8/18/2019 MATIK.docx
1/24
os
PAPER
MATEMATIKA DASAR I
FUNGSI DAN GRAFIK
NAMA KELOMPOK :
I PUTU BAYU KENANDA ( 1308105003 )
NI PUTU LISNA OKVIANI ( 1308105019 )
ROSALIA GOSAL ( 1308105010 )
AYU PRITA WINDARI ( 1308105041 )
PROGRAM STUDI KIMIA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAUAN ALAM
UNIVERSITAS UDAYANA
BALI
!013
8/18/2019 MATIK.docx
2/24
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (esaran!
tertentu "ada kuantitas (esaran! lainnya. #ungsi da"at dinyatakan dalam $ cara yaitu secara
%eral (kata&kata!' numerik (tael nilai!' %isual (grafik! dan alaar (rumus eks"lisit!. #ungsi'
dalam istila) matematika adala) "emetaan setia" anggota seua) )im"unan (dinamakan
seagai domain! ke"ada anggota )im"unan yang lain (dinamakan seagai kodomain!. Istila)
ini ereda "engertiannya dengan kata yang sama yang di"akai se)ari&)ari' se"erti *alatnya
erfungsi dengan aik.+ ,onse" fungsi adala) sala) satu konse" dasar dari matematika dansetia" ilmu kuantitatif. Istila) -fungsi-' -"emetaan-' -"eta-' -transformasi-' dan -o"erator-
iasanya di"akai secara sinonim.
B. uuan
/etela) mem"elaari "okok a)asan ini' ma)asiswa da"at menggamarkan grafik fungsi
yang dierikan.
0. 1umusan 2asala)
Pengertian #ungsi secara oektif
Domain dan ,odomain #ungsi
3"erasi' ,om"osisi dan In%ers #ungsi
2acam&macam #ungsi
4rafik #ungsi
D. 1uang Lingku"
1uang Lingku" "ermasala)an yang kami a)as adala) mem"elaari fungsi
dan grafik dalam kalkulus terseut.
http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1
8/18/2019 MATIK.docx
3/24
8/18/2019 MATIK.docx
4/24
BAB II
PE2BAHA/AN
A. Pengertian dan Penyaian #ungsi
/eua) fungsi f adala) aturan yang memasangkan setia" elemen x dalam satu
)im"unan' misalkan A' dengan te"at satu elemen f(x) dalam )im"unan kedua' misalkan B.
Him"unan B ole) sama dengan )im"unan A.
A"aila f meru"akan fungsi yang memasangkan setia" anggota A "ada te"at satu
anggota B' maka f ditulis seagai f : A → B. Him"unan A diseut "#$%&' (daera) asal'
daera) definisi! fungsi f dan )im"unan B diseut #"#$%&' (daera) kawan! dari fungsi f.
Em"at situasi erikut menggamarkan cara "enyaian fungsi' yaitu 5
a. Luas daera) A dari suatu lingkaran tergantung "ada ari6ari r lingkaran terseut. Aturan
yang mengaitkan r dan A dierikan ole) "ersamaan A = π r 2.
/etia" nilai r er)uungan dengan nilai A' maka dikatakan a)wa A adala) fungsi dari r .
#ungsi terseut disaikan melalui suatu *$*+ ,+-.&+&/.
. Po"ulasi manusia P di dunia tergantung "ada waktu t . ael erikut memerikan taksiran
"o"ulasi dunia P(t) "ada waktu t ' untuk ta)un tertentu.
c. Biaya "engiriman surat tercatat C tergantung "ada eratnya w. 7alau"un tidak terda"at
rumus seder)ana yang mengaitkan C dan w' kantor "os mem"unyai aturan tertentu (da"at
disaikan dengan *%&%' %/% %/%! untuk menentukan C ila w diketa)ui. Aturan yang
digunakan Perusa)aan Pos Amerika /erikat ta)un 899: seagai erikut 5 Biayanya adala)
;< sen untuk erat sam"ai dengan satu ons' ditama)
8/18/2019 MATIK.docx
5/24
x
a
f(x)
f(a)
B. Domain dan ,odomain #ungsi
Domain fungsi f yaitu )im"unan elemen&elemen di mana fungsi f menda"at nilai (suatu
ilangan real!. Him"unan agian dari B yang anggota&anggotanya meru"akan nilai&nilai yang
di"erole) dari fungsi f diseut %', (daera) )asil! dari fungsi f .
Pemicaraan tentang domain dan range memegang "eranan "enting dalam fungsi
karena )al ini terkait dengan nilai&nilai dimana fungsi mem"unyai makna.
f
D#$%&' R%',
K,/,%&/%' %'/% %&%,.
Lamang yang menyatakan suatu ilangan searang "ada domain f diseut %&%,. ,%+.
/edangkan lamang yang menyatakan ilangan "ada range f diseut %&%,. /,&%/.
2isalnya dalam em"at "enyaian fungsi di atas' a"aila fungsi disaikan dalam entuk rumus
eks"lisit erikut A = π r 2 maka r meru"akan %ariael eas' sedangkan A adala)
%ariael teri #ungsi entuk ,+-.&+&/ adala) fungsi yang %ariael eas dan %ariael
terikatnya ter"isa). =ika x %ariael eas dan y %ariael terikat maka notasi fungsi entuk
eks"lisit ditulis y > f(x).
#'/#6 :
a. y > ; sin x ? cos x
. y > x
8/18/2019 MATIK.docx
6/24
#ungsi entuk &$-.&+&/ adala) fungsi yang %ariael eas dan %ariael terikat letaknya
tidak ter"isa). =ika x %ariael eas dan y %ariael terikat maka notasi fungsi entuk im"lisit
ditulis f(x, y) > @.
#'/#6 :
a. ( x&;! y ? x &; y > @
. x f(x) meru"akan fungsi yang dientuk dari +%/* %&%,. yakni x'
sedangkan fungsi z > f(x, y) adala) fungsi yang dientuk dari "*% %&,. yaitu x dan y.
#'/#6 :
a. #ungsi satu %ariael
∼ y > ; x 6 <
∼ z > sin y ? cos y
8/18/2019 MATIK.docx
7/24
. #ungsi dua %ariael
∼ z > x; ? $ x a
8/18/2019 MATIK.docx
8/24
1ange fungsi g ( x! adala) R(g) = {y ∈ R : y >
x
x
<
8/18/2019 MATIK.docx
9/24
g f
(f + g)(x) >
x
?
<$ x−
' dan daera) asal 5 @'
x
&
;$ x x −
' dan daera) asal 5 @'
<$ x
x
− >
<$ x
x
− ' dan daera) asal 5 @'
K#$-#+&+& F*'+&
Dierikan fungsi f dan g ' 2*'+& #$-#+&/ f
g (diseut uga kom"osisi dari f dan g !
didefinisikan ole)
(f
g)(x) > f(g(x))
Daera) asal f
g adala) )im"unan dari semua x di dalam daera) asal g sedemikian
)ingga g(x) erada di dalam daera) asal f . Dengan kata lain , (f
g)(x) akan terdefinisi ika
g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penelasan f
g da"at dilakukan dengan gamaran
diagram mesin erikut 5
x g(x) f(g(x))
($%+*%') (,.*%%')
Jariael x seagai masukan' akan di"roses mesin g dan akan di"erole) )asil g ( x!' selanutnya
g ( x! akan menadi masukan agi mesin f ' )asilnya adala) f ( g ( x!!
#'/#6 :
=ika f(x) >
x
dan g(x)
x−<
tentukan kom"osisi fungsi erikut daera) asalnya.
8/18/2019 MATIK.docx
10/24
a. f
g c. f
f
. g
f d. g
g
P,'7,.,+%&%' :
a. (f
g)(x) > f(g(x)) > f (
x−<
! >
-x<
>
$
{ } (&
∞' g(f(x)) > g (
x
! >
x-<
.
Agar
x
terdefinisi' maka x ≥
@ dan agar
x&<
terdefinisi maka < &
x
≥
@' yaitu
x
≤
< atau x≤
$' se)ingga daera) asalnya adala) @' $.
c. (f
f)(x) > f(f(x)) > f (
x
! >
x
>
$ x
' dan daera) asalny adala) @ '∞
!.
d. (g
g)(x) > g(g(x)) > g (< &
x
! >
- x-
8/18/2019 MATIK.docx
11/24
#'/#6 :
0arila) f
g
h ika f(x) >8+ x
x
' g(x) > x dan h(x) > x ? ;
P,'7,.,+%&%' :
( f g
h)(x) > f(g(h(x))) > f(g(x + 3)) > f(( x ? ;!! >
8;
;A
A
++
+
)(x
)(x
∎
I',+ F*'+&
/uatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daera) asalnya A dengan nilai tunggal y
dalam daera) )asilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B di"erole) kemali nilai x yang ole) f
itu di"adankan dengan y. #ungsi yang aru ini' yang memadankan nilai y dengan x'
dilamangkan dengan f ;1 dan diseut &',+ "%& f Daera) asal f &8 adala) B dan daera)
)asilnya adala) A. Lamang f &8 ukan erarti f
8
.
Hal ini da"at dituliskan
y > f(x) x > f &8(y)
#'/#6 :
entukan f &8(x) dari f(x) >
8/18/2019 MATIK.docx
12/24
D. 2acam&macam #ungsi
Beera"a macam fungsi yang disaikan dalam su a ini adala) fungsi tangga' fungsi
gasal' fungsi gena"' fungsi alaar' fungsi logaritma' dan fungsi eks"onensial
F*'+& M#"*.*+
#ungsi modulus adala) fungsi yang terdefinisi secara se"otong&se"otong #ungsi&fungsi
yang sering digunakan adala) dua fungsi yang sangat k)usus yaitu fungsi nilai mutlak '
dinotasikan K K' dan fungsi ilangan ulat teresar' dinotasikan
[ ].
#ungsi nilai mutlak disaikan seagai K x K >
<
≥
@ ika &
@ ika
x x
x x
4rafiknya mem"unyai sudut taam "ada titik asal. Per)atikan grafik erikut 5
y
-x @ x
#ungsi ilangan ulat teresar disaikan seagai
[ ] x' yaitu ilangan ulat teresar
yang lei) kecil atau sama dengan x. 4rafiknya melom"at "ada tia" ilangan ulat.
#'/#6 :
Biaya "engiriman surat C(w) dengan erat w disaikan seagai erikut.
8/18/2019 MATIK.docx
13/24
C(w) >
≤<
≤<
≤<
≤<
$; ika8'@8
; @'C: dan
seterusnya
F*'+& G,'%- "%' F*'+& G%+%.
#ungsi y > f(x) diseut 2*'+& ,'%- ika f( - x ) f( x )
#ungsi y > f(x) diseut 2*'+& %+%. ika f( - x ) - f( x )
4rafik fungsi gena" simetris dengan sumu y' sedangkan grafik fungsi gasal simetri ter)ada"
titik asal.
#'/#6 :
A"aka) f(x) > ; x 6 x
;
6 (& x!; 6 < (& x! > & x; ? &( x; 6 < x! > & f(x) maka f(x) adala) fungsi
gasal ∎
F*'+& A.
8/18/2019 MATIK.docx
14/24
tidak terda"at seagai "enyeut dan dikatakan -,=%6 %+'%. ika x terda"at seagai
"enyeut.
#'/#6 :
a. f(x) >;
8
x; 6 x xA
;<
+
+
x
x x
dan g(x) >8;
8&
+ x
x
adala) fungsi alaar "eca) rasional.
c. f(x) >$&
8&<
x
x
meru"akan fungsi alaar "eca) irrasional' dan g(x) > a x meru"akan fungsi turun
=ika a M8' f(x) meru"akan fungsi naik.
=ika a, b M @ dan x , y ∈ℜ
' maka
8. a x + y > a x + a y
8/18/2019 MATIK.docx
15/24
y
x
a
a
3. (a x ) y > x x y
$. (a b) x > a x b x
=ika a > e ilangan natural maka di"erole) 2*'+& ,+-#','+&%. '%/*%.'yaitu
y > e x
F*'+& L#%&/$%
#ungsi eks"onensial f(x) > a x mem"unyai in%ers yang diseut 2*'+& .#%&/$%
dengan ilangan "okok a dilamangkan dengan
loga
. =ika digunakan "erumusan fungsi
in%ers'
f - (x) > y ⇔
f(y) > x
maka di"erole)
loga
x = y ⇔
a y = x
se)ingga
loga
(a x ) > x untuk setia" x ∈
ℜ
dan
x a
a log
> x untuk setia" x M @
/ifat fungsi logaritma dierikan dalam teorema erikut.
T,#,$% :
8/18/2019 MATIK.docx
16/24
=ika a M 8' fungsi f(x) >
loga
x meru"akan fungsi kontinu dan naik dengan daera) asal (@'
∞! dan daera) )asil
ℜ.
=ika x, y M @ dan r ilangan real searang' maka
8.
loga
(x y) >
loga
x ?
loga
y
r
loga
x
3.
loga
(
y
x
) =
loga
x 6
loga
y
#ungsi logaritma dengan ilangan "okok e diseut .#%&/$% '%/*%. dan mem"unyai
lamang k)usus
log!
x > "# x
Dari sifat fungsi logaritma di"erole)
"# x > y⇔
! y > x
"#(! x ) > x untuk setia" x ∈
ℜ
e "# x > x untuk setia" x M @
Untuk x > 8' di"erole)
"# e > 8
/ifat&sifat logaritma Natural
=ika x dan y ilangan "ositi" dan r ilangan rasional' maka
. "# (x y) > "# x ? "# y
8/18/2019 MATIK.docx
17/24
2. "# (
y
F
) > "# x 6 "# y
3. "# (xr ) > r "# x
E. 4rafik #ungsi
=ika daera) asal dan daera) )asil suatu fungsi meru"akan ilangan real' maka
fungsi itu da"at digamarkan grafiknya "ada suatu idang koordinat. %2& 2*'+& f adala)
grafik dari "ersamaan y > f(x).
Dalam )al menggamar grafik' ada dua entuk grafik yang digunakan' yaitu sketsa
kasar dan sketsa )alus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan digunakan' a"aka) sketsa
)alus atau kasar' tentu tergantung dari keutu)an. =ika yang diutu)kan )anya "ola )uungan
antar %ariael' cuku" digunakan sketsa kasar' teta"i ika akan digunakan untuk mem"rediksi
nilai data "ada titik tertentu' tentu saa sketsa )alus yang diutu)kan.
=ika entuk fungsi elum diketa)ui dan yang diketa)ui )anya sekum"ulan datanya'
maka untuk menentukan entuk fungsinya' terlei) da)ulu di"rediksi entuk fungsi terseut.
/elanutnya dengan menggunakan data&data yang tersedia' kemudian dicari konstanta&
konstanta yang elum diketa)ui. Untuk menentukan konstanta&konstanta terseut sering
digunakan metode kuadrat terkecil dan )al ini akan dia)as "ada saat "ema)asan turunan'
sedangkan "ada "ema)asan ini akan digunakan "endekatan kasar.
#'/#6 :
/ketsa grafik y > x
/ketsa grafik y > x x&<
8/18/2019 MATIK.docx
18/24
&8
@
8
<
8
@
8
<
/e)ingga grafiknya adala)
. 4rafik untuk fungsi kuadrat di atas eru"a "araola yang teruka ke atas. Untuk
menggamarkan grafik y > x
• /umu simetri y ><
;
<−=−
a
b
• ,arena a > 8 M @' maka grafik teruka ke atas .
8/18/2019 MATIK.docx
19/24
T%'+2#$%+& 2*'+&
Dengan menera"kan transformasi tertentu "ada grafik fungsi yang diketa)ui akan da"at
di"erole) grafik aru yang erkaitan. Ada dua transformasi fungsi yang da"at digunakan
untuk menda"atkan grafik aru ' yaitu
8. P,,+,%' (/%'+.%+&) /,% "%' $,'"%/%.
2isalkan c M @. untuk mem"erole) grafik
• y > f(x) ? c' geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke atas
• y > f(x) 6 c' geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke awa)
• y > f(x + c), geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke kiri
• y > f(x 6 c)' geser grafik y > f(x) seau) c satuan ke kanan
c f(x)' regangkan grafik y > f(x) secara tegak dengan faktor c
• y > (8Oc! f(x)' mam"atkan grafik y > f(x) secara tegak dengan faktor c
• y > f(c x)' mam"atkan grafik y > f(x) secara mendatar dengan faktor c
• y > f(x$c)' regangkan grafik y > f(x) secara mendatar dengan faktor c
8/18/2019 MATIK.docx
20/24
• y > -f(x)' cerminkan grafik y > f(x) ter)ada" sumu x
• y > f(-x)' cerminkan grafik y > f(x) ter)ada" sumu y
T,%-%' F*'+& (M#",. M%/,$%/&%)
2odel matematika adala) uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi
atau "ersamaan! dari fenomena dunia nyata. Beera"a conto) "enera"an model matematika
adala) "emodelan "ertumu)an "o"ulasi' "ermintaan untuk suatu arang' kece"atan enda
atu)' konsentrasi at )asil "ada reaksi kimia' )ara"an )idu" seseorang "ada waktu la)ir' atau
iaya reduksi emisi. uuan model adala) mema)ami suatu fenomena dan memuat "rakiraan
tentang "erilaku fenomena terseut "ada masa de"an.
a)a"an 6 ta)a"an "ermodelan matematika adala) 5
8. Bila dierikan suatu "ersoalan dunia nyata' %aha&' %!ra"a# terseut dengan seksama.
8/18/2019 MATIK.docx
21/24
asumsi tertentu!. 2odel yang aik menyeder)anakan kenyataan (fenomena! sekedar untuk
memungkinkan kalkulasi matematika' teta"i cuku" akurat untuk memerikan kesim"ulan
yang er)arga.
M#",. L&'&,
Bila )asil "loting grafik antara %ariael terikat dan %ariael eas &!#*#*a# %"a
gar' "*r*' maka cuku" masuk akal untuk mengatakan a)wa y meru"akan f*#g' "'#'!r dari
x. /ecara matematis' )al ini da"at dinyatakan dengan y > f(x) > & x ? b.
#'/#6 :
a. ,etika udara kering ergerak ke atas' ia memuai dan mendingin. =ika su)u "ermukaan
tana) adala) b
Pada waktu h > 8' / > 8@' se)ingga
8@ > & . 8 ? &8@ dan fungsi yang di"erole)
/ > &8@ h ?
8/18/2019 MATIK.docx
22/24
. ael di awa) ini erasal dari "ercoaan laktonisasi asam )idroksi%aleri "ada su)u
8/18/2019 MATIK.docx
23/24
BAB III
PENUUP
A. ,esim"ulan
F*'+&' dalam istila) matematika adala) "emetaan setia" anggota seua) )im"unan
(dinamakan seagai domain! ke"ada anggota )im"unan yang lain (dinamakan seagai
kodomain!. Istila) ini ereda "engertiannya dengan kata yang sama yang di"akai se)ari&
)ari' se"erti *alatnya er f*#g' dengan aik.+ ,onse" fungsi adala) sala) satu konse" dasar
dari matematika dan setia" ilmu kuantitatif. Istila) - f*#g'-' - %!&!taa#-' - %!ta-'
-tra#fr&a'-' dan -%!ratr - iasanya di"akai secara sinonim.
Anggota )im"unan yang di"etakan da"at eru"a a"a saa (kata' orang' atau oek lain!'namun iasanya yang dia)as adala) esaran matematika se"erti ilangan riil. 0onto) seua)
fungsi dengan domain dan kodomain )im"unan ilangan riil adala) y> f (2x!' yang
meng)uungkan suatu ilangan riil dengan ilangan riil lain yang dua kali lei) esar. Dalam
)al ini kita da"at menulis f(!>8@.
Untuk mendefinisikan fungsi da"at digunakan notasi erikut.
f 5 AQB
Dengan demikian kita tela) mendefinisikan fungsi f yang memetakan setia" elemen
)im"unan A ke"ada B. Notasi ini )anya mengatakan a)wa ada seua) fungsi f yang
memetakan dua )im"unan' A ke"ada B. eta"i agaimana te"atnya "emetaan terseut
tidakla) terungka"kan dengan aik. 2aka kita da"at menggunakan notasi lain.
R S A
f : x → x2
Atau f ( x ): x2
http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Bilangan_riil&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Domain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/wiki/Himpunanhttp://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Kodomain_fungsi&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Konsep&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Matematika&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Ilmu&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Sinonim&action=edit&redlink=1http://id.wikibooks.org/w/index.php?title=Bilangan_riil&action=edit&redlink=1
8/18/2019 MATIK.docx
24/24
DA#A1 I/I
DA#A1 I/I
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. uuan
0. 1umusan 2asala)
D. 1uang Lingku"
BAB II PE2BAHA/AN
A. Pengertian dan Penyaian #ungsi
B. Domain dan ,odomain #ungsi
0. 3"erasi' ,om"osisi dan In%ers #ungsi
D. 2acam&macam #ungsi
E. 4rafik #ungsi
BAB III PENUUP
A. ,E/I2PULAN