MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai...
Transcript of MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai...
![Page 1: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA EKONOMIInstitut Manajemen Telkom
![Page 2: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/2.jpg)
Diferensial parsialNilai ekstrim: maksimum dan minimum
Diferensial Parsial
![Page 3: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/3.jpg)
Diferensial Parsial
y = f(x,z) = x3+5z2–4x2z–6xz2+8z–7
fx(x,z) = 3x2–8xz–6z2
fz(x,z) = 10z–4x2–12xz+8
dy = fx(x,z) dx + fz(x,z) dz= ( 3x2–8xz–6z2 ) dx + ( 10z–4x2–12xz+8 ) dz
Keterangan:a. Derivatif parsial: fx(x,z) dan fz(x,z)b. Diferensial parsial: fx(x,z) dx dan fz(x,z) dzc. Diferensial total: dy = fx(x,z) dx + fz(x,z) dz
![Page 4: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/4.jpg)
Permintaan marjinal dan elastisitas permintaanparsialPerusahaan dg 2 produk dan biaya produksigabungan
Penerapan Ekonomi
![Page 5: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/5.jpg)
Elastisitas silang (Permintaan Marjinal)
Jika barang A dan barang B mempunyai hubunganpenggunaan, dengan fungsi permintaan
Qda=f(Pa,Pb) dan Qdb=f(Pa,Pb)
Permintaan marjinala. (∂Qda/∂Pa) Perm. marj. A berkenaan dg Pa
b. (∂Qdb/∂Pa) Perm. marj. B berkenaan dg Pa
c. (∂Qda/∂Pb) Perm. marj. A berkenaan dg Pb
d. (∂Qdb/∂Pb) Perm. marj. B berkenaan dg Pb
![Page 6: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/6.jpg)
Elastisitas Permintaan Parsial
Elastisitas harga permintaan1. Eda =ηda= (∂Qda/∂Pa)(Pa/Qda)2. Edb = ηdb= (∂Qdb/∂Pb)(Pb/Qdb)
Elastisitas silang permintaan1. Eab = ηab=(∂Qda/∂Pb)(Pb/Qda)2. Eba = ηba= (∂Qdb/∂Pa)(Pa/Qdb)
![Page 7: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/7.jpg)
Elastisitas Permintaan Parsial
Keterangan:a. Jk ηab,ηba<0 untuk Pa dan Pb tertentu, mk brg A &
B saling melengkapi (komplementer)Penurunan harga salah satu brg akn diikuti olehkenaikan permintaan atas keduanya
b. Jk ηab,ηba>0 untuk Pa dan Pb tertentu, mk brg A & B saling menggantikan (substitusi)
Penurunan harga salah satu brg akn diikuti olehkenaikan permintaan atas brg tsb & penurunanpermintaan atas brg lainnya
![Page 8: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh Soal
Fungsi permintaan akan brg A dan B masing-masingditunjukkan oleh
Qda(Pa)2(Pb)3–1=0 dan Qdb(Pa)3Pb–1=0Berapakah elastisitas permintaan masing-masingbarang dan bagaimana hubungan antara keduabarang tersebut?
![Page 9: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/9.jpg)
Jawab
Qda(Pa)2(Pb)3–1=0Qda(Pa)2(Pb)3 =1
Qda =1/((Pa)2(Pb)3)=(Pa)-2(Pb)-3
Qdb(Pa)3Pb–1=0Qdb(Pa)3Pb=1
Qdb =1/((Pa)3Pb)=(Pa)-3(Pb)-1
![Page 10: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/10.jpg)
Jawab
ηda = (∂Qda/∂Pa)(Pa/Qda)
=(-2(Pa)-3(Pb))Pa/((Pa)-2(Pb)-3)
=-2
Barang A elastis krn |ηda|>1
ηdb = (∂Qdb/∂Pb)(Pb/Qdb)
=(-(Pa)-3(Pb)-2)Pb/((Pa)-3(Pb)-1)
=-1
Barang B uniter krn |ηda|=1
ηab =(∂Qda/∂Pb)(Pb/Qda)
=(-3(Pa)-2(Pb)-4)Pb/((Pa)-2(Pb)-3)
=-3
ηba = (∂Qdb/∂Pa)(Pa/Qdb)
=(-3(Pa)-4(Pb)-1)Pa/((Pa)-3(Pb)-1)
=-3
Karena ηab,ηba<0, mk brg A & B saling melengkapi
![Page 11: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/11.jpg)
Latihan
Jika diketahui pasangan fungsi permintaan untuk produk X dan Y berikut ini:Qx = Px
-1.5Py-0.4 dan Qy = Px
-0.5Py-0.4
Tentukan hubungan produk X dan Y!
![Page 12: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/12.jpg)
Diferensial Parsial
y = f(x,z) = x3+5z2–4x2z–6xz2+8z–7
fx(x,z) = 3x2–8xz–6z2
fz(x,z) = 10z–4x2–12xz+8
dy = fx(x,z) dx + fz(x,z) dz= ( 3x2–8xz–6z2 ) dx + ( 10z–4x2–12xz+8 ) dz
Keterangan:a. Derivatif parsial: fx(x,z) dan fz(x,z)b. Diferensial parsial: fx(x,z) dx dan fz(x,z) dzc. Diferensial total: dy = fx(x,z) dx + fz(x,z) dz
![Page 13: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/13.jpg)
Nilai Ekstrim: Maksimum dan Minimum
Fungsi y= f(x,z) akan mencapai titik ekstrim jikafx(x,z)=0 dan fz(x,z)=0
Maksimum bila fxx(x,z)<0 dan fzz(x,z)<0
Minimum bila fxx(x,z)>0 dan fzz(x,z)>0
![Page 14: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/14.jpg)
Perusahaan dg 2 Produk dan BiayaProduksi Gabungan
Perusahaan menghasilkan dua macam produk Biaya keduanya merupakan biaya produksi
gabungan Keuntungan maksimum dihitung menggunakan
pendekatan diferensial
![Page 15: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/15.jpg)
Perusahaan dg 2 Produk dan BiayaProduksi Gabungan Penerimaan dr memproduksi A: Ra= f(Qa) = QaPa
Penerimaan dr memproduksi B: Rb= f(Qb) = QbPb
Penerimaan total : TR = Ra+Rb = f(Qa)+f(Qb) Biaya total : TC = f(Qa,Qb)
Fungsi keuntungan : π = TR-TC
π maksimum bila π‘=0, yaitu∂ π/∂Qa=0 dan ∂ π/∂Qb=0 ……………………(i)
Dari (i), Qa dan Qb dapat diperoleh. Selanjutnya nilai π maksimum dapatdihitung.
![Page 16: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/16.jpg)
Contoh Soal
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan ygmemproduksi dua macam barang ditunjukkan
TC=(Qa)2+3(Qb)2+QaQb
Harga jual masing-masing barang per unit adalahPa=7 sedangkan Pb=20. a. Hitunglah berapa unit masing-masing yg hrs
diproduksi agar keuntungannya maksimum!b. Hitunglah besar keuntungan maksimum tsb?
![Page 17: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/17.jpg)
Jawab
a. Q maksimum
Ra= QaPa= 7Qa dan Rb= QbPb= 20Qb
TR= Ra+Rb= 7Qa+20Qb
π = TR–TC = (7Qa+20Qb)–((Qa)2+3(Qb)2+QaQb)= 7Qa+20Qb–(Qa)2–3(Qb)2–QaQb
![Page 18: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/18.jpg)
Jawab
Agar π maksimum, π’=0i. ∂ π/∂Qa=0 mk 7–2Qa–Qb=0ii. ∂ π/∂Qb=0 mk 20–6Qb–Qa=0
Dari (i) dan (ii) diperoleh Qa=2 dan Qb=3
b. π maksimumπ =7Qa+20Qb–(Qa)2–3(Qb)2–QaQb
= 7.2+20.3–22–3.32–2.3=37
![Page 19: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/19.jpg)
Latihan
Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan ygmemproduksi dua macam barang ditunjukkan
TC=2(Qa)2+5(Qb)2+QaQb
Harga jual masing-masing barang per unit adalahPa=9 sedangkan Pb=12. a. Hitunglah berapa unit masing-masing yg hrs
diproduksi agar keuntungannya maksimum!b. Hitunglah besar keuntungan maksimum tsb?
![Page 20: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/20.jpg)
Optimisasi Bersyarat
Metode LagrangeMetode Kuhn Tucker
![Page 21: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/21.jpg)
Metode Lagrange
Penghitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain.
Membentuk sebuah fungsi baru, yaitu fungsi Lagrange.
![Page 22: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/22.jpg)
Fungsi Lagrange
Misalkan hendak dioptimumkan:z=f(x,y)
Dengan syarat harus terpenuhi: u=g(x,y)
Maka fungsi Lagrangenya:F(x,y,λ)=f(x,y)+ λg(x,y)
![Page 23: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/23.jpg)
Optimisasi Fungsi Lagrange
Nilai ekstrim dapat dicari dengan memformulasikan derivatif-parsial pertamanya sama dengan 0:
Fx(x,y,λ)=fx+λgx=0Fy(x,y,λ)=fy+λgy=0
Nilai ekstrim tersebut: Maksimum bila Fxx<0 dan Fyy<0. Minimum bila Fxx>0 dan Fyy>0.
![Page 24: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh Soal
Tentukan nilai ekstrim z=xy dengan syarat x+2y=10!
![Page 25: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/25.jpg)
Jawab
Fungsi Lagrange F(x,y,λ) = xy+λ(x+2y-10)
= xy+λx+λ2y-λ10 Syarat agar F(x,y,λ) optimum, F’(x,y,λ)=0
Fx(x,y,λ)=y+λ=0 diperoleh λ=-yFy(x,y,λ)=x+2λ=0 diperoleh λ=-x/2Sehingga diperoleh 2y=x
Substitusi 2y=x terhadap fungsi kendala x+2y=10, diperoleh y=2,5 dan x=5.
Maka z(5;2,5)=12,5
![Page 26: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/26.jpg)
LATIHAN
Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilaiekstrimnya.
![Page 27: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/27.jpg)
Produk marjinal parsial dan keseimbangan produksiUtilitas marjinal parsial dan keseimbangan konsumsi
Penerapan Ekonomi
![Page 28: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/28.jpg)
Keseimbangan Produksi
Definisi: suatu keadaan atau tingkat penggunaankombinasi faktor-faktor produksi scr optimum.
Tingkat kombinasi penggunaan masukan ygoptimum dpt dicari dg Metode Lagrange
Fungsi produksi P=f(k,l) dimaksimumkan terhadapfungsi anggaran M=kPk+lPl dengan M adalah total anggaran untuk membeli masukan K dan L
![Page 29: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/29.jpg)
Keseimbangan Produksi
Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=f(k,l) Fungsi kendala yg dihadapi: M=kPk+lPl
Fungsi baru Lagrange:F(k,l,)=f(k,l)+λ(kPk+lPl–M)
Syarat yg diperlukan agar F(k,l) maksimum:Fk(k,l)=0 yaitu fk(k,l)+λPk=0 ……………..(1)Fl(k,l)=0 yaitu fl(k,l)+λPl=0 ……………..(2)
Dari (1) dan (2) nilai k dan l bisa didapat. Selanjutnya P maksimumbisa diperoleh.
![Page 30: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh Soal
Seorang produsen mencadangkan Rp.96,00 untukmembeli masukan K dan masukan L. harga per unit masukan K adalah Rp.4,00 dan masukan L adalahRp.3,00. Fungsi produksinya P=12kl. a. Berapa unit masing-masing masukan seharusnya ia
gunakan agar produksinya optimum?b. Berapa unit keluaran yg dihasilkan dengan
kombinasi tsb?
![Page 31: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/31.jpg)
Jawab
Fungsi tujuan yg hendak dioptimumkan: P=12kl Fungsi kendala yg dihadapi: 96=4k+3l
Fungsi baru Lagrange:F(k,l)=12kl+λ(4k+3l–96)
Agar F(k,l) maksimum:Fx(k,l)=0 yaitu 12l–4λ=0 ……………..(1)Fy(k,l)=0 yaitu 12k–3λ=0 ……………..(2)
![Page 32: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/32.jpg)
Jawab
Dari (1) dan (2), diperoleh 3l=4k
Subsitusi pers tsb ke fungsi kendala:96 =4k+3l
=4k+4k=8k
Diperoleh k=12 dan l=16
Sehingga P=12kl=12.12.16=2304
![Page 33: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/33.jpg)
Latihan
Arman akan membuat 2 (dua) jenis suvenir dengan anggaran biaya Rp 2,5jt . Biaya bahan baku suvenir A Rp 3.500,- per unit dan suvenir B Rp 50.000,- per unit. Misalkan fungsi produksi P=500AB, tentukan:a. Jumlah kedua suvenir supaya produksi optimum?b. Berapa produksi optimumnya?
![Page 34: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/34.jpg)
Keseimbangan Konsumsi
Definisi: suatu keadaan atau tingkat kombinasikonsumsi bbrp mcm brg yg memberikan kepuasanoptimum
Tingkat kombinasi konsumsi yg memberikankepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dptdicari dg Metode Lagrange
Fungsi utilitas U=f(x,y) dimaksimumkan terhadapfungsi anggaran M=xPx+yPy dengan M adalahpendapatan konsumen
![Page 35: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/35.jpg)
Keseimbangan Konsumsi
Fungsi Lagrange: F(x,y)=f(x,y)+λ(xPx+yPy–M)
Agar F maksimumFx(x,y)=0 yaitu fx(x,y)+λPx=0 …………(1)Fy(x,y)=0 yaitu fy(x,y)+λPy=0 …………(2)
![Page 36: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/36.jpg)
Latihan
Jika diketahui fungsi utilitas U = 4xy – x2 -3y2 danharga barang x = 2, harga barang y = 3 sertapendapatan konsumen adalah 45.
a. Tentukan nilai x dan y yang dapatmemaksimumkan utilitas?
b. Berapa besar utilitas tersebut?
![Page 37: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/37.jpg)
Utilitas Marjinal Parsial
Misalkan konsumen hanya mengkonsumsi barang X dan Y, maka fungsi kepuasan konsumen (utilitas) adalah:
U=f(x,y) Utilitas marjinal parsial
1. ∂ U/∂x=0 utilitas marjinal berkenaan dg brg X2. ∂ U/∂y=0 utilitas marjinal berkenaan dg brg Y
![Page 38: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/38.jpg)
Utilitas Marjinal Parsial
Selanjutnya perhatikan:Utilitas total: U=f(x,y)Utilitas marjinal: MU=U’=f’(x,y)
i. Utilitas marjinal barang X: MUx=fx(x,y)ii. Utilitas marjinal barang Y: MUy=fy(x,y)
Menurut (1) dan (2), keseimbangan konsumsi tercapaiapabila:
(fx(x,y))/Px = (fy(x,y))/PyMUx/Px = MUy/Py
![Page 39: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh Soal
Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi brg X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U=x2y3. jumlahpendapatan konsumen Rp.1.000,00, harga X dan Y per unit masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah.a. Bentuklah fungsi utilitas marjinal untuk masing-masing
barang!b. Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen
mengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?c. Jelaskan apakah dg mengkonsumsi 14 unit X dan 13
unti Y kepuasan konsumen optimum atau tidak?
![Page 40: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/40.jpg)
Jawab
a. U=x2y3
MUx= 2xy3
MUy= 2x2y2
b. Jika x=14 dan y=13Mux= 2(14)(13)3
=61.516Muy= 3(14)2(13)2
=99.372
c. Kepuasan konsumenMUx/Px =61.516/25
=2.460,64MUy/Py =99.372/50
=1.987,44
Karena MUx/Px≠MUy/Pymaka tidak terjadikeseimbangan konsumsi.
![Page 41: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/41.jpg)
Latihan
Hana akan membeli kasur dan lemari untukperlengkapan asrama mahasiswa denganharga Rp 1.5jt per kasur dan Rp 500rb per lemari. Misalkan fungsi utilitas U = 2k3l3 (k kasur dan l lemari), tentukan:a. Fungsi utilitas marjinal untuk kedua barang!b. Utilitas marjinal untuk pembelian 10 kasur dan 5
lemari!c. Apakah kepuasan konsumen optimum dengan
pembelian pada poin (b)?
![Page 42: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/42.jpg)
Metode Kuhn Tucker
Optimisasi fungsi terhadap sebuah fungsi pertidaksamaan.
Bentuk permasalahan: Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala
g(x,y)≤0 Minimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala
g(x,y)≥0
![Page 43: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/43.jpg)
Prosedur Kuhn Tucker (1)
1. Rumuskan permasalahan: Maksimumkan f(x,y) terhadap g(x,y)≤0 Minimumkan f(x,y) terhadap g(x,y)≥0
2. Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker:a. fx(x,y)-λgx(x,y)=0b. fy(x,y)-λgy(x,y)=0c. λg(x,y)=0
![Page 44: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/44.jpg)
Prosedur Kuhn Tucker (2)
3. Ujilah (2c) untuk λ=0 dan g(x,y)=0 guna menentukan mana yang memenuhi persamaan (2a), persamaan (2b), dan pertidaksamaan kendala g(x,y).
4. Nilai-nilai x dan y yang memenuhi ketiga kondisi tersebut merupakan nilai-nilai yang mengoptimumkan fungsi tujuan f(x,y).
![Page 45: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/45.jpg)
Contoh Soal
Minimumkan f(x,y)=x2–xy+2y2 terhadap x+y≥8
![Page 46: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/46.jpg)
Jawab
1. Kondisi Kuhn-Tuckera. fx(x,y)-λgx(x,y)=0 yaitu 2x–y–λ=0b. fy(x,y)-λgy(x,y)=0 yaitu –x+4y–λ=0 c. λg(x,y)=0 λ(x+y–8)=0
2. Uji (1.c)a. Jk λ=0
Dari (1.a): 2x–y–λ=02x–y–0=02x=y
Dari (1.b): –x+4y–λ=0–x+4y–0=0x=4y
Haruslah x=y=0, tetapi kendala x+y≥8 tidak terpenuhi.
![Page 47: MATEMATIKA EKONOMI€¦ · MATEMATIKA EKONOMI Institut Manajemen Telkom. Diferensial parsial Nilai ekstrim: maksimum dan minimum Diferensial Parsial. Diferensial Parsial y = f(x,z)](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022052320/5f073ccc7e708231d41bfe43/html5/thumbnails/47.jpg)
Jawab
b. Jk g(x,y)=0 atau y=8–x Dari (1.a): 2x–y–λ=0
2x–(8–x )–λ=02x–8+x–λ=0 3x–8= λ ……………………………(i)
Dari (1.b): –x+4y–λ=0–x+4(8–x)–λ=0–x+32–4x–λ=0–5x+32=λ ……..……………………..(ii)
Subsitusi & eliminasi pers (i) dan (ii), shg diperoleh x=5 dan λ =7Dengan demikian y=8–x=3 dan f(5,3)=52–(5)(3)+2(3)2 =28
Fungsi f(x,y)=x2–xy+2y2 dapat diminumkan oleh x=5 dany=3 karena kendala x+y≥8 terpenuhi oleh kedua nilai x dan y tsb.