizgisi : Daimi akımlarda bir akışkanın yörüngesiyle bu akışkanın üzerinde yer aldığıakım filamenti birbiriyle çakışır. Ve her ikisine birden yeni bir isim, "akım çizgisi" adıverilir. Anlaşılacağı üzere akım çizgisi kavramı sadece daimi akımlar için geçerli olan birkavramdır. Akım çizgilerinin şu özellikleri vardır:

- Akım çizgisi üzerinde her bir noktadaki hız vektörü akım çizgisine teğettir.

- Akım alanı içerisindeki her bir noktadan bir tek akım çizgisi geçer. Sadece akım hızınınsıfır olduğu ve dolayısıyla hız vektörünün bulunmadığı durma noktasında akım çizgilerikesişebilir.

- Akım çizgisi üzerinde hız vektörü akım çizgisine teğet olduğundan, akışkan zerreleri birakım çizgisinin bir yanından diğer yanına akım çizgisini kesecek tarzda geçemezler. Buözellik nedeniyle her bir akım çizgisi bir katı cidar gibi göz önüne alınabilir. Aynı şekildebir katı cidar da bir akım çizgisi gibi düşünülebilir.

3.4.4 Sürtünmeli akımlar, sürtünmesiz akımlar:

İçerisinde teğetsel gerilmeler oluşan akımlarasürtünmeli akım adı verilmektedir. Teğetselgerilmenin kaynağı viskozite ve akışkan hızındagenel harekete dik doğrultudaki gradyantlardır.

Örneğin x ekseni yönünde soldan sağa doğru u hızıyla akmakta olan bir akımda buna dik y doğrultusunda bir hız değişimi varsa x doğrultusunda

( ) yu ∂∂µ=τ /

şeklinde bir teğetsel gerilme oluşacaktır.

Bütün akışkanlar büyük veya küçük olsun birviskoziteye sahiptir. Ancak teğetsel gerilmeoluşması için viskozite yalnız başına yeterlideğildir. Mutlaka hız farklılıkları (gradyantı)olması gerekir. Örneğin, üniform paralel birakımda hız farklılıkları olmadığından teğetselgerilme oluşmaz.

Akım içerisinde hız gradyantı yaratacak etkençoğu zaman akım içerisinde yer alan bir katıcidar veya oluşturulan bir jet akımıdır.

Katı cidar viskozite yardımıyla akımın ilerlemesiniengelleyerek yarattığı b ir sınır tabaka ile hızgradyantı oluşturur. Sınır tabaka cismin gerisindebir iz bölgesi içerisinde hız gradyantını devamettirir.

Çevre ortam hızlarından farklı hızlardaki jetakımları ise yine viskozite yardımıyla hızgradyantları oluşturur.

∂u/ ∂y ≠ 0

τ ≠ 0

Şekil: Sürtünmeli akım

∂u/ ∂y=0

τ = 0

Şekil: Üniform-paralel akım

Sürtünmesiz akım bölgesi - ∂u/ ∂y ≈ 0

τ ≈ 0

Sınır tabaka ve iz bölgeleri - ∂u/ ∂y ≠ 0

τ ≠ 0

Şekil: Sınır tabaka ve iz.

∂u/ ∂y ≠ 0τ ≠ 0

V o ≠ V i

V i

Şekil: Jet akımı


17/24



16

Bu oluşumlar içerisinde cisimlerin aerodinamik incelemeleri bakımından en önemli birisisınır tabaka akımlarıdır.

3.4.4.1 Sınır tabaka:

Viskozitenin, akışkan tabakalarının birbiri üzerinde kaymaya karşı gösterdikleri direnc in

bir tür ölçüsü olduğunu söylemek mümkündür.

Aynı direnç etkisi akışkanla - katı cidar arasında da söz konusudur. Yani bir akışkan birkatı cisim etrafından geçerken veya bir cisim bir akışkan içerisinde hareket ederken cisimakışkana akışkan da cisme temas yüzeyleri boyunca teğetsel kuvvetler etkitir.

Deneyimler göstermektedir ki böyle bir hareket içerisinde temas yüzeyinin bütünnoktalarında katı cismin hızı ile akışkanın ortalama hızları aynıdır . Diğer bir deyişleakışkanın katı cisme göre hızı sıfır dır.

Cisme en yakın tabakalarda neredeyse durma hızlarında olan akışkan zerreleri daha üsttabakalardaki biraz daha hızlı komşu akışkan kitlelerine teğetsel kuvvetler etkiterek

onların yavaşlamasına neden olurlar.

Komşu tabakalar arasındaki bu etkileşim cisimden uzaklaştıkça azalacak biçimde sonsuzakadar devam eder.

Bir katı cidar civarında akım hızlarının bu şekilde azalması doğrudan viskoziteninsonucudur. Viskozitenin olmaması halinde, yani sürtünmesiz akımda bu etkininbulunmayacağını söylemek mümkündür. Aslında bütün akışkanlar viskoz yanisürtünmelidir. Ancak, yüzyılımızın başlarında, modern aerodinamiğin kurucularından olanPrandtl, viskozite etkisinin bir katı cidar yakınında dar bir bölgede çok fazla olduğunu vebu bölgenin dışına çıkınca etkinin ihmal edilebilir mertebelere indiğini tespit ederek, bircisim etrafındaki akım alanının farklı karakterde iki bölge halinde incelenmesinin uygunolacağını ortaya koymuştur. Bu bölgelerden, katı cidara yakın olan ve akım hızlarının

yukarıda izah edildiği gibi azaldığı bölgeye sınır tabaka adını vermiş, viskozite etkilerininihmal edilebilir mertebelere indiği dış bölgeye ise sürtünmesiz akım bölgesi adınıvermiştir.

Sınır tabaka genellikle akım hızlarının viskoz olmayan bölgedeki akım hızlarının %99'u vedaha altındaki mertebelerde olduğu bölge olarak tarif edilir. Katı cidardan itibaren, akımhızının sürtünmesiz akım hızının %99'una eşit olduğu tabakaya kadar olan mesafe desınır tabakanın kalınlığı olarak tanımlanır.

u=0, v=0

0.99 U e

Sürtünmesizakım hızı

U e

δ Sınırtabakakalınlığı

Sürtünmesizakım bölgesi

Şekil: Sınır tabaka yapısı


18/24



17

3.4.4.2. Laminer ve türbülanslı sınır tabaka, geçiş bölgesi

Sınır tabakalar, laminer ve türbülanslı olarak iki şekilde bulunabilir. Çoğu zaman laminerolarak başlayan sınır tabaka başlangıç noktasından belli bir uzaklıkta türbülanslı haledönüşür. Laminer sınır tabakanın türbülanslı hale dönüştüğü bölgeye geçiş (transition)bölgesi adı verilir.

Laminersınır tabaka

Geçişbölgesi

Türbülanslısınır tabaka

Şekil: Sınır tabaka bölgeleri

Sınır tabakanın laminer veya türbülanslı oluşunu tanımlamak için, önceki paragraftaakışkan zerresi olarak tanımladığımız molekül seviyesindeki mikroskopik akışkantanelerinden daha büyük, yani makroskopik seviyedeki akışkan kitlelerinin hareketinebakmak gerekir.

Şayet makroskopik büyüklükteki akışkan taneleri yörüngeleri boyunca düzgün görünümlübir akış halinde ise ve yörüngeler arasında makroskopik boyutta bir karışma olmuyorsabu tip sınır tabakaya laminer sınır tabaka adı verilir.

Buna karşılık türbülanslı sınır tabakada makroskopik büyüklükteki akışkan tanelerininhareketinde bir düzensizlik (rastgelelik) vardır. Yani, sınır tabaka içerisindeki her birtabakada ortalama bir hız yanında, şiddetli ve yüksek frekanslı ani hızlar söz konusudur.Diğer bir deyişle, tanecikler genel akım doğrultusunda ortalama bir hareket yaparkenrastgele doğrultularda ve rastgele hızlarda ani hareketler de yaparlar. Ani hız doğrultularırastgele olduğundan türbülanslı sınır tabakanın tabakaları arasında kütle transferi veoldukça kuvvetli bir karışım da söz konusudur. Geçiş bölgesinde ise Laminer vetürbülanslı sınır tabaka karakteristiklerinin her ikisine birden rastlanır.

V 1 ortalama

V 2 ortalama

V 1

t t

Laminer akım Türbülanslı akım

V 2

V

V 1

V 2

V

V 1

V’ 1

V 2 V’ 2

Şekil: Laminer ve türbülanslı tabakalarda partikül hızları


19/24



18

Laminer ve türbülanslı akım özelliklerine sadece sınır tabakalarda rastlamayız.Viskozitenin etkisinin çok kuvvetli olarak görüldüğü herhangi bir akım alanında darastlamak mümkündür. Bu türden bazı akım tipleri laminer ve türbülanslı akımözelliklerinin anlaşılması bakımından çok güzel örnek teşkil ederler. Örneğin, birsigaradan yükselen duman, veya bir musluktan akan su. Duman, sigaradan ilk çıktığı anoldukça düzgün bir hareket yapar. Duman zerrelerinin yörüngelerini açık bir şekilde

görmek mümkündür. Ancak sigaradan bir miktar uzakta yörüngeler birbirine karışmayave duman da dağılmaya başlar. İşte burada türbülanslı hale geçiş başlamıştır. Benzerişekilde musluktan yol-yol düzgün bir akışla çıkan su belli bir uzaklıktan sonra daha karışıkbir görünüm alır. Yani türbülanslı akım özelliği göstermeye başlar.

3.4.4.3. Sınır tabakada hız değişimi, yüzey sürtünmesi

Laminer ve türbülanslı sınır tabakalardaki tipik hız dağılımları aşağıdaki şekildegörülmektedir. Burada u ile katı cidara paralel hızlar belirtilmektedir. Fark edildiği gibi,türbülanslı halde katı cidar yakınındaki hız gradyantı (hızın cidara dik doğrultudakideğişimi) laminer haldekinden daha fazladır.

u/ue 1

1

y/ δ

Laminer

Türbülanslı

Şekil: Sınır tabakada hız dağılımı

Sınır tabaka içerisinde herhangi bir noktada akışkan tabakaları arasındaki kaymagerilmesi şiddetinin

( ) yu ∂∂µ=τ /

şeklinde hız gradyantına ve mutlak viskozitenin büyüklüğüne bağlı olduğu belirtilmişti. Bugerilmenin yüzey üzerindeki değeri, yani yüzey sürtünme gerilmesi ise

( )0

/ =∂∂µ=τ yw yu

Yüzey üzerindeki hız gradyantının büyüklüğüne bağlıdır.

Buna göre türbülanslı halde yüzey yakınındaki hız gradyantı laminer haldekinden dahabüyük olduğundan, türbülanslı haldeki yüzey sürtünme sürüklemesi laminer haldekindendaha fazladır.

Ayrıca deneyimler göstermektedir ki türbülanslı sınır tabakanın kalınlığı, aynı noktada yeralacak bir laminer sınır tabakaya kıyasla daha fazladır.

Bu iki nedenden ötürü bir uçak üzerinde oluşan sınır tabakanın mümkün olduğu kadarlaminer kalması arzu edilir.


20/24



19

Türbülanslı ve laminer sınır tabaka kalınlıklarının oranı hakkında bir fikir belirtmekgerekirse, deniz seviyesinde 65 m sn / hızındaki akım içerisinde yer alan bir düz levhanın

burnunda sınır tabaka kalınlığı sıfır ve burundan 1 m gerideki laminer sınır tabaka kalınlığı2 mm iken, aynı noktada türbülanslı sınır tabaka bulunması halinde bu tabakanın kalınlığı20 mm kadar olmaktadır.

3.4.4.4. Sınır tabaka ayrılması

Sınır tabakada laminer, geçişsel ve türbülanslı bölgeler dışında önemli bir olay daayrılmadır. Sınır tabaka içerisinde katı cidarı takip etmekte olan akışkan zerreleri bazıhallerde belli bir noktadan sonra aniden cidardan uzaklaşan bir yörünge takip etmeyebaşlarlar. Bu durumda ayrılmanın olduğu noktanın gerisinde akışkanın genel akım yönünezıt yönde bir hareket yaptığı da gözlenir.

Dış akım bölgesi

Ayrılmanoktası

sınırtabaka

Ters akımbölgesi

Şekil: Sınır tabakanın ayrılması

Ayrılmanın başlıca nedeni sınır tabaka içindeki akışkan zerrelerinin hareketini zorlaştırıcıyöndeki basınç kuvvetleridir. Sınır tabaka içinde zaten genel akım hızından daha düşükhızla, yani küçük bir momentuma sahip olacak şekilde hareket etmekte olan akışkanpartikülleri, zıt yöndeki bir basınç kuvvetinin etkisi halinde, bu kuvveti yenebilecek kadarmomentuma sahip olmadıkları takdirde daha da yavaşlayarak bir yerden sonra duvardanuzaklaşacak şekildeki harekete başlarlar.

Bu tip olaylar ters basınç gradyantı halinde ortaya çıkar. Yani, sınır tabakanın oluştuğukatı cidar boyunca basınç giderek artıyorsa sonuçta muhtemelen bir ayrılma ilekarşılaşılabilir.

Ayrılma olayı sınır tabakanın laminer olduğu kısmında meydana gelirse laminer ayrılma,türbülanslı kısmında meydana gelirse türbülanslı ayrılma olarak adlandırılır.

Ayrılmaya kadar gelişen sınır tabaka içerisinde duvar üzerindeki hız gradyantı incelenirse,

i) Ayrılmadan önce ( ) 0 / >∂∂w

yu olduğu, ancak bu gradyantın değerinin ayrılma

noktasına yaklaştıkça azaldığı,

ii) Ayrılma noktasında ( ) 0 / =∂∂ w yu olduğu,

iii) Ayrılma noktasından sonra ise ( ) 0 /


21/24



20

eder. Bu gibi hallerde sınır tabakanın ayrıldığı ve yeniden cidara yapıştığı noktalararasında kalan bölgede kapalı bir dönel akım oluşur (Şekil 5.9). Bu bölgeye laminerayrılma kabarcığı adı verilir. Bu tür ayrılmalara özellikle kanat profillerinin hücumkenarları civarında rastlanır.

Laminerayrılma

kabarcığı

Laminersınır

tabaka


YenidenyapışmanoktasıLaminer

ayrılmanoktası

Şekil: Laminer ayrılma kabarcığı

3.4.4.5. Sınır tabaka gelişimini etkileyen faktörler, Reynolds sayısı

Hava akımı içerisinde yer alan uçak gövdesi, kanadı gibi ve benzeri bir cisim üzerindemeydana gelen sınır tabakanın

- kalınlığı,- laminer veya türbülanslı oluşu,- laminer halden türbülanslı hale geçtiği noktanın konumu,- ayrılma oluşumu ve ayrılma noktalarının yerleri

gibi sınır tabaka ile ilgili bir çok olay, akım alanı ve cismin geometrisiyle ilgili birçokfaktörden önemli ölçüde etkilenir. Bu etkenler şunlardır:

- Reynolds sayısı- Basınç gradyantı- Yüzey pürüzlülüğü- Serbest akım türbülansı

REYNOLDS SAYISI:

Reynolds sayısı bir akışkan akımında atalet kuvvetleri ile viskoz kuvvetler (sürtünmekuvvetleri) arasındaki oranı gösteren çok önemli bir parametredir.

µ

ρ=→∝

lU

kuvvetler Viskoz

kuvvetleri Atalet ReRe

Bu tanımlamaya göre, Reynolds sayısının çok küçük olması halinde bir akım alanınınhemen tamamında viskoz kuvvetlerin hakim olacağını söyleyebiliriz. Buna karşılıkReynolds sayısı arttıkça atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetler yanında önem kazandığınıgörürüz. Reynolds sayısının yüksek değerlerinde ise akım alanının genelinde ataletkuvvetleri baskın olup, bu kuvvetler yanında sürtünme kuvvetlerinin etkisi ihmal

edilebilir. Ancak bu halde, akışkanın katı cidarlarla temas halinde olduğu bölgelerdeviskoz kuvvetlerin önemi yine büyüktür. Nitekim, sınır tabaka dediğimiz oluşumun


22/24



21

meydana geldiği bu bölgelerde akışkan hızları, sürtünme kuvvetleri nedeniyle cidarüzerinde sıfır olacak şekilde azalır.

Aynı mantıkla sınır tabaka üzerinde Reynolds sayısının etkisini incelersek, Reynolds sayısıarttıkça atalet kuvvetlerinin akım alanının geneli üzerindeki etkisinin daha da artacağınıve viskoz kuvvetlerin hakim olduğu sınır tabaka bölgesinin daha inceleceğini söylememiz

mümkündür.

Reynolds sayısının sınır tabaka üzerindeki bu genel etkisi dışında önemli bir diğer etkiside sınır tabakanın laminer halden türbülanslı hale geçiş bölgesinin yeri üzerindedir.Deneyimler göstermiştir ki Reynolds sayısı arttıkça sınır tabaka daha çabuk (yani, dahaöndeki bir noktada) türbülanslı hale geçmektedir.

Gerek laminer ayrılma ve türbülanslı ayrılma oluşumu ve konumları, ve gerekse laminerayrılma sonucu bir kabarcık oluşumu yine Reynolds sayısının değerine bağlı olarak önemliölçüde değişebilen diğer sınır tabaka özellikleridir.

BASINÇ GRADYANTI:

Bir katı cidar boyunca oluşan sınır tabakanın gelişimi, geçiş bölgesinin yeri, laminer veyatürbülanslı ayrılma oluşumu ve konumları üzerinde cidar boyunca basınç değişiminin çokönemli etkileri vardır. Bu etkileri kabaca şu şekilde özetlemek mümkündür:

- Negatif basınç gradyantı genellikle sınır tabakanın gelişimini olumlu yönde etkiler.

- Pozitif basınç gradyantı ise sınır tabaka gelişimini olumsuz yönde etkileyerek geçişin veayrılma oluşumunun çabuklaşmasına neden olur.

Ayrılmabölgesi

Laminersınır

tabaka


0 / >∂∂ s p

Geçiş bölgesi

0 /


23/24



22

3.4.4.6. İz bölgesi

Akışkan akımına maruz bir katı cisim üzerinde oluşan sınır tabaka bu cismin bitiminde,yani firar kenarında aniden ortadan yok olmaz, Sınır tabakanın özellikleri cismin gerisindebir kaymalı akım bölgesinde kendini göstermeye devam eder. Cismin gerisindeki bubölgeye iz bölgesi adı verilir (Şekil 5.11). İz bölgesi içerisinde viskoz kuvvetler, sınır

tabaka içinde olduğu gibi önemini korur ve akışkan hızlarında aynen sınır tabakaiçindekine benzer bir dağılım görülür.

İz bölgesisınır tabaka

Şekil: İz bölgesi

Iz bölgesinin yapısı (hız dağılımı) ve cismin gerisindeki gelişimi sınır tabakanın yapısındave oluşan ayrılmalardan önemli ölçüde etkilenir.

3.4.4.7. Sınır tabaka ve izin akım alanı üzerindeki etkisi ve havacılıktaki önemi

Bir cisim etrafında meydana gelen sınır tabakanın iki önemli etkisinden söz etmekmümkündür. Bunlardan birincisi akışkanın katı cidar üzerinde yarattığı sürtünmekuvvetidir. Katı cismin bütün cidarları üzerinde oluşan sürtünme kuvvetlerinin bileşkesikatı cismin akışkan içerisinde ilerlemesini engelleyici yöndedir ve genellikle sürtünmesürüklemesi adı ile bilinir. Daha önce de belirtildiği gibi türbülanslı sınır tabakalardasürtünme sürüklemesi laminer sınır tabakalara kıyasla daha fazladır. Bu nedenle uçakgövdesi, kanadı ve benzeri aerodinamik yapılı cisimler üzerinde sınır tabakanın mümkünolduğu kadar geniş bir bölgede laminer kalması arzu edilir.

Sınır tabakanın ikinci önemli etkisi de akım alanındaki basınç dağılımı üzerinde gözükür.Gerek sınır tabakanın kalınlığı ve gerekse sınır tabakanın gelişiminin bir sonucu olarakortaya çıkan ayrılma ve iz bölgeleri akım alanındaki basınç dağılımının değişmesine ve

bunun sonucu olarak da katı cisme etkiyen ilave bir basınç sürüklemesi nin oluşumunaneden olurlar. Ayrıca taşıma katsayısı üzerinde önemli bir etkisi vardır. Bu etkilerilerleyen bölümlerde incelenecektir.

3.4.4.8. Sürtünmesiz akım yaklaşımı

Daha önce de belirtildiği gibi gerçekte bütün akışkanların az veya çok bir miktarviskoziteleri vardır. Akışkanın viskoz özelliği akım alanının her tarafında mevcuttur.Ancak, yine belirtildiği gibi akışkanın viskozitesiyle ilgili olarak ortaya çıkan sürtünmekuvvetleri genel olarak akışkanın katı yüzeylerle temasta bulunduğu bölgelerde belirgin,bunun dışındaki bölgelerde ise ihmal edilebilir mertebelerdedir. İşte bu şekilde viskoziteetkilerinin ihmal edilebilir mertebelerde olduğu akım alanlarına sürtünmesiz akım gözüyle

bakmak mümkündür. Akım alanlarının bu şekilde bir modelle göz önüne alınmasıaerodinamik incelemelerde büyük kolaylık sağlar.


24/24

Akışkan hareketini yöneten genel denklemler 23

03- Akışkan Hareketini Yöneten Genel Denklemler

Documents

Transcript of 03- Akışkan Hareketini Yöneten Genel Denklemler