MATIK.docx

8/18/2019 MATIK.docx

1/24

os

PAPER

MATEMATIKA DASAR I

FUNGSI DAN GRAFIK

NAMA KELOMPOK :

I PUTU BAYU KENANDA ( 1308105003 )

NI PUTU LISNA OKVIANI ( 1308105019 )

ROSALIA GOSAL ( 1308105010 )

AYU PRITA WINDARI ( 1308105041 )

PROGRAM STUDI KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

BALI

!013


2/24

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (esaran!

tertentu "ada kuantitas (esaran! lainnya. #ungsi da"at dinyatakan dalam $ cara yaitu secara

%eral (kata&kata!' numerik (tael nilai!' %isual (grafik! dan alaar (rumus eks"lisit!. #ungsi'

dalam istila) matematika adala) "emetaan setia" anggota seua) )im"unan (dinamakan

seagai domain! ke"ada anggota )im"unan yang lain (dinamakan seagai kodomain!. Istila)

ini ereda "engertiannya dengan kata yang sama yang di"akai se)ari&)ari' se"erti *alatnya

erfungsi dengan aik.+ ,onse" fungsi adala) sala) satu konse" dasar dari matematika dansetia" ilmu kuantitatif. Istila) -fungsi-' -"emetaan-' -"eta-' -transformasi-' dan -o"erator-

iasanya di"akai secara sinonim.

B. uuan

/etela) mem"elaari "okok a)asan ini' ma)asiswa da"at menggamarkan grafik fungsi

yang dierikan.

0. 1umusan 2asala)

Pengertian #ungsi secara oektif

Domain dan ,odomain #ungsi

3"erasi' ,om"osisi dan In%ers #ungsi

2acam&macam #ungsi

4rafik #ungsi

D. 1uang Lingku"

1uang Lingku" "ermasala)an yang kami a)as adala) mem"elaari fungsi

dan grafik dalam kalkulus terseut.

http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1


3/24


4/24

BAB II

PE2BAHA/AN

A. Pengertian dan Penyaian #ungsi

/eua) fungsi f adala) aturan yang memasangkan setia" elemen x dalam satu

)im"unan' misalkan A' dengan te"at satu elemen f(x) dalam )im"unan kedua' misalkan B.

Him"unan B ole) sama dengan )im"unan A.

A"aila f meru"akan fungsi yang memasangkan setia" anggota A "ada te"at satu

anggota B' maka f ditulis seagai f : A → B. Him"unan A diseut "#$%&' (daera) asal'

daera) definisi! fungsi f dan )im"unan B diseut #"#$%&' (daera) kawan! dari fungsi f.

Em"at situasi erikut menggamarkan cara "enyaian fungsi' yaitu 5

a. Luas daera) A dari suatu lingkaran tergantung "ada ari6ari r lingkaran terseut. Aturan

yang mengaitkan r dan A dierikan ole) "ersamaan A = π r 2.

/etia" nilai r er)uungan dengan nilai A' maka dikatakan a)wa A adala) fungsi dari r .

#ungsi terseut disaikan melalui suatu *$*+ ,+-.&+&/.

. Po"ulasi manusia P di dunia tergantung "ada waktu t . ael erikut memerikan taksiran

"o"ulasi dunia P(t) "ada waktu t ' untuk ta)un tertentu.

c. Biaya "engiriman surat tercatat C tergantung "ada eratnya w. 7alau"un tidak terda"at

rumus seder)ana yang mengaitkan C dan w' kantor "os mem"unyai aturan tertentu (da"at

disaikan dengan *%&%' %/% %/%! untuk menentukan C ila w diketa)ui. Aturan yang

digunakan Perusa)aan Pos Amerika /erikat ta)un 899: seagai erikut 5 Biayanya adala)

;< sen untuk erat sam"ai dengan satu ons' ditama)


5/24

x

a

f(x)

f(a)

B. Domain dan ,odomain #ungsi

Domain fungsi f yaitu )im"unan elemen&elemen di mana fungsi f menda"at nilai (suatu

ilangan real!. Him"unan agian dari B yang anggota&anggotanya meru"akan nilai&nilai yang

di"erole) dari fungsi f diseut %', (daera) )asil! dari fungsi f .

Pemicaraan tentang domain dan range memegang "eranan "enting dalam fungsi

karena )al ini terkait dengan nilai&nilai dimana fungsi mem"unyai makna.

f

D#$%&' R%',

K,/,%&/%' %'/% %&%,.

Lamang yang menyatakan suatu ilangan searang "ada domain f diseut %&%,. ,%+.

/edangkan lamang yang menyatakan ilangan "ada range f diseut %&%,. /,&%/.

2isalnya dalam em"at "enyaian fungsi di atas' a"aila fungsi disaikan dalam entuk rumus

eks"lisit erikut A = π r 2 maka r meru"akan %ariael eas' sedangkan A adala)

%ariael teri #ungsi entuk ,+-.&+&/ adala) fungsi yang %ariael eas dan %ariael

terikatnya ter"isa). =ika x %ariael eas dan y %ariael terikat maka notasi fungsi entuk

eks"lisit ditulis y > f(x).

#'/#6 :

a. y > ; sin x ? cos x

. y > x


6/24

#ungsi entuk &$-.&+&/ adala) fungsi yang %ariael eas dan %ariael terikat letaknya

tidak ter"isa). =ika x %ariael eas dan y %ariael terikat maka notasi fungsi entuk im"lisit

ditulis f(x, y) > @.

#'/#6 :

a. ( x&;! y ? x &; y > @

. x f(x) meru"akan fungsi yang dientuk dari +%/* %&%,. yakni x'

sedangkan fungsi z > f(x, y) adala) fungsi yang dientuk dari "*% %&,. yaitu x dan y.

#'/#6 :

a. #ungsi satu %ariael

∼ y > ; x 6 <

∼ z > sin y ? cos y


7/24

. #ungsi dua %ariael

∼ z > x; ? $ x a


8/24

1ange fungsi g ( x! adala) R(g) = {y ∈ R : y >

x

x

<


9/24

g f

(f + g)(x) >

x

?

<$ x−

' dan daera) asal 5 @'

x

&

;$ x x −

' dan daera) asal 5 @'

<$ x

x

− >

<$ x

x

− ' dan daera) asal 5 @'

K#$-#+&+& F*'+&

Dierikan fungsi f dan g ' 2*'+& #$-#+&/ f

g (diseut uga kom"osisi dari f dan g !

didefinisikan ole)

(f

g)(x) > f(g(x))

Daera) asal f

g adala) )im"unan dari semua x di dalam daera) asal g sedemikian

)ingga g(x) erada di dalam daera) asal f . Dengan kata lain , (f

g)(x) akan terdefinisi ika

g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penelasan f

g da"at dilakukan dengan gamaran

diagram mesin erikut 5

x g(x) f(g(x))

($%+*%') (,.*%%')

Jariael x seagai masukan' akan di"roses mesin g dan akan di"erole) )asil g ( x!' selanutnya

g ( x! akan menadi masukan agi mesin f ' )asilnya adala) f ( g ( x!!

#'/#6 :

=ika f(x) >

x

dan g(x)

x−<

tentukan kom"osisi fungsi erikut daera) asalnya.


10/24

a. f

g c. f

f

. g

f d. g

g

P,'7,.,+%&%' :

a. (f

g)(x) > f(g(x)) > f (

x−<

! >

-x<

>

$

{ } (&

∞' g(f(x)) > g (

x

! >

x-<

.

Agar

x

terdefinisi' maka x ≥

@ dan agar

x&<

terdefinisi maka < &

x

≥

@' yaitu

x

≤

< atau x≤

$' se)ingga daera) asalnya adala) @' $.

c. (f

f)(x) > f(f(x)) > f (

x

! >

x

>

$ x

' dan daera) asalny adala) @ '∞

!.

d. (g

g)(x) > g(g(x)) > g (< &

x

! >

- x-


11/24

#'/#6 :

0arila) f

g

h ika f(x) >8+ x

x

' g(x) > x dan h(x) > x ? ;

P,'7,.,+%&%' :

( f g

h)(x) > f(g(h(x))) > f(g(x + 3)) > f(( x ? ;!! >

8;

;A

A

++

+

)(x

)(x

∎

I',+ F*'+&

/uatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daera) asalnya A dengan nilai tunggal y

dalam daera) )asilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B di"erole) kemali nilai x yang ole) f

itu di"adankan dengan y. #ungsi yang aru ini' yang memadankan nilai y dengan x'

dilamangkan dengan f ;1 dan diseut &',+ "%& f Daera) asal f &8 adala) B dan daera)

)asilnya adala) A. Lamang f &8 ukan erarti f

8

.

Hal ini da"at dituliskan

y > f(x) x > f &8(y)

#'/#6 :

entukan f &8(x) dari f(x) >


12/24

D. 2acam&macam #ungsi

Beera"a macam fungsi yang disaikan dalam su a ini adala) fungsi tangga' fungsi

gasal' fungsi gena"' fungsi alaar' fungsi logaritma' dan fungsi eks"onensial

F*'+& M#"*.*+

#ungsi modulus adala) fungsi yang terdefinisi secara se"otong&se"otong #ungsi&fungsi

yang sering digunakan adala) dua fungsi yang sangat k)usus yaitu fungsi nilai mutlak '

dinotasikan K K' dan fungsi ilangan ulat teresar' dinotasikan

[ ].

#ungsi nilai mutlak disaikan seagai K x K >

<

≥

@ ika &

@ ika

x x

x x

4rafiknya mem"unyai sudut taam "ada titik asal. Per)atikan grafik erikut 5

y

-x @ x

#ungsi ilangan ulat teresar disaikan seagai

[ ] x' yaitu ilangan ulat teresar

yang lei) kecil atau sama dengan x. 4rafiknya melom"at "ada tia" ilangan ulat.

#'/#6 :

Biaya "engiriman surat C(w) dengan erat w disaikan seagai erikut.


13/24

C(w) >

≤<

≤<

≤<

≤<

$; ika8'@8

; @'C: dan

seterusnya

F*'+& G,'%- "%' F*'+& G%+%.

#ungsi y > f(x) diseut 2*'+& ,'%- ika f( - x ) f( x )

#ungsi y > f(x) diseut 2*'+& %+%. ika f( - x ) - f( x )

4rafik fungsi gena" simetris dengan sumu y' sedangkan grafik fungsi gasal simetri ter)ada"

titik asal.

#'/#6 :

A"aka) f(x) > ; x 6 x

;

6 (& x!; 6 < (& x! > & x; ? &( x; 6 < x! > & f(x) maka f(x) adala) fungsi

gasal ∎

F*'+& A.


14/24

tidak terda"at seagai "enyeut dan dikatakan -,=%6 %+'%. ika x terda"at seagai

"enyeut.

#'/#6 :

a. f(x) >;

8

x; 6 x xA

;<

+

+

x

x x

dan g(x) >8;

8&

+ x

x

adala) fungsi alaar "eca) rasional.

c. f(x) >$&

8&<

x

x

meru"akan fungsi alaar "eca) irrasional' dan g(x) > a x meru"akan fungsi turun

=ika a M8' f(x) meru"akan fungsi naik.

=ika a, b M @ dan x , y ∈ℜ

' maka

8. a x + y > a x + a y


15/24

y

x

a

a

3. (a x ) y > x x y

$. (a b) x > a x b x

=ika a > e ilangan natural maka di"erole) 2*'+& ,+-#','+&%. '%/*%.'yaitu

y > e x

F*'+& L#%&/$%

#ungsi eks"onensial f(x) > a x mem"unyai in%ers yang diseut 2*'+& .#%&/$%

dengan ilangan "okok a dilamangkan dengan

loga

. =ika digunakan "erumusan fungsi

in%ers'

f - (x) > y ⇔

f(y) > x

maka di"erole)

loga

x = y ⇔

a y = x

se)ingga

loga

(a x ) > x untuk setia" x ∈

ℜ

dan

x a

a log

> x untuk setia" x M @

/ifat fungsi logaritma dierikan dalam teorema erikut.

T,#,$% :


16/24

=ika a M 8' fungsi f(x) >

loga

x meru"akan fungsi kontinu dan naik dengan daera) asal (@'

∞! dan daera) )asil

ℜ.

=ika x, y M @ dan r ilangan real searang' maka

8.

loga

(x y) >

loga

x ?

loga

y

r

loga

x

3.

loga

(

y

x

) =

loga

x 6

loga

y

#ungsi logaritma dengan ilangan "okok e diseut .#%&/$% '%/*%. dan mem"unyai

lamang k)usus

log!

x > "# x

Dari sifat fungsi logaritma di"erole)

"# x > y⇔

! y > x

"#(! x ) > x untuk setia" x ∈

ℜ

e "# x > x untuk setia" x M @

Untuk x > 8' di"erole)

"# e > 8

/ifat&sifat logaritma Natural

=ika x dan y ilangan "ositi" dan r ilangan rasional' maka

. "# (x y) > "# x ? "# y


17/24

2. "# (

y

F

) > "# x 6 "# y

3. "# (xr ) > r "# x

E. 4rafik #ungsi

=ika daera) asal dan daera) )asil suatu fungsi meru"akan ilangan real' maka

fungsi itu da"at digamarkan grafiknya "ada suatu idang koordinat. %2& 2*'+& f adala)

grafik dari "ersamaan y > f(x).

Dalam )al menggamar grafik' ada dua entuk grafik yang digunakan' yaitu sketsa

kasar dan sketsa )alus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan digunakan' a"aka) sketsa

)alus atau kasar' tentu tergantung dari keutu)an. =ika yang diutu)kan )anya "ola )uungan

antar %ariael' cuku" digunakan sketsa kasar' teta"i ika akan digunakan untuk mem"rediksi

nilai data "ada titik tertentu' tentu saa sketsa )alus yang diutu)kan.

=ika entuk fungsi elum diketa)ui dan yang diketa)ui )anya sekum"ulan datanya'

maka untuk menentukan entuk fungsinya' terlei) da)ulu di"rediksi entuk fungsi terseut.

/elanutnya dengan menggunakan data&data yang tersedia' kemudian dicari konstanta&

konstanta yang elum diketa)ui. Untuk menentukan konstanta&konstanta terseut sering

digunakan metode kuadrat terkecil dan )al ini akan dia)as "ada saat "ema)asan turunan'

sedangkan "ada "ema)asan ini akan digunakan "endekatan kasar.

#'/#6 :

/ketsa grafik y > x

/ketsa grafik y > x x&<


18/24

&8

@

8

<

8

@

8

<

/e)ingga grafiknya adala)

. 4rafik untuk fungsi kuadrat di atas eru"a "araola yang teruka ke atas. Untuk

menggamarkan grafik y > x

• /umu simetri y ><

;

<−=−

a

b

• ,arena a > 8 M @' maka grafik teruka ke atas .


19/24

T%'+2#$%+& 2*'+&

Dengan menera"kan transformasi tertentu "ada grafik fungsi yang diketa)ui akan da"at

di"erole) grafik aru yang erkaitan. Ada dua transformasi fungsi yang da"at digunakan

untuk menda"atkan grafik aru ' yaitu

8. P,,+,%' (/%'+.%+&) /,% "%' $,'"%/%.

2isalkan c M @. untuk mem"erole) grafik

• y > f(x) ? c' geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke atas

• y > f(x) 6 c' geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke awa)

• y > f(x + c), geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke kiri

• y > f(x 6 c)' geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke kanan

c f(x)' regangkan grafik y > f(x) secara tegak dengan faktor c

• y > (8Oc! f(x)' mam"atkan grafik y > f(x) secara tegak dengan faktor c

• y > f(c x)' mam"atkan grafik y > f(x) secara mendatar dengan faktor c

• y > f(x$c)' regangkan grafik y > f(x) secara mendatar dengan faktor c


20/24

• y > -f(x)' cerminkan grafik y > f(x) ter)ada" sumu x

• y > f(-x)' cerminkan grafik y > f(x) ter)ada" sumu y

T,%-%' F*'+& (M#",. M%/,$%/&%)

2odel matematika adala) uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi

atau "ersamaan! dari fenomena dunia nyata. Beera"a conto) "enera"an model matematika

adala) "emodelan "ertumu)an "o"ulasi' "ermintaan untuk suatu arang' kece"atan enda

atu)' konsentrasi at )asil "ada reaksi kimia' )ara"an )idu" seseorang "ada waktu la)ir' atau

iaya reduksi emisi. uuan model adala) mema)ami suatu fenomena dan memuat "rakiraan

tentang "erilaku fenomena terseut "ada masa de"an.

a)a"an 6 ta)a"an "ermodelan matematika adala) 5

8. Bila dierikan suatu "ersoalan dunia nyata' %aha&' %!ra"a# terseut dengan seksama.


21/24

asumsi tertentu!. 2odel yang aik menyeder)anakan kenyataan (fenomena! sekedar untuk

memungkinkan kalkulasi matematika' teta"i cuku" akurat untuk memerikan kesim"ulan

yang er)arga.

M#",. L&'&,

Bila )asil "loting grafik antara %ariael terikat dan %ariael eas &!#*#*a# %"a

gar' "*r*' maka cuku" masuk akal untuk mengatakan a)wa y meru"akan f*#g' "'#'!r dari

x. /ecara matematis' )al ini da"at dinyatakan dengan y > f(x) > & x ? b.

#'/#6 :

a. ,etika udara kering ergerak ke atas' ia memuai dan mendingin. =ika su)u "ermukaan

tana) adala) b

Pada waktu h > 8' / > 8@' se)ingga

8@ > & . 8 ? &8@ dan fungsi yang di"erole)

/ > &8@ h ?


22/24

. ael di awa) ini erasal dari "ercoaan laktonisasi asam )idroksi%aleri "ada su)u


23/24

BAB III

PENUUP

A. ,esim"ulan

F*'+&' dalam istila) matematika adala) "emetaan setia" anggota seua) )im"unan

(dinamakan seagai domain! ke"ada anggota )im"unan yang lain (dinamakan seagai

kodomain!. Istila) ini ereda "engertiannya dengan kata yang sama yang di"akai se)ari&

)ari' se"erti *alatnya er f*#g' dengan aik.+ ,onse" fungsi adala) sala) satu konse" dasar

dari matematika dan setia" ilmu kuantitatif. Istila) - f*#g'-' - %!&!taa#-' - %!ta-'

-tra#fr&a'-' dan -%!ratr - iasanya di"akai secara sinonim.

Anggota )im"unan yang di"etakan da"at eru"a a"a saa (kata' orang' atau oek lain!'namun iasanya yang dia)as adala) esaran matematika se"erti ilangan riil. 0onto) seua)

fungsi dengan domain dan kodomain )im"unan ilangan riil adala) y> f (2x!' yang

meng)uungkan suatu ilangan riil dengan ilangan riil lain yang dua kali lei) esar. Dalam

)al ini kita da"at menulis f(!>8@.

Untuk mendefinisikan fungsi da"at digunakan notasi erikut.

f 5 AQB

Dengan demikian kita tela) mendefinisikan fungsi f yang memetakan setia" elemen

)im"unan A ke"ada B. Notasi ini )anya mengatakan a)wa ada seua) fungsi f yang

memetakan dua )im"unan' A ke"ada B. eta"i agaimana te"atnya "emetaan terseut

tidakla) terungka"kan dengan aik. 2aka kita da"at menggunakan notasi lain.

R S A

f : x → x2

Atau f ( x ): x2

http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Bilangan_riil&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Bilangan_riil&action=edit&redlink=1


24/24

DA#A1 I/I

DA#A1 I/I

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. uuan

0. 1umusan 2asala)

D. 1uang Lingku"

BAB II PE2BAHA/AN

A. Pengertian dan Penyaian #ungsi

B. Domain dan ,odomain #ungsi

0. 3"erasi' ,om"osisi dan In%ers #ungsi

D. 2acam&macam #ungsi

E. 4rafik #ungsi

BAB III PENUUP

A. ,E/I2PULAN

MATIK.docx

Documents

Transcript of MATIK.docx