MATLAB

Week 7

Numerical Integration and Differentiation

ความหมายของคาอนุพันธโดยประมาณ

( ) ( )h

xfhx�fdxdy

h

11

0lim −+

=→

การหาคาอนุพันธดวย MATLAB

คําสั่ง

diff(x) หาคาความแตกตางระหวาง element ตางๆ ใน x

ผลที่ไดคือ [x(2)-x(1), x(3)-x(2),…,x(n)-x(n-1)]

diff(x,n)

หาคาความแตกตางระหวาง element ตางๆ ใน x

n เปนจํานวนครั้งของความแตกตาง

ตัวอยาง

หาอนพุนัธของ A เทยีบตอ h

หาอนพุนัธของ A เทยีบตอ B

การหาคาอนุพันธของฟงกชั่นดวย MATLAB

อนุพันธอนัดบั 1 ของฟงกชั่น cos(x) + sin(x)

( ) ( )( )dx

xxd sincos +กําหนดคาตัวแปร x ใหเปนสัญลักษณ

ทางคณิตศาสตร

การหาคาอนุพันธของฟงกชั่นดวย MATLAB

อนุพันธอนัดบั 2 ของฟงกชั่นyxyx

+− ( )( )

2

2 ,dx

yxfd

หาอนพุนัธเทยีบตอ x

หาอนพุนัธเทยีบตอ y

การหาคาอนุพันธของฟงกชั่นดวย MATLAB

อนุพันธของฟงกชั่นพหุนาม

polyder(A) หาอนุพันธของฟงกชั่นพหุนาม เมื่อ

A คือ เวกเตอร สปส

การอินทิเกรตเชิงตวัเลข

การอินทเิกรต คือ การนําสวนยอยๆ มารวมกันเปนชิ้นใหญ

( )∫=a

b

dxxfQ

การอินทิเกรตเชิงตวัเลข

กฎสี่เหลีย่มคางหมู (Trapezoidal rule)

( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++= ∑

−

=

1

10 2

2

k

kkn xfxfxfhQ

nabh −

=

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezoidal rule)คําสั่ง

trapz(x,y)

การหาคาอินทิเกรตของฟงกชั่น y โดยใช

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู

cumtrapz(x,y) การหาคาอินทิเกรตของฟงกชั่น y โดยใช

กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบสะสม

กฎสี่เหลี่ยมคางหมู (Trapezoidal rule)ตัวอยาง

กฎของซิมปสัน (Symson’s rule)คลายกับ trapezodalc แตจะแบง n ออกเปนสองชวง ทาํให

จํานวนชวงยอยตองเปนเลขคู

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∑∑

=

=

=

=

2

6,4,2

1

5,3,10 24

3

n

kk

n

kkn xfxfxfxfhQ

nabh −

=

กฎของซิมปสัน (Symson’s rule)คําสั่ง

Q=quad(‘F’,a,b)

การประมาณคาอินทิเกรตของฟงกชั่น F จาก ชวง a ถึง b โดยใช Symson’s

rule

กฎของซิมปสัน (Symson’s rule)ตัวอยาง

การอินทิเกรตของนิวตัน-โคตสเปนการหาคาอนิทิเกรตโดยใชฟงกชั่นพหุนามทีม่ีอันดับสูงๆ มาหาคาผลลัพธ

คําสั่ง

Q=quad8(‘F’,a,b)

การประมาณคาอินทิเกรตของฟงกชั่น F จาก ชวง a ถึง b โดยใชกฎของ Newton-Cotes

คา error = 10-3 (เกาแลว)

Q=quadl(‘F’,a,b)

การประมาณคาอินทิเกรตของฟงกชั่น F จาก ชวง a ถึง b โดยใชกฎของ Newton-Cotes

คา error = 10-6

การอินทิเกรตของนิวตัน-โคตสตัวอยาง

การอินทิเกรตของนิวตัน-โคตสตัวอยาง

การอินทิเกรตฟงกชั่นฟงกชั่น int สําหรบัการอินทิเกรตฟงกชั่นทีอ่ยูในรปูตัวแปร

symbolic

คําสั่ง

int(E)

การอินทิเกรตฟงกชั่น E

int(E,v)

การอินทิเกรตฟงกชั่น E เทียบกับตัวแปร v

int(E,a,b)

การอินทิเกรตฟงกชั่น E ในชวง a ถึง b

int(E,v,a,b) การอินทิเกรตฟงกชั่น E เทียบกับตัวแปร v

ในชวง a ถึง b

การอินทิเกรตฟงกชั่นตัวอยาง

แบบฝกหัด

ใหเขียนคําตอบลงในกระดาษ

จงหาอนุพันธของโจทยตอไปนี้

1.

จงหาคาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ A(t) ที่เวลา t=1.85

2.

จงหาคาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ A(t) ในชวง 0.8-1.2

จงคํานวณหา ดวย 3 วิธี เปรียบเทยีบคําตอบ

1.

2.

( ) 3 ttA =

( )∫pi t te

0

2 3cos21

0

1 xx −∫

แบบฝกหัด

ใหเขียนคําตอบลงในกระดาษ

จงหาคาอนุพันธ และคาอนิทิเกรตของฟงกชัน่ตอไปนี้

1.

2.

3.

( )te t 3cos221 xx −

( )xtsin