02 - Conjuntos Numéricos
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8/17/2019 02 - Conjuntos Numéricos
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Matemática
Professora: Denise Cristiane Pereira Cabral
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Conjuntos Numéricos
Conjunto Símbolo
Números Naturais
Números Inteiros
Números Racionais
Números Irracionais
Números Reais
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Conjunto dos números racionais
Os números que podem ser escritos como fração ou razão de
dois números inteiros são chamados de números racionais.
: ∈ ∈ ∗,
, é
Em que a é o numerador da fração e b o denominador
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Conjunto dos números racionais
Subconjuntos dos números racionais:
Racionais não nulos
Racionais não-negativos
Racionais não-positivos
Racionais negativos
Racionais positivos
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Conjunto dos números racionais
Todo número racional pode ser escrito na forma decimal. Estarepresentação decimal ou é finita ou é infinita periódica.
Exemplos
a)
= 0,4
b)
= 1,25
c)
= 0, 333..., (período: 3), outra forma de representar
= 0, 3
d)
= 1,515151..., (período: 51), outra forma de representar
= 1, 51
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Conjunto dos números racionaisDa representação decimal para a fracionaria
1° caso) Se a representação decimal for finita:
Neste caso basta dividir por uma potência de 10.
Exemplos:
a) 0,7 =
, note que temos apenas uma casa depois da vírgula
então dividimos por 10 á 1º, ou seja, por 10 = 10.
b) −1,57 = −
, note que temos duas casas depois da vírgula
então dividimos por 10 ao quadrado, ou seja, por 10 = 100.
c) 109,2053 =
, note que temos quatro casas depois da
vírgula então dividimos por 10 á 4º, ou seja, por 10 = 10000.
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Conjunto dos números racionaisDa representação decimal para a fracionaria
2° caso) Se a representação decimal for infinita periódica:
Neste caso o processo não será tão simples, observe os
exemplos:
a) 0,444 …, chamaremos de a fração correspondente que
desejamos encontrar. Então:
= 0,444 …
Temos que o período é 4, ou seja, o número 4 é quem está
repetindo infinitamente depois da vírgula, devemos fazer comque esse período apareça uma vez antes da vírgula.
Como 4 é formado por apenas um algarismo, então basta
multiplicarmos = 0,444 … por 10 á 1º, ou seja, 10 = 10.
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Conjunto dos números racionaisAssim temos:
= 0,444 … 10
10 = 4,444 …
Agora basta subtrairmos a segunda equação da primeira que
teremos:10 = 4,444 …
-
= 0,444 …
9 = 4
Assim:
=4
9
Portanto, 0,444 … =
-
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Conjunto dos números racionaisDa representação decimal para a fracionaria
b) 0,191919 …, chamaremos de a fração correspondente que
desejamos encontrar. Então:
= 0,191919 …
Temos que o período é 19, ou seja, o número 19 é quem estárepetindo infinitamente depois da vírgula, devemos fazer com
que esse período apareça uma vez antes da vírgula.
Como 19 é formado por dois algarismo, então basta
multiplicarmos = 0,191919 … por 10 ao quadrado, ou seja,10 = 100.
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Conjunto dos números racionaisAssim temos:
= 0,1919191 … 100
100 = 19,1919191 …
Agora basta subtrairmos a segunda equação da primeira que
teremos:100 = 19,191919 …
-
= 0,191919 …
99 = 19
Assim:
=19
99
Portanto, 0,191919 =
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Conjunto dos números racionaisDica!!!
Comparando os itens a e b:
0,444 … =
e 0,191919 … =
Note que 0,444 … tem seu período 4, sendo que 4 é composto
por apenas um algarismo, e obtemos
, ou seja, o período sob
um nove.
Já 0,191919 … tem seu período 19, sendo que 19 é composto
por dois algarismos, e obtemos
, ou seja, o período sob dois
noves.
Nos casos em que o número decimal começa com 0 temos
apenas o período após a vírgula, essa dica será valida.
Exemplo: 0,676767 … =
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Conjunto dos números racionais
= 1,444 …
10
Agora subtraindo a segunda equação da primeira que teremos:
10 = 14,444 …
-
= 1,444 …
9 = 13
Assim:
=13
9
Observe também que:
100 = 14,444 …
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Conjunto dos números racionais
= 5,191919 …
100
Agora subtraindo a primeira equação da segunda que teremos:
100 = 519,191919 …
-
= 5,191919 …
99 = 514
Assim:
=514
99
100 = 519,191919 …
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Conjunto dos números racionais
Agora note que no caso 1,444 … temos
, e sabemos que
14 − 1 = 13, e no caso 5,191919 … temos
, e sabemos que
519 − 5 = 514.
Ou seja, temos o número formado pelo número antes da
vírgula com o período menos o valor do número antes davírgula, no numerador. Isto é:
1,444 …
Temos o número 1 antes da vírgula e o período é quatro, então onúmero formados por eles é 14(1 e 4), daí subtraindo 1(valor
que temos antes da vírgula) obtemos 13, 14 − 1 = 13, que é
justamente o valor que temos no numerador. Faça o mesmo
raciocínio para o caso 5,191919... E verifique.
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Conjunto dos números racionaisContinuação dos exemplos:
Da representação decimal para a fracionaria
c) 0,1787878 …, chamaremos de a fração correspondente que
desejamos encontrar. Então:
= 0,1787878 …
Temos que o período (quem repete) é 78, ou seja, o número 78 équem está repetindo infinitamente depois da vírgula, devemos
fazer com que esse período apareça uma vez antes da vírgula.
No entanto temos 1 também depois da vírgula e este também
precisa aparecer antes da vírgula.Neste caso devemos primeiramente trabalhar com o número 1,
isto é, devemos nos preocupar em passar o número que não está
se repetindo para antes da vírgula, deixando apenas o período
depois da vírgula.
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Conjunto dos números racionaisPara isso temos:
= 0,1787878 … 10
10 = 1,787878 …
Agora basta fazermos o período aparecer uma vez antes da
vírgula, assim: 10 = 1,787878 …
100
1000 = 1,787878 …
Agora basta subtrairmos a segunda equação da terceira, e
teremos:
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Conjunto dos números racionais
100 = 178,787878 … -
10 = 1,787878 …
90 = 177
Assim:
=177
90
Portanto, 0,1787878 … =
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Conjunto dos números racionaisExercícios:
Encontre a fração correspondente dos números decimais:
a) 0,555 …
b) 1,434343 …
c) 2,7898989 …
d) 1,98656565 …
e) 6,8979797...
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Conjunto dos números racionaisDivisão por números decimais:
Vejamos como realizar a divisão de 3,4 por 2. O primeiro passo é
observar que, como o 3,4 é um número decimal com um
algarismo depois da vírgula, o 2 deve ter esse mesmo formato,
por isso utilizamos o 2,0 no divisor. Agora que ambos os fatoresda divisão possuem a mesma quantidade de algarismos depois
da vírgula, nós podemos desconsiderar as vírgulas e realizar a
divisão de 34 por 20, obtendo como resultado 1,7. Veja:
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Conjunto dos números racionais
Observe ainda outro caso: