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MECANICA TECNICA II MEC 213

1)

Datos:h = 600 m, v= 220 Km/hr = 61, 1 m/seg, = 45Incognitas:= , = = .

Utilizaremos coordenadas polares (cilndricas) para hallar solucion. El vector posicion es:r= e; derivando temporamente, la velocidad y la aceleracion resultan:

v= e+ e a= ( 2) e+ (+ 2 ) e

Pero, vemos que: v= v e+v e= v cos e+v sin e ; por tanto:= v cos y = v sin Pero: sin = h

= h

sin = 848, 5 m

As que: = v cos = 155, 6 m/seg = = v sin

= 0, 05 rad/seg

La velocidad es: v= v ev(cte), y luego: a= v= 0. Por tanto, tendremos:

2 = 0 y + 2 = 0 = =2

= 0, 018 rad/seg2

3) En coordenadas curvilineas, el vector desplazamiento elemental es: dr =|| dr|| t= ds t; de donde podemoestablecer que: t=

dr

ds. Si ahora, derivamos temporalmente este vector:

dt

dt =

d

dt

dr

ds

=

d

dt

dr

ds

ds

ds

Por tanto: dt

dt =

ds

dt

d 2r

ds2 = s

d 2r

ds2 . Por otra parte,

dt

dt = t= t= bt=

d

dtn=

ds

dtn=

s

n

Igualando estos dos ultimos resultados:

s

n

= s

d 2r

ds2 1

n

=

d 2r

ds2. Evaluando modularmente estexpresion (recordando que||n|| = 1) obtenemos finalmente:

=1

=

d 2rds2

4)

Determinamos las ecuaciones de transformacion de vectores unitarios proyectando aquellos del sistema coordenadesferico sobre los ejes del sistema coordenado rectangulaSiendo ||e|| = 1, tenemos: OA =||e|| sin = sin (proyeccion de||

e||en el plano xy)

e= OAcos + OA sin + ||e|| cos ke= sin cos + sin sin + cos k (1)

Similarmente: e = sin + cos (2)Pero, sabemos que en el sistema coordenado esferico se cumple: e = ee. Desarrollando este producto:

e = sin sin2 k+cos sin sin cos2 k+cos cos = cos cos +cos sin sin (sin2 +cos2

e = cos cos + cos sin sin k (3)

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Si escribimos matricialmente las Ecuaciones (1), (2) y (3); tendremos como resultado final:

eee

=

sin cos sin sin cos sin cos 0

cos cos cos sin sin

k

5)

En coordenadas curvilneas, la aceleracion viene especificada por

a= s t+s2

n . Pero, la rapidez: v = s=

ds

dt es constante; po

tanto: s = v = 0. As, a = v2

n con magnitud: a = v2/

Entonces, aP =v2/P aQ= v2/Q v2 =aPP=aQQEn la Figura podemos apreciar que: P > Q. Por tanto: aQ/aP = P/Q > 1, y luego: aQ > aP. Por estbreve analisis NO estoy de acuerdo con la aseveracion planteada.

El vectorJ= da/dtes en este caso:J= a=v2

n, donde: n= n= bn=

d

dtbn. Pero, de la Figura

ds= d d= ds/. Por tanto: n= ds dt

bn= v

(t), luego J= v3

2(t). As, el vector Jresulta se

tangente a la trayectoria de movimiento, pero con sentido opuesto al de avance sobre la misma.

2) El desarrollo de la solucion para esta pregunta del examen se deja como ejercicio para los alumnosinteresados.

Respuesta correcta: A= ||A|| =4

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