MATEMÁTICA Prof. Leonardo .
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CICLO TRIGONOMÉTRICO
MATEMÁTICAProf. Leonardo
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CICLO TRIGONOMÉTRICO
1. Arcos e ângulos
Considerando uma circunferência de centro O e raio R e dois pontos distintos A e B, os quais a dividem em duas partes.
A
B
O
X
Os pontos A e B são as extremidades do arco AXB.
O ângulo AOB é chamado de ângulo central, pois o seu vértice está no centro da circunferência.
Temos que:
med (AOB) = med (AXB)
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2. Medidas de arcos e ângulos
Para se medir arcos e ângulos usaremos as unidades grau e radiano.
I. Grau: Dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada um desses arcos mede 1º.
II. Radiano: Um arco mede 1 radiano(rad) se o seu comprimento for igual ao raio da circunferência.
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3. Comprimento de um arco
Dado um arco de comprimento L cujo o ângulo central correspondente, EM RADIANOS, mede α, inscrito numa circunferência de raio R, temos que:
radR
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Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação:
radouradπ 14,3180180
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Exemplos:
1. Transformar em radianos:
a) 120º b) 315º
rad32
180.120
x
x120
rad180)a.1
rad47
180.315
x
x315
rad180)b.1
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2. Transformar em graus:
rad3
)c
rad45
)b
rad52
)a
725180.2
rad52
)a.2
2254
180.5rad
45
)b.2
603
180rad
3)c.2
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3. Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista? 14,3Adote
m9426.157:serádistânciaa
,voltas6dáatletaoComo
.m157C
25.14,3.2Colog,R2Cé
nciacircunferêdaocomprimentO
.R2Dpois
,m25Rentão,m50DSe
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4. Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que o seu comprimento é 31,4 m. 14,3Adote
m514,3.24,31
R,Logo
2C
Rentão ,R2C Como
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5. Determine o comprimento de um arco que subtende um ângulo central de 45º numa circunferência de raio 60 cm. 14,3 Adote
cm1,47L14,31515L 604
Lentão,R.LComo
.4
,sejaou,rad4
obtemos radianosem45ndoTransforma.5
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6. Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia?
8091804
então ,rad94
RL
,Logo
.raio de cm9 de nciacircunferê numa 4C
22R.2C ocompriment
de arco um em dotransforma é aro O.6
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3. As funções Seno, cosseno e Tangente no Ciclo trigonométrico
É uma circunferência orientada de raio unitário (R = 1 u.c.) na qual se tem como sentido positivo o anti-horário e se escolhe um ponto A qualquer com origem dos arcos.
Este ciclo será centrado no plano cartesiano de modo que o eixo das abcissas passe pelo ponto A.
O ponto A terá como coordenadas o ponto(1, 0).
Esses eixos vão dividir o ciclo em quatro partes iguais chamadas de quadrantes.
A(1,0)
+
_
B(0,1)
A’(- 1,0)
B’(0,- 1)
0
R = 1
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Como o ciclo é dividido em 4 partes iguais, então cada parte vale 90º ou .rad
2
Qº4x360x270se
Qº3x270x180se
Qº2x180x90se
Qº1x90x0se
:que temos ,ciclo
no qualquer arco um x Sendo
1º Q2º Q
3º Q 4º Q
0º
90º
180º
270º
360º
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4. Arcos côngruos
Dois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico.Por exemplo:
1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º.
Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos.Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois
30º + 360º = 390º,
30º + 2.360º = 750º,
30º - 360º = - 330º
30º - 2.360º = - 690º
Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão
ZK,K.36030x
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.,360
cosexp
,
ZKKαxporelea
côngruosarostodosressar
sepodegrausαmedearcoumse
.,2
cosexp
,
ZKπKαxporelea
côngruosarostodosressar
sepoderadianosαmedearcoumse
3600
mindet
αexde
principalaçãoeraαsendo
παexde
principalaçãoeraαsendo
20
mindet
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5. Determinação do quadrante.
Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram.
rad3
16)frad
225
)e
rad4
37)d2535)c
1190)b752)a
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Exercícios:
1. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos abaixo:
Zk,k6
x)a
)Zk.(4
k8
x)d
)Zk(,.k24
x)c
Zk,2
k32
x)b
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2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:
rad4
19)d rad
745
)c 2580)b 1910)a
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3. Dados os arcos AB e AC, que medem respectivamente, 60º e 130º, dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de origem A cujas extremidades são os pontos médios dos arcos AB e AC.
)radianosem(,2k3613
xe2k6
xe )grausem(,k36065x
ek36030x sãocosardessesgeral
ressãoexpatotanPor .65mede AEarcooe30medeADarcoo
então),E(65éACdemetadeae),D(30éABdemetadeaComo
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4. Quais são os arcos positivos menores que 1500º e côngruos a 150º ?
1230,870,510,150x,totanPor
.15001590x4k
1230x3k
870x2k
510x1k
150x0k
paraentão,k360150x
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FIM !!!