Matemática Fundamental Conjuntos Numéricos
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Matemática FundamentalConjuntos Numéricos
Giovanni Spavier
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Conjunto dos Números Naturais
• São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}
• Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero:
• N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}
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Leitura e Escrita de Números
•O nº pode ser lido indicando a classe:
vinte e cinco mil trezentos e vinte e sete unidades.
Ordem = É a posição que cada nº ocupa na leitura.
O nº pode ser lido indicando a ordem de cada algarismo: Duas dezenas de milhar, cinco milhares, três centenas, duas dezenas e sete unidades.
Classe = grupo de 3 algarismos a contar da direita
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Conjunto dos Números Inteiros• São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos
(negativos).• São representados pela letra Z: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}• O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos. Eles são:
Inteiros não negativosSão todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}
Inteiros não positivosSão todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} Inteiros não negativos e não-nulosÉ o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
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Conjunto dos Números Racionais
• Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como “12,050505…”, também conhecidas como dízimas periódicas.
• Os racionais são representados pela letra Q.
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Conjunto dos Números Racionais• Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }
• Assim, como exemplo podemos citar o -1/2 , 1 , 2,5 ,... • Números decimais exatos são racionais
– 0,1 = 1/10 – 2,3 = 23/10 ...
• Números decimais periódicos são racionais. – 0,1111... = 1/9 – 0,3232 ...= 32/99– 2,3333 ...= 21/9– 0,2111 ...= 19/90
• Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.
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3,14159265...Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)
2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).
= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}
Conjunto dos Números Racionais
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Conjunto dos Números Irracionais
• É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número ∏ (Pi) (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 ….
• Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o Pi.Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)
• São compostos por dízimas infinitas não periódicas.
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Conjunto dos Números Reais
• É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).
• Representado pela letra R.
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Frações
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Traço da fração indica operação divisão.
Denominador (divisor), representa o número de partes iguais em que se supõe dividida a Unidade.
Numerador (dividendo),representa o número de partes que estão a ser consideradas.
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Exemplo: leitura de frações
Quatro sextos
dois sextos Um quarto
Dois oitavos
Quatro dezesseis avos
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Números inteiros e fracionários
Número racional inteiro, porque onumerador é múltiplo do denominador.
Número racional fracionário, porque o nu- merador não é múltiplo do denominador.
O número fracionário cinco meios pode ser representado por:
Um numeral decimalUma fração
ou 5:2 =2,5
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Frações próprias são as fraçõesonde os denominadores sãomaiores que os numeradores.
LUNATMAT
Frações Próprias , Impróprias e Decimais.
Frações impróprias são fraçõesonde os numeradores são maioresque os denominadores.
Denominam-se frações decima- is, todas as frações que apresen-tam potências de 10 no denomi-nador.
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Frações decimais Números decimais
Exemplos:
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O que são números racionais?
• Número racional é todo número que pode ser escrito na forma de uma fração. Exemplos:
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Como fazer a transformação?
• Frações em decimais: basta dividir o numerador pelo denominador.
• OBS.: se o resultado for uma dízima periódica (divisão que não acaba nunca = 0,3333...) é melhor trabalhar com a fração. Exemplos:
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Como fazer a transformação(cont.)• Decimais em porcentagem: basta multiplicar
por 100. Exemplos:
Dica: para multiplicar por números múltiplos de 10 (100, 1000, etc), basta deslocar a virgula para a direita (número de casas igual a quantidade de zeros do múltiplo).
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Como fazer a transformação(cont.)
• Porcentagem em Frações: basta escrever a porcentagem na forma de fração e depois simplificar a fração. Exemplos:
Simplificar por 25
Simplificar por 20
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Atividade:
Fração Decimal Porcentagem
0,4
35 %
0,6
45 %
0,8
Copie e complete o quadro abaixo, fazendo as respectivas transformações
51
82
43
0,2 20 %
40 %2 / 5
7 / 20 0,35
0,25 25 %
60 %3 / 5
9 / 20 0,45
0,75 75 %
80 %4 /5
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Percentagens
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Num inquérito de rua foram interrogadas 100 pessoas sobre um determinado assunto.
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Percentagens
Cada uma podia responder SIM, NÃO ou SEM OPINIÃO.
Quantas pessoas responderam NÃO?Qual a percentagem das que responderam sim?Qual a percentagem das que responderam SEM OPINIÃO?
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Percentagem como uma parte de um todo.
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Formas diferentes de escrever uma percentagem
Uma percentagem pode ser apresentada sob a forma de razão ou sob a forma de numeral decimal.
Por exemplo:
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Na resolução de um problema de percentagens temos sempre, pelo menos, três valores.
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Resolução de problemas calculando percentagens
As percentagens são muitas vezes utilizadas para representarem uma parte de um todo.
= 71,43%
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Outra forma de utilização da percentagem éindicar uma variação de uma grandeza.
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Por exemplo:Num bairro havia, em 1974 , 1012 eleitores, e, em 2005 , 1998 eleitores.A variação do número de eleitores pode ser indicada sob a forma de percentagem.
2.º variação relativa:
9743,01012986
1.º variação absoluta:
1998 - 1012 = 986
Ou seja, a percentagem de aumento de eleitores foi de aproximadamente 97,43% .
Uma forma de procederconsiste em calcularsucessivamente:
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2.º variação relativa:
9743,01012986
1.º variação absoluta: 1998 - 1012 = 986
Ou seja, a percentagem de aumento de eleitores foi de aproximadamente 97,43% .
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As percentagens para estabelecer comparação
Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa.
referência de valor
referência de valor - comparação de valor relativa Diferença
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As percentagens para estabelecer comparação
R$ 80,00
6,045
4580
R$ 45,00
4375,080
8045
+ 60%
- 43,75%
Em termos relativos diz-se que:• As botas custam mais 60% do que os sapatos.• Os sapatos custam menos 43,75% do que as botas.
referência de valor
referência de valor - comparação de valor relativa Diferença
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O ESSENCIAL
Escrever uma percentagem
Uma percentagem pode ser escrita sob a forma de numeral decimal ou sob a forma de fração.
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O ESSENCIAL
Aplicar uma percentagem a um número
5% de 10 kg = 0,05 x 10 kg = 0,5 kg
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O ESSENCIAL
Determinar o valor inicial ou de referência conhecendo o valor final e a percentagem
Com o aumento de 5,5% que obteve no seu ordenado, Ana ganha agora 1213,25 reais. Quanto ganhava antes do aumento?
Antes do aumento a Ana ganhava x .
Ana ganhava 1150 reais.
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O ESSENCIAL
Calcular uma percentagem conhecendo os valores inicial e final
Antônio ganhava 1100 reais e agora ganha 1200. Quanto foi a percentagem de aumento?
1200 - 1100 = 100
d.) c. 4( 0909,01100100
O ordenado do Antônio sofreu um aumento de, aproximadamente, 9,09% .
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As percentagens para estabelecer comparação
Para comparar percentagens calcula-se a diferença relativa.
referência de valor
referência de valor - comparação de valor relativa Diferença
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O ESSENCIAL
Usar as percentagens para estabelecer comparações
R$ 1000,00R$ 999,00 R$ 5,00R$ 4,00
25,04
1
4
45
Em termos relativos pode afirmar-se que a bola custamais 25% que a boneca.
d.) c. (40010,0999
9991000
Em termos relativos o colar custa mais 0,1% do que os brincos.
Repare que é muito diferente aumentar 1 real a R$ 999,00 do que aumentar 1 real a R$ 4,00 .