1) Conjuntos Numéricos
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Fatela Preuniversitarios
Conjuntos Numéricos- 1 -13
MATEMÁTICA: Guía N° 1 : CONJUNTOS NUMÉRICOS
Aquí tenemos un panorama general de los conjuntos numéricos que existen:
Naturales : Son los números enteros positivos. Son los primeros números con los que trabajó el ser humano. El cero en general no se considera como un número natural. Cuando se quiere incluir el cero, al
conjunto natural con el cero se lo suele indicar 0� .
La suma en � es “cerrada” o cumple la ley de cierre, lo cual quiere decir que dados dos números cualquiera pertenecientes a � su suma también pertenece a� .
Pero la diferencia o resta no es “cerrada” en� , pues es posible hallar números en � tal que su resta no pertenezca a � .
� : Naturales : {1,2,3,...}
0 : Cero
−� : Enteros Negativos
{−1,−2,−3, ...}
� : Enteros
Decimales
Exactos : 2
35,1 =
Periódicos :
3
26.0...666,0 ==�
� : Racionales
b
a
I : Irracionales { ,,3,2 π e,...}
� : Reales
ℑ : Imaginarios puros { 4− = 2i, −5i, 2 i, 4
3 i,…}
� COMP L E J O S
(a + b.i)
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Recta Numétrica
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Conjuntos Numéricos- 2 -13
Ejemplo : 3 − 5 = −2 ∉� . Para que la diferencia sea “cerrada” en un conjunto, es preciso trabajar
con un conjunto más amplio que es el de los números enteros.
Enteros negativos: −� Son útiles para representar deudas en balances
o para trabajar con valores inferiores al cero en escalas con cero (por ejemplo temperatura bajo cero, altitud por debajo del nivel del mar, etc.).
Enteros : Es el conjunto � y abarca tanto los enteros positivos como negativos y el cero. En este conjunto tanto la suma como la diferencia cumplen la ley de cierre.
OPERACIONES EN �
Repasemos ahora “la suma algebraica” en � , término genérico que se usa para denotar la suma de dos números enteros y que abarca la así llamada suma, la diferencia y otras posibilidades.
A menudo resulta más práctico para estas operaciones sencillas de
suma algebraica razonar en términos de “debo y tengo”, dando el carácter de deuda a los números negativos y de haberes a los positivos.
Ahora bien, la multiplicación es “cerrada” en � , pues siempre que multiplicamos dos números enteros, su resultado es otro entero.
1) Si los dos números a sumarse “algebraicamente” tienen igual signo se suman sus valores absolutos o módulos y se le coloca igual signo al resultado.
+ 2 + 5 = +7
− 2 – 5 = −7
Suma Algebraica
2) Si los dos números a sumarse “algebraicamente” tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se le coloca al resultado el signo del número
de mayor valor absoluto.
+ 3 – 7 = − 4
− 5 + 9 = + 4
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Conjuntos Numéricos- 3 -13
En cambio la división no es “cerrada”. Por ejemplo: 4:3 =
3
4 no es
entero. Para hallar un conjunto numérico donde la división sea “cerrada” debe trabajarse con el conjunto � de los números racionales.
Además de los enteros � , existen los números decimales o números con coma decimal, del cual hay dos tipos:
1) Los decimales exactos : Son aquellos en los cuales las cifras decimales son finitas, o sea tienen fin. Para convertir un número decimal exacto a fracción deben dividirse todas las cifras sin coma, por una potencia de diez con tantos ceros como cifras decimales haya. Luego se simplifica de ser posible. No deben dejarse fracciones sin reducir, siempre debe llegarse a la fracción irreducible. Por ejemplo:
2) Los decimales periódicos : Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales y que se repiten regularmente formando el llamado período que se indica con un arco superior sobre las cifras del mismo.
La regla general para convertirlos a fracción es la siguiente:
En el numerador se escribe la resta entre todas las cifras sin coma, menos las cifras que no forman parte del período, sean éstas enteras o decimales (o sea las que no están debajo del arco). Luego se divide esto por tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica (aquí se consideran solo las cifras decimales no periódicas o sea las que están detrás de la coma sin el arco arriba).
Por ejemplo:
Multiplicación y División
Para multiplicar y dividir debe seguirse la regla de los signos:
+ . + = + + . −−−− = −−−−
−−−− . + = −−−− − − − − . − − − − = +
Por ejemplo:
5.(−2) = −10
−2.(−3) = 6
4 . 5 = 20
15:(−3) = −5
−8:(−2) = 4
20 : 4 = 5
0,25 = 100
25 =
4
1 13,5 =
2
27
10
135=
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Conjuntos Numéricos- 4 -13
Por tanto todos los números decimales sean estos exactos o periódicos
pueden y en general “deben” llevarse a la forma fraccionaria. Son los llamados números racionales� , los cuales también incluyen a los números
enteros� .
OPERACIONES EN �
Los denominadores 8 y 12 se factorean o descomponen en sus factores
primos conjuntamente. Luego al multiplicar estos factores primos entre sí surge el M.C.M. que será el denominador común. Se procede a dividir dicho denominador común por cada uno de los denominadores de las fracciones y a multiplicar esto por los numeradores de las mismas. Finalmente se realiza la suma algebraica del numerador y de ser posible se simplifica con el denominador.
21
10
7
5.
3
2−=
−
Para multiplicar dos fracciones, se procede a multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores también
entre sí.
Multiplicación de Fracciones
24
13
24
103
12
5
8
1=
+=+
8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 3 1 1
M.C.M = 2.2.2.3 = 24
Suma Algebraica de Fracciones
La suma algebraica de fracciones se realiza obteniendo previamente el llamado Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores, el cual se puede obtener en forma práctica haciendo el factoreo
conjunto de dichos denominadores, como se indica a continuación:
225
242
900
968
900
1071075507,1 ==
−=�
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Conjuntos Numéricos- 5 -13
Como vemos en el conjunto de los racionales � , tanto la suma algebraica como la multiplicación y división son operaciones que cumplen la ley de cierre: al operar dos fracciones bajo estas operaciones, se arriba a otra fracción.
Pero al intentar obtener raíces cuadradas de números racionales (y enteros) generalmente obtenemos numeros irracionales.
Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales y todas son distintas, no formándose nunca un período. Por esto, dada la imposibilidad de "razonar" como se formaría un número así, Pitágoras los llamó números irracionales.
Las operaciones exactas con números irracionales, las veremos un poco más adelante en el curso.
Ahora haremos un repaso básico de potencias y raíces, recordando las propiedades distributivas que tienen estas operaciones.
7
10
7
5.
1
2
7
5.2 −=
−=
−
Si un número entero se multiplica por una fracción, se debe considerar a dicho número entero como una
fracción de denominador igual a 1, y realizar la multiplicación como es
habitual.
7
5
14
10
7
5.2 −=−=
−
Nunca debe distribuirse el número entero, multiplicándolo por el
numerador y el denominador de la fracción. En ese caso la fracción no se
alteraría.
División Para dividir dos fracciones, se da vuelta la fracción del divisor (la que aparece en segundo término, luego del signo dividido) sin alterar su signo, y la división se transforma
en multiplicación.
15
14
5
7.
3
2
7
5
3
2−=
−=
−÷
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Conjuntos Numéricos- 6 -13
POTENCIAS
2
5
a
a=
aa
aaaaa
.
....= a . a . a = a3
Se define la potencia de exponente "n" como la multiplicación sucesiva de la base "a" por sí misma un total de "n" veces.
a n = a . a . a . a ... a
base
exponente
"n" veces
Signos de las potencias
Exponente Par 22 = 4 Potencia + Base Positiva
Exponente Impar 23 = 8 Potencia +
Exponente Par (−2)2 = 4 Potencia + Base Negativa
Exponente Impar (−2)3 = −8 Potencia −−−−
Propiedades de Potencias de Igual Base
1) Producto de Potencias de Igual Base
a2 . a
3 = a . a . a . a . a = a
5
32
5
aa
a=
a2 . a
3 = a
5
Los exponentes se suman
2) Cociente de Potencias de Igual Base
Los exponentes se restan
3) Potencia de Potencia
( ) 622232 ....... aaaaaaaaaaa ===
( ) 632 aa =
Los exponentes
se multiplican
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Conjuntos Numéricos- 7 -13
Potencias de Exponente Cero:
3
3
a
a= 1
..
..0 ==aaa
aaaa 10 =a
Cualquier número "a" elevado a la cero es igual a 1.
Potencias de Exponente Negativo:
5
2
a
a= 3
3 1
....
.
aaaaaa
aaa ==−
n
n
aa
1=−
La potencia de exponente negativo se puede colocar
con el exponente positivo en el denominador.
Base Fraccionaria elevada a Exponente Negativo:
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
===÷=
÷=
=
−
.1111
nn
a
b
b
a
=
−
Cuando una fracción está elevada a un exponente negativo, se da vuelta la base (sin cambiar su signo) y cambia el signo del
exponente, quedando positivo.
Propiedad Distributiva de la Potencia : a) Respecto de la Multiplicación:
(a . b)n = a
n . b
n
Distributiva
Asociativa
La potencia es distributiva respecto de la multiplicación.
Igualmente cumple la propiedad asociativa.
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Conjuntos Numéricos- 8 -13
b) Respecto de la División:
n
nn
b
a
b
a=
Distributiva
Asociativa
La potencia es distributiva respecto de la división. Igualmente cumple la propiedad asociativa.
( ) nnnbaba +=+
( ) nnnbaba −=−
La potencia no es distributiva con respecto a
la suma y a la resta.
Radicación: Se define como la operación inversa de la potencia.
abba nn =⇔=
Índice Par 4 2= Raíz + Radicando Positivo
Índice Impar 283 = Raíz +
Índice Par =− 4 ∄ No tiene en � Radicando
Negativo Índice Impar 283 −=− Raíz −−−−
Signos de las Raíces
Radicando Raíz
Símbolo Radical Índice
La radicación tiene las mismas propiedades distributiva con respecto a la multiplicación y a la división que la Potencia.
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Conjuntos Numéricos- 9 -13
a) Respecto de la Multiplicación:
nnn baba .. =
Distributiva
Asociativa
La radicación es distributiva respecto de la multiplicación.
Igualmente cumple la propiedad asociativa.
nnn baba +=+ La radicación no es distributiva con respecto a
la suma y a la resta.
Propiedad Distributiva de la Radicación:
b) Respecto de la División:
n
n
n
b
a
b
a=
Distributiva
Asociativa
La radicación es distributiva respecto de la división. Igualmente cumple la propiedad asociativa.
nnn baba −=−
Potencia de Exponente Fraccionario:
( ) 12
1.2
2
12 333 ==
12 33 =
nn aa
1
=
( ) ⇒=== n
m
nm
nmn maaaa
1.
1
n
m
n maa =
En la Potencia de Exponente Fraccionario el numerador corresponde al exponente de la potencia y el denominador al índice de la raíz.
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Conjuntos Numéricos- 10 -13
Otra propiedad fundamental en Matemática:
Propiedad Distributiva de la la Multiplicación respecto de la suma:
Estructuras algebraicas de uso frecuente
( a + b ) . ( a − b ) = a2 − b2
Producto de la Suma por la Diferencia de dos números
( a + b ). ( a − b ) = a2 − a.b + a.b − b2
Diferencia de
Cuadrados
Diferencia de Cuadrados
( a + b )2 = a2 + 2.a.b + b2 Cuadrado de un binomio
( a + b )2 = ( a + b ). ( a + b ) = a2 + a.b + a.b + b2
Trinomio Cuadrado Perfecto
Cuadrado de un Binomio
a. ( b +c ) = a . b + a . c
Distributiva
Sacar Factor Común
Otra Propiedad de Raíces : “Raíz de raíz”
En la raíz de raíz se multiplican los
índices.
2864 33 ==
26464 63 ==
63 aa =
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Conjuntos Numéricos- 11 -13
Trabajo Práctico Nº 1:
Resolver los siguientes ejercicios combinados de operaciones en “�”.
1) ( ) =
−++
−−−
1
311
8
1.329.1,1
� 14/15
2) =
−−−
−
−
4
13,0.6
2
1 2 � 3/2
3) =
−
−−
1
22
43
40.10
1
125
1.512.2.
25
1
32/625
4) =
−−++
+
−−
113
2
2
11
3
1
3
5.
3
21 -4/3
5) =
32
3
27
1.
5
1.625.729 1/32 805
6) =
3
1
5332
4.2
1:2.
4
1
1516
7) ( ) =−++−−
2
304,03,0.2
8
71
13 1/4
8) =
−
+
+
−
−
16
37
4
73
8
9
4.
6
518
1
2
1.
9
10
3
5 1
5/6
Fatela Preuniversitarios
Conjuntos Numéricos- 12 -13
9) =
+
−+−
−
2
58
7
2
1
4
3
16
38:
4
12 3/4
10)
( )=
−+
−
−
−
39
2.
2
3
9
4
3
7
2.3
10.
5
4.
4
3
3
2
2
11) =
−
+
−
−
+
−
74
12
6
11
13
12.
4
13
2
1
-34/15
12) =
−
−
−
−
2.2
1
7
1.2.5
3
2
5
13
1
1
-25/4
13) =
−
+
−
−
3
3
2
2
2
1
3
11
3
8.2
64
14) =−
−+−
−
3
22
1.
2
1
3
22
4
33.
2
1 2
9/16
Fatela Preuniversitarios
Conjuntos Numéricos- 13 -13
15) =
−
+
−
+
−
−
−
9
1
3
2.
2
1
3
2
53
2
5
1
3
21
2
2
1
2
24
16) =−
+
−+
−
−
3
5.
11
1
39
1.5.
3
21
3
2
4
3.21.
4
1
6
5 1
53/66