Matematikai modellezés –nyitott feladatok és az

értékelés

“Valós világ” “Matematikai világ”

1 2

3

4

5

5

Valós

probléma

Matematikai

probléma

Matematikai

megoldásValós megoldás

A modellezési ciklus

(A PISA tanulmányból, 2003)

1. Induljunk ki egy valós környezetben levı problémából

2. Rendezzük el ezt matematikai fogalmak szerint, valamint ismerjük fel azidevonatkozó matematikai eljárásokat

1

2idevonatkozó matematikai eljárásokat

3. Fokozatosan vagdossuk le a valóság elemeit olyan folyamatok segítségével,mint pl. feltételezések, általánosítás és formalizálás, amelyek elıtérbe helyezika szituáció matematikai vonásait és a valós problémát olyan matematikaiproblémává alakítják, amely hitelesen reprezentálja a szituációt

4. A matematikai probléma megoldása

5. Értelmezzük a matematikai megoldást a valós szituációra vonatkoztatva

3

4

5

1. feladat : „Aláírással az új törvény ellen”Nemrégiben, 2006. április 25-én az egyik spanyol ellenzéki párt 4.000.000 összegyőjtöttaláírást nyújtott be az országgyőlésnek a kormány egy új törvény javaslata ellen.

Minden spanyol újság lehozta a fotókat a hatalmas ládákról és a tíz teherautóról,amely az aláírásokkal teli papírlapokat szállította a parlamentbe. Szerinted politikaicélra használták a hatalmas felhajtást, vagy a sok doboz és teherautó valóbanszükséges volt a 4.000.000 aláírás elszállításához?

1. példa: Aláírással az új törvény ellenNem jeleníthetı meg a kép. Lehet, hogy nincs elegendı memória a megnyitásához, de az sem kizárt, hogy sérült a kép. Indítsa újra a számítógépet, és nyissa meg újból a fájlt. Ha továbbra is a piros x ikon jelenik meg, törölje a képet, és szúrja be ismét.

Nem jeleníthetı meg a kép. Lehet, hogy nincs elegendı memória a megnyitásához, de az sem kizárt, hogy sérült a kép. Indítsa újra a számítógépet, és nyissa meg újból a fájlt. Ha továbbra is a piros x ikon jelenik meg, törölje a képet, és szúrja be ismét.

1 2

3

1 2

3

4455

Real-world

probléma

Collecting signatures

Carrying them to the Congress

Are 11 vans really needed?

Real-world

probléma

Aláírásgyőjtés

Elszállítani az országgyőléshez

Tényleg szükséges 11 teherautó?

Matematikai

probléma

How may sheets of paper?

What is the volume occupied

by n sheets of paper?

Matematikai

probléma

Hány papírlap?

Mekkora térfogatot tesz ki

n papírlap?

MatematikaiArithmetic calculationsMatematikaiSzámításokReal megoldásComparing volumes (n sheets

of paper vs. 11 vans) Real megoldásTérfogatok kiszámítása (n

n papírlap - 11 teherautó)

Vissza a prezentációhozA feladat szövege

Feladatok 1Feladatok 1�� Modellezés task (all the cycle and steps have to Modellezés task (all the cycle and steps have to

be considered)be considered)

“Valós világ” “Matematikai világ ”

1. feladat � Modellezési feladat (a teljes ciklust ésaz egyes lépéseket is át kell gondolni)

“Valós világ” “Matematikai világ ”

55 megoldásCalculating a volumemegoldásTérfogatszámításof paper vs. 11 vans)

Arguing about the situation

n papírlap - 11 teherautó)

Vita és érvelés

A nyitott feladatok szerepe

• A „nagybetős életben” hogyan merülnek fel a megoldandó problémák?– Adott egy 25m2-es garzonlakás a IV.

kerületben 300 000 Ft/m2 egységáron. A kerületben 300 000 Ft/m egységáron. A munkahelyed a XXII. kerületben van, fizetésed 250 000 Ft/hó nettó, amelybıl 30%-ot tudsz törlesztésre fordítani……..

– Meg kell oldanod a lakhatási problémádat!

Bérlés?

Lakás?

nemigen

Új?

igen

nem

Kölcsön?

Gondolkodás

• Zárt végő feladatok – konvergens gondolkodás dominál (adott adatokból, adott algoritmus felhasználásával adott eredményre jutni)

• Nyílt végő feladatok– Divergens gondolkodás – a lehetséges megoldási algoritmusok – Divergens gondolkodás – a lehetséges megoldási algoritmusok

számbavétele, az egyes esetekben a szükséges adatok győjtése (2. lépés)

– Konvergens gondolkodás – a legígéretesebb eljárás kiválasztása (3. lépés), a felesleges adatok elhagyásával egy lehetséges megoldás (4. lépés), az eredmény érvényességének a vizsgálata (5. lépés)

Értékelési problémák modellezési feladatok esetén

• A modellezési ciklus egyes lépéseinek a „jóságát” az utolsó lépés (a matematikai megoldás értelmezése a valós helyzetre vonatkoztatva) határozza meg, lásd vonatkoztatva) határozza meg, lásd newton, illetve einsteini világkép.

• Nincs hagyománya az ilyen típusú feladatoknak a pedagógiai fejlesztésekben, az értékelésben ennek következtében teljesen kimaradt.

Egy erıtlen próbálkozás11. Bergengóciában az elmúlt 3 évben a kormány jelentése szerint kiemelt beruházás volt a

bérlakások építése. Ezt az állítást az alábbi statisztikával támasztották alá.

Az egyes években a lakásépítésre fordított pénzösszegek:

10 millió

a) Miért megtévesztı a fenti oszlopdiagram?

2000-ben 12 millió peták 2001-ben 12,96 millió peták 2002-ben 14,4 millió peták

3 pont

Valaki nem érzi meggyızınek ezt a statisztikát, és további adatokat keres. Kiderült, hogy 2000-ben 1 m2 új lakás építése átlagosan 1000 petákba került, 2001-ben az építési költségek 20%-kal emelkedtek, 2002-ben pedig az elızı évi ár 1/3-ával növekedtek a költségek. b) Hogyan változott a három év során az egyes években újonnan megépített bérlakások

összalapterülete? Válaszát számításokkal indokolja!

c) Lehet-e az új adatok alapján olyan oszlopdiagramot készíteni, amelybıl a kormány

jelentésével ellentétes következtetés is levonható? Ha igen, akkor készítse el! d) Több lakást építettek-e 2002-ben, mint 2001-ben? Válaszát indokolja!

8 pont

3 pont

3 pont

Egy erıtlen próbálkozás

• d)• A megadott adatokból nem állapítható

meg, mert nem tudjuk egy-egy lakás alapterületét (ami igen változó lehet).alapterületét (ami igen változó lehet).

•• 3 pont

Miért baj, hogy nincs?

• A jó képességő gyerekek esetén valósul meg leginkább a divergens gondolkodás fejlesztése (pl. nehéz geometriai feladatok, 2. megoldás keresése). İk éppen a jó képességeik okán gyorsan tudnak alkalmazkodni és nyílt végő feladatokra hatékony megoldási stratégiákat nyílt végő feladatokra hatékony megoldási stratégiákat kialakítani.

• A közepes vagy gyengébb képességő tanulók erre nem képesek, ezekre a helyzetekre közvetlenül alkalmazható eljárások nélkül számukra a feladat megoldhatatlannak tőnik.

2. feladat: Négygyermekes családok nem-eloszlása

Két eset: Egymás utáni születések

Egyszerre születések (négyes ikrek)

Kérdés: Milyen eloszlást követ a lányok száma?

• 1. ModellVéletlen fogantatás, pénzérme dobásSzületések függetlenségeBinomiális eloszlás

1:4:6:4:1

42

14)(

==

kkXP

Statisztikai adatok

• Állatok• Emberek

Miért nem passzol a modell az Miért nem passzol a modell az eredményekhez?

Második modell

• A születések függnek az elızı születések nemétıl. Mondjuk 2 gyermekig nem, de aztán, ha már mindkét nem van, akkor kisebb eséllyel vállalkoznak harmadik kisebb eséllyel vállalkoznak harmadik gyermekre, mintha egynemőek.

3. Feladat: Kerekes székes megközelíthetıség

• A helyzet• Sok országban a hatóságok nagy erıfeszítéseket

tesznek, hogy biztosítsák a középületek kerekesszékes megközelíthetıségét. Van néhány szabvány, amit be kell tartani, a rámpák tervezésekor.amit be kell tartani, a rámpák tervezésekor.

• Egyszemélyes kézzel hajtott kerekes-székek esetében: maximum dılés: 1:7

• Segítıvel, vagy elektromos kerekes székkel a maximum dılés 1:5

• Az 1:12 dılés lenne a kívánatos, ahol ez lehetséges.

Kérdések

Az iskolád megfelelı a kerekes székekkel közlekedık számára?Ha a válasz igen, akkor a rámpák megfelelnek a standardnak?Ha nem, tudnál készíteni egy beszámolót az igazgatónak, hogy

miként oldja meg a problémát, ha lehetséges?

4. feladat : zenei fesztiválA kortárs elıadómővészetek Glastonburyben rendezett fesztiválja (Glastonbury Festival of Contemporary Performing Arts ) a legnagyobb szabadtéri zenei és elıadómővészeti fesztivál a világon. 2005-ben a fesztivál számára elkerített terület meghaladta a 3,6 km²-t, és a rendezvény több, mint 385 élı elıadásnak adott otthont. A fesztivál látogatói közül sokan sátrat hoztak magukkal, hogy a fesztivál területén aludhassanak.

A fesztivál rendezıinek korlátozniuk kellett a belépıjegyek számát, illetve afesztivál területén felállítható sátrak számát annak érdekében, hogy garantálnitudják a helyszín biztonságát. Milyen tanácsot adnál a rendezıknek?

Mérı feladat és fejleszt ı feladat

• Az elsı esetében ritkán fordul elı modellezési feladat, mivel azt jóval nehezebb sztenderdizálni és egységesen mérni. mérni.

• A második esetben inkább, de ekkor sem világos, hogyan értékeljünk.

Ez vezet át az értékelés kérdéseihez.

Értékelés a feladat megoldása során

• Jellemzıen csoportmunka keretében oldják meg a tanulók ezeket a feladatokat⇒– Tanári visszajelzések a munka során a – Tanári visszajelzések a munka során a

diákoknak, a diákok együtt dolgozó csoportjainak

– Diákok visszajelzései egymásnak– A diákok önértékelése

Tanári visszajelzések

• Formatív, fejlesztı jellegő, folyamatos:hol tartanak a diákok a tanulás folyamatában, hová kell eljutniuk, s mi a legjobb mód arra, hogy odajussanaklegjobb mód arra, hogy odajussanak

• Módszere: nyitott kérdések („Miért gondolod?” „Van más megközelítés?” „Mi a véleményed Ági elképzelésérıl?”)

Egymás értékelése, önértékelés

• A csoportmunka során folyamatos – meg kell tanítani a fejlesztı típusú értékelést („Nekem az tetszik az elképzelésedben, hogy….., de azt úgy gondolom, hogy…..”)hogy….., de azt úgy gondolom, hogy…..”)

• A csoportok produktumainak egymás általi értékelése.

• A diákok saját munkájának értékelése a csoporton belül („azt jól csináltam, hogy…, abban igazatok volt, hogy…..")

A feladatmegoldás értékelése

• Szummatív, fejlesztı jellegő, lezáró• A megválaszolandó kérdésekre példák:1. Megértették-e a problémát?2. Meg tudják-e magyarázni a lépéseket?2. Meg tudják-e magyarázni a lépéseket?3. Felvázolták-e, hogy milyen feltevésekkel éltek?4. Rendelkeznek-e megfelelı módszerrel – matematikai szempontból

alkalmassal5. Jól alkalmazták-e a kiválasztott módszert?6. Használtak-e különbözı módszereket a probléma körüljárására?7. Voltak-e következtetéseik, megválaszolták-e a kérdéseiket?8. Megpróbálták-e a problémát kiterjeszteni?

1

2

A diákoknak támogatást várnak ahhoz, hogy leegyszerősítsék a feladatban megfogalmazott helyzetet.

A diákok képesek megtalálni, s

felhasználni egy összetett helyzet

egy-egy részének a

leegyszerősítéséhez szükséges

A diákok segítségre szorulnak a szükséges matematikai módszerek kiválasztásában, s munkájuk nem mindig pontos

A diákok akadályokba ütköznek és sok segítségre van szükségük a feladatbeli helyzet értelmezése kapcsán.

A diákok nem gondolják át modelljük érvényességét.

Segítséggel (pl. megfelel ı kérdések feltevésével) a diákok képesek értelmezni a feladatbeli helyzetet.

A diákok tisztában vannak a modelljük néhány, de nem minden aspektusának érvényességével.

Modell felállítása Pontos munka Értelmezés Érvényesítés és bírálat

Beszámoló

A diákok nem elég önállóak ahhoz, hogy megfelel ıen be tudjanak beszámolni a munkájukról.

A diákok felismerik a szükséges matematikai módszereket és a probléma bizonyos részeit meg tudják oldani, de munkájuk nem

Az értékelési kritériumok egy lehetséges rendszere

Segítséggel és iránymutatással a diákok képesek megfelel ı beszámolót nyújtani a

3

4

leegyszerősítéséhez szükséges

információkat.

A diákok felhasználják az

információk egy bizonyos részét,

hogy leegyszerősítsenek egy

helyzetet.

helyzetet.

A diákok képesek önállóan megoldani a feladatot a megfelel ı matematikai módszerek használatával, de nem minden eredmény helyes.

érvényességével.

A diákok helyesen használják a matematikai nyelvet és szimbólumokat.

tudják oldani, de munkájuk nem mindig pontos.

A diákok tudják értelmezni a feladatbeli helyzetet, de nem teljes mélységében.

A diákok képesek értelmezni a feladatbeli helyzetet nagy alapossággal, s annak teljes mélységében.

A diákok kritikusan átgondolják a modelljük számos aspektusát megértve annak korlátait.

A diákoknak jó kritikai felfogásuk van modelljük érvényességér ıl és korlátairól.

A diákok jó döntéseket hoznak, hogy le tudjanak egyszerősíteni egy összetett helyzetet.

beszámolót nyújtani a munkájukról.

A diákok önállóan képesek megfelel ı beszámolót készíteni a munkájukról.

A diákok képesek teljeskör ő beszámolót készíteni a munkájukról.

Köszönjük a figyelmüket!

Dr. Vancsó Ödönvancso@ludens.elte.hu; vancso.odon@gmail.com

A modellezéses feladatokkal kapcsolatos további információ:http://lema-project.hu/

Hodossy Attilaa.hodossy@t-online.hu