MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
-
Upload
ikin-sodikin -
Category
Documents
-
view
237 -
download
0
Transcript of MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
1/53
Teknik Diferensiasi
Definisi Derivative
Aturan Dasar Diferensiasi Asal Aturan Diferensiasi Aturan Fungsi Khusus
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
2/53
Definisi Derivative
0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f x f x
x∆ →
+ ∆ −′ =
∆
1
2
Deivative dari fungsi f(x) :
h ) x( f ) h x( f lim ) x( ' f
0 h
=
→
atau
Proses menemukan/mendapatkan derivative dari sebuah
fungsi disebut diferensiasi.
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
3/53
Notasi Derivative
1
2
( ) ) ( ) ( ) ( )00 0 0f
f , , D f , Df d x
x x xdx′
,dx
dy),( x f dx
d ,' y ).(' x f
( )
( ) ( ) ( ) x
dy df f x y
dx dx
d f x Df x D f xdx
′ ′= = =
= =
3
Jika fungsi y = f (x) derivative-nya dinyatakan :
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
4/53
Contoh 1
h
x f h x f Lim x f
h
)()()('
0
−+=
→
h
x xh xh x Lim
h
)()()( 22
0
−−+−+=
→
h
x xh xh xh x Lim
h
+−−−++=
→
222
0
2
h
hh xh Lim
h
−+=
→
2
0
2
)12(0
−+=→
h x Limh
12 −= x
Tentukan derivative dari fungsi f(x) = x2 - x
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
5/53
Contoh 2Tentukan derivative dari fungsi 2 x 3 ) x( f
h x f h x f Lim x f
h)()()('
0−+=
→ h xh x Lim
h232)(3
0+−++=
→
232)(3
232)(3
*
232)(3
0 ++++
+++++−++
= → xh x
xh x
h
xh x
Limh
)232)(3(
23233
0 ++++
−−++= → xh xh
xh x Limh
)232)(3(
3
0++++
=→ xh xh
h Lim
h
)232)(3(
3
0 ++++= → xh x Limh
)23(2
3
+=
x
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
6/53
Grafik Derivative dari Fungsi
Jika f(x) naik
(slope positif)
Jika f(x) turun
(Slope negatif)
Tangen horizontal(slope =0)
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
7/53
Derivative Fungsi Tidak Ada
Sudut Tangen vertikal Diskontinue
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
8/53
Aturan Dasar Diferensiasi
( ) ( ) ( )D fg D f g fD g= +
3
4
Produk
( )D 1x =
1
Derivative f(x )=x adalah 1.
2
( ) ( ) ( )D f g D f D g+ = +
( ) 0d
cdx
= Konstanta
Perkalian konstanta( ) ( )d d cu c udx dx
=
5
Penjumlahan dan perbedaan
( ) ( ) ( )d d d
u v u vdx dx dx
+ = +atau
atau ( ) ( ) ( )d d d
uv u v v u
dx dx dx
= +
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
9/53
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( )
D f g D f g D g
f g f g g
x x x
d xx x
dx
=
′ ′⇔ =
8
Rantai
6
7
Pangkat( ) 1n nd
x nx
dx
−=
( )( )
-1 1D f
D f
=9
( ) ( )2
gD f fD gf D
g g
−⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hasi bagi
Funfsi Invers
2
( ) ( )d d
v u u vd u dx dx
dx v v
−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
atau
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
10/53
Contoh Konstanta
1 ( ) 5
( ) 0
f x
f x
=
′ =
8( ) 3 f x x=
( )7 7
( ) 3 8 24 f x x x′ = =
2
24( )
5
t f x =
24( )
5
d x f x
dx
⎡ ⎤′⇒ =
⎢ ⎥⎣ ⎦
( )4
25 x=
8
5
x
=
24
5
d x
dx⎡ ⎤=
⎣ ⎦
3
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
11/53
Contoh Penjumlahan dan pengurangan
2 1( ) 17
5 3
x f x
x= − +
1
2 21 1( ) 175 3
f x x x−= − +
32
2 1( )
5 6
f x x
x
′ = +
3
21 1 1
( ) 2* ( )( ) 05 3 2 f x x x
−
′ = + − − +
1
( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( )d d d f x g x f x g xdx dx dx
⎡ ⎤± = ±⎣ ⎦
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
12/53
3( ) 4 5 f x x x= − +
3( ) 4 5d d d
f x x xdx dx dx
′⇒ = − +
2( ) 3 4 0 f x x′⇒ = − +
2( ) 3 4 f x x′⇒ = −
2
12( ) 7 f x x= +
11 11( ) 0 12 12 f x x x′ = + =3
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
13/53
Contoh
7
6
( )
( ) 7
f x x
f x x
=
′ =
Pangkat
1
[ ] 1
( ) ( ) ( )n
h x n f x f x−
′ ′= ⋅
2 ( )1 2
2 2( ) 3 4 3 4 f x x x x x= + = +
( ) ( )
1 221( ) 3 4 6 4
2 f x x x x
−′ = + +
2
3 2
3 4
x
x x
+=
+©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
14/53
Contoh Produk
1 2 1 3(3 2 )(4 5) y x x x−= − +
2 1 3 3 2 1(3 2 ) (4 5) (4 5) (3 2 )dy d d x x x x x xdx dx dx
− −= − + + + −
2 1 2 3 2(3 2 )(12 ) (4 5)(6 2 )dy x x x x x xdx
− −= − + + +
4 4 2
4 2
36 24 24 8 30 10
60 14 10
dy x x x x x xdx
dy x x x
dx
−
−
= − + + + +
= + +
( ) ( ) [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )d d d
f x g x f x g x g x f xdx dx dx
⎡ ⎤⋅ = +⎣ ⎦
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
15/53
2 2( ) (3 2 )(5 4 ) f x x x x= − +
2 2
( ) (3 2 ) (5 4 ) (5 4 ) (3 2 )
d d
f x x x x x x xdx dx′ = − + + + −2(3 2 )4 (5 4 )(3 4 ) x x x x= − + + −
224 4 15 x x− + +=
2( ) 3 2 f x x x= − ( ) 3 4 f x x′⇒ = −
( ) 5 4g x x= + ( ) 4g x′⇒ =( ) fg f g fg′ ′ ′= + ( )h x f g fg′ ′ ′∴ = +
2( ) (3 4 )(5 4 ) (3 2 )(4)h x x x x x′⇒ = − + + −2( ) 24 4 15h x x x′⇒ = − + +
3
2
( ) (3 2 )(5 4 )... ( ) Let h x x x x find h x′= − +
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
16/53
Contoh Hasil bagi
12
5 2
1
x y
x
−=
+2 2
2 2
( 1) (5 2) (5 2) ( 1)
( 1)
d d x x x xdy dx dx
dx x
+ − − − +=
+
2
2 2
( 1)(5) (5 2)(2 )
( 1)
dy x x x
dx x
+ − −=+
2 2
2 2(5 5) (10 4 )( 1)dy x x xdx x
+ − −= +
2
2 2
5 4 5
( 1)
dy x x
dx x
− + +
= +
( ) [ ] [ ]
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d d g x f x f x g x f xd dx dx
dx g x g x
−⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
17/53
22
5 2( )
1
x f x
x
−=
+
2 2
2 2
( 1) (5 2) (5 2) ( 1)( )
( 1)
d d x x x x
dx dx f x x
+ − − − +′ =
+
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
( 1)5 (5 2)2 (5 5) (10 4 )
( 1) ( 1)
5 4 5
( 1)
x x x x x x
x
x x
x x
+ − − + − −= = =
+ +
− + +
+
( ) 5 2 f x x= −
2( ) 1g x x= +
( ) 5 f x′⇒ =
( ) 2g x x′⇒ = [ ]2 f f g fg
g g
′ ′ ′⎡ ⎤ −=⎢ ⎥
⎣ ⎦
2
2 2
(5)( 1) (5 2)(2 )
( 1)
f x x x
g x
′⎡ ⎤ + − −=⎢ ⎥ +⎣ ⎦
2
2 2
5 4 5
( ) ( 1)
x x
h x x
− + +
′ = +
3 2
5 2 ( ) ... ( )
1
x Let h x find h x
x
− ′=+
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
18/53
42
5 2( )
1
x f x
x
−=
+
2 2
2 2
( 1) (5 2) (5 2) ( 1)( )
( 1)
d d x x x x
dx dx f x
x
+ − − − +′ =
+
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
( 1)5 (5 2)2 (5 5) (10 4 )
( 1) ( 1)
5 4 5
( 1)
x x x x x x
x
x x
x x
+ − − + − −
= = =+ +
− + +
+
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
19/53
Contoh Rantai
1
[ ]( ( )) ( ( )) ( )d
f g x f g x g xdx
′ ′=
72 1( )
3 5
xG x
x
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
+⎝ ⎠( ) ( )
( )
6
2
3 5 2 2 1 32 1( ) 7 3 5 3 5
x x xG x x x
⎛ ⎞+ − −−⎛ ⎞⎜ ⎟′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎝ ⎠
( )
( )
( )
66
2 8
91 2 12 1 13( ) 7
3 5 3 5 3 5
x xG x
x x x
−−⎛ ⎞′ = =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +
5 2 8 2, 7 3 y u u x x= = +
( )3 2 75 56 62
u x x= ⋅ +
( ) ( )
3 28 2 75
7 3 56 62 x x x x= + ⋅ +
( )( )
3 27 8 2
140 15 7 3 x x x x= + +
2
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
20/53
3
4
2
7 6
3 5 3 10
7
u x x x
y
du
dy
du
x
u u
d →
→
= − = −
= =
6
3 10 )7 (
dy
ud x x = −
2 67(3 2 ) (3 10 )dy
x x xdx
= − −
2 71) ( ) (3 5 ) f x x x= −
2
2 1
3 3
1 2
2
3
u x x
d
d y u u
y
du
u
dx
−
= − =
= =
→
→
1
323
(2 )d u yd
x x
−=
12
3
2( 1)3 (2 )
dy
dx x x
−
−=
1
2 3
4
3( 1)
dy x
dx x
=
−
2 232) ( ) ( 1) f x x= −
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
21/53
Aturan Fungsi Khusus
( )( )
sincos
d xx
dx=2
3
1 1,r
r dx rx r dx
−= ∈
( ) ( )cos sind x xdx = −
4 ( )
( )2tan 1
cos
d x
dx x=
5 ( )
2
arcsin 1
1
d x
dx x=
−
6 ( )
2
arctan 1
1
d x
dx x=
+
7e
ex
xd
dx=
8 ( )lnx
xda a adx
=
9 ( )ln 1d xdx x
=
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
22/53
Contoh
1
2 2
sin( ) cos( )
du
d
u x
y y
d
u udu
x
→
→
= =
= =2co 2 (2 )s( )dy u
d cos x
x = =
2
2
1 2
tan( ) sec ( )
u x x
y u dy
du
dudx
u
= − =
= =
→
→
2 2 22 secsec ( )(2 )) ( 1dy
u x x x
xd
= = −
2
4) ( ) sin(2 ) f x x=
25) ( ) tan( 1) f x x= −
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
23/53
Diferensiasi Fungsi Sinus
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin cos cos sin sinx h x x h x h xh h
+ − + −=
( ) ( ) ( ) ( )sin cos 1cos sinh hx xh h
−= +
( )( )
sincos
d xx
dx=
( ) ( )( )
( ) ( )0
0 0
sin sinlim cos since
sin cos 1lim 1 (shown earlier) and lim 0 (exercise).
h
h h
x h xx
hh h
h h
→
→ →
+ −⇒ =
−= =
Ingat bahwa :
dan
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
24/53
Diferensiasi Fungsi Cosinus
( )( )
cossin
d xx
dx
= −
( ) ( )
( )
One gets
Dcos Dsin cos 1 cos2 2 2
sin .
x x x x
x
π π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
25/53
Diferensiasi Fungsi Tangen
( )
( )
2
tan 1
cos
d x
dx x
=
( )
( )( )
sin
costan
xd
xd x
dx dx
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
cos cos sin sin
cos
cos sin 1
cos cos
x x x x
x
x x
x x
− −=
+= =
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
26/53
Diferensiasi Inverse Fungsi Trigonometri
( )2
arcsin 1
1
d x
dx x=
−
( )( )
( )( ) ( ) ( )2 2
Let sin . B y the Inverse Function R ule,arcsin 1 1 1 1
.cossin 1 sin 1
x yd x
dx yd y y x
dy
=
= = = =− −
Jika
( )2
arctan 1
1
d x
dx x=
+
( )2 21 1
.1 tan 1y x
= =+ +
( )
( )( )
( )2
Let tan . By the Inverse Function Rule,
arctan 1cos
tan
x y
d xy
d ydx
dy
=
= =
Jika x = tan (y)
2
1
©Ruminta, 2006
D f F E l
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
27/53
Diferensiasi Fungsi Exponensiale
e
x
xd
dx =
0x x
0
0
0
e e e 1 e ee e e
e esince, by the definition of the number e, lim 1
x h x h hx
h
h
h
h h h
h
+
→
→
− − −= = ⎯⎯⎯→
−=Ingat definisi dari bilangan naturan e
( )lnx
xda a adx
=
( ) ( )ln x lnWrite e e and use the Chain Rule.
xa ax
a = =Jika dan menggunakan aturan rantai
( )( ) ( ) ( ) ( )
ln
ln
One gets:
e
e ln ln .
x ax
x a xdda
a a adx dx= = =
Maka
2
1
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
28/53
3
( )h
eelime
dx
d xhx
0h
x −=+
→
h
eeelim
xhx
0h
−=
→
( )h
1eelim
hx
0h
−=
→
( )[ ] ( ) ( )
h
xf hxf lim
dx
d
0h
−+=
→
x f
x x h
0 h
x e )1( e h
1elime =
=
→
©Ruminta, 2006
At Dif i i F i E i l
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
29/53
Aturan 1:
( ) xx eedxd
=
Aturan 2:
( ) )()()( xfeedxd xfxf ′⋅=
Aturan Diferensiasi Fungsi Exponensial
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
30/53
Contoh
1 Temukan derivative dari f(x) = x2ex .
2xeex(x)f
exf(x)
xx2
x2
+=′
=
( )2xxe(x)f x +=′
Temukan derivative dari f(t) = ( )23
t 2e +
( )
( ) t21
t
23t
e2e23
tf
2etf
+=′
+=
)(
)(
2
©Ruminta, 2006
( )xe
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
31/53
3 Temukan derivative dari :
Temukan derivative dari f(t) =4
( )2x
exf =
( ) 2xe
x'f
x
=
( ) ( )
4
xx2
x
2xeexx'f
−=
( ) ( )
4
x2x
x
ex2xex'f
−=
( ) ( )
( ) ( )
3
x
4
x
4
xx2
x
2xex'f
x
2xxe
x
2xeexx'f
−=
−=
−=
x3e
3exf
exfx3
x3
⋅=′
=
)(
)(
©Ruminta, 2006
T k d i ti d i 1x2 2
f +)(
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
32/53
5 Temukan derivative dari :
Temukan derivative dari6
1x2exf +=)(
( )4xe(x)f ef(x)
12x
12x
2
2
+
+
=′=
12x 2
4xe(x)f
+=′
( ) 5xexf =
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) 5x2
5e
x'f
5x2
5ex'f
55x2
1ex'f
5x
d
ex'f
5x
5x
2
1-5x
5x
=
⋅=
⋅=
⋅= dx
©Ruminta, 2006
Diferensiasi Logaritma
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
33/53
Diferensiasi Logaritma
( )ln 1d xdx x
=
yLet e . Use the Inverse Function Rule to get:x =
( )
( )y
ln 1 1 1.
ee
y
d x
dx xddy
= = =
Jika Maka :
©Ruminta, 2006
Aturan Diferensiasi Fungsi Logaritma
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
34/53
Aturan 1:
Aturan 2:
Aturan Diferensiasi Fungsi Logaritma
x
1x
dx
d=ln ( )0x ≠
[ ])(
)()(ln
xfxfxf
dxd ′= 0xf >)(
©Ruminta, 2006
C t h
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
35/53
Contoh
1 Temukan derivative dari f(x)= xlnx.
Temukan derivative dari g(x)= lnx/x2
1lnxx1x(x)f
xlnxf(x)
⋅+=′
=
lnx1(x)f +=′
2x
1lnx
x
1x
(x)g
xlnxg(x)
⋅−
=′
=
2x
lnx1
(x)g
−
=′©Ruminta, 2006
T k d i ti d i ²l
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
36/53
3 Temukan derivative dari : y = x²lnx .
Temukan derivative dari4
y’ = x² + (lnx)(2x)
y’ = x + 2xlnx
Atau y’ = x(1+2lnx)
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛
x1
( ) ( )3xln4xlny −−+=
3x
1
4x
1y'
−−
+=
( )( ) ( )( )
( )( )3x4x
7y'
3x4x
4x
3x4x
3-xy'
−+
−=
−+
+−
−+=
©Ruminta, 2006
5 Temukan derivative dari : ( )( )632 2x1x y ++= ln
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
37/53
( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )2x6ln1xln2xln1xln2x1xlny 32632632 +++=+++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )2x1x4x18x20xy
1x2x
18x18x
2x1x
4x2xy
1x2x
1x3x6
2x1x
2x2xy
32
24
23
24
32
4
23
22
32
3
++++=′
++
++
++
+=′
++
++
++
+=′
( )( )y
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )1x2x1x3x6
2x1x
2x2xy
r.denominatocommonaget Now2x
3x6
1x
2xy
2x6ln1xlny
23
22
32
3
3
2
2
32
++
++
++
+=′
+
+
+
=′
+++=
©Ruminta, 2006
6 Temukan derivative dari : ))(( 1x1xx y 2 ++=
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
38/53
Langkah 1 Buat ln pada dua sisi persamaan
))((lnln 1x1xx y 2 ++=
Langkah 2 Kembangkan persamaan tersebut
)ln()ln(lnln
))((lnln
1x1xx y
1x1xx y2
2
++++=
++=
Langkah 3 Diferensiasi kedua sisi (eksplisitkan ln y )
1xx2
1x1
x1
y
y
1x1xx y
2
2
++++=
′
++++= )ln()ln(lnln
Langkah 4: Pecahkan y ‘. ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
+
+
+
+=′
1x
x2
1x
1
x
1 y y 2
©Ruminta, 2006
Langkah 5: Substitusikan y pada persamaan tersebut.
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
39/53
))(( 1x1xx y
2 ++=
Langkah 5 Substitusikan y pada persamaan tersebut.
( )
( ) ( ) ( )[ ]⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++
+
+++
++=′
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
++
++++=′
1x
1)(x1xx2x
1x
1)(x1xx
x
1)(x1xxy
1x
2x
1x
1
x
11)(x1xxy
2
222
2
2
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( )
( )
12x3x4xy
2x2xxx1xxxy
1xx2x1)x(x1)(x1xy
1x
1)(x1xx2x
1x
1)(x1xx
x
1)(x1xx
23
23323
22
2
222
+++=′
+++++++=′
++++++=′
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++
+
+++
++=′
y
©Ruminta, 2006
Diferensial Implisit
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
40/53
Diferensial Implisit
33 4 17 y x x= − +
y diekspresikan secara explisit sebagai fungsi x .3 3 1 y xy x+ = +
y diekspresikan secara implisit sebagai fungsi x .
Diferensial dari fungsi y yang dinyatakan secara implisit
disebut diferensial implisit
[ ] [ ]3
( ) ( ) 3 1 f x x f x x+ = +
©Ruminta, 2006
M f t Dif i l I li it
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
41/53
Manfaat Diferensial ImplisitMenemukan slope dari garis tangen dan garis normal
Contoh menemukan slope dari garis tangen dan normal di titik
(2,4)
©Ruminta, 2006
Contoh
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
42/53
Contoh
1 Temukan diferensial implisit dari
[ ] [ ]3
( ) ( ) 3 1 f x x f x x+ = +
[ ]2
3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 f x f x f x xf x′ ′+ + =
2
3 3 y y y xy′ ′+ + =
( )23 3 y y x y′ + = −
2
3
3
y y
y x
−′ =
+
©Ruminta, 2006
2 Temukan diferensial implisit dari 2 2 sin( )y x xy= +
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
43/53
2 Temukan diferensial implisit dari sin( ) y x xy= +
2 2 cos( ) (1)dy dy y x xy x ydx dx
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
2 cos( )
2 cos( )
dy x y xy
dx y x xy
+=
−
2 2 cos( )( ) cos( )
dy dy
y x xy x xy ydx dx= + +
2 cos( )( ) 2 cos( )dy dy
y xy x x xy ydx dx
− = +
(2 cos( )) 2 cos( )dy
y x xy x y xydx
− = +
©Ruminta, 2006
3 Temukan diferensial implisit dari 3 3 9 0x y xy+ =
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
44/53
3 Temukan diferensial implisit dari 9 0 x y xy+ − =
2 23 3 (9 9) 0dy dy x y x ydx dx
+ − + =
2 23 9 9 3dy dy
y x y xdx dx
− = −
2 23 3 9 9 ) 0dy dy
x y x y
dx dx
+ − − =
2
2
9 3
3 9 )
dy y x
dx y x
−=
−
2 2(3 9 ) 9 3dy
y x y xdx
− = −
©Ruminta, 2006
4 Temukan diferensial implisit dari 3 2 25 4y y y x+ − − = −
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
45/53
4 Temukan diferensial implisit dari 5 4 y y y x+ =
[ ]3 2 25 4d d y y y xdx dx
⎡ ⎤+ − − = −⎣ ⎦
[ ] [ ]3 2 2
5 4
d d d d d
y y y xdx dx dx dx dx⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
23 2 5 2 0dy dy dy
y y x
dx dx dx
+ − − =
23 2 5 2dy dy dy
y y xdx dx dx
+ − =
2(3 2 5) 2dy
y y xdx
+ − =2
2
(3 2 5)
dy x
dx y y=
+ −
©Ruminta, 2006
Dif nsi l P si l
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
46/53
Diferensial Parsial
Definisi Derivative Parsial dari Fungsi Dua VariabelJika z = f(x,y), derivative parsian pertama dari f
dinyatakan fx dan f y yaitu :
( )
( )
( ) ( )
0
0
, ( , )
, lim
, ( , ), lim
x x
y y
f x x y f x y
f x y x
f x y y f x y f x y
y
∆
∆
+ ∆ −=
∆+ ∆ −
=
∆
uuur
uuur
©Ruminta, 2006
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
47/53
Definisi Derivative Parsial dari Fungsi Tiga Variabel
Jika w=f(x,y,z), maka derivative parsialdinyatakansebagai berikut :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
, , ( , , ), , lim
, , ( , , ), , lim
, , ( , , ), , lim
x x
y y
z z
f x x y z f x y zw f x y z
x x
f x y y z f x y zw f x y z y y
f x y z z f x y zw f x y z z z
∆
∆
∆
+ ∆ −∂ = =∂ ∆
+ ∆ −∂ = =∂ ∆
+ ∆ −∂ = =∂ ∆
uuur
uuur
uuur
©Ruminta, 2006
Contoh
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
48/53
Contoh
1 Temukan diferensial parsial fx dan f y dari4 2 2 3( , ) 5 2 f x y x x y x y= − +
4 2 2 3
3 2 2
2 3
( , ) 5 2
( , ) 20 2 6
( , ) 2 2
x
y
f x y x x y x y
f x y x y x yx
f x y x y x
= − +
= − += − +
Solusi
©Ruminta, 2006
2 Temukan diferensial parsial fx dan f y dari
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
49/53
y
Solusi
( , ) (2, 2) xy
f x y at
x y
= −
−
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2 2
2
2
( , ) (2, 2)
,( ) ( ) ( )
2 4 12, 2
16 4(2 2 )
,( ) ( ) ( )
4 12, 2
16 4( )
x
x
y
y
xy f x y at
x y
x y y xy xy y xy y f x y
x y x y x y
f
x y x xy x xy xy x f x y x y x y x y
x f
x y
= −
−− − − − −
= = =− − −
− − − −− = = =
− −
− + − += = =
− − −
− = = =
−
pada titik (2, -2)
©Ruminta, 2006
3 Temukan diferensial parsial fx dan f y dari
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
50/53
y
Solusi
y x y xy y x f 22 523),( +−=
x y y x f
x xy y x f
y x y xy y x f
x y y x f
xy y y x f
y x y xy y x f
x y x f
x xy y x f
y x y xy y x f
y y x f
xy y y x f
y x y xy y x f
yx
y
xy
x
yy
y
xx
x
106),(
526),(
523),(
106),(
103),(
523),(
6),(
526),(
523),(
10),(
103),(
523),(
2
22
2
22
2
22
2
22
+=
+−=
+−=
+=
+=
+−=
=
+−=
+−=
=
+=
+−=
©Ruminta, 2006
Derivative Tingkat Tinggi
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
51/53
Derivative Tingkat TinggiDerivative fungsi f(x) adalah f ´(x). Jika f ‘(x)mempunyai derivative, disebut derivative tingakt duaatau f ´´(x)
2
2( )
d y f x
dx
′′ =
Derivative tingkat 2 mempunyai derivative tingkat tigadan derivative tingkat tiga mempunyai derivative tingkat
empat dst3
3( )
d y f x
dx
′′′ =4
(4)
4( )
d y f x
dx
= ( ) ( )n
n
n
d y f x
dx
=
Notasi
Notasi
©Ruminta, 2006
Contoh
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
52/53
1
Temukan derivative tingkat dua dari
Temukan f ‘’’(x) dari :2
( )1
x f x
x=
−2 2
( 1)(1) (1) 1( )
( 1) ( 1)
x x f x
x x
− − −′ = =
− −
( )221( ) ( 1)( 1)d d f x xdx x dx
−⎛ ⎞−′′ = = −⎜ ⎟−⎝ ⎠
3
3
2( ) 2( 1) (1)
( 1) f x x
x
− −′′ = − − =
−5 3( ) 3 2 14 f x x x= − +
4 2( ) 15 6 f x x x′ = −
3( ) 60 12 f x x x′′ = − 2( ) 180 12 f x x′′′ = −
©Ruminta, 2006
3 Temukan derivative tingkat dua dari2 1
( )3 2
x f x
x
+=
-
8/18/2019 MATEMATIKA 1 BAB 7 Teknik Diferensial
53/53
Temukan f ‘’’(x) dari :4
3 2 x −
( ) ( )( ) ( )
( ) 22 2
2 3 2 3 2 1 7( ) 7 3 23 2 3 2
x x f x x x x
−− − + −′ = = = − −− −
( ) ( )( )
3
342( ) 14 3 2 3
3 2 f x x
x
−′′ = − =−
4 x 4 x ) x( f 2
4 x 2 ) x( ' f
2 ) x( '' f =
0 ) x( ''' f =
©Ruminta, 2006