Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen ... · monilukutaidon harjoittamisen kautta...

i

Pro gradu -tutkielma

Toukokuu 2017

Fysiikan ja matematiikan laitos

Itä-Suomen yliopisto

Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten

taitojen tukeminen alkuopetuksessa

monilukutaitoa edistävillä työtavoilla

Janika Kinnunen

ii

Janika Kinnunen Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen

tukeminen alkuopetuksessa monilukutaitoa edistävillä

työtavoilla, 79 sivua

Itä-Suomen yliopisto

Matematiikan aineenopettajan ja luokanopettajan

koulutusohjelma

Matematiikan aineenopettajakoulutus

Työn ohjaajat Yliopistonlehtori Antti Viholainen

Apulaisprofessori Sari Havu-Nuutinen

iii

Tiivistelmä

Tämä tutkimus keskittyy monilukutaitoa edistävän opetuksen tutkimiseen. Tutkimus

tarkkailee, kuinka monilukutaitoa edistävä opetus tukee matemaattisen monilukutaidon,

matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehittymistä. Monilukutaidon

kehittymisen tukemista tarkkaillaan opetuksen sisältämän matematiikan kielen osa-

alueiden tukemisen näkökulmasta. Matemaattiseen ajatteluun ja matemaattisiin taitoihin

keskitytään tarkemmin matemaattisen käsitteenmuodostusprosessin tukemisen sekä

laskustrategioiden tukemisen tarkkailun avulla.

Tutkimus on toteutettu kvantitatiivisena opetusinterventiotutkimuksena, jossa

monilukutaitoa edistävä opetusinterventiojakso tapahtui eräässä 2. luokassa.

Tutkimuskohteena olivat käytetyt opetusmenetelmät, tehdyt harjoitteet sekä opettajan

antama ohjaus ja tuki. Aineisto kerättiin videoaineistona ja sen sisällönanalyysi

toteutettiin teoriaohjaavan analyysin avulla.

Keskeisimmät tulokset osoittavat, että monilukutaidollisesti rikas opetus tuki

monilukutaidon, matemaattisen ajattelun sekä matemaattisten taitojen kehitystä.

Opetuksessa ei kuitenkaan tuettu lainkaan käsitteenmuodostusprosessin viimeistä

vaihetta eli lujittamisen vaihetta. Opetus ei myöskään edistänyt erityisen tehokkaasti

liikkeeseen pohjautuvaa matematiikan kielen osa-aluetta eli taktiilisen toiminnan kieltä,

mutta osoitti symbolikielen osa-alueen olevan hyvin vallitsevana osana opetusta.

Tämä tutkimus antaa vahvaa näyttöä jatkotutkimusten tarpeellisuudesta. Tutkimusten

tulisi kohdistua sekä tutkimuksellisista että opetuksellisista näkökulmista

monilukutaitoa edistävään opetukseen, sen merkityksellisyyteen sekä sen

mahdollisuuksiin.

iv

Abstract

This research focuses to study teaching that promotes multiliteracy. The research

observes how teaching, that emphasizes multiliteracy, supports the development of

mathematical multiliteracy, mathematical thinking and mathematical skills. The

research of the multiliteracy is concentrating on how teaching supports the

subcategories of mathematics languages. Another part of the study, which is researching

the mathematical thinking and mathematical skills focus on that how teaching supports

mathematical conceptualization process and calculation strategies.

The study is a quantitative intervention study. Intervention were made to children of 8

years old. The research was directed to teaching methods, exercises, teacher guidance

and support that teacher gave to students. The teaching was recorded with video

cameras. The frame of reference gave directions to analysis.

The most important results show that teaching supported the development of

multiliteracy, mathematical thinking and mathematical skills. However, the teaching did

not support the last part of conceptualization process. In addition, the teaching did not

particularly promote the mathematical language that is based on action. Instead

symbolic language was prevalent part of teaching.

This study provides a strong indication for the need of further studies in the matter.

Studies should focus from the researching and educational aspects on how teaching

promotes multiliteracy.

v

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Pienten lasten matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehityksen

tukeminen 4

2.1 Matemaattisen tiedon luonne ja lapsen matemaattisen tietoisuuden edistäminen 4

2.2 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys koulun alkaessa 8

2.3 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys sekä niiden tukeminen

ensimmäisen ja toisen luokan aikana 11

3 Monilukutaidon edistäminen matematiikassa 16

3.1 Matemaattinen lukutaito osana monilukutaidon tukemista 17

3.1.1 Matematiikan kieli 17

3.1.2 Kielentäminen 19

3.2 Monilukutaito tarinallistavan matematiikan näkökulmasta 20

3.2.1 Tarinallistava matematiikka 21

3.2.2 Matemaattisen monilukutaidon edistäminen matikkatarinoiden avulla 23

4 Tutkimuksen toteutus 25

4.1 Tutkimustehtävä ja –kysymykset 25

4.2 Tutkimuksen toteutus 26

4.3 Aineiston analyysimenetelmät 28

4.3.1 Matemaattisten käsitteiden opettamisen analysointi 28

vi

4.3.2 Matemaattisten laskustrategioiden opettamisen analysointi 34

4.3.3 Matemaattisen monilukutaidon analysointi 39

5 Tulokset 41

5.1 Matemaattisten käsitteiden oppimisen tukeminen 42

5.2 Laskustrategioiden oppimisen tukeminen 44

5.3 Monilukutaidon kehityksen tukeminen 48

6 Pohdinta 52

6.1 Tulosten tarkastelu 53

6.2 Johtopäätökset ja jatkotutkimusaiheet 59

6.3 Tutkimuksen luotettavuus 67

Viitteet 70

Liitteet

1

Luku I

1 Johdanto

Matematiikka on puhumisen, lukemisen ja kirjoittamisen ohella ensimmäisiä taitoja,

joiden oppimiseen lasta kannustetaan ja jonka oppimista lapsi itsekin tavoittelee.

Matematiikan oppiminen alkaa omaehtoisena tai vanhempien tukemana toimintana

varhaislapsuudesta ja oppimista tuetaan päiväkodissa ja esikoulussa. (Aunio, Hannula &

Räsänen, 2004) Viimeistään koulumaailmaan astuessaan lapsi alkaa opetella

matematiikan tieteenalaa aktiivisesti. Opiskelu jatkuu ja syventyy seuraavan yhdeksän

vuoden aikana, kun lapsi suorittaa peruskoulua ja oppivelvollisuuttaan. Harvoin

matematiikan harjoittaminen jää tähän, sillä jatkokoulutuksessa ammattialasta

riippumatta matematiikka kulkee tiiviisti rinnalla. Matematiikkaa on kaikkialla ja yksilö

tarvitsee laajoja matemaattisia taitoja yhteiskunnassamme elämiseen.

Usein matematiikan oppiminen koetaan kuitenkin haastavaksi (Tikkanen, 2008).

Matematiikan erityisopetuksen määrä ja lasten vaikeudet oppia matematiikkaa kasvavat

(Aunio, 2008). Matematiikan tiedon luonne on hyvin abstraktia eikä se ole

konkreettisesti läsnä nähtävissä tai kosketettavissa meidän ympäristössämme, kuten

esimerkiksi monet biologiaan liittyvät ilmiöt ovat. Tämä tekee oppimisesta haasteellista

ennen kaikkea pienelle lapselle, joka tarvitsee ympärilleen konkretiaa oppiakseen

(Tikkanen, 2008). Abstraktit asiat, joita lapsen on haasteellista ymmärtää, saattavat

viedä helposti myös innon oppimiseen (Aunio, 2008). Kuitenkin pieni lapsi on hyvin

2

motivoitunut opiskelemaan ja hänellä on luontainen tarve oppia uutta (Aunio, Hannula

& Räsänen, 2004). Näiden tekijöiden vuoksi matematiikan oppimisen tukemiseen tulisi

kiinnittää huomiota juuri koulun aloitusvaiheessa, jolloin lapsi puhkuu intoa oppia

uutta.

Matematiikan opetuksessa olisi tärkeä huomioida oppijan ikä- ja kehitystaso ja antaa

oppijalle mahdollisuuksia käsitellä uusia asioita omaa kehitystasoaan vastaavalla tasolla

(Opetushallitus, 2014b). Alkuopetuksessa tämä tarkoittaa tutkimista, kokeilua,

toiminnallisuutta, tekemisen kautta oppimista, konkreettisuutta, havainnollistavia

esimerkkejä ja esineitä, liikettä, leikkiä ja mielikuvitusta hyödyntävää toimintaa, jotka

mahdollistavat lapselle ilon ja onnistumisen kokemusten sävyttämää oppimista

(Tikkanen, 2008).

Vaikka matematiikka on hyvin abstraktia, voidaan matematiikkaa ja matemaattisia

ilmiöitä tarkastella kuitenkin monella tavalla. Matematiikasta voidaan puhua ja siitä

voidaan kirjoittaa. Piirtäminen on yksi keino ilmaista matematiikkaa ja sitä voidaan

kuvata vain yksistään sille kehitetyn ja ainutlaatuisen symbolisen merkkijärjestelmän

avulla. Matematiikka muodostaa oman kielensä, jota voidaan ilmaista usealla eri tavalla.

Matemaattinen monilukutaito on taitoa ymmärtää, lukea, ilmaista, tuottaa ja viestittää

matematiikkaa eri keinoin ja eri aistein kautta kerätyn tiedon avulla. Matemaattisen

monilukutaidon harjoittamisen kautta alkukasvatuksen matematiikan opetuksessa

päästään mahdollisesti lähemmäksi syvällisen, monipuolisen, laajan ja tiiviisti

sidoksissa olevan matemaattisen tiedon ja matemaattisten käsitteiden verkon

rakentumista, mikä olisi erityisen arvokas pohja lapsen matemaattiselle kehitykselle

tulevaisuudessa. (Joutsenlahti & Kulju, 2010; Schiro, 2004; Tikkanen, 2008.)

Tutkimuksessani halusin selvittää, millä tavoin alkukasvatuksen toisen luokan

matemaattista monilukutaitoa korostava opetus huomioi matemaattisen ajattelun ja

matemaattisten taitojen kokonaisvaltaisen ja syvällisen kehittämisen mahdollisuudet.

3

Perehdyin opetukseen, jolla tavoiteltiin matemaattisen monilukutaiton harjoittamista ja

kehittämistä. Tutkin, sisälsikö opetus todella matemaattista monilukutaitoa kehittäviä

osatekijöitä ja millaisin sisällöllisin keinoin monilukutaidon kehittämiseen pyrittiin.

Tarkkailin opetuksen sisältöä myös matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen

tukemisen näkökulmasta. Tutkin, että kuinka opetuksessa huomioitiin matemaattisten

käsitteiden ja matemaattisten laskustrategioiden kehittymisen tukeminen.

Tämä tutkimus on osa laajempaa monilukutaitoa edistävän opetuksen

kehittämisprojektia, jota toteutetaan itäsuomalaisessa koululuokassa lukuvuoden 2016-

2017 aikana. Oppilaat ovat harjoitelleet erilasia monilukutaitoa edistäviä taitoja koko

lukuvuoden ajan eri oppiaineiden yhteydessä. Tutkimukseni tarkastelee yhtä

osaprojektia, jossa monilukutaitoja ja sen kehittymistä edistettiin matematiikan

opiskelussa.

4

Luku II

2 Pienten lasten matemaattisen ajattelun ja

matemaattisten taitojen kehityksen tukeminen

Tarkastelen tässä luvussa alkukasvatusikäisten lasten matemaattista osaamista ja sen

kehittymisen tukemista. Lähden liikkeelle matemaattisen tiedon luonteesta ja sen

käsitteellisestä rakentumisesta. Esittelen lapsen matemaattisen tiedon kehittymistä ja sen

tukemista sekä matemaattisia taitoja, joita lapsen tulisi hallita koulun alkaessa.

Tarkemmin keskityn koulua aloittavan lapsen ja alkukasvatusikäisen oppilaan

matemaattiseen kehitykseen ja sen tukemiseen erilaisia taitojen kehittymisen malleja

mukaillen. Alkukasvatusikäisten lasten matemaattisessa ajattelussa ja matemaattisten

taitojen kehittymisessä etenen tutkimusryhmäni opetusintervention sisältöihin eli

kertotauluihin saakka.

2.1 Matemaattisen tiedon luonne ja lapsen matemaattisen

tietoisuuden edistäminen

Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys alkaa jo varhaislapsuudessa.

Matemaattiset taidot kehittyvät hiljalleen ja tasaisesti lapsen kehityksen myötä.

Oppiminen etenee loogisesti ja aiemmin opitut matemaattiset taidot ovat edellytys

seuraavan tason taitojen oppimiselle. (Hannula & Lepola, 2006; Paukkeri, Pakarinen,

5

Lerkkanen & Poikkeus, 2015.) Aikuisella, vanhemmilla ja opettajalla on suuri rooli ja

merkitys taitojen kehittymisen tukijoina ja oppimisen edistäjinä (Aunio, 2008).

Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen opettamisen ja oppimisen taustalla on

useita matemaattisen tiedon luonteeseen liittyviä käsitteitä, joita avaan seuraavaksi.

Jo vuosikymmenien ajan uuden tiedon on nähty yhdistyvän vanhoihin käsityksiin,

skeemoihin ja tietorakenteisiin. Oppimisprosessissa lapsi nähdään konstruoivan eli

rakentavan, korjaavan ja muokkaavan tietoa yhteneväksi kokonaisuudeksi aiempien

tietorakenteidensa avulla. Tähän konstruointi- ja assimilointiprosessiin vaikuttaa aina

lasta ympäröivä fyysinen, sosiaalinen ja kulttuurillinen toimintaympäristö. Tämän

vuoksi lapselle tulisi tarjota varhaislapsuudesta lähtien mahdollisimman monipuolisia,

vaihtelevia, opetuksellisia ja tutkimaan houkuttelevia ympäristöjä, joissa toimintaa,

kiinnostusta ja oppimista olisi mahdollista syntyä (Hyvönen & Juujärvi, 2005). Uuden

jäsentyneen tiedon ja ympäristön tekijöiden vuorovaikutuksessa tapahtuu

akkommodaatiota. Toisin sanoen, kun lapsi peilaa vanhan tiedon avulla jäsentynyttä

uutta tietoa ympäristöönsä, muuttaa ja rakentaa sekin prosessi hänen tiedollisia

skeemoja ja tiedon kognitiivisia rakenteita. Lapsi siis muodostaa jatkuvasti kaikissa

ympäristöissä ja kaikkien tekijöiden vaikutuksen alaisena omaa kognitiivista

kokonaisuuttaan. Tässä kokonaisuudessa käsitteet täydentyvät ja rakentuvat uudelleen

uusien tietojen ja kognitiivisten prosessien seurauksena. Lapselle kehittyy jatkuvasti

laajeneva yhtenäinen kognitiivinen kartta häntä ympäröivästä todellisuudesta.

(Haapasalo, 2012; Leino, 2004.) Näin ollen opettajan tehtävänä on tarjota oppilaille

monipuolisia ja jatkuvasti laajentuvia oppimisympäristöjä, jotka antavat lapsille

elämyksiä, kokemuksia, uutta syventävää tietoa sekä oppimisen ja onnistumisen hetkiä.

Hyvässä oppimisympäristössä toteutuvat toiminnallisuus, kehollisuus, yhteisöllisyys,

vuorovaikutteisuus, luovuus, oivaltavuus ja narratiivisuus. Oppimisympäristö siis

tarjoaa toiminnallisessa ja yhteisöllisessä toiminnassa mahdollisuuksia lasten

aloitteellisuudelle, ihmettelylle, havainnoille, johtopäätöksille ja uuden keksimiselle.

(Hyvönen & Juujärvi, 2005.)

6

Matematiikan tehokkaan ja syvällisen opettamisen sekä opetuksen suunnittelun ja

toteutuksen kannalta on erityisen tärkeää, että opettaja ymmärtää matematiikan

opettamiseen vaadittavaa tietoa. Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) -

opettajantiedon malli erittelee opettajantietoa yksityiskohtaisemmin. Matemaattinen

opettajatieto sisältää matemaattista sisältötietoa, joka on aineenhallinnallista tietoa.

Matemaattista sisältötietoa opettaja tarvitsee matematiikkaa opettaakseen. Se koostuu

yleisestä matemaattisesta tiedosta, matematiikan rakenteellisesta tiedosta sekä

matemaattisesta eritystiedosta. Yleinen matemaattinen tieto on teoreettista

matemaattista tietotaitoa, jota opettajan tulee hallita. Opettajan tulee osata

matematiikkaa, matemaattisia aiheita, matematiikan laskemista, määritelmiä, käsitteitä

ja tuloksia. Hänen tulee tunnistaa ja korjata virheelliset ratkaisut sekä tuottaa oikeat

ratkaisut. Matematiikan rakenteellinen tieto on ymmärrystä matemaattisten rakenteiden

ja käsitteiden toisiinsa linkittymisestä sekä kokonaisuuksien rakentumisesta.

Matemaattinen erityistieto on taas ymmärrystä siitä, että millaista matemaattista tietoa

lapsi tarvitsee oppiakseen uutta. Opettajan tulee ymmärtää mitä matemaattisia

operaatioita lasten kanssa voidaan käydä, mitä aiempaa tietoa operaatiot edellyttävät ja

kuinka ne kannattaa esittää. (Koponen, Asikainen, Viholainen, Hirvonen, 2014.)

Matemaattinen opettajatieto käsittää matemaattisen sisältötiedon lisäksi myös

pedagogisen sisältötiedon. Se on oppimiseen liittyvää tietoa, joka on ehdotonta

optimaalisen, täsmällisen ja tehokkaan opettamisen kannalta. Pedagoginen sisältötieto

rakentuu oppimista koskevasta tiedosta, opettamista koskevasta tiedosta sekä

opetussuunnitelmia ja -materiaaleja koskevasta tiedosta. Oppimista koskeva tieto on

opettajan hallitsemaa oppimisteoreettista tietoa. Se käsittää oppilaiden oppimiseen ja

oppimisvaikeuksiin, motivointiin sekä oppilaiden matemaattisen ajattelun kulkuun

liittyvää tietoa. Opettajan on osattava opettaa matematiikkaa oppilailleen

ymmärrettävällä tasolla. Opettamista koskeva tieto käsittää opetukselliset ratkaisut, joita

opettaja opettaessaan tekee. Näitä ovat esimerkiksi toimintojen toteuttaminen

pedagogisesti tehokkaasti, työskentelymenetelmien oikea valinta, oppilaiden ja

7

opettajan roolien valinta sekä pedagogisesti viisaiden valintojen toteuttaminen

suunnitelmien muuttuessa. Opettajan on siis kokonaisvaltaisesti ymmärrettävä

matemaattista sisältötietoa ja pedagogista tietoa sekä osattava käyttää tietoaan

monipuolisesti ja sulavasti käytäntöön linkittäen sekä opetusta edistäen, jotta hänen on

opetuksellaan mahdollista tarjota oppilaille optimaaliset oppimismahdollisuudet.

(Koponen, Asikainen, Viholainen, Hirvonen, 2014.)

Monipuolisen matemaattisen opettajatiedon omaava opettaja ymmärtää opettaa

matemaattisia käsitteitä loogisesti, kronologisesti sekä oikea-aikaisesti. Matemaattiset

käsitteet rakentuvat asteittaisesti. Käsitteenmuodostusprosessi voidaan jakaa viiteen eri

vaiheeseen, joista käsitteeseen orientoitumisen vaihe on ensimmäinen ja sitä seuraa

käsitteen määrittelemisen vaihe. Tässä tutkimuksessa merkityksellisiä olivat kolme

viimeistä vaihetta eli käsitteen tunnistaminen, tuottaminen ja lujittaminen, sillä oppilaat

olivat jo käyneet läpi kertotaulun käsitteen osalta kaksi ensimmäistä vaihetta.

Tunnistamisvaiheessa lapsi ei ole vielä omaksunut käsitettä, vaan sitä harjoitellaan

tunnistamaan eri esitysmuodoissa. Lisäksi kyseisessä vaiheessa pyritään tunnistamaan ja

yhdistämään samaa käsitettä kuvaavat, mutta toisistaan eroavat esitysmuodot, kuten

kuvallinen ja verbaalinen. Nämä harjoitteet keskittyvät tiiviisti yksistään vain käsitteen

tunnistamiseen. Tunnistamisvaiheessa on tärkeää, että opettaja tarjoaa oppilaille

monipuolisesti eri tavoin esitettyä ja havainnollistettua tietoa kyseisestä käsitteestä.

Käsitteen tuottamisen vaiheessa oppilas kykenee jo tuottamaan käsitteestä tietyn

esitysmuodon pohjalta toisen esitysmuodon, jolloin runsaat esitysmuotojen tuottamista

harjoittavat tehtävät ovat korostuneen tärkeitä. Käsitteen lujittamisen vaiheessa

tapahtuvat sitten loput käsitteen kehittymiseen liittyvät tapahtumat, kuten käsitteen

avulla operoiminen, niiden keskinäinen suuruusvertailu, sen soveltaminen

rutiinitehtävissä sekä erilaisissa ongelmanratkaisutilanteissa. (Haapasalo, 2012.)

Kertotaulun käsitteen osalta lujittamisen vaiheeseen liittyvät siis esimerkiksi

kertolaskutoimitusten ja niiden tulojen vertailu toisiinsa, kertolaskun hyödyntäminen

8

laskutoimituksissa sekä kertolaskun käyttäminen ratkaisumenetelmänä

ongelmanratkaisussa.

Lapsi tarvitsee tukea oppimista edistävään itsenäiseen tutkimiseen ja oivaltamiseen.

Oppimisen johdattelu, suuntaaminen ja ohjaaminen lapsen yksilöllisen kehitystason

mukaisesti kehittää lapsen matemaattisen ajattelun kehittymistä. (Haapasalo, 2012;

Leino, 2004.) Päiväkodissa ja esikoulussa korostetaan lapsen matemaattisten taitojen

edistymisen ohjaamista, sillä ennen kouluikää tapahtuva varhainen puuttuminen

matemaattisten taitojen kehityksen hidastumiin on erityisen oleellista, jotta lapset

saavuttaisivat tarpeelliset taidot ja matemaattiset sisällöt, jotka vaaditaan

koulumatematiikan pohjalle. (Aunio, 2008; Geary, Hoard, Byrd-Craven, Nugent,

Numtee, 2007; Mononen, Aunio, Hotulainen & Ketonen, 2013.) Varhaisen tuen ja

varhaisen puuttumisen tärkeyttä vahvistaa tutkimustulokset, joiden mukaan lapsen

varhainen matemaattisten taitojen osaaminen on vahvasti yhteyksissä tulevaan

matemaattiseen kehittymiseen ja koulumatematiikan osaamiseen (Aunola, Leskinen,

Lerkkanen, Nurmi, 2004).

2.2 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys

koulun alkaessa

Opettajalle on erityisen tärkeää tietää, kuinka lasten matemaattinen ajattelu ja

matemaattiset taidot kehittyvät. Opetuksen kannalta hyvin oleellista on, tiedostaa

taitojen kehittymisen järjestys ja kronologisuus, kehityksen kulku, kehittyvät taidot ja

taitoalueet sekä taitojen kehittymisen ikäkaudet. Tieto tärkeää taitavan ja onnistuneen

opettamisen vuoksi, mutta myös matemaattisesti heikkojen oppilaiden oppimisen

tukemisen ja kehityksen viivästymien minimoinnin vuoksi. (Aunio, 2008; Koponen ja

muut, 2014.) Tämän vuoksi esittelen seuraavaksi matemaattisten taitojen rakentumista

ja kehittymistä.

9

Matemaattiset taidot voidaan jakaa erillisiin osa-alueisiin ja tiettyjen osa-alueiden

hallinta on edellytyksenä toisten osa-alueiden kehittymiselle. Matemaattiset taidot

kietoutuvat vahvasti toisiinsa ja näin ollen taidot kehittyvät myös limittäin ja

samanaikaisesti. Tämän vuoksi matemaattisten taitojen selkeä jaottelu on hankalaa ja

taitojen kehittymistä havainnoivia malleja on tehty useita. Alun perin Aunion (2008; kts

myös Kuva 1) kehittelemä ja esittelemä malli esi- ja alkuopetusikäisten lasten

keskeisistä matemaattisista taitoalueista on selkeä ja havainnollistava, vaikka sekin

sisältää osittaisia päällekkäisyyksiä sekä limittäin kehittyvien taitojen erottelua erillisiin

osa-alueisiin. Aunion (2008) mukaan matemaattisten taitojen kehitysten osa-alueet

voidaan kuitenkin jaotella neljään pääosa-alueeseen, jotka ovat lukumääräisyyden taju,

laskemisen taidot, aritmeettiset perustaidot sekä matemaattisten suhteiden

ymmärtäminen. Matemaattisten taitojen kehittyminen alkaa varhaislapsuudessa

lukumääräisyyden tajun eli lukumäärien luonnollisen ymmärryksen ja tajun

kehittymisestä. Lukumääräisyydentaju on kaikkien muiden matemaattisten taitojen

perusta. (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio, 2012.) Mattinen (2006) havaitsi

tutkimuksessaan, että kolmevuotiailla lapsilla on eroja heidän lukumääräisyyden tajun

kehittymisessään. Oleellista on tukea lasten huomion kiinnittämistä ympäristössä

oleviin lukumääriin, sillä samainen tutkimus osoitti, että päiväkotien toimintatavoilla on

yhteys lasten spontaaniin lukumäärien havaitsemiseen (Mattinen, 2006). Lukumäärien

spontaanilla havaitsemisen ja huomiointiin kannustamisella on taas tutkimuksissa

mahdollisesti huomattu olevan oleellisia yhteyksiä lasten tuleviin matemaattisiin

taitoihin (Hannula & Lepola, 2006).

10

Kuva 1. Esi- ja alkuopetusikäisten lasten keskeiset matemaattiset taitoalueet (Aunio,

2008; Aunio & Räsänen, 2015; www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen-

kehitys).

Lukumääräisyyden tajun pohjalle alkavat kehittyä laskemisen taidot. Alun perin Aunio

(2008) jaottelee laskemisen taidot lukujonon luettelemisen taitoihin, lukumäärän

laskutaitoihin sekä numerosymbolien hallintaan, jotka muotoutuvat osittain rinnakkain.

Kehitys lähtee liikkeelle lukujonon luettelemisesta. Ensiksi luettelu on

sattumanvaraisten numeroiden toistamista, josta se hiljalleen muotoutuu oikeassa

numerojärjestyksessä olevaksi matemaattisesti tarkoituksettomaksi numeroloruksi.

Hiljalleen numeroloruun liittyy mukaan laskemista muistuttava toiminta ja objektien

sattumanvarainen osoittelu, mikä kehittyy edelleen lukujonon luettelemiseen ja

objektien lukumäärän määrittämiseen pienellä lukualueella. Tällöin lapsi siis ymmärtää

laskevansa objektijoukon lukumäärää. Lapsi alkaa ymmärtää myös lukusanojen,

http://www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen-kehitys


11

lukuisuuden ja objektin yksi yhteen-vastaavuuden. (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio,

2012.) Sanallisen ja symbolisen esitysmuodon yksi-yhteen vastaavuuden ymmärtämisen

on havaittu olevan keskeinen tekijä koko numerojärjestelmän ymmärtämiselle (Van de

Weffhorst & Mijs, 2010).

Matemaattisten suhteiden ymmärtämisen osa-alue on laaja ja kehittyy rinnakkain

muiden taitojen kanssa. Tältä osa-alueelta lapselle ensimmäisenä kehittyy ymmärrys

matemaattis-loogisista periaatteista, jotka ovatkin edellytys kehittyneempien

lukujonotaitojen saavuttamiselle. Matemaattis-loogiset periaatteet käsittävät lukujen

yksi-yhteen vastaavuuden lisäksi vertailun, luokittelun ja sarjoittamisen (kardinaali- eli

perusluku- ja ordinaali- eli järjestyslukuominaisuudet). Nämä matemaattis-loogisten

periaatteiden taidot kehittyvät pääosin ennen kouluikää. (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio,

2012; Mononen ja muut, 2013.)

2.3 Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitys sekä

niiden tukeminen ensimmäisen ja toisen luokan aikana

Esiopetuksen opetussuunnitelma velvoittaa esikoulussa opettamaan niitä matemaattisia

taitoja, joita edellytetään koulua aloittaessa (Opetushallitus, 2014a). Koulutulokkaiden

tulisi hallita lukujonon luettelemisen taidot, lukumäärän laskutaidot, numerosymbolit

sekä matemaattis-loogiset periaatteet sekä varhaiset aritmeettiset perustaidot (Mononen,

Aunio, Hotulainen & Ketonen, 2013). Monosen ja muiden (2013) koulunsa aloittavien

lasten matemaattisiin taitoihin keskittyvässä tutkimuksessa todettiin, että suurin osa

lapsista osaa kouluun tullessaan jo niitä matemaattisia taitoja, joita ensimmäisen luokan

aikana on tarkoitus oppia. Tutkimus osoitti, että useat koulutulokkaat osaavat jo

lukujonon luettelun taidot lukualueella 1-20 sekä näitä lukuja vastaavat

numerosymbolit. Useat hallitsivat myös numerosymboleilla operoimisen sekä

lukumäärien vertailun jopa lukualueella 1-90. Näin suurella lukualueella toimiminen

12

edellyttää myös jonkin tasoista matemaattisten suhteiden ymmärtämistä sekä käsitystä

kymmen- ja paikkajärjestelmästä. Kuitenkin osalla oli puutteita yhden luvun välein

etenevän lukujonon täydentämisessä numerosymbolein. Suurien matemaattisen

osaamisen erojen vuoksi alkukasvatuksessa opetuksessa korostuu monipuolinen

lukujonotaitojen harjoittelu, kuten hyppäyksittäin etenevä, tietystä luvusta liikkeelle

lähtevä ja etu- tai takaperin kulkeva lukujonon luettelu (Aunio, 2008). Alkuopetuksen

aikaisen lukujonotaitojen opettamisen ja vahvistamisen merkitystä lisää se, että niiden

on havaittu olevan vahvasti yhteyksissä myöhempään matemaattisen kehityksen

nopeuteen, laskemisen taitojen ja aritmeettisten taitojen kehitykseen sekä sanallisten

tehtävien oppimiseen. (Aunio & Niemivirta, 2010; Mononen ja muut, 2013, Aunola ja

muut, 2004; Hannula & Lepola, 2006; Paukkeri ja muut, 2015).

Aunion (2008) keskeisten matemaattisten taitoalueiden mallissa (Kuva 1) neljäs

taitoalue on aritmeettiset perustaidot. Alkuopetuksessa näiden taitojen aktiivinen opetus

aloitetaan, kun kehityksen jatkumista edellyttävät lukujonotaidot ovat oppilailla

pääpiirteittäin hallinnassa. Aritmeettisten taitojen opettelun ohessa lapsille opetetaan

matemaattisia symboleja ja kartutetaan matemaattisten taitoalueiden viimeistä

taitorypästä (Aunio, 2008; Lusetti & Aunio, 2012; Mononen ja muut, 2013). Mononen

ja muut (2013) osoittivat tutkimuksessaan, että sanalliset yhteen- ja vähennyslaskut

lukualueella 1-10 onnistuivat suurella osalla koulun aloittavista oppilaista. Kuitenkin

sanalliset vertailua ja osa-kokonaisuuksien ymmärtämistä vaatineet sanalliset tehtävät

olivat vielä yhteen- ja vähennyslaskuja haasteellisempia. Alkuopetuksessa sanallisten

tehtävien tuleekin sisältää yhteen- ja vähennyslaskujen lisäksi monipuolisia

tehtävämuotoja, kuten vertailua ja osa-kokonaisuusasetelmia, sillä aritmeettisten taitojen

kokonaisvaltainen kehittyminen ja vahvistuminen on erityisen tärkeää matemaattisten

taitojen hierarkkisen kehittymisen vuoksi (Mononen ja muut, 2013; Baroody, 2004).

Aritmeettisten taitojen on havaittu olevan myös melko pysyviä (Paukkeri ja muut, 2013;

Lerkkanen, Rausku-Puttonen, Aunola & Nurmi, 2005). Koska matemaattiset taidot

13

kehittyvät hierarkkisesti, niin heikosti aritmeettisissa taidoissa pärjäävä oppilas on hyvin

todennäköisesti heikosti pärjäävä myös myöhemmin. Hyvät aritmeettiset taidot siten

taas ennustavat vahvoja tulevaisuuden aritmeettisia taitoja. Nämä seikat korostavat

matematiikan opetuksen eriyttämisen ja yksilöllisyyden merkitystä alkukasvatuksessa.

Heikosti alkukasvatuksen aritmeettisissa taidoissa suoriutuvaa oppilasta tulee taitojen

pysyvyyden vuoksi tukea ja ohjata tehokkaasti omassa oppimisessaan. (Aunio, 2008;

Aunola, Leskinen, Nurmi, 2006; Lerkkanen, Rausku-Puttonen, Aunola & Nurmi, 2005;

Paukkeri ja muut, 2013;)

Aritmeettisten taitojen kehityksessä ja opetuksessa toistuvat kronologisessa

järjestyksessä tietyt laskemista avustavat strategiat. Opettaja voi opetuksessa käytettyjen

ja lapsen itsensä käyttämien laskustrategioiden avulla havainnoida lapsen matemaattista

kehitystasoa, matemaattista ajattelua ja hänen edistymistään sekä ohjata hänen

kehitystään eteenpäin. Uusia taitojen ja strategioiden myötä edelliset apukeinot jäävät

taka-alalle ja uusia taitoja lähestytään eri strategioiden avulla. (Butterworth, 2005). Alun

perin useampaa tutkijaa mukaillen rakennettu kaavio (Kuva 2) havainnollistaa,

yksinkertaistaa ja selkeyttää näitä laskustrategioita sekä niiden kehittymistä.

14

Kuva 2. Aritmeettisten perustaitojen ja laskustrategioiden kehittyminen (mukaillen

Baroody, 1984; Fennema, Carpenter, Jacobs, Franke & Levi, 1998; Fuson, 1984; Geary,

Bow-Thomas, Liu & Siegler, 1996; Ostad, 1999; Siegler & Shrager, 1984; Siegler,

1987; Steinberg, 1985; http://www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen-

kehitys/aritmeettiset-perustaidot/yksinumeroisilla-luvuilla-laskeminen).

Aritmeettisten taitojen aktiivinen opettaminen alkaa pääasiallisesti ensimmäisellä

luokalla yhteen- ja vähennyslaskujen harjoittelulla rinnakkain lukujonotaitojen

vahvistamisen kanssa. Ensimmäisiä kehitysaskelia ovat pienellä lukualueella

laskutoimitusten esittäminen konkreettisten esineiden avulla. Objektien laskemisen

strategiaa kehitetään yhteenlaskussa kaiken objektien laskemisesta ensimmäisen

yhteenlaskettavan lukumäärää edustavasta luvusta aloittamiseen. Tämän jälkeen

opetetaan vaihdannaisuuden hyödyntämistä laskemisen apuna ja edetään laskemisen

http://www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen-kehitys/aritmeettiset-perustaidot/yksinumeroisilla-luvuilla-laskeminen


15

strategiassa suuremmasta luvusta aloittamiseen. Toistojen myötä laskemisesta jää pois

konkreettisten esineiden laskeminen ja vastausten tuottaminen tapahtuu päässälaskuna

lukujonon luettelua hyödyntäen. (Butterworth, 2005; Lusetti & Aunio, 2012; Rusanen &

Räsänen, 2012.)

Useiden toistojen myötä laskutoimitusten vastaukset alkavat tallentua myös muistiin

(Rusanen & Räsänen, 2012). Tutkimusten mukaan työmuistin heikkous on ollut

yhteydessä matemaattisiin oppimisvaikeuksiin (Geary, Hoard, Nugent & Bailey, 2012;

Kyttälä, 2008). Työmuisti on merkittävässä osassa matemaattisten taitojen oppimista,

kehittymistä ja niissä suoriutumista (Kanerva & Kyttälä, 2013; Raghubar, Barnes &

Hecht, 2010). Muistiin tallentuneet aritmeettiset faktat nopeuttavat laskemista ja ne ovat

tärkeässä roolissa laskutoimitusten suorittamisessa, laskemisen automatisoitumisessa

sekä laskustrategioiden synnyssä (Rusanen & Räsänen, 2012). Näin ollen opettajan on

huomioitava myös työmuistin kehittäminen lapsen matemaattista kehitystä tukiessa

(Geary ja muut, 2012; Kyttälä, 2008).

Toisen luokan oppisisällöissä on kertolaskut, joiden opettamista aiemmin opetetut,

sujuvat ja vaivattomat yhteenlasku- ja lukujonotaidot helpottavat huomattavasti

(Opetushallitus, 2014b). Lukujonon avulla opettaminen auttaa kertolaskujen

muodostumista ymmärtämistä sekä niiden muodostaman kokonaisuuden hahmottamista.

Hyppäyksittäin tietyn välein tapahtuva lukujonon luettelua on opetettu jo ensimmäisen

luokan sisällöistä (Opetushallitus, 2014b). Yhteen- ja vähennyslaskustrategioita

kuvaava laskustrategioiden malli (Kuva 2) toistuu myös kertolaskujen opettamisessa.

Konkreettisin välinein laskemisesta ja opetus siirtyy mielessä tapahtuvaan laskemiseen.

Vaikka kertolaskujen opetuksessa korostuu aritmeettisen tiedon muistiin painaminen ja

sen mielestä palauttaminen, niin erilaiset strategiat ovat myös tärkeitä ja nopeuttavat

laskemista. Kertolaskuissa yhteenlaskun tai toisen kertolaskun kautta johtaminen sekä

kertolaskun pilkkominen osiin ja kokoaminen takaisin yhteen ovat opetuksessa erittäin

käytettyjä strategioita. (Butterworth, 2005.)

16

Luku III

3 Monilukutaidon edistäminen matematiikassa

Termi lukutaito on alun perin mielletty peruslukutaidoksi, joka tarkoittaa kirjainten,

tavujen, sanojen ja lauseiden lukemisen kykyä sekä luetun ymmärtämistä. Termin

merkitys on kuitenkin kehittynyt muuttuvan maailman mukana ja pitkään se on

käsittänyt myös yksilön kyvyn poimia informaatiota kirjoitetusta tekstistä sekä käyttää

sitä monipuolisesti hyväkseen. Nykypäivänä sana ei tarkoita enää vain kirjoitetun kielen

lukemisen ja tuottamisen taitoa, vaan se on saanut yhä kattavampia merkityksiä. Se

tarkoittaa kykyä tulkita ja ymmärtää sekä käyttää hyväksi sitä informaatiota, jonka

ympäristöstämme saamme. Ympäristö tarjoaa meille informaatiota muun muassa

kulttuurin, teknologian, verkon, kuvien, taiteen, käyttäytymisen, pukeutumisen ja

musiikin kautta. Näitä ympäristön antaman informaation eri osa-alueita voidaan lukea.

Nämä osa-alueet ja niiden lukemisen taito muodostavat omia käsitteitään, kuten

informaatiolukutaito, medialukutaito, tietokonelukutaito, visuaalinen lukutaito,

kuvalukutaito, kulttuurin lukutaito, terveyslukutaito ja matemaattinen lukutaito. Kaikille

näille käsitteille sekä niiden tulkitsemisen, ymmärtämisen ja niistä saadun informaation

hyödyntämisen taidolle on muodostettu uusi yhteinen yläkäsite, monilukutaito.

(Räsänen, 2015; Kaartinen, 2015.)

Valtakunnalliset perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet edellyttävät

monilukutaidon opetusta kaikissa oppiaineissa (Opetushallitus, 2014b; Räsänen, 2015).

17

Jokainen oppiaine sisältää omanlaisen kielen, käsitteistön ja symbolijärjestelmän.

Tämän vuoksi kaikki opettajat ovat omien opetettavien oppiaineidensa osalta vastuussa

monilukutaidon harjaannuttamisesta. He tutustuttavat oppilaat kyseisen tieteenalan

kieleen, teksteihin ja niiden tulkintaan, käsittelemiseen sekä tuottamiseen. (Räsänen,

2015.) Luokanopettajalla on erinomainen mahdollisuus eheyttää opetusta yhtenäisiksi

kokonaisuuksiksi ja tukea näissä konteksteissa monilukutaidon kehittymistä.

Ensimmäisellä ja toisella vuosiluokalla oppilaille tarjotaan kaikkia eri aisteja aktivoivaa

informaatiota. Oppilaita tulee ohjata havaitsemaan ympäristöä ja saatavissa olevaa

informaatiota sanallisin, kuvallisin, auditiivisin, numeerisin sekä kinesteettisin keinoin.

Oppilaille tarjotaan myös tietoa, joka edellyttää samanaikaisesti useampien aistien

käyttöä ja niiden avulla kerätyn tiedon hyödyntämistä. (Opetushallitus, 2014b.)

Monilukutaitoa edistävä opetus mahdollistaa monipuolisen, konkretiaan pohjautuvan ja

toiminnallisen oppimisen, jossa hyödynnetään kattavasti kaikkia eri aistikanavia.

3.1 Matemaattinen lukutaito osana monilukutaidon tukemista

Matemaattinen lukutaito on taitoa ymmärtää, käsitellä ja tuottaa monipuolisesti

matemaattista kieltä. Matematiikan kieli eroaa selkeästi niin sanotuista luonnollisista

kielistä. Se on huomattavasti suppeampaa, se on kehitetty omaan ainutlaatuiseen

käyttötarkoitukseen sekä sen käyttö edellyttää tarkkoja ja yleisesti sovittuja

ilmaisukeinoja. Matematiikan kielellä ei voi ilmaista esimerkiksi arkipäivän asioita,

ajatuksia tai tunteita, joita me luonnollisilla kielillä käsittelemme. (Niiniluoto, 1997;

Karsson, 2009.)

3.1.1 Matematiikan kieli

Matematiikan kielen kenttä voidaan jakaa neljään osaan, matematiikan symbolikieleen,

luonnolliseen kieleen, kuviokieleen ja taktiiliseen toiminnan kieleen. Matematiikan

18

symbolikieli on luvuin ja symbolein ilmaistua matemaattista tietoa, luonnollisen kielen

kautta ilmaistaan matematiikan asioita selkokielellä arkisin käsittein ja ilmauksin ja

kuviokieli kertoo matemaattista tietoa kuvin ja kuvioin. Taktiilinen toiminnan kieli on

puolestaan matematiikan tiedon esittämistä toiminnallisemmasta näkökulmasta. Se siis

käsittää kaiken sen tiedon esittämisen, joka toteutetaan toimintavälineiden tai liikkeen

avulla. (Joutsenlahti & Kulju, 2010; Joutsenlahti & Rättyä, 2015.) Tikkanen (2008) tutki

sekä vertaili unkarilaista ja suomalaista matematiikan opetusta ja oppimista.

Tutkimuksessaan hän havaitsi, että toiminnallinen ja toimintamateriaalien avulla

toteutunut oppiminen tuki oppimista sekä motivoi ja auttoi oppilaita keskittymään

opiskeluun. Toimintavälineet edistivät symbolien ja abstraktioiden ymmärtämistä ja

helpottivat matemaattisten ratkaisujen ja vastausten saavuttamista. Toimintavälineiden

havaittiin myös tukevan oppimista.

Matematiikan oppiaine antaa omassa matematiikan kontekstissaan erinomaisen pohjan

matemaattisen lukutaidon kehittämiselle. Toisiaan tukevia matematiikan kielen eri

kenttiä, symbolikieltä, luonnollista kieltä, kuviokieltä ja taktiilista toiminnan kieltä,

opetuksessa rinnakkain käytettäessä lapsille kehittyy hiljalleen monimuotoinen ja

kattava kokonaiskuva matemaattisista käsitteistä ja rakenteista sekä niiden

merkityksistä. (Joutsenlahti & Kulju, 2010.) Matemaattisen lukutaidon kehittymistä

tavoitellaan monipuolisen ja kattavan matematiikan kielen osa-alueiden käytön,

toiminnallisuuden sekä matemaattisten tekstien ymmärryksen, tulkinnan ja tuottamisen

harjoittamisen avulla. Tiedon muokkaaminen matematiikan kielen esitysmuodosta

toiseen sekä esitysmuotojen rinnakkainen käyttö ovat myös oleellisia osia

matemaattisen lukutaidon opetuksessa. Schleppegrell (2010) korostaa, että

matematiikan kielen kenttien käytön harjoittelussa sekä lapsille vieraaseen

matematiikan symbolikieleen tutustuttaessa lähtökohtaisesti lähdetään liikkeelle

kuvaamalla matemaattisia ilmiöitä luonnollisen, kuvio- tai taktiilisen toiminnan kielen

avulla. Opetus ei siis suoraan lähde matematiikan symbolikielestä, vaan se nostetaan

muiden kielimuotojen rinnalle. Kun symbolikieli on lapsille tuttu, voidaan myös se ottaa

19

lähtökohdaksi ja ensimmäiseksi ilmiön esittämisen kieleksi. Symbolikieli on nimittäin

erittäin abstraktia ja sen ymmärtäminen, käyttäminen ja tuottaminen ovat lapselle

mahdottomia toimintoja, ellei hän ole saanut symbolikielen rinnalle havainnollistuksia,

mallinnuksia ja mielikuvia (Tikkanen, 2008).

3.1.2 Kielentäminen

Matematiikan kielen osa-alueiden monipuolinen hyödyntäminen ja sisällön

muuntaminen osa-alueesta toiseen vaatii ajattelun taitoja. Lapsen on pohdittava,

ymmärrettävä ja sisäistettävä ilmiöiden taustalla olevat matemaattiset prosessit.

Matemaattisen kielen esitysmuotojen opettaminen tarjoaa oppilaille monipuolisia

välineitä heidän matemaattisen ajattelunsa ymmärtämiseen, jäsentämiseen sekä

ilmaisemiseen. Tähän oman matemaattisen ajattelun kuvailuun liittyy vahvasti

Joutsenlahden (2003) luoma termi, kielentäminen. Kielentäminen on oman

matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen avulla. Se on uuden käsitteen konstruointia,

sen tyypillisten piirteiden pohtimista, käsitteen reflektointia omaan aiempaan tietoon

sekä oman matemaattisen ajattelun jäsentämistä itselleen. Toisin sanoen se on prosessi,

jossa oppilas muuttaa omaa matemaattista ajatteluaan näkyvään muotoon sekä samalla

ilmaisun ohessa myös sisäistää uutta tietoa ja edistää omaa ymmärrystä asiasta tai

ilmiöstä. (Joutsenlahti, Ilmavirta, Sieppi, Riikonen, Laine, Ahtiainen, Tuomi, Okkonen,

Jerkku, Ukkola, Holttinen, Horila, Syvänen, Överlund & Forsblom, 2003; Rättyä,

2013.)

Opettaja voi sisällyttää kielentämistä opetukseensa helposti esimerkiksi lisäämällä

vuorovaikutuksellisia opetusmenetelmiä. Kielentämistä tuetaan tehokkaasti

matematiikan ympäristössä oppilaiden välisessä vuorovaikutuksessa. Tällöin oppilaat

ilmaisevat toisilleen omaa matemaattista ajatteluaan ja ajatteluprosessejaan esimerkiksi

puhumalla tai piirtämällä sekä keskustelemalla näkemystensä yhtäläisyyksistä ja eroista.

Vuorovaikutusta korostavat opetusmenetelmät edellyttävät oppilailta heidän oman

matemaattisen ajattelun käsittelyä, jäsentämistä ja arviointia ja sen selkeää ilmaisemista

20

muille, mikä tukee kielentämisen taitoja entisestään. Kielentämisestä hyötyvät myös

muut oppilaat, sillä kielentämistä tuottavan oppilaan lisäksi myös vertaisoppijat oppivat

prosessin aikana kuunnellessaan matemaattisen ajatteluketjun kulkua. Opettaja hyötyy

kielentämisestä erityisen paljon. Oppilaan oman matemaattisen ajattelun ilmaiseminen

antaa opettajalle arvokasta tietoa oppilaan oppimisen tasosta, auttaa opettajaa

ymmärtämään oppilasta sekä mahdollistaa oppilaan matemaattisen ajattelun

onnistuneen tukemisen, ohjaamisen ja kehittämisen. Kielentämiseen ohjaava

työskentelymenetelmä on erityisen tehokas oppimisen keino matematiikan tasosta ja

oppijan iästä riippumatta. Kielentämisen hyödyntämistä oppimisen välineenä tulee

kuitenkin opetella, jotta siitä saadaan mahdollisimman paljon irti. Tämän vuoksi

kielentämistä kannattaa harjoittaa heti alkuopetuksesta lähtien, jotta se muodostuisi

vakiintuneeksi oppimismenetelmäksi. (Berg, Mäkelä, Ruuska, Stenberg, Loukomies &

Palmqvist, 2013; Joutsenlahti ja muut, 2003.) Matematiikan kielentämistä voidaan

vahvistaa esimerkiksi kuvakirjojen tai matematiikkatarinoiden avulla (McGrath, 2014).

3.2 Monilukutaito tarinallistavan matematiikan näkökulmasta

Tarinoita ja kerrontaa hyödyntävät opetusmenetelmät ovat hyvin vanhoja ja paljon

käytettyjä. Kirjallisuuden ja lukutaidon yleistyminen on kuitenkin ajan myötä

vähentänyt tarinoiden käyttöä, mutta ennen kaikkea sen käyttöä on karsinut

audiovisuaalinen media ja sen yleistyminen. Tarinoiden painoarvoa ei tulisi kuitenkaan

unohtaa ja hukata, sillä niillä on monia korvaamattomia pedagogisia merkityksiä.

Tarinointi auttaa oppilaita muun muassa kuuntelemaan, olemaan tarkkaavaisia ja

rauhoittumaan, mitkä ovat tärkeitä sekä oppimisen ja opettamisen arvoisia taitoja

hektisessä yhteiskunnassamme. Tarinoiden käyttö opetuksessa edistää lasten kielellisiä

taitoja kuten uusien sanojen, käsitteiden, ilmaisujen, sanontojen ja kielikuvien

oppimista. Lisäksi ne edistävät positiivisen asenteen syntymistä kirjallisuutta ja

21

lukemista kohtaan. (Luumi, 2006.) Ennen kaikkea tarinoiden avulla voidaan tarjota

lapsille opetuksellisia teemoja, arvoja, asenteita ja yhteiskunnan normeja (Schiro, 2004).

Tarinoilla on suuri merkitys mielikuvituksen kehittäjinä. Kuvattomat tarinat ja

kertomukset jättävät tilaa lapsen omille ajatuksille ja mielikuville. Nyky-yhteiskunnassa

kuvien kasvava asema hidastaa mielikuvituksen kehittymistä, jonka vuoksi tarinoilla ja

kerronnalla sekä niiden tarjoamilla elämyksillä on erityisen tärkeä tehtävä. Toisaalta

tarinoita opetuksen välineenä käytettäessä tarinaa ja mielikuvien syntymistä on hyvä

tukea joidenkin kuvien avulla. Alkukasvatusikäisten lasten mielikuvitus voi olla vielä

sen verran suppea, että he tarvitsevat tukea ja apua mielikuvien luomiseen, etenkin

tapauksissa, kun tarinalla ja mielikuvilla tähdätään tiettyyn opetukselliseen päämäärään.

Tällöin opettajan tulee valikoida kuvat erityisen tarkasti, jotta niiden avulla saadaan

ohjattua mielikuvia oikeaan suuntaan. (Luumi, 2006.)

3.2.1 Tarinallistava matematiikka

Tarinoilla on oma paikkansa myös matematiikan opetuksessa. Tarinallistava

matematiikka on työskentelymenetelmä, joka hyödyntää tarinoita opetuksen osana.

Tarinallistavassa matematiikassa käytettävät tarinat ovat sisällöltään matemaattisia ja

niiden kerronnan avulla on mahdollista oppia matemaattisia asioita ja ilmiöitä. Hyvä

matematiikkatarina luotu siten että se mahdollistaa lapselle mielenkiinnon ja

uteliaisuuden heräämisen sekä eläytymisen tarinan matemaattisia ongelmia ratkaiseviin

henkilöhahmoihin. Eläytyessään tarinan hahmoihin lapsen käsittelevät tapahtumat ja

matemaattiset ilmiöt hahmojen kautta, jolloin tarinan on mahdollista vaikuttaa lapsiin ja

heidän ajatuksiin, tunteisiin. Tarinat ovat alkukasvatusikäisen kehitystasolle erinomaisia

opetusvälineitä. Alkukasvatusikäinen lapsi elää alun perin Piaget’n luoman teorian

mukaan konkreettisten operaatioiden vaihetta, jolloin hän tarvitsee oppimiseensa

konkreettisia toimintoja, ilmiöitä, esineitä tai asioita (Rauste-von Wright, von Wright &

Soini, 2003). Vaikka ympäristö onkin mielikuviin luotua eikä se ole käsin kosketeltavaa

todellista konkretiaa, tarjoaa opettaja fantasiamaailman kautta kuitenkin lapselle

22

erityisen vahvan kokemuksen, tunteen ja kontekstin konkreettisesta ympäristöstä, johon

matemaattiset ilmiöt on mahdollista linkittää. Tarinallistamisen avulla voidaan siis

tarjota matemaattisten ongelmien havainnollistamista ja ratkaisemista lapselle

konkreettisessa ympäristössä. (Schiro, 2004)

Eräänä opettajan tärkeimmistä tehtävistä on motivoida oppilasta oppimaan. Tarinoiden

ja matematiikan yhdistäminen innostaa ja motivoi lapsia matematiikan oppimiseen. Sen

on todettu antavan lapsille merkityksellisyyttä matematiikan oppimiseen, parantavan

heidän asenteita matematiikkaa kohtaan sekä tarjoavan näkemyksiä matematiikan

tieteenalan luonteesta. (Schiro, 1997, 2004) Nämä vaikutukset ovat melko pysyviä ja

pidempiaikaisia ja siten ollen mahdollisesti ruokkivat lapsen matemaattista kiinnostusta,

innostusta ja halua oppia myös vanhemmalla iällä.

Tarinallistavan matematiikan opetusmenetelmällä on havaittu olevan vaikutuksia myös

oppimiseen vaikuttaviin tekijöihin. Matematiikkatarinat ovat auttaneet lapsia

hyödyntämään matematiikkaa omassa arkielämässään ja muissa oppiaineissa. Sen on

todettu edistävän lasten matemaattisten käsitysten ja taitojen kehittymistä, matematiikan

kielen ja kielentämisen käyttöä, ongelmanratkaisutaitoja sekä matemaattisia päättely- ja

ajattelutaitoja. (Schiro, 1997.) Nämä taidot ovat matematiikan oppimisen kannalta

tärkeitä ja erityisesti matemaattista ajattelua ja matemaattisten taitojen syvällistä

kehittymistä tukevia.

Opettajan luomat lasten elämys- ja kokemusmaailmaan liittyvät ja lapsille läheisiä ja

merkityksellisiä asioita käsittelevät tarinat auttavat opettajaa lisäämään oppilaiden

kiinnostusta, mielekkyyttä ja tehokkuutta oppimiseen. Luokkansa tunteva opettaja voi

luoda tarinoita, joissa lasten yksilöllisyyden ja mielenkiinnon kohteet huomioon ottava

sekä lasten maailmaan linkittyvä kertomus houkuttelee lapset eläytymään syvällisesti

tarinaan. Tarinan sisällön lisäksi opettajan tavalla ja taidolla kertoa tarinaa on oma

merkityksensä. Hyvät kerronnalliset taidot lisäävät kuuntelemisen mielekkyyttä ja

23

kuuntelijan kiinnostuksen tasoa. Kun tarina jaetaan osiin ja jatketaan sitä matematiikan

tunnista toiselle, sitouttaa se oppilaita paremmin tarinallistavaan työtapaan.

Mieleenpainuva ja jatkumona etenevä tarina on elämyksellisempi lyhyihin tarinoihin

verrattuna, ja siten matemaattisten ilmiöiden esittämiseen ja ratkaisemiseen käytetty

lapsia innostava konteksti auttaa heitä oppimaan ja muistamaan matemaattiset ilmiöt

paremmin. Lapset odottavat innoissaan tarinan jatkumista ja pohtivat sitä vapaa-ajallaan

matematiikan oppituntien välissä. Parhaimmillaan hyvä ja elämyksellinen sekä taitavasti

kerrottu matematiikkatarina jää elämään lasten ajatuksiin. Koulun jälkeen

kotimatkallaan ja kotona leikeissään ja mielikuvissaan he palaavat tarinaan ja sen

tapahtumiin. He mahdollisesti palaavat sen esille nostamiin matemaattisiin ongelmiin,

käsittelevät ja konstruoivat niitä uudestaan. (Schiro, 2004.)

3.2.2 Matemaattisen monilukutaidon edistäminen matikkatarinoiden avulla

Tarinallistavan matematiikan työtapa on monilukutaidon näkökulmasta rikas ja

monipuolinen opetuksen väline. Tarinan pohjalle rakennettu opetus tarjoaa erinomaisen

mahdollisuuden monilukutaidon kehittämiselle. Itse tarinalla opettaja tarjoaa

monilukutaidon auditiivisen osa-alueen herkistämistä. Verbaalisia taitoja opettaja

kehittää, kun hän luetuttaa tarinoita oppilailla itsellään tai pienryhmissä sekä kannustaa

heitä tuottamaan omia tarinoitaan. Hyvin suunniteltu tarina sisältää paljon käsitteitä,

laskuja, laskutoimituksia sekä ongelmanratkaisua, joiden käsittely tukee lasten

matematiikan symbolikielen taitoja. Matematiikkatarinat tukevat myös visuaalisten

taitojen kehittymistä. Tarinat tukevat visuaalisia taitoja, kun oppilaat luovat mielikuvia,

katselemalla tarinaan liittyviä kuvia sekä piirtämällä ja tulkitsemalla omia tai muiden

vertaisten tarinan pohjalta tuotettuja kuvia. Tarinan sisältämiä matemaattisia ilmiöitä

havainnollistaessa konkreettisten esineiden avulla visuaalisten taitojen lisäksi kehittyvät

myös kinesteettiset taidot. Tarinaan pohjautuvia matemaattisia taitoja voi

havainnollistaa kinesteettisellä osa-alueella myös liikkeiden ja liikkumisen avulla.

24

(Schiro, 2004.) Liikkeen ja liikkumisen on havaittu edistävän lasten akateemisten

taitojen oppimista ja näitä tuloksia on havaittu erityisesti juuri matemaattisessa

oppimisessa. Liike ja fyysinen toiminta saa aikaan useita fysiologisia muutoksia, jotka

edistävät oppimista (Scardamalia & Bereiter, 2006). Liikkumisen ja aktiivisuuden on

havaittu kehittävän muun muassa lasten muistia, tarkkaavaisuutta, keskittymistä,

tiedonkäsittelytaitoja sekä ongelmanratkaisutaitoja. (Kantomaa, Syväoja & Tammelin,

2013; Syväoja, Kantomaa, Laine, Jaakkola, Pyhältö & Tammelin, 2012). Lisäksi

liikkeen ja toiminnallisten työtapojen kautta saavutetaan uusia kokemuksia, lisätään

sosiaalisia tilanteita ja vuorovaikutuksellisuutta sekä kouluviihtyvyyttä ja itsetuntoa,

jotka edelleen parantavat lasten oppimistuloksia. (Kantomaa, Syväoja & Tammelin,

2013; Kristjansson, Sigfusdottir & Allegrante, 2010; Kristjansson, Sigfusdottir,

Allegrante & Helgason, 2009; Syväoja, Kantomaa, Laine, Jaakkola, Pyhältö &

Tammelin, 2012)

Monilukutaidollisesti rikas tarinallistavan matematiikan työtapa ottaa erityisen hyvin

huomioon erilaiset oppijat, kuten verbaaliset, auditiiviset, visuaaliset, kinesteettiset

oppijat. Erilaisilla oppimistyyleillä oppiville oppilaille tarinallistamisen

opetusmenetelmä antaa mahdollisuuden oppia itselleen parhaimmalla ja

tehokkaimmalla oppimistyylillä. Useiden eri oppimistyylien käyttö tukee toisiaan ja

mahdollistaa monipuolisen ja laaja-alaisen oppimisen. Vertaisoppimisen mahdollisuus

saadaan aikaan ilmiöistä keskustellessa ja eri oppimistyyleillä oppivien oppilaiden

kielentäessä ajatuksiaan toisilleen. (Schiro, 2004.) Kaiken kaikkiaan tarinallistava

työtapa tukee monilukutaidon kehittymistä erittäin monipuolisesti ja laaja-alaisesti.

25

Luku IV

4 Tutkimuksen toteutus

Tutkimuksessani tutkin matematiikan opetuksen ja oppituntien sisältöä. Halusin

selvittää, kuinka ja millä tavoin matematiikan tunneilla voidaan edistää matemaattisen

ajattelun ja matemaattisen monilukutaidon kehittymistä. Keskityin tiukasti vain

opettajan, opetusmenetelmien ja tehtyjen harjoitteiden tarjoamaan opetukseen sekä

oppimisen ja kehityksen tukemiseen. Rajasin oppilaiden oman toiminnan ja oppimisen

tutkimisen kokonaan pois ja tutkin aihetta vain opettajan ja opettamisen näkökulmasta.

4.1 Tutkimustehtävä ja –kysymykset

Tutkin matematiikan opetusta laadullisin menetelmin. Tapaustutkimuksena toteutetun

opetusinterventiotutkimuksen aikaisen opetuksen sisältö suunniteltiin tukemaan

matemaattisen monilukutaidon kehitystä. Opetuksen suunnittelusta ja toteutuksesta

vastasi väitöskirjaa tekevä luokanopettaja. Sisällöt luotiin matematiikan kieltä

monipuolisesti hyödyntäväksi. Toiminnallisilla työtavoilla ja opetuksella pyrittiin

tarjoamaan oppilaille runsaasti mahdollisuuksia kielen eri muotoihin tutustumiseen,

niiden harjoitteluun ja tuottamiseen. Tutkimuskysymykset keskittyivät matemaattisen

ajattelun, matemaattisten taitojen ja matemaattisen monilukutaidon opettamiseen.

Tutkimuskysymykset muotoutuivat seuraavasti:

26

1) Millä tavoin monilukutaitoa edistävä matematiikan opetus ja tunneilla käytetyt

opetusmenetelmät tukevat matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen

kehitystä?

a) Kuinka matemaattisten käsitteiden kehittymistä tuetaan

opetuksessa?

b) Kuinka laskustrategioiden kehittymistä tuetaan opetuksessa?

2) Kuinka opetus ja käytetyt opetusmenetelmät tukevat matemaattista

monilukutaitoa?

Opetuksessa korostettiin vahvasti matematiikan tarinallistamista, ja matikkatarinat

olivatkin hyvin keskeisessä osassa opetuksen sisältöjä. Matikkatarinoiden pohjalta

luotiin matemaattisista ilmiöistä matemaattisia esitysmuotoja eli piirroksia,

havainnollistuksia esineiden avulla, verbaalisesti ja symbolisesti tuotettuja

laskulausekkeita sekä laskuja kuvaavia liikkeitä. Myös omia matikkatarinoita luotiin

muiden matematiikan kielen esitysmuotojen pohjalta. Intervention aikana tavoitteena oli

oppia käyttämään eri matematiikan kielen esitysmuotoja sulavasti ja luontevasti sekä

muuttamaan niitä esitysmuodosta toiseen. Matemaattisena sisältökontekstina olivat

kolmen ja neljän kertotaulut. Kahden, viiden ja kymmenen kertotaulut oli opetettu

ennen opetusintervention alkua.

4.2 Tutkimuksen toteutus

Toteutin matematiikan oppimisen tukemista ja matemaattista monilukutaitoa

käsittelevän tutkimukseni osana suurempaa tutkimuskokonaisuutta, jossa luokanopettaja

teki väitöskirjaa alkuopetusikäisten lasten monilukutaitoon liittyen samaa kohderyhmää

tutkien. Minun tutkimukseni keskittyi matematiikan oppiaineen kontekstiin, mutta

27

suurempi tutkimuskokonaisuus keskittyi syvällisemmin monilukutaitoon ja sen

kehittymiseen useampien oppiaineiden näkökulmasta.

Tutkimus toteutettiin pohjois-karjalalaisessa alakoulussa. Kohdejoukko koostui koulun

kaikista toisen luokan oppilaista, joita oli 14 oppilasta, 9 tyttöä ja 5 poikaa sekä heidän

luokanopettajastaan. Tutkimukseni aineistonkeruujakso koostui neljän viikon

mittaisesta matematiikan opetuksen ja oppimisen interventiojaksosta, jonka aikana

monilukutaitoa edistävän opetuksen kehittämisprojektissa väitöskirjaa tekevä luokan

oma opettaja opetti kohdeluokalle matematiikkaa monilukutaitoa edistävin ja siihen

ohjaavin opetusmenetelmin. Keräsin jakson aikana kvalitatiivista videoaineistoa kahden

45 minuutin pituisen matematiikan oppitunnin ajalta joka viikko neljän viikon ajan.

Interventiojakson aikana oppilailla oli viikossa viisi tuntia matematiikkaa, joista

vähintään kahdella oppitunnilla korostettiin työmenetelmiä, jotka kehittivät

matemaattista monilukutaitoa. Näiltä kahdelta monilukutaitoa kehittävältä matematiikan

tunnilta keräsin tutkimusaineistoani. Kyseiset kaksi oppituntia pidettiin peräkkäin, mikä

mahdollisti paremmin monilukutaitoon keskittyvien toiminnallisten harjoitteiden

toteuttamisen. Minä olin paikan päällä näillä oppitunneilla, joilta keräsin

tutkimusaineistoa. Aineiston keräsin kahden videokameran avulla, jotka kummatkin

kuvasivat opetusta koko ajan eri kuvakulmista.

Interventio koostui siis neljästä kahden oppitunnin mittaisesta opetuskerrasta ja

jokaisella viikolla pidettiin yksi opetuskerta. Aineisoa kerättiin siis yhteensä

kahdeksalta matematiikan oppitunnilta neljän viikon aikana. Kaikki nämä tunnit

keskittyivät matematiikan monilukutaidon kehittämiseen. Oppitunteja suunnitellessa

pyrittiin korostamaan monipuolisesti ja kattavasti kaikkia monilukutaidon osa-alueita.

Työskentelyssä korostui toiminnallisuus, jotta oppimiseen saatiin visuaalisen,

verbaalisen, numeraalisen ja auditiivisen osa-alueen lisäksi myös runsaasti taktiilista

oppimista. Jokaisen opetuskerran tiedot, ajankohdat, opetuskerran tavoitteet sekä

sisällöt on koottu taulukoihin, jotka löytyvät liitteistä (Liite A).

28

4.3 Aineiston analyysimenetelmät

Tutkimuksessani tutkin opetusintervention aikana kerätyn videomateriaalin avulla

opetuskertojen sisältämiä opetusmenetelmiä, tehtäviä ja toimintoja sekä opettajan

antamaa oppimisen ohjausta. Rajasin aineiston käsittelyn ja analyysin vain ainoastaan

opetuksellisiin näkökulmiin enkä huomioinut analyysissäni oppilaiden toimintaa ja

oppimista. Aineiston sisällönanalyysin toteutin teoriaohjaavan analyysin avulla (Tuomi

& Sarajärvi, 2009). Lähdin analysoimaan aineistoa teoriataustan ohjaamana ja

tutkimuskysymys kerrallaan. Aloitin ensimmäisestä tutkimuskysymyksestä eli lapsen

matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen oppimisen tukemisesta ja analysoin

sitä matemaattisten käsitteiden kehittymisen ja matemaattisten laskustrategioiden

kehittymisen tukemisen avulla. Tämän jälkeen siirryin toisen tutkimuskysymykseni

analysointiin, jolloin analysoin intervention aikaista opetusta monilukutaidon

edistämisen osalta.

4.3.1 Matemaattisten käsitteiden opettamisen analysointi

Aloitin analysoimalla tutkimusintervention ensimmäisen opetuskerran videot ja etenin

näin opetuskerrasta toiseen. Katsoin läpi jokaiselta opetuskerralta molempien

kameroiden videot ja keskityin sisältöön puhtaasti vain ensimmäisen

tutkimuskysymykseni ensimmäisen osakysymyksen osalta. Tarkkailin siis

matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehittymisen tukemista

matemaattisten käsitteiden kehittymisen näkökulmasta. Tutkin, että millaisia

matemaattisten käsitteiden oppimista tukevia elementtejä opetuskerroilla käytetyissä

opetusmenetelmissä ja materiaaleissa sekä opettajan antamassa oppimisen ohjauksessa

esiintyi.

Matemaattisten käsitteiden kehittymisen tukemista tarkastelin Haapasalon (2012)

käsitteen kehittymisen teoriaa mukaillen. Jaottelin kehityksen kolmeen vaiheeseen,

tunnistamiseen, tuottamiseen ja lujittamiseen ja nämä edelleen pienempiin osiin.

29

Analysoin videota tehtävä kerrallaan ja tarkkailin jokaisen tehtävän osalta, mitä

matemaattisen käsitteen muodostumisen vaihetta se edustaa. Lisäksi analysoin näistä

tehtävistä vielä yksityiskohtaisemmin, että kuinka tehtävä kehittää kyseistä vaihetta ja

mitä kyseiselle vaiheelle ominaisia piirteitä tehtävä edellyttää oppilaalta. Taulukoin

näitä tekijöitä jokaiselta opetuskerralta tehtäväkohtaisesti omiin taulukkoihinsa.

Seuraavaksi esittelen analyysini yksitellen käsitteen muodostumisen vaihe kerrallaan.

Käsitteen tunnistaminen on alkuopetuksen toisen luokan kertolaskujen oppimisen

vaiheessa prosessi, jossa lapsi osaa linkittää ja yhdistää toisiinsa kaksi samaa

kertolaskua kuvaavat eri esitysmuodossa olevat ilmaukset. Hän tunnistaa kummatkin

ilmaukset kertolaskua kuvaaviksi käsitteiksi ja ymmärtää kuinka ne muodostuvat. Hän

osaa myös vertailla esitysmuotoja toisiinsa ja yhdistää kaksi samaa kertolaskua

kuvaavaa esitysmuotoa. (Haapasalo, 2012.) Tunnistamisen vaiheen tukemista analysoin

tarkastelemalla opettajan opetusta ja ohjausta sekä tunneilla tehdyissä tehtävissä tai

harjoitteissa käytettyjä opetusmenetelmiä. Analysoin, että millaisiin tunnistamisen

taitoihin opetus ohjaa. Havainnoin jokaisen tehtävän yksitellen ja tarkastelin

Haapasalon (2012) mallin pohjalta millaisten esitysmuotojen tunnistamista ja toisiinsa

linkittämistä ne sisälsivät. Tutkin esitysmuotojen tunnistamista kaikkien eri

esitysmuotojen mahdollisuuksien välillä. Näihin eri mahdollisuuksiin, verbaaliseen,

visuaaliseen ja symboliseen, lisäsin Haapasalon (2012) näkemysten lisäksi taktiilisen

esitysmuodon. Näin ollen käsitteen muodostumisen tunnistamisvaiheen

havainnoitaviksi osatekijöiksi muodostui 10 erilaista kokonaisuutta, jotka on esitetty

alla olevassa taulukossa (Taulukko 1).

30

Taulukko 1. Havainnollistus aineiston redusoinnista ja klusteroinnista sekä

tunnistamisvaiheen yksityiskohtaisemmasta analysoinnista (ks. Tuomi & Sarajärvi,

2011).

Pelkistetty ilmaus

Yläluokka

Verbaalinen & verbaalinen

Matemaattisen käsitteen kehittymisen

tunnistamisvaihe

Verbaalinen & visuaalinen

Verbaalinen & symbolinen

Verbaalinen & taktiilinen

Visuaalinen & visuaalinen

Visuaalinen & symbolinen

Visuaalinen & taktiilinen

Symbolinen & symbolinen

Symbolinen & taktiilinen

Taktiilinen & taktiilinen

Verbaaliseksi esitysmuodoksi tulkitsin kaikki erilaiset sanallisesti ääneen sanotut tai

kirjallisesti kirjoitetut erilaiset esitysmuodot. Näitä ovat esimerkiksi tarinan muodossa

esitetyt ilmaukset sekä sanonnat ”kuusi kertaa kolme”, ”kuudesti kolme” tai ”kuusi

kolmen ryhmää”. Visuaalisen esitysmuodon näin kaikki piirrettynä kuvana,

konkreettisilla esineillä kuvattuna tai tilannetta havainnollistavana piirroksena olevan

esityksen. Symbolinen esitysmuoto oli tulkinnassani yksistään vain numeroin ja

matemaattisin merkein kirjoitetut laskulausekkeet, kuten 6∙3 tai 3+3+3+3+3+3.

Taktiiliseksi esitysmuodoksi taas ajattelin kaikki liikkeen avulla tuotetut laskulauseketta

kuvaavat muodot. Tästä edellä mainitusta laskulausekkeesta taktiilinen muoto voisi

esimerkiksi olla kolme taputusta päähän, kolme olkapäihin, kolme vatsaan, kolme

peppuun ja kolme polviin eli kuusi kolmen ryhmää. Analysoin videoista

tehtäväkohtaisesti, että mitä yllä esitettyjä tunnistamisvaiheen eri osa-alueita ja

esitysmuotojen linkittämistä tehtävä edellytti oppilaalta (Taulukko 2).

31

Taulukko 2. Ensimmäisen opetuskerran tehtävien ja opetusmenetelmien sekä opettajan

antaman oppimisen tuen analyysia tunnistamisen vaiheessa.

Opetuskerta 1 Tunnistamisen vaihe

Teht. 1 Teht. 2 Teht. 3 Teht. 4 Teht. 5 Teht. 6 Teht. 7

verbaalinen & verbaalinen x x x

verbaalinen & visuaalinen x x x

verbaalinen & symbolinen x x x x x

verbaalinen & taktiilinen x x

visuaalinen & visuaalinen

visuaalinen & symbolinen x x x x

visuaalinen & tatkiilinen x x

symbolinen & symbolinen x x

symbolinen & taktiilinen x x

taktiilinen & taktiilinen

Tuottamisen vaiheessa lapsi osaa esitysmuotojen tunnistamisen ja toisiinsa liittämisen

lisäksi luoda ja tuottaa jonkin esitysmuodon perusteella muita esitysmuotoja. Hän

esimerkiksi osaa luoda kertolaskua kuvaavasta kuvasta symbolisen muodon ja sanoa sen

verbaalisessa muodossa. (Haapasalo, 2012.) Tuottamisen vaihetta analysoin

tulkitsemalla opettajan toiminnasta ja tehdyistä tehtävistä esitysmuotojen välillä

suoritettavia muunnoksia, joita tehtävän toteuttaminen edellytti lapselta. Näitä erilaisia

muunnoksia on 16, sillä jokaisesta neljästä esitysmuodosta, verbaalisesta, visuaalisesta,

symbolisesta ja taktiilisesta, voi tuottaa nämä kyseiset 4 eri esitysmuotoa (Taulukko 3).

32

Taulukko 3. Havainnollistava taulukko tunnistamisvaiheen yksityiskohtaisemman

analysoinnin kulusta sekä aineiston redusoinnista ja klusteroinnista.

Pelkistetty ilmaus

Yläluokka

verbaalinen → verbaalinen

Matemaattisen käsitteen kehittymisen

tuottamisvaihe

verbaalinen → visuaalinen

verbaalinen → symbolinen

verbaalinen → taktiilinen

visuaalinen → verbaalinen

visuaalinen → visuaalinen

visuaalinen → symbolinen

visuaalinen → taktiilinen

symbolinen → verbaalinen

symbolinen → visuaalinen

symbolinen → symbolinen

symbolinen → taktiilinen

taktiilinen → verbaalinen

taktiilinen → visuaalinen

taktiilinen → symbolinen

taktiilinen → taktiilinen

Katsoin videoaineiston uudelleen tarkkaillen ja analysoiden jokaisesta tehdystä

tehtävästä yksistään tuottamisen vaiheen prosesseja. Tarkkailin, että millaisia

esitysmuotojen muunnoksia kukin tehtävä edellytti oppilaalta. Kokosin jokaisesta

neljästä opetuskerrasta oman taulukon ja kirjasin siihen ylös kaikkien sen opetuskerran

tehtävien edellyttämät tuottamisvaiheen prosessit. Alla on esimerkki tuottamisen

vaiheen analysoinnista ensimmäiseltä opetuskerralta (Taulukko 4).

33

Taulukko 4. Ensimmäisen opetuskerran tehtävien ja opetusmenetelmien sekä opettajan

antaman oppimisen tuen analyysia tuottamisen vaiheessa.

Opetuskerta 1 Tuottamisen vaihe


verbaalinen -> verbaalinen x x

verbaalinen -> visuaalinen x x

verbaalinen -> symbolinen x x

verbaalinen -> taktiilinen x x

visuaalinen -> verbaalinen x

visuaalinen -> visuaalinen

visuaalinen -> symbolinen x x x

visuaalinen -> taktiilinen

symbolinen -> verbaalinen x

symbolinen -> visuaalinen x

symbolinen -> symbolinen x

symbolinen -> taktiilinen

taktiilinen -> verbaalinen

taktiilinen -> visuaalinen

taktiilinen -> symbolinen

taktiilinen -> taktiilinen

Lujittamisen vaiheessa lapsi osaa soveltaa kyseistä käsitettä rutiinitehtävissä ja

ongelmanratkaisutilanteissa. Usein ilman syvempää tarkastelua

ongelmanratkaisutilanteet koetaan sanallisiksi ja todelliseen elämään linkittyviksi

matemaattisiksi ongelmiksi. Alkuopetuksessa tällainen voisi olla esimerkiksi: Kuinka

monta koiraa Milla, Mallan ja Sallan tulee ulkoiluttaa, kun jokaisella heistä on

ulkoilutettavana kolme koiraa? Kun tarkastellaan tehtävän rakennetta, niin huomataan,

että tehtävässä tulkitaan sanallinen ongelma eli kertolaskun verbaalinen muoto ja

muutetaan se matematiikan symbolikielelle ja ratkaistaan. Tällöin prosessi edustaa vain

tuottamisen vaihetta. (Haapasalo, 2012.) Lujittamisen vaiheeseen tulkitsen kuuluvaksi

matemaattisen ajattelun tasolla haasteellisemmat kertolaskujen avulla operoinnit, kuten

jakolaskun, jonka ratkaisemisessa hyödynnetään kertolaskua. Lujittamisen vaihetta en

pilkkonut pienempiin osiin, niin kuin pilkoin tunnistamisen ja tuottamisen vaiheet.

34

Oletin nimittäin opetuskerroista ja videoista syntyneen tuntuman pohjalta, että tehtävät

ja opetus ei kovinkaan paljoa etene lujittamisen vaiheen puolelle. Sen sijaan päätin

raportoida yksityiskohtaisesti kaikki lujittamisen vaiheen tehtävät ja analysoida niitä sen

avulla.

Kaikkien opetuskertojen sisältämien tehtävien analysoinnin jälkeen kokosin kaikkien

opetuskerran tehtävien analyysin yhteen taulukkoon, jotta analysointini tulkinta olisi

vaivattomampaa. Muodostin taulukon samalla periaatteella kuin aiemmin jokaisesta

opetuskerrasta erikseen (Taulukko 2 ja Taulukko 4). Tästä oli selkeä havainnoida ja

analysoida koko opetusintervention aikaisen opetuksen ja tehtyjen tehtävien sisältämää

matematiikan kielen eri esitysmuotojen esiintymistä, linkittymistä toisiinsa sekä

muuttamista esitysmuodosta toiseen. Koonnin avulla kvantifioin laadullista aineistoani.

Laskin tunnistamis-, tuottamis- ja lujittamisvaiheen esiintyvyyttä lukumäärinä koko

interventiojakson ajalta. (ks. Tuomi & Sarajärvi, 2011.)

4.3.2 Matemaattisten laskustrategioiden opettamisen analysointi

Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehittämistä analysoin käsitteiden

opettamisen näkökulman lisäksi myös matemaattisten laskustrategioiden opettamisen

näkökulmasta. Analysointiani ohjasi aiemmin esittelemäni aritmeettisten perustaitojen

ja laskustrategioiden kehittymisen malli (Kuva 2) sekä yleinen käsitys oppituntien

sisällöstä, joka minulle jäsentyi aineistoa kuvatessa sekä aiemmilta videoiden

katselukerroilta. Lähdin redusoimaan matemaattisia laskustrategioita pienempiin osiin

ja loppujen lopuksi päädyin pelkistämään kokonaisuuden yhteentoista laskemista

helpottavaan osatekijään, jotka on kuvattu alla olevassa taulukossa (Taulukko 5).

Katsoin kaikilta opetuskerroilta videot uudelleen ja keskityin tiiviisti vain

laskustrategioiden havainnointiin. Tarkastelin videoita yksityiskohtaisesti tehtävä

kerrallaan. Tutkin, analysoin, raportoin ja taulukoin erilaisia laskustrategioita, joita

35

käytetyissä opetusmenetelmissä, tehdyissä tehtävissä sekä opettajan ohjauksessa

hyödynnettiin ja harjoiteltiin.

Taulukko 5. Opetusintervention ensimmäisen opetuskerran tehtävien,

opetusmenetelmien sekä opettajan antaman ohjauksen analysointia matemaattisten

laskustrategioiden kehittymisen tukemisen näkökulmasta.

Opetuskerta 1


Sormet laskemisen tukena

Toimintamateriaalit laskemisen tukena

Kuva laskemisen tukena

x x x x

Tarina laskemisen tukena

x x x x

Liike laskemisen tukena

x x

Mielessä tapahtuva laskeminen

x x x

Suora muistista palauttaminen

x x

Toisen kertolaskun kautta johtaminen

Yhteenlaskun kautta johtaminen

x

Vaihdannaisuus x

Ryhmittely x x x x

Alkuopetuksessa ilmenee hyvin usein sormien käyttö laskemisen tukena. Tarkkailin,

että ohjaako opettaja sormien käyttöön vai pyrkiikö hän keksimään mahdollisesti jonkin

muun laskemista helpottavan strategian. Toimintavälineiden käytön tulkitsin erilaisten

konkreettisten ja koskettavissa olevien esineiden tai asioiden avulla

havainnollistamiseksi. Kuva merkitsi tässä tutkimuksessa erilaisia matemaattista

tilannetta havainnollistavia kuvia. Näitä olivat esimerkiksi oppilaiden tai opettajan itse

36

piirtämät kuvat, valmiit graafiset kuvat tai esineiden joukkojen määrää ja lukuisuutta

havainnollistavat piirrokset. Tulkitsin, että tarinaa käytetään laskemisen apuna, silloin

kun harjoitteluun kytkettiin tarina, joka oli matemaattisia tilanteita sisältävä

kuvitteellinen satu, lyhyt sanallinen kertolaskua kuvaava tehtävänanto, tai jotakin

näiden kahden esityksen välillä. Liikettä taas edusti kaikki kertolaskutoimitusta

kuvaavien liikkeiden yhdistelmät.

Ulkoisia apuvälineitä hyödyntämätön mielessä tapahtuva laskeminen ja suora muistista

palauttaminen olivat hankalimmat erottaa, sillä videolta tulkittaessa ei pääse toisen

ihmisen ajatusmaailmaan sisälle, eikä ulkopuolisena voi varmaksi tietää, tuleeko vastaus

muistista vai onko taustalla nopeasti ilman apuvälineitä tuotettu mielessä tapahtuva

laskeminen. Rajasin tapaukset kuitenkin erillisiksi strategioiksi, sillä niiden välillä on

kuitenkin merkittävä ero. Lopulta pohdin tilanteen, ilmeiden, elekielen ja vastaamiseen

käytetyn ajan avulla, että kumpaa strategiaa opettaja kyseisessä tilanteessa pyrki

hyödyntämään. Opettajan oppimisen ohjaamista ja tehtävien sisältöjä analysoidessa

nämä kaksi strategiaa esiintyivät usein samaan aikaan. Tehtävä, joka on ohjeistettu

ratkaisemaan ilman ulkoisia apuvälineitä, edellyttää nimittäin joiltakin oppilailta

mielessä laskemista ja hyvin muistiin tietoa tallettaneilta oppilaita suoraa muistista

palauttamista. Tällaisissa tilanteissa tulkitsin opettajan tukevan kumpaakin strategiaa

samanaikaisesti ja analysoin tilanteen ottaen huomioon kummatkin strategiat.

Toisen kertolaskun kautta johtamisen ajattelin olevan strategia, jossa lasta ohjataan

hyödyntämään hankalan laskun ratkaisussa jotain toista ja helppoa kertolaskua.

Esimerkiksi tilanne, jossa ohjataan laskemaan kertolasku 9∙3 kertolaskun 10∙3 kautta,

edustaa tätä strategiaa. Tällöin laskeminen tapahtuu ratkaisemalla ensin vastaus laskuun

10∙3 ja vähentämällä siitä yhdesti kolme. Yhteenlaskun kautta johtaminen oli sitten taas

laskukeino, jossa ohjattiin tuottamaan kertolasku yhteenlaskun avulla, esimerkiksi

kertolasku 5∙4 ohjattiin päättelemään yhteenlaskun 4+4+4+4+4 kautta. Ennen

intervention alkua kertolaskun vaihdannaisuus oli jo strategiana tuttu lapsille, joten otin

37

senkin yhdeksi huomioon. Vaihdannaisuuden strategiaa hyödyntävissä tilanteissa lasta

ohjattiin uuden kertolaskun päättelyyn aiemmin tutun tai helpommin ratkaistavan

kertolaskun avulla. Ryhmittelykin on osittain päällekkäinen muiden strategioiden, kuten

esimerkiksi toimintavälineiden, kuvan, tarinan, liikkeen ja yhteenlaskun kautta

laskemisen kanssa. Ryhmittelyn tulkitsin toiminnaksi, jossa kertolasku pilkotaan

määritelmänsä mukaisesti tiettyyn määrään yhtä suuria joukkoja joko mielessä tai

apuvälineiden avulla. Esimerkiksi kertolaskun 5∙4 havainnollistaminen

toimintavälineiden avulla viideksi neljän esineen ryhmäksi oli tulkintani mukaan

ryhmittelyn strategiaan liittyvää toimintaa.

Videoiden analysoinnin jälkeen pohdin aineiston ja analysoitujen strategioiden

klusterointia. Klusterointiani ohjasi aritmeettisten perustaitojen ja laskustrategioiden

kehittymisen malli (Kuva 2). Ryhmittelin nämä laskemista helpottavista strategioista

muodostetut yksitoista pelkistettyä ilmaisua ensin viiteen yläluokkaan. Kokosin

sormien, toimintavälineiden, kuvien, tarinoiden ja liikkeen käytön yhdeksi yläluokaksi

ja nimesin sen ”konkretia laskemisen apuna”. Mielessä tapahtuvan laskemisen, suoran

muistista palauttamisen ja toisen kertolaskun kautta johtamisen pidin kunkin omana

luokkanaan. Kolme viimeistä laskustrategiaa kokosin yhdeksi luokaksi. Yhteenlaskun

kautta johtamisesta, vaihdannaisuudesta ja ryhmittelystä syntyi näin yläluokka

osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen. (ks. Tuomi & Sarajärvi, 2011.)

Yläluokat abstrahoin taas edelleen kahteen pääluokkaan. Toinen luokka on lukujen

luetteluun pohjautuvaa laskemista, johon sisällytin yläluokat konkretia laskemisen

tukena ja mielessä tapahtuva laskeminen. Toiseksi pääluokaksi muodostui aritmeettisten

yhdistelmien muistaminen, joka sisältää yläluokat suora muistista palauttaminen, toisen

laskun kautta johtaminen sekä osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen

(Taulukko 6). (ks. Tuomi & Sarajärvi, 2011.)

38

Taulukko 6. Laskustrategioiden analysoinnin kulkua ja aineiston redusointia,

klusterointia ja abtrahointia havainnollistava kaavio (ks. Tuomi & Sarajärvi, 2011).

Pelkistetty ilmaus Yläluokka Pääluokka

Sormet laskemisen tukena

Konkretia laskemisen

tukena Lukujen luetteluun

pohjautuva laskeminen

Toimintamateriaalit

laskemisen tukena

Kuva laskemisen tukena

Tarina laskemisen tukena

Liike laskemisen tukena

Mielessä tapahtuva

laskeminen

Mielessä tapahtuva

laskeminen

Suora muistista

palauttaminen

Suora muistista

palauttaminen

Aritmeettisten

yhdistelmien muistaminen

Toisen kertolaskun kautta

johtaminen

Toisen kertolaskun kautta

johtaminen

Yhteenlaskun kautta

johtaminen Osavaiheisiin pilkkominen

ja uudelleen kokoaminen Vaihdannaisuuden

hyödyntäminen

Ryhmittely

Lopuksi kokosin kaikkien opetuskertojen laskustrategioiden kehittämisen analyysit

yhteen taulukkoon. Muodostin taulukon samalla periaatteella kuin kustakin

opetuskerrasta olin tehnyt (Taulukko 5). Tästä oli mahdollista kvantifioida aineistoa.

Raportoin ja laskin yksittäisten laskustrategioiden esiintymisen lukumääriä koko

opetusintervention ajalta. (ks. Tuomi & Sarajärvi, 2011).

39

4.3.3 Matemaattisen monilukutaidon analysointi

Monilukutaidon oppimisen tukemisesta halusin tutkia, kuinka paljon ja, kuinka

monipuolisesti yksittäiset harjoitteet sisältävät erilaisia matemaattisen monilukutaidon

osa-alueita. Analyysia ohjasi vahvasti aiemmissa tutkimuksissa ja teoriataustassa tehty

matemaattisen monilukutaidon jaottelu, jonka mukaan matematiikan kieli jaetaan

matematiikan symbolikieleen, luonnolliseen kieleen, kuviokieleen ja taktiiliseen

toiminnan kieleen (Joutsenlahti & Kulju, 2010; Joutsenlahti & Rättyä, 2015).

Katsoessani videoita tarkkailin opetusintervention aikana teetettyjä tehtäviä tai

harjoitteita sekä poimin kustakin tehtävästä juuri siinä esiintyneet matemaattisen

monilukutaidon osa-alueet.

Taulukko 7. Opetusintervention ensimmäisen opetuskerran tehtävien,

opetusmenetelmien ja opettajan antaman opetuksen analysointia matemaattisen

monilukutaidon tukemisen näkökulmasta.

Opetuskerta 1


Luonnollinen

kieli x x x x x

Kuviokieli

x x x x

Symbolikieli

x x x x x x x

Taktiilinen

toiminnan

kieli

x x

Taulukoin esiintyneet osa-alueet erikseen jokaisen tehtävän osalta (Taulukko 7). Kun

tehtävässä edistettiin joko tietoisesti tai tiedostamattomasti jotain näistä neljästä osa-

alueesta, kirjasin sen ylös. Koostin jokaiselta opetuskerralta erikseen tekemät analyysini

yhteen vastaavalla tavalla tuotettuun taulukkoon. Tämän avulla kvantifioin aineistoa ja

40

selvitin kutakin osa-aluetta tukevien harjoitteiden lukumäärän intervention ajalta, jolloin

selvitin, mitä osa-aluetta korostetaan vahvimmin ja mitä heikoimmin (ks. Tuomi &

Sarajärvi, 2011). Lisäksi havainnoin, että mitä osa-alueita linkitetään toisiinsa

yleisimmin ja mitä harvimmin. Tämän havainnoinnin toteutin tehtäväkohtaisesti ja koko

interventiojaksoa käsittävästä taulukosta pystyin tulkitsemaan, että mitä matematiikan

kielen osa-alueita kukin tehtävä on linkittänyt toisiinsa.

41

Luku V

5 Tulokset

Tässä luvussa esitän tutkimuksen tulokset. Esittelen ne tutkimuskysymyksittäin

aloittaen matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehityksen tukemista

käsittelevästä ensimmäisestä tutkimuskysymyksestä sekä kyseistä tutkimuskysymystä

täsmentävistä kahdesta osakysymyksestä. Matemaattisten käsitteiden kehittymisen

tukemisesta etenen laskustrategioiden kehittymiseen. Viimeisenä esittelen toista

tutkimuskysymystäni koskevat matemaattista monilukutaitoa käsittelevät tulokset.

Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehityksen tukeminen oli

tutkimukseni ensimmäisenä tutkimusongelmana. Ensimmäisen tutkimuskysymyksen,

1) Millä tavoin monilukutaitoa edistävä matematiikan opetus ja tunneilla käytetyt

opetusmenetelmät tukevat matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen

kehitystä?

kautta lähestyin tätä teemaa. Tutkin ja analysoin matematiikan oppituntien aikaisten

tehtävien ja annetun opetuksen matemaattista ajattelua ja matemaattisia taitoja tukevia

elementtejä kahden osakysymyksen avulla:

a) Kuinka matemaattisten käsitteiden kehittymistä tuetaan

opetuksessa?

42

b) Kuinka laskustrategioiden kehittymistä tuetaan opetuksessa?

Matemaattisten käsitteiden ja laskustrategioiden kehittymisen tutkiminen ja analysointi

olivat vahvasti sidoksissa teoriapohjaan ja aiemmin esittelemiini teorioihin tai

malleihin. Tutkimuksen kohteena oli nimenomaan tehdyt tehtävät sekä opettajan

toiminta ja hänen lapsille antama opetus ja oppimisen tuki. Analysoinnissa keskityin

vain opettajan opetukseen sekä tehtävänantojen ohjaamaan oppimiseen ja jätin lasten

toiminnan tai lasten keskuudessa käydyt keskustelut huomiotta.

5.1 Matemaattisten käsitteiden oppimisen tukeminen

Matemaattisten käsitteiden oppimisen tukemista tutkin analysoimalla opettajan

oppilaille antamaa ohjausta ja tukea. Analysoin myös, että millaiseen käsitteiden

oppimiseen oppitunneilla tehdyt tehtävät ohjaavat lasta. Tutkin oppimisen ohjaamista

Haapasalon (2012) esittämiä matemaattisten käsitteiden sisäistämisen vaiheita

mukaillen. Tutkin, millaisia käsitteen oppimisen vaiheita opetuksen sisällöt sisältävät ja

kuinka paljon käsitteiden kehitystä tuetaan opetuksessa (Kuva 3). Analysoinnissa

yllättävänä ja käsitteen muodostumisen tukemisen kannalta merkittävimpänä tuloksena

paljastui, että toisen luokan oppilaille suunnattu matematiikan monilukua edistävä sekä

kertolaskuja käsittelevä interventio-opetus ei tukenut lainkaan matematiikan käsitteiden

oppimisen lujittamisen vaiheen kehittymistä.

43

Kuva 3. Matemaattisen käsitteenkehittymisen vaiheita tukevien tehtävien esiintyvyys

opetusinterventiossa.

Opetusintervention eli neljän kahden oppitunnin pituisen opetuskerran aikana tehtiin 27

erilaista matemaattista monilukutaitoa edistävää harjoitusta tai tehtävää. Tunnistamisen

vaiheen tukemista oli intervention aikana paljon. Tehdyt tehtävät ja opettajan opetus

ohjasivat tunnistamisen vaiheeseen kuuluviin prosesseihin 94 kertaa. Joidenkin

tehtävien suorittaminen edellytti oppilailta tunnistamista vain yhden kerran. Parhaillaan

oppilaan tuli kuitenkin tehdä tunnistamista jopa kahdeksan kertaa yhden tehtävän

suorittamisen aikana. Tuottamisenvaiheen prosesseja opetusintervention tarjosi 27

tehtävän aikana yhteensä 60 kertaa. Laaja ja useita esitysmuotoja käsittelevä tehtävä

tarjosi oppilaalle parhaimmillaan kuusi kertaa tuottamisen harjoitusta esitysmuodosta

toiseen yhden tehtävän aikana.

44

5.2 Laskustrategioiden oppimisen tukeminen

Laskustrategioiden oppimisen ohjausta tutkin havainnoimalla opettajan opetusta sekä

tehtyjen tehtävien vaatimia matemaattisia prosesseja. Tarkkailin, että mitä

laskustrategioita opettajan opetuksessa esiintyi ja mitä laskustrategioita kukin tehtävä

hyödynsi. Havainnointia ja analyysiani ohjasi teoriapohjassa esittelemäni aritmeettisten

perustaitojen ja laskustrategioiden kehittymisen malli. Tutkin, mitä laskustrategioita

opetus ja tehtävät edellyttävät tai millaisten strategioiden käyttöön opetus ohjaa. Lisäksi

havainnoin, kuinka paljon tehtävissä ohjattiin yksittäisten laskustrategioiden

hyödyntämiseen. Opetusintervention 27:n tehtävän aikana opetus, opettaja tai tehtävä

ohjasi lasta laskustrategioiden hyödyntämiseen 92 kertaa. Parhaimmillaan yhden

tehtävän aikana erilaisia laskustrategioita hyödynnettiin kuusi kertaa. Alla olevat kuviot

(Kuva 4 ja Kuva 5) selventävät intervention aikana käytettyjä laskustrategioita sekä

niiden hyödyntämistä määrällisesti lukumäärinä ja prosentteina.

Kuva 4. Intervention aikana hyödynnetyt laskustrategiat ja niiden käyttö lukumäärinä.

45

Kuva 5. Intervention aikana käytetyt laskustrategiat ja niiden prosentuaalinen suhde.

Yllä esitetyt kuviot (Kuva 4 ja Kuva 5) esittävät kaikkia intervention aikana

hyödynnettyjä laskustrategioita. Kummatkin kuviot esittävät laskustrategioiden

hyödyntämistä määrällisesti, Kuviossa 2 laskustrategioiden käyttö on kuvattu

lukumäärinä ja Kuviossa 3 käyttö on esitetty prosentuaalisesti. Kuviot on luotu

tulkitsemisen helpottamiseksi siten, että yksittäiset laskustrategiat on kuvattu toisistaan

erottamisen helpottamiseksi eri värillä. Kuitenkin yksittäistä laskustrategiaa on

havainnollistettu kummassakin kuviossa samalla värillä, jotta kuvioiden lukeminen olisi

vaivattomampaa.

Lukujen luetteluun pohjautuvan laskemisen strategioiden pääluokkaa on Kuvassa 5

esitetty kelta- ja sinisävyisillä sektoreilla. Keltainen sektori edustaa mielessä tapahtuvan

laskemisen strategiaa, kun taas sinisävyiset sektorit muodostavat yhdessä oman

yläluokan, konkretia laskemisen tukena. Aritmeettisten yhdistelmien muistamisen

46

strategioiden pääluokkaa ympyräkuvaajassa (Kuva 5) edustaa taas vihreä- ja

punasävyiset sektorit. Vihreät sektorit, toisen kertolaskun kautta johtaminen ja

suoramuistista palauttaminen, muodostavat itsekseen omat yläluokkansa, mutta punaiset

sektorit yhdessä edustavat osavaiheisiin pilkkomisen ja uudelleen kokoamisen

strategioita.

Koko interventiojakson aikaisista 92:sta laskustrategioiden käyttöön ohjaavista

tilanteista opetus, opettaja tai tehtävä ohjasi lasta lukujen luetteluun pohjautuvaan

laskemiseen 54 kertaa, mikä on 59 prosenttia kaikkien eri strategioiden käytön

osuudesta. Aritmeettisten yhdistelmien muistamiseen ohjattiin 38 kertaa eli se edusti 41

prosenttia kaikkien käytettyjen strategioiden osuudesta. Lukujen luetteluun pohjautuviin

laskustrategioihin ohjattiin siis hieman enemmän kuin aritmeettisten yhdistelmien

muistamisen strategioihin.

Lukujen luetteluun pohjautuvaan laskemiseen perustuvat laskustrategiat jakautuvat

konkretian hyödyntämiseen laskemisen tukena sekä mielessä tapahtuvaan laskemiseen.

Intervention aikana käytetyistä laskustrategioista konkretian käyttö laskemisen tukena

oli yläluokista kaikista hallitsevin, sillä hieman yli puolet kaikista käytetyistä

laskustrategioista hyödynsivät konkretiaa. Tehtävät edellyttivät paljon konkreettisten

apuvälineiden hyödyntämistä ja jakaantuivat osavaiheisiin, joissa hyödynnettiin

konkretiaa.

Videoaineiston ja oppituntien seuraamisesta syntyneen tuntuman pohjalta jaottelin

yläluokan, laskustrategian konkretia laskemisen tukena, vielä yksityiskohtaisempiin

osiin. Jaottelussa syntyi viisi luokkaa: sormet laskemisen tukena, toimintamateriaalit

laskemisen tukena, kuva laskemisen tukena, tarina laskemisen tukena sekä liike

laskemisen tukena. Näistä luokista tarinoiden hyödyntäminen laskemisen tukena oli

ehdottomasti eniten hyödynnetyin laskustrategia, sillä sitä käytettiin 20 kertaa, joka on

47

reilu viidesosa kaikkien laskustrategioiden hyödyntämisestä. Kuvaa käytettiin 12

kertaa, esineitä kahdeksan kertaa, liikettä kuusi kertaa ja sormia vain kerran.

Apuvälineitä hyödyntämättömään mielessä tapahtuvaan laskemiseen oppilaita ohjattiin

intervention aikana melko vähän. Tämän osuus kaikkien strategioiden joukosta oli vain

kahdeksan prosenttia. Aritmeettisten yhdistelmien muistamisen strategioiden joukkoon

kuuluvan suoran muistista palauttamisenkin strategian tukeminen oli vähäistä, vain viisi

prosenttia kaikkien strategioiden joukosta. Myöskään aritmeettisten yhdistelmien

muistamisen strategioista toisen laskun kautta johtamisen strategia ei ollut tutkimukseni

opetusintervention aikana kovinkaan opettajan ja opetuksen suosiossa. Sitä

hyödynnettiin vain kerran ja sen osuus kaikkien strategioiden käytöstä oli vain yksi

prosentti. Strategia tuli esille opetuksessa, kun opettaja oli auttamassa yksilöllisesti

erästä oppilasta ja ohjasi häntä ajattelemaan kyseisen strategian avulla. Muuten sitä ei

hyödynnetty.

Aritmeettisten yhdistelmien muistamisen strategiat jakautuvat suoran muistista

palauttamisen ja toisen kertolaskun kautta johtamisen lisäksi vielä kolmanteen

yläluokkaan, osavaiheisiin pilkkomiseen ja uudelleen kokoamiseen, joka oli näistä

laskustrategioista ehdottomasti vallitsevin. Sitä hyödynnettiin intervention aikana

laskemisen tukena 32 kertaa. Tämän laskustrategian jaoin oman tulkintani mukaisesti

kolmeen erilliseen strategiaan: yhteenlaskun kautta johtamiseen, vaihdannaisuuden

hyödyntämiseen sekä ryhmittelyn hyödyntämiseen. Yhteenlaskun kautta johtamista

hyödynnettiin opettajan ohjauksen seurauksena yhteensä seitsemän kertaa.

Vaihdannaisuuden hyödyntämistä oppilaat käyttivät usein omatoimisesti. Näissä

tilanteissa he usein kysyivät opettajalta, että saako niin tehdä ja opettaja hyväksyi

strategian käytön. Näitä tilanteita oli neljä kappaletta. Ryhmittelyä esiintyi

interventiossa kokonaisuudessaan 21 kertaa, joka on 23 prosentin osuudellaan kaikkien

pelkistetylle tasolle jaoteltujen strategioiden joukosta suurin ja eniten käytetyin.

48

5.3 Monilukutaidon kehityksen tukeminen

Monilukutaidon kehityksen tukemisen tutkiminen oli toisen tutkimuskysymykseni,

2) Kuinka opetus ja käytetyt opetusmenetelmät tukevat matemaattista

monilukutaitoa?

päämääränä. Tutkin kysymystä analysoimalla ja tulkitsemalla intervention aikaisten

tehtävien sisältöjä. Tutkin, että millaisia monilukutaidon osa-alueita kukin tehtävä

sisälsi. Tulkintaani ohjasi Joutsenlahden ja Rättyän (2015) matematiikan kielen jako

luonnolliseen kieleen, kuviokieleen, symbolikieleen sekä taktiiliseen toiminnan kieleen.

Tutkin jokaisen intervention aikana tehdyn tehtävän yksitellen ja raportoin juuri siinä

tehtävässä harjoitettuja matematiikan kielen osa-alueita. Näin sain analysoitua, että

kuinka monta kertaa intervention aikana edistettiin kunkin matematiikan kielen osa-

alueen oppimista. Alla oleva kuvio (Kuva 6) kuvaa matematiikan kielen osa-alueiden

hyödyntämistä opetuksessa määrällisesti. Se esittää kielen kunkin osa-alueen

prosentuaalisen osuuden kaikista matematiikan kieltä edistävien toimintojen joukosta.

49

Kuva 6. Matemaattisen monilukutaidon kehittäminen opetusinterventiossa

matematiikan kielen osa-alueilla.

Intervention aikana symbolikieli oli kaikista eniten käytetty matematiikan kielen osa-

alue. Vain kahdessa tehtävässä ei hyödynnetty symbolikieltä. Luonnollista kieltä

käytettiin lähes yhtä paljon, sillä 27:stä tehtävästä 23:ssa symbolinen kieli oli yksi

tehtävän edellyttämistä matematiikan kielen osa-alueista. Kuviokieleksi tulkitsin kaikki

toimintavälineiden, kuvien tai piirrosten avulla tuotetut havainnollistukset

matemaattisista laskutoimituksista. Näitä hyödynnettiin kaikista intervention tehtävistä

18:ssa. Prosentuaalisesti kaikkiin intervention aikana käytettyjen matematiikan kielen

osa-alueiden hyödyntämiseen suhteutettuna kuviokielen osuuden tukeminen oli 25

prosenttia eli neljännes (Kuva 6). Taktiilisen toiminnan kieleksi tulkitsin toiminnan,

jossa selkeästi liikkeen avulla havainnollistettiin tai kuvattiin kertolaskun

50

muodostumista. Esimerkiksi kertolaskua 3∙5 kuvaa taktiilisen toiminnan kielellä

liikesarja, jossa viiden taputuksen ryhmiä on kolme. Tämänkaltaista toimintaa tehtävät

edellyttivät intervention aikana yhteensä kuusi kertaa.

Matemaattisen monilukutaidon kehittämisestä tutkin lisäksi, että mitä matematiikan

kielen osa-alueita opetuksessa linkitettiin toisiinsa yleisimmin ja mitä harvimmin.

Taulukosta, jonka koostin monilukutaidon tukemisen ja intervention aikaisten

matematiikan kielen osa-alueiden analysointiin, tulkitsin osa-alueiden toisiinsa

linkittymisen tukemista. Yksitellen jokaisen tehtävän kohdalta tutkin, että mitä kielen

osa-alueita se edellyttää yhdistettävän ja linkitettävän toisiinsa. Alla oleva diagrammi

(Kuva 7) esittää havainnollisesti eri kielen osa-alueiden linkittämisen tukemisen määrää

intervention ajalta.

Kuva 7. Matematiikan kielen osa-alueiden linkittämisen tukeminen lukumäärittäin

intervention aikana.

16

21

6

16

6 6

0

5

10

15

20

25

Luonnollinen &Kuvio

Luonnollinen &Symboli

Luonnollinen &Taktiilinen

Kuvio & Symboli Kuvio &Taktiilinen

Symboli &Taktiilinen

Matematiikan kielen osa-alueiden linkittämisen tukeminen lukumäärittäin intervention aikana

51

Eniten toisiinsa linkitettiin luonnollista kieltä ja symbolikieltä, yhteensä 21 kertaa.

Luonnollista kieltä yhdistettiin kuviokieleen yhtä paljon kuin kuviokieltä

symbolikieleen, 16 tehtävää edellyttivät näiden kielten toisiinsa linkittämistä. Taktiilista

toiminnan kielen avulla ilmaisuun lasta ohjattiin intervention aikana kuudessa

tehtävässä. Kaikissa näissä kuudessa tehtävässä taktiilisen toiminnan kieli liitettiin

kaikkiin muihin matemaattisen kielen kenttiin. Tästä seuraa siis tulos, jonka mukaan

taktiilisen toiminnan kieli on linkitetty kuusi kertaa jokaiseen muuhun kielen osa-

alueeseen.

52

Luku VI

6 Pohdinta

Tutkimuksen tarkoituksena oli tutkia, kuinka alkuopetuksen toisen luokan matemaattista

monilukutaitoa edistävä opetus tukee lasten matemaattisen ajattelun ja matemaattisten

taitojen kehitystä. Päämääränä oli selvittää, missä määrin ja millä tavoin matematiikan

interventiojakson aikainen opetus ja käytetyt opetusmenetelmät tukevat matemaattisten

käsitteiden sekä laskustrategioiden kehittymistä. Lisäksi tutkimuksessa tutkittiin, että

kuinka opetus ja opetusmenetelmät tukevat matemaattista monilukutaitoa.

Monilukutaidon osalta tutkimus pyrki selvittää, kuinka mitä matemaattisen

monilukutaidon osa-alueet painottuivat opetuksessa ja kuinka osa-alueet linkitettiin

toisiinsa.

Tässä luvussa tarkastelen aiemmin esitettyjä tuloksia yksityiskohtaisemmin ja pyrin

löytämään tulosten taustalla olevia ja tuloksiin vaikuttavia tekijöitä. Johtopäätöksissä

pureudun tuloksiin vielä syvemmälle ja peilaan niiden sekä tutkimuksen merkitystä

tutkimuksellisista ja opetuksellisista näkökulmista. Esitän myös tutkimuksen pohjalta

esille nousseita jatkotutkimusaiheita ja tutkimuksellisia puutteita rinnakkain

johtopäätösten kanssa. Lopuksi siirrän katseen takaisin päin ja arvioin tutkimuksen

luotettavuutta.

53

6.1 Tulosten tarkastelu

Tutkimus osoitti, että monilukutaitoa edistävä opetus tukee monipuolisesti ja runsaasti

käsitteenmuodostusprosessin tunnistamisen ja tuottamisen vaiheiden prosesseja (ks.

Haapasalo, 2012). Tulos on ilahduttava, sillä se osoittaa, että matematiikan kielen osalta

monipuolinen opetus antaa runsaasti mahdollisuuksia, kokemuksia ja toistoja käsitteen

tunnistamiseen ja tuottamiseen sekä liittämiseen toiseen esitysmuotoon. Parhaimmillaan

laaja ja useita esitysmuotoja käsittelevä tehtävä tarjosi oppilaalle jopa kuusi tuottamisen

vaiheen prosessia. Tutkimus todistaa monipuolisen matemaattista monilukutaitoa

korostavan opetuksen todellakin tarjoavan hyvän pohjan myös matematiikan käsitteiden

kehittymiselle.

Opetusmenetelmät tukivat tunnistamisen vaihetta huomattavasti enemmän kuin

tuottamisen vaihetta. Tämä johtunee siitä, että aina kun tehtävä edellyttää

esitysmuodosta toiseen tuottamista, on taustalla oltava käsitteen tunnistaminen ja sen

ymmärrys eli tunnistusvaiheen prosessit. Lisäksi tulokseen vaikuttaa tulkintani ja

analyysini tunnistus- ja tuottamisvaiheen välillä. Tulkitsin toiminnon tuottamisen

vaiheen toiminnoksi, jos opetusmenetelmä, tehtävä tai opettajan ohjaus selkeästi

edellytti oppilaan tuottavan kertolaskua esitysmuodosta toiseen joko konkreettisesti ja

ulkopuoliselle näkyvästi tai hiljaa omassa mielessä ajatuksen tasolla. Tehtävä saattoi sen

sijaan edellyttää oppilaalta tuottamisvaihetta enemmän tunnistamisvaiheen prosesseja,

sillä jotkin muutokset esitysmuodosta toiseen vaativat käsitteen linkittämistä ja

laajentamista ajattelun tasolla useampien eri esitysmuotojen välillä. Esimerkiksi

ensimmäisen opetuskerran kuudennessa tehtävässä oppilaat tekivät tehtävää kirjasta.

Kyseisessä tehtävässä tehtävänantona oli “Piirrä kuva. Merkitse kertolasku ja laske.”.

Oppilaalle oli valmiiksi annettu kertolasku verbaalisen ja symbolisen muodon

yhdistelmänä, muodossa “4 kertaa 3”. Tässä oppilaan tulee ensin tunnistaa kyseisessä

esitysmuodossa oleva laskutoimitus kertolaskuksi. Sen jälkeen hän tuottaa visuaalisen

muodon, mutta tuottamisen taustalla on myös tunnistamisvaiheen ymmärrys ja linkitys

54

kyseiseen kertolaskuun visuaalisessa muodossa. Tämän jälkeen oppilas tuottaa

visuaalisesta muodosta symbolisen muodon. Tämän taustalla oppilas kuitenkin tekee

tunnistamisvaiheen prosessia ja luo yhteyden visuaalisen ja symbolisen esitysmuodon

välille, mutta myös verbaalisen ja symbolisen välille. Näin ollen tässä tehtävässä

oppilaan tulee tuottaa esitysmuoto kaksi kertaa (verbaalinen → visuaalinen ja

visuaalinen → symbolinen), mutta hänen kuitenkin tulee tehdä kolme kertaa

tunnistusvaiheen prosesseja linkittäessään kaksi eri esitysmuotoa toisiinsa (verbaalinen

& visuaalinen, visuaalinen & symbolinen, verbaalinen & symbolinen).

Opetus ei kuitenkaan tukenut lainkaan käsitteenmuodostusprosessin lujittamisen

vaihetta. Taustalla on osittain myös tulkinta Haapasalon (2012) käsitteen

muodostumisen teoriasta ja jaottelusta näihin kolmeen vaiheeseen. Käsitteen

lujittamisen vaiheeseen kuuluvat harjoitteet, joissa käsitettä hyödynnetään jo

matemaattisesti haastavimmissa tehtävissä. Kertolaskun osalta lujittamisen vaiheeseen

siirryttäisiin esimerkiksi, kun edettäisiin opetussisällöissä jakolaskuun, jota käsiteltäisiin

kertolaskun avulla. Tutkimani luokka oli vasta tutustumassa kertolaskuun ja oli

käsitellyt muutamia kertotauluja ennen opetusintervention aloittamista. Tunnistaminen

oli heille jo tuttua ja intervention aikana harjoiteltiin aktiivisesti tuottamisen vaihetta.

Lujittamisen vaiheen saavuttaminen ei siis välttämättä ollut opettajalla edes

tavoitteenakaan.

Tutkimuksen interventiojaksossa opettaja ja opetus ohjasivat oppilaita aktiivisesti

laskustrategioiden käyttöön. Laskutaitojen nähdään lähtevän liikkeelle lukujen

luetteluun pohjautuvista laskemisen strategioista ja etenevän taitojen karttuessa

aritmeettisten yhdistelmien muistamisen strategioihin. Lukujen luetteluun pohjautuvat

laskemisen strategiat nähdään hitaina strategioina ja aritmeettisiin yhdistelmien

muistamisen strategioihin siirtymisen nähdään olevan matemaattisten laskutaitojen

kehittymisen edellytys. (Hakkarainen, Haring, Holopainen, Lappalainen & Mäkihonko,

2014). Vaikka monilukutaitoa korostavalla opetuksella pyrittiin oppilaiden

55

matemaattisen ajattelun syventymiseen, niin suurin osa käytetyistä laskustrategioista oli

kuitenkin lukujen luetteluun pohjautuvia laskemisen strategioita. Lukujen luetteluun

pohjautuvien laskemisen strategioiden käytön runsaus oli seurausta konkreettisten

opetusmateriaalien ahkerasta hyödyntämisestä oppimisen tukena, mikä taas johtui

pyrkimyksestä edistää oppilaiden matemaattista monilukutaitoa esimerkiksi, kuvien,

toimintamateriaalien, tarinoiden ja liikkeiden avulla. Tutkimuksen kohderyhmä oli vasta

hetkeä aiemmin alkanut opiskella kertotauluja, joten konkreettiaan ja lukujen luetteluun

pohjautuviin laskemisen strategioihin tukeutumisella oli oppilaiden matemaattisen

kehitystasoon pohjautuva tarkoituksensa monilukutaidon kehittämisen tarkoituksen

lisäksi. Opettaja kuitenkin tuki hienosti hitaiden laskustrategioiden käytön rinnalla

nopeampien ja kehittyneempien aritmeettisten yhdistelmien muistamisen strategioiden

opettelua ja hyödyntämistä. Aritmeettisten yhdistelmien muistamisen strategioihin

kuuluva osavaiheisiin pilkkomisen ja uudelleen kokoamisen strategia olikin intervention

aikana toiseksi eniten käytetty strategia konkretia laskemisen tukena -strategian jälkeen.

Toiminnallisuus ja konkretian hyödyntäminen olivat eräitä opetuksen tavoitteita

interventiojaksoa suunniteltaessa. Kyseinen tavoite näyttää toteutuneen, sillä

merkittävän suuri osa käytetyistä laskustrategioista olivat konkretiaa hyödyntäviä.

Tarinaa ja kuvaa käytettiin mukaisesti runsaasti. Lisäksi erityisesti taktiilista toiminnan

kielten osuutta pyrittiin lisäämään. Kuitenkin sen osuus jäi vain kuuteen kertaan, mikä

on vähemmän kuin tarinoiden, kuvien ja esineiden käytön osuus. Hyvin useat

konkretiaa laskemisen apuna hyödyntäneet tehtävät hyödynsivät myös ryhmittelyn

strategiaa. Esimerkiksi kertolaskua havainnollistaessa esineiden tai kuvien avulla,

oppilas käyttää myös ryhmittelyn strategiaa muodostaessaan näistä objekteista tietyn

suuruisia “kasoja”. Ryhmittelyn strategian runsaan käytön taustalla oli siis sidonnaisuus

moneen muuhun strategiaan.

Interventiossa käytettiin erittäin vähän sormia laskemisen tukena sekä toisen

kertolaskun kautta johtamista. Uskon kummankin tuloksen taustalla olevan opettajan

56

tiedotetut tai tiedostamattomat valinnat. Tutkimusten (Koponen, 2008; Rusanen &

Räsänen, 2012) mukaan sormien käyttö laskemisen tukena on laskusujuvuutta hidastava

tekijä. Tämän on useiden opettajien tiedossa ja usein sormien käytöstä pyritään päästä

eroon, jotta edistettäisiin oppilaiden matemaattista ajattelua eteenpäin ja tarjottaisiin

oppilaille vaihtoehtoisia laskustrategioita sormien hyödyntämisen tilalle.

Opetusinterventiossa opettaja on luultavimmin joko ajatellut näin tai hän on

toimintavälineiden runsauden vuoksi vahingossa unohtanut sormien käytön

mahdollisuuden havainnollistajana. Toisen kertolaskun kautta johtamisen strategiaa

hyödynnettiin intervention aikana vain kerran, jolloin opettaja ohjasi yksilöllisesti erästä

oppilasta ajattelemaan ratkaisua tehtävään toisen kertolaskun vastauksen kautta.

Strategia edellyttää oppilaalta aiemman useiden laskutoimitusten suorittamista, niiden

lyhyt kestoisessa muistissa säilyttämistä sekä niillä operoimista. Tämän vuoksi uskon

opettajan kokeneen laskustrategian mahdollisesti liian hankalaksi koko luokan

oppilaiden käyttöön ja tarjosi strategiaa vain yhdelle oppilaalle.

Monilukutaidon, matemaattisen ajattelun ja laskustrategioiden tukemisen onnistumisen

puolesta puhuu apuvälineitä hyödyntämättömien suoran muistista palauttamisen ja

mielessä tapahtuvan laskemisen strategioiden vähäinen hyödyntäminen. Tehtävien

suorittaminen pohjautui harvoin pelkästään näiden strategioiden hyödyntämiseen, sillä

ajattelun ja laskemisen rinnalle tarjottiin aktiivisesti jotain ilmiötä havainnollistavia

toimintamateriaaleja, liikettä tai tarinoita. Tulokset osoittavat sen, että toiminnallisiin ja

monipuolisiin työtapoihin sekä matemaattiseen monilukutaitoon keskittyvä opetus

tarjoaa oppilaille reilusti välineitä laskemisen tueksi. Tällainen opetus ei ensisijaisesti

pyri siihen, että lapset osaisivat löytää vastaukset laskuihin mahdollisimman pian

ainoastaan mielessä laskemalla tai suoraan muistista palauttamalla. Näin ollen opetus

tuki monilukutaidon lisäksi myös matemaattista itsensä ilmaisua ja oman

ajattelutoiminnan kielentämisen harjoittelua monipuolisten työtapojen avulla, jotka

tarjosivat jokaisen oppilaan yksilöllisiin tarpeisiin sopivia oppimistyylejä- ja tapoja

(Joutsenlahti, 2003).

57

Matemaattisen monilukutaidon tukemisen näkökulmasta luonnollisen kielen osa-alueen

suuri osuus ei ole kovinkaan yllättävää, sillä perinteisesti matematiikka on juuri

symbolikieltä ja vain sen ajatellaan olevan matematiikkaa (Joutsenlahti, 2003).

Ajatusmaailma, perinteet ja käsitykset mahdollisesti ovat vahvasti juurtuneet ja ohjaavat

toimintaa edelleen, vaikka matematiikka on saanut rinnalleen muitakin esitysmuotoja.

Symbolikielen rinnalla kulki vahvasti luonnollinen kieli ja niiden linkittäminen toisiinsa

oli hyvin vahvaa. Tämä oli ennakoitavissa aiemmista havainnoista, joiden mukaan juuri

nämä kyseiset kielen osa-alueet olivat kaikista yleisimmin harjoitetut. Nämä osa-alueet

linkittyvät hyvin helposti ja huomaamattomasti toisiinsa. Syynä luonnollisen kielen

suureen esiintyvyyteen sekä symbolikielen ja luonnollisen kielen aktiiviseen

linkittämiseen on luonnollisen kielen osa-alueen laajuus. Tulkintani mukaan tarinat ja

tarinallistava matematiikka eivät olleet ainoita luonnollisen kielen esiintymismuotoja.

Tulkitsin matematiikan luonnolliseksi kieleksi myös kaiken sanallisesti ilmaistun

matematiikan (Joutsenlahti & Rättyä, 2015). Esimerkiksi aina kun interventiossa oltiin

luotu symbolikielen osa-alueeseen kuuluva symbolinen muoto, opettaja tarkisti

oppilaiden suoriutumisen keskustelemalla koko luokan kanssa yhdessä, että mistä

kertolaskusta oli kyse. Tällöin symbolisen muodon tuottamisen jälkeen muodostettiin

laskutoimituksesta verbaalinen luonnollisen kielen osa-alueeseen kuuluva muoto.

Tällaisia ilmauksia esiintyi esimerkiksi keskustelussa opettajan ja oppilaiden välillä:

Opettaja: ”Mitäs muita ehdotuksia?”

(Oppilaat viittaavat ja opettaja valitsee vastaajaksi erään oppilaan)

Oppilas: ”Neljä kertaa kolme on yhtä kuin kaksitoista”

Opettaja: ”Mmm. On neljä lumiukkoa ja jokaisessa on kolme palloa. Siitähän me

saadaan neljä kertaa kolme, joka on kaksitoista.”

58

Luonnollista kieltä linkitettiin symbolikielen lisäksi hyvin vahvasti myös kuviokieleen.

Erikoista tuloksissa oli se, että luonnollista kieltä linkitettiin kuviokieleen yhtä paljon

kuin kuviokieltä symbolikieleen. Tämän taustalla on pitkälti intervention aikaisten

tehtävien rakenne. Hyvin usein tehtävä tuki oppilasta yhdistämään nämä kolme kielen

osa-aluetta toisiinsa. Kuviokielen muodon tuottamista edellyttävät tehtävät käsittivät

lähes aina myös symbolikielen ja luonnollisen kielen muodon tuottamista. Luonnollisen

kielen muoto käsitti joko matikkatarinaa tai verbaalisesti tuotettua laskutoimituksen

kuvailua.

Kaiken kaikkiaan matemaattisen lukutaidon kehittymistä tuettiin monipuolisesti ja

runsaasti luonnollisen, kielen, kuviokielen ja symbolisen kielen kentillä. Vaikka

toimintaa ja toiminnallista oppimista ja liikettä oli erittäin paljon, niin taktiilisen

toiminnan kielen harjoittaminen jäi siitä huolimatta melko vähäiseksi. Taktiilisen

toiminnan kieltä tukevat tehtävät olivat sisällöltään hyvin samankaltaisia. Ne alkoivat

opettajan lukemalla tarinalla, josta oppilaan muodostivat esitysmuodot kuviokielen,

symbolikielen ja taktiilisen toiminnan kielen osa-alueilla. Tämä tulos osoittaa sen, että

ainakin tämän interventiojakson sisällöissä taktiilisen toiminnan kieli tuli esille vain

yhden tehtävätyypin tehtävissä. Taktiilisen toiminnan kielen linkittäminen matematiikan

opetukseen näyttäisi olevan vielä haastavaa ja melko yksipuolista. Vaikka interventio

sisälsi paljon toiminnallisuutta ja liikettä, niin matemaattista ajattelua, ymmärrystä ja

taitoja edistävää liikettä oli kuitenkin hyvin vähän ja yksipuolisesti.

59

6.2 Johtopäätökset ja jatkotutkimusaiheet

Tutkimus osoitti, että matemaattista monilukutaitoa edistävä opetusinterventiojakso

onnistui melko hyvin tavoitteissaan. Opetus oli matemaattista ajattelua ja matemaattisia

taitoja sekä monilukutaitoa tukevaa. Tutkimus kuitenkin nosti esille myös joitakin

heikkouksia, joiden tutkimiseen ja kehittämiseen tämä tutkimus osoittaa olevan tarvetta.

Näin ollen tällä tutkimuksella on sekä tutkimuksellista sekä pedagogista ja

opetuksellista arvoa. Seuraavaksi esittelen esiin nousseet heikkoudet sekä niiden

merkityksen tutkimuksellisista ja opetuksellisista näkökulmista. Nostan esille näiden

pohjalta myös mahdollisia jatkotutkimusaiheita, joiden tarpeellisuudelle tämä tutkimus

antaa näyttöä.

Matematiikan monilukutaitoa edistävän interventiojakso tarjosi erinomaisen

mahdollisuuden matemaattisen käsitteenmuodostusprosessin tukemiseen tunnistamisen

ja tuottamisen vaiheiden osalta. Matemaattisen käsitteen kehittymisen lujittamisen

vaihetta ei opetuksessa tuettu lainkaan, mikä herättää kysymyksiä. Vaikka tulokseen

vaikuttaa Haapasalon (2012) matemaattisen käsitteen kehittymisen mallin pohjalta luotu

tulkinta eri vaiheista sekä oppilaiden matemaattisten taitojen taso herää kuitenkin

kysymys, että voisiko käsitteen lujittamisen vaihetta kuitenkin tukea jo alkuopetuksesta

lähtien. Tutkimus nosti esille tämän opetuksellisesti selkeän puutteen, johon tulisi

reagoida tutkimalla lisää käsitteen lujittamisen vaiheen tukemista. Tärkeää olisi tietää,

että missä matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehitysvaiheessa

lujittamisen vaiheen tukeminen on optimaalista ja että olisiko jo alkuopetuksessa

toteutetun käsitteen lujittamisen vaiheen tukemisesta positiivisia seurauksia oppilaiden

matemaattiselle kehitykselle. Lisäksi tutkimusten olisi hyvä ottaa laajemmin selville

tämän hetkistä tilannetta siitä, kuinka ja missä määrin lujittamisen vaihetta tuetaan

opetuksessa sekä, että missä matemaattisessa kehitysvaiheessa yleensä tukeminen

aloitetaan.

60

Jos tutkimukset osoittaisivat, että matemaattisen käsitteen lujittamisen vaiheen

tukemisella alkuopetuksessa olisi positiivisia vaikutuksia, niin tällöin tärkeää

jatkotutkimusten kannalta olisi myös saada selville käsitteen lujittamisen vaiheen

heikon tukemisen taustalla olevat syyt. Tuen puute saattaa johtua siitä, että opettajat

ajattelevat lujittamisen vaiheen prosessien kuuluvan myöhempien kehitysvaiheiden

opetukseen. Juuri tästäkin syystä tutkimukset lujittamisen vaiheen tukemisen

optimaalisesta ajankohdasta lasten matemaattisiin kehitysvaiheisiin peilattuna olisi

merkityksellistä. Tuen puute saattaa johtua myös siitä, että opettajat eivät käsitä niitä

prosesseja, joita opetusmenetelmät ja sisällöt todellisuudessa oppilaalta edellyttävät.

Tässäkin tutkimuksessa pyrittiin tukemaan vahvasti kertolaskun käsitteen kehittymistä

ja monipuoliset opetusmenetelmät antoivatkin tunteen käsitteen tukemisen vahvuudesta,

mutta tutkimus osoitti toisin. Opettajien matemaattisen opettajatiedon tutkimus olisi siis

paikallaan. Opettajien todellinen ymmärrys matemaattisesta sisältötiedosta eli yleisestä

matemaattisesta tiedosta, matematiikan rakenteellisesta tiedosta sekä matemaattisesta

eritystiedosta kaipaisi tutkimusta myös luokanopettajien ja alkukasvatuksen

luokanopettajien piiristä (ks. Koponen ja muut, 2014). Koponen (2017) on

väitöstutkimuksessaan tutkinut asiaa menestyksekkäästi matematiikan aineenopettajien

parissa. Väitöstutkimus paljasti merkittäviä puutteita aineenopettajien matemaattisessa

opettajatiedossa, mikä antaa vahvaa pohjaa luokanopettajien matemaattisen

opettajatiedon tutkimuksen tarpeellisuudelle.

Koposen väitöstutkimus (2017) osoitti, että matematiikan aineenopettajien

opettajatiedossa oli löydettävissä puutteita myös pedagogisen sisältötiedon pohjalta.

Tämä tutkimus antaa taas viitteitä siihen, että luokanopettajillakaan ei välttämättä ole

tietoa ja taitoa liittää matemaattisen käsitteen lujittamisen vaiheen tukea osaksi

alkuopetusta. Jos tutkimukset osoittaisivat, että matemaattisen käsitteen lujittamisen

vaiheen tukemisella alkuopetuksessa olisi positiivisia vaikutuksia, niin tällöin huomiota

tulisi ehdottomasti kiinnittää opettajien koulutukseen, sekä opettajankoulutukseen että

työssä olevien opettajien jatkokoulutukseen. Koulutukset tarjoisivat opettajalle lisää

61

heidän tarvitsemaansa matemaattista opettajatietoa matemaattisten ilmiöiden syvälliseen

käsitteelliseen opettamiseen siten, että opetus tukisi kaikkia

käsitteenmuodostusprosessin vaiheita kaikilla luokka-asteilla. Matemaattisen

opettajatiedon lisäksi tutkimuksen ja koulutuksen tulisi ehdottomasti keskittyä myös

niihin opetuksellisiin keinoihin, joiden avulla opettajat voisivat tarjota käsitteellistä

tukea. Opettajat tarvitsevat eväitä, ideoita, välineitä ja opetusmenetelmiä käsitteiden

tukemiseen. Tällöin tarpeeseen tulisi tutkimukset, jotka keskittyisivät monilukutaitoon

ja sen mahdollisuuksiin käsitteiden kehittymisen tukijana. Ainakin tämä tutkimus antaa

vankkaa pohjaa käsitteiden tukemisen mahdollisuuksille monilukutaitoa edistävän

opetuksen avulla.

Toinen tässä tutkimuksessa vahvasti esille noussut heikkous oli taktiilisen toiminnan

kielen vähäinen ja yksipuolinen käyttö. Taktiilisella toiminnan kielellä on potentiaalia ja

mahdollisuuksia opetusmenetelmänä, matemaattista ajattelua tukevana laskustrategiana

sekä monilukutaitoa kehittävänä osa-alueena. Kuitenkin sen hyödyntäminen jäi

tutkimuksessa vähäiseksi. Tutkimuksen luokanopettaja oli matemaattiseen

monilukutaitoon valveutunut ja sen mahdollisuuksiin perehtynyt opettaja, mutta jos

tutkimus olisi toteutettu luokassa, jossa luokanopettaja ei olisi omaehtoisesti etukäteen

monilukutaitoon perehtynyt, saattaisi tulokset olla vielä hälyttävämmät taktiilisen

toiminnan kielen osalta. Saatu tulos on merkittävä ja jo se osoittaa viitteitä taktiilisen

toiminnan kielen tutkimuksellisesta tarpeesta. Taktiilisen toiminnan kielen

merkityksestä matematiikan opetuksen ja oppimisen tukena olisi tärkeää saada lisää

tutkimusta. Viimeaikainen tutkimus osoittaa, että liikkeellä on positiivinen vaikutus

oppilaiden lukutaidon kehitykseen ensimmäisen kouluvuoden aikana (Ruotsalainen,

2017). Näin ollen liikkeen vaikutuksesta myös matemaattisen ajattelun ja

matemaattisten taitojen syvälliseen kehittymiseen olisi erityisen tärkeää saada lisää

vastaavaa tutkimustietoa.

62

Tämä tutkimus nostaa esille heikkouksia taktiilisen toiminnan kielen osalta myös

opetuksellisista näkökulmista. Opetuksessa on haasteita taktiilisen toiminnan kielen

käytössä osana opetusta ja eräänä merkityksellisenä opetusmenetelmänä. Vaikka

tutkimuksen luokanopettaja oli monilukutaidollisesti valveutunut, niin silti taktiilisen

toiminnan kielen hyödyntäminen oli yksipuolista. Tehtävät, joissa taktiilisen toiminnan

kieltä pyrittiin edistämään, olivat rakenteeltaan hyvin samankaltaisia ja yksipuolisesti

liikettä oppimisen välineenä hyödyntäviä kokonaisuuksia. Matematiikan kielen osa-

alueista taktiilisen toiminnan kielen hyödyntäminen ja liikkeen sisällyttäminen

opetukseen siten, että se lisäisi oppilaan matemaattista ymmärrystä, näyttäisi olevan

haasteellisinta. Liikkeen, liikkumisen ja aktiivisuuden on havaittu tuovan positiivisia

vaikutuksia oppilaan oppimiseen ja parantavan koulusuoriutumista erityisesti

matemaattisissa aineissa (Syväoja ja muut, 2012). Liikettä ja aktiivisuutta on melko

vaivatonta liittää osaksi matematiikan opetusta, mutta pelkkä toiminnallisuus ja liikkeen

runsaus ei riitä siihen, että itse liike opettaisi ja syventäisi matemaattista ymmärrystä.

Tutkimus osoittaa, että opettajat tarvitsisivat lisää perehdytystä ja koulutusta sekä tietoa,

taitoa ja käytännön ideoita matematiikan opettamiseen taktiilisen toiminnan kielen

avulla.

Taktiilisen toiminnan kielen opetusmenetelmän heikkouteen voi vaikuttaa useampi

tekijä. Sen merkittävyyden vähäisestä tutkimustiedosta johtuen se ei välttämättä ole

saavuttanut opettajakuntaa eikä opettajilla välttämättä ole eväitä ja rahkeita linkittää sitä

matematiikan opetukseen. Toisaalta vähäisen hyödyntämisen taustalla saattavat olla

yhteiset tekijät käsitteen muodostusprosessin lujittamisen vaiheen vähäisen

hyödyntämisen kanssa. Opettajien matemaattinen opettajatieto saattaa olla hyvin

vähäistä. Opettajilla ei välttämättä ole tietoa, kuinka asioita olisi paras ja tehokkain

opettaa. He eivät välttämättä ole ymmärtäneet taktiilisen toiminnan kielen rikkauksia ja

mahdollisuuksia matematiikan opettamisen ja oppimisen välineenä. Taktiilisen

toiminnan kielen osalta vähäisen opettajatiedon hataruus painottuu erityisesti

pedagogisen sisältötiedon osa-alueelle. Näihin puutteisiin voitaisiin puuttua

63

nimenomaan aiemminkin mainitun opettajien kouluttamisen avulla. Tiedon lisäksi

konkreettiset esimerkit ja kokeilemisen arvoiset opetukseen liitettävät taktiilista

toiminnan kieltä kehittävät harjoitteet auttaisivat opettajia ymmärtämään

opetusmenetelmän rikkauden ja käyttöarvon.

Vähän käytettyjen opetusmenetelmien huomioinnin rinnalla kiinnostusta tulisi yhtä

lailla kiinnittää myös paljon käytettyihin ja vallitseviin opetusmenetelmiin.

Matematiikan opetus on pääasiallisesti symbolikielen avulla opettamista ja sen avulla

operointia (Joutsenlahti, 2003). Tutkimuksessakin havaittiin, että matematiikan

opetuksessa korostui vahvimmin symbolikieli. Symbolikieli oli siis kielen osa-alueista

korostetuin, vaikka opetus pyrki matemaattisen monilukutaidon ja kielen eri osa-

alueiden runsaaseen käyttöön. Opetusta siis mahdollisesti edelleenkin leimaa ajatus, että

symbolikieli on sitä oikeaa matematiikkaa, jonka oppimisen ja opettamisen apuna

voidaan käyttää muita kielen osa-alueita ja niiden tarjoamia apuvälineitä, mutta ne

itsessään eivät voi olla oppimisen väyliä. Ajatus symbolikielen vahvasta asemasta voi

olla opettajien keskuudessa hyvin juurtunutta ja tiedostamatonta eikä symbolikielen

asemaa välttämättä voikaan heikentää, sillä symbolikielen merkitys kasvaa

matemaattisten taitojen kehittyessä. Alkuopetuksessa matematiikan kielen muiden osa-

alueiden merkitystä olisi kuitenkin erityisen tärkeää korostaa, koska näin matematiikan

linkittäminen lapsen arkielämään mahdollistuisi paljon kattavammin (Pound, 2006).

Tutkimus todistaa, että edelleen on tarvetta menetelmiin keskittyvään matematiikan

opettamisen ja oppimisen tutkimukseen. Matematiikan opetuksen kehittämisen kannalta

erityisen merkittäviä tutkimuksia olisivat matematiikan symbolikielen merkitykseen

liittyvät tutkimukset. Symbolikielen todellista merkitystä tulisi kyseenalaistaa, voisiko

opetusta toteuttaa ja oppimistuloksia saavuttaa myös opetuksella, jossa symbolikielen

osuus olisi alhaisempi? Tutkimusten seurauksena matematiikan opetuksella saattaisi

olla mahdollisuus muuttua enemmän lapsen arkielämään linkittyväksi, toiminnalliseksi,

64

monipuoliseksi ja siten myös eritysesti motivaatiota nostattavaksi toiminnaksi (Pound,

2006).

Toki pelkillä symbolikielen todelliseen merkittävyyteen kohdistuvilla tutkimustuloksilla

ei matematiikan opetusta saisi muutettua, vaan tarvittaisiin tutkimusten kohdistamista

myös opettajiin ja heidän näkemyksiin. Vahvat asenteen symbolikielestä rakentuvasta

ainoasta ja oikeasta matematiikan muodosta luultavimmin vallitsevat vielä

matematiikan opetuksen kenttää myös alakoulun ja alkuopetuksen saralla. Opettajien

asenteita ja käsityksiä tulisi myös tutkia. Tutkimuksellisen pohjatyön lisäksi todellisten

muutosten taustalla tulisi olla kattava opetusalan ammattilaisille tarjottava

koulutuksellinen tuki.

Symbolikielen dominoivan aseman vähentämiseen tarvitaan tehokkaita sekä opetusta ja

oppimista edistäviä opetus- ja työskentelymenetelmiä sekä näihin menetelmiin ohjaavaa

opettajankoulutusta. Kielentämisen menetelmät voisivat olla symbolikielen aseman

madaltajia ja osittaisia korvaajia, sillä ne antavat todella vahvan tuen opetukseen ja

oppimiseen. Niiden tehokkuus matemaattisen ajattelun tukijana on kiistaton.

(Joutsenlahti, 2003.) Tarinallistamisen menetelmät auttaisivat oppilaan

kokemusmaailmaan linkittymisen vuoksi luomaan matematiikan oppimiselle

merkityksellisyyttä ja motivaatiota. Sillä olisi myös symbolisen matematiikan

opetusmenetelmien kanssa samankaltaisia piilotavoitteita, kuten rauhoittumiseen

ohjaamista, työhön keskittymistä, itsenäisen työskentelyn tukemista sekä

hienomotoriikan harjoittamista. (Pound, 2006; Schiro, 2004.) Ja miksipä ei voisi luoda

uusia ja oppilaslähtöisiä opetusmenetelmiä? Miksipä oppilaat eivät itse voisi

alkuopetuksen matematiikassa luoda omaa matemaattista kieltä? Eihän symbolisen

matematiikan välttämättä tarvitse olla valmiiksi annettujen symbolien merkkien ja

niiden merkitysten ulkoa opettelua heti alkuopetuksesta lähtien. Merkityksellisyyttä

matematiikan oppimiseen lisättäisiin, kun oppilaille lisättäisiin autonomiaa sekä

mahdollisuuksia vaikuttaa opetukseen ja oppilaat voisivat keskenään yhteistyössä

65

tuottaa ja keksiä yhteiset matemaattiset ”pelisäännöt” ja merkinnät (Hynynen &

Hankonen, 2015).

Kaikesta huolimatta symbolikielen käytöstä löytyy kuitenkin myös paljon hyvää ja sen

käyttö on tietyissä tehtävätyypeissä hyvinkin perusteltua. Symbolikielestä liikkeelle

lähtevä tuottamistehtävä, jossa tuotetaan luonnollisen kielen muoto edistää

matemaattista ymmärrystä ja sanallisten tehtävien tulkinnan taitoja (Tuomi, Joutsenlahti

& Kulju, 2013). Intervention aikana oppilaiden tuli useassa tehtävässä lähteä liikkeelle

symbolikielestä ja tuottaa siitä muita esitysmuotoja matematiikan kielen muilla osa-

alueilla. Näissä tehtävissä opetusinterventiossa symbolikielellä on ollut merkittävä rooli

ja sen käyttö on edistänyt oppilaan oppimista mahdollisesti enemmän kuin tehtävä,

jossa se olisi jätetty kokonaan pois. Tuomen, Joutsenlahden ja Kuljun (2013) mukaan

symbolikielestä liikkeelle lähtemisellä ja luonnollisen kielen muodon, esimerkiksi

sanallisen tehtävän, tuottamisella on myös muita etuja. Kyseinen työtapa kehittää

matemaattisten taitojen lisäksi myös kielellisiä taitoja. Työtavan käyttö on perusteltua

myös perusopetuksen opetussuunnitelman (Opetushallitus, 2014b) tavoitteiden vuoksi,

sillä työtapa kehittää erinomaisesti laaja-alaisen monilukutaidon kehittämisen tavoitteita

myös matematiikan oppiaineen kontekstissa.

Laskustrategioiden valinnalla ja käytöllä tuettiin hienosti oppilaiden monilukutaidon

sekä matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen kehittymistä. Opetuksessa

hyödynnettiin nimittäin hyvin vähän mielessä tapahtuvan laskemisen ja suoran muistista

palauttamisen strategioita. Sen sijaan käytettiin paljon toimintavälineitä ja ajattelun

johdattelua osavaiheiden kautta, jotka kehittävät matemaattista ajattelua laskemisen

taitoja sekä erilaisten informaation lähteiden käytön vuoksi myös monilukutaitoa. Hyvin

todennäköisesti ilman strukturoitua tehtävien osavaiheisiin pilkkomista ja oppilaiden

ajattelun johdattelua oppilaiden työskentely olisi saattanut hyödyntää paljon enemmän

mielessä tapahtuvan laskemisen ja suoran muistista palauttamisen strategioiden käyttöä,

mikä taas ei olisi kehittänyt niin syvällisesti monilukutaitoa eikä oppilaiden

66

monipuolista ymmärrystä matemaattisista ilmiöistä. Hyvin todennäköisesti luokassa,

jossa opettaja ei olisi monilukutaidollisiin opetusmenetelmiin perehtynyt, ei olisi niin

vahvasti korostunut monilukutaidon, matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen

tukeminen monipuolisin ja ajattelemaan saattavin menetelmin. Tämänkin vuoksi

opettajien matemaattisen opettajatiedon sekä konkreettisen käytännön koulutuksille olisi

tarvetta.

Kaiken kaikkiaan tutkimus osoitti, että monilukutaitoa korostavalla opetuksella tuetaan

hienosti monilukutaidon, matemaattisen ajattelun sekä matemaattisten taitojen kehitystä.

Tutkimus myös antoi vahvat perustelut muutamille puutteille ja asioille, joihin olisi

tärkeä kiinnittää huomiota sekä tutkimuksellisesta että opetuksellisesta näkökulmasta.

Tutkimusta esiin nostetuista aiheista, niiden merkityksellisyydestä sekä niiden

mahdollisuuksista kaivataan lisää. Tutkimuksellisen tiedon kerääminen ja opettajien

koulutuksen lisääminen matemaattisen opettajantiedon osalta tulisi tarpeeseen.

Monipuoliseen monilukutaitoa edistäviin opetusmenetelmiin keskittyvän

opettajankoulutuksen lisäämiseen tutkimus antoi myös näyttöä.

Tutkimus antaa osviittaa siitä, että monilukutaitoa edistävän matematiikan opettamisella

voitaisiin siis mahdollisesti vastata matematiikan oppiainetta leimaaviin vaikeuden,

hankaluuden ja liiallisen abstraktiuden ongelmiin alkuopetuksesta lähtien (Tikkanen,

2008). Monilukutaidollisesti rikas matematiikan opetus mahdollistaa matematiikan

opettamisen ja oppimisen konkreettisessa ympäristössä, aivan kuten monien muiden

kouluaineiden kentällä voidaan opetusta toteuttaa. Pienelle lapselle ominaisten

oppimisen keinojen, tutkimisen, kokeilun, havainnollisuuden, liikkeen, leikin ja

mielikuvituksen linkittäminen opetukseen tapahtuu vaivattomasti ja luonnollisesti

monilukutaitoa korostavien työskentelymenetelmien avulla (Tikkanen, 2008).

Työskentelymenetelmät antavat opettajalle keinoja ymmärrettävän ja lapsen

kehitystasolle sopivan opetuksen tarjoamiseen juuri silloin kun lapsi uuden oppimista

odottaen saapuu koulumaailmaan. Tutkimus osoittaa, että monipuolisella matematiikan

67

kielten harjoittamisella on mahdollista saavuttaa alkukasvatuksen matematiikan

opetuksessa oppilaiden tulevaisuudessa kehittyvien matemaattisten taitojen kannalta

oleellisia taitoja, kuten syvällisen, laajan ja tiiviisti sidoksissa olevan matemaattisen

tiedon ja matemaattisten käsitteiden verkon rakentumista (Joutsenlahti & Kulju, 2010;

Schiro, 2004; Tikkanen, 2008).

6.3 Tutkimuksen luotettavuus

Tutkimukseni analysoinnin luotettavuutta lisää tutkimuskysymysten ja

tutkimuskohteiden yhteneväisyys. Teemat ovat osittain päällekkäisiä ja sisältävät

toisiaan vastaavia osa-alueita. Käsitteen oppimisen analysoinnissa tutkin käsitteen

tunnistamista, tuottamista ja lujittamista. Tunnistamisvaiheen analysoinnissa tarkkailin,

että mitä matematiikan kielen esitysmuotoja lapsen tulee tehtäviä tehdessä yhdistää joko

konkreettisessa toiminnassaan tai ajatuksen tasolla. Tuottamisvaiheen analyysissa tutkin

tehtäväkohtaisesti, että mitä esitysmuotoja oppilaan tulee tuottaa ja mistä

esitysmuodosta muunnos tapahtuu. Käsitteen opettamisen tutkimuksessa tutkin

matematiikan kielen esitysmuotoja ja monilukutaidon kehittämisen tutkimuksessa

matematiikan kielen osa-alueita. Vaikka käsitteet eroavat toisistaan, linkittyy niiden

sisältö kuitenkin toisiinsa. Matematiikan kielen osa-alueet ovat laajempia käsitteitä,

jotka pitävät sisällään jokaisen kielen osa-alueen esitysmuodot. Laskustrategioiden

oppimisen tukemisen analysoinnissani havainnoin erilaisia laskustrategioita, joita

tehtävät edellyttivät. Lukujen luetteluun pohjautuvan laskemisen konkreettisia

apuvälineitä hyödyntävät strategiat sisälsivät esineiden, kuvien, tarinoiden ja liikkeen

hyödyntämistä. Näiden strategioiden käyttö edellyttää taas eri matemaattisten

esitysmuotojen hyödyntämistä. Näin ollen kaikki tutkimuskohteeni ovat vahvasti

kytköksissä toisiinsa. Tein kaikista omat ja toisistaan riippumattomat analyysit ja

taulukot, vaikka ne sisältävätkin paljon samaa ja ovat tiiviisti yhteydessä toisiinsa.

68

Näiden kaikkien taulukoiden keskinäisellä vertailulla sain luotettavuutta

tutkimukselleni.

Analyysin jälkeen tutkin kaikkia tuottamiani taulukoita samanaikaisesti ja

tehtäväkohtaisesti, jolloin minun oli mahdollista havaita tekemäni virheet ja puutteet

analyysissäni. Esimerkiksi huomasin, että eräällä opetuskerralla eräässä tehtävässä en

ollut laskustrategioiden analysoinnin vaiheessa huomannut tehtävän edellyttävän kuvan

käyttöä laskemisen apuna, vaikka muiden tutkimuskysymysten analyysissa olin

huomannut kuvan hyödyntämisen. Taulukoiden avulla tapahtuneen vertailun vuoksi

sain poimittua kaikki risteävät tai puutteelliset analyysini hyvinkin yksityiskohtaisesti,

mikä mahdollisti analyysini korjaamisen, muokkaamisen ja täydentämisen

aukottomaksi. Tutkimuskohteitteni rinnakkaisuus siis tukee tutkimukseni luotettavuutta.

Tutkimuksessani on kuitenkin joitakin luotettavuutta vähentäviä tekijöitä. Ensinnäkin

Pro gradu -tutkimuksen suppeudesta johtuen jouduin jättämään tutkimuksestani pois

kontrolliryhmän. Kontrolliryhmä, jonka opetuksessa ei olisi suuremmin korostettu

monilukutaidollisia elementtejä, olisi tuonut tutkimukselleni huomattavasti lisää arvoa

sekä varmuutta ja vakuutta tulosten ja johtopäätösten pohjalle. Kontrolliryhmän avulla

opetuksen sisällön vertailu matemaattisten käsitteiden kehittymisen tukemisen,

laskustrategioiden oppimisen tukemisen sekä matemaattisen monilukutaidon

kehittämisen osalta niin sanotun ”normaalin opetuksen” ja monilukutaitoa korostavan

opetuksen välillä olisi ollut mahdollista.

Tutkimusaineistoni oli myös suhteellisen pieni. Tutkin opetusta ja oppimisen tukemista

vain yhden luokan osalta ja, koska näkökulmani oli tiukasti opettajassa, hänen

toiminnassaan sekä tehtyjen tehtävien sisällöissä, jää aineistoni melko niukaksi. Tosin,

tehtyjä tehtäviä oli koko intervention aikana yhteensä 27 ja tarkkailin jokaista tehtävää

kahdesta näkökulmasta, opettajan antamasta ohjauksesta sekä siitä mihin tehtävä

itsessään oppilasta ohjaa. Näin ollen tarkkailun kohteita oli reilusti, mutta koska kaikki

69

ovat rajattu vain yhden opettajan toimiin ja tehtävien suunnitteluun, niin aineisto saattaa

olla yksipuolinen. Luotettavuutta tutkimukselle olisi tuonut, jos olisin tutkinut useampaa

luokkaa, heidän tekemiään harjoitteita sekä heidän opettajiaan.

Luotettavuutta ja hyödynnettävyyttä tutkimukselle olisi lisännyt myös oppilaiden

oppimisen tarkkailu. Vaikka tutkimus selvittää nyt monilukutaidon ja matemaattisen

ajattelun sekä matemaattisten taitojen tukemista eli pohjaa, joka mahdollistaa oppilaiden

oppimisen, ei itse oppilaiden oppimisesta ole kuitenkaan havainnoitu. Laajempi

kohderyhmä, oppilaiden oppimisen huomioon ottavat tutkimuskysymykset sekä

kontrolliryhmä lisäisivät tälle tutkimukselle huomattavasti käytettävyyttä ja

luotettavuutta, mutta Pro gradu työllä ei niin laajaan aineistoon olisi mahdollisuuksia.

Nämä luotettavuutta karsivat tekijät vaikuttavat tutkimuksen johtopäätöksiin.

Tutkimuksen pohjalta ei voi tehdä luotettavia ja virheettömiä johtopäätöksiä

monilukutaitoa korostavan opetuksen sisällöistä ja opetuksen oppimista edistävistä

vaikutuksesta. Sen sijaan johtopäätökset keskittyvät enemmänkin siihen, mitä

opetuksellisia ja tutkimuksellisia heikkouksia tämän tutkimuksen tulokset nostavat

esille ja, mitä tämän tutkimuksen pohjalta saadun tiedon perusteella olisi tärkeä tutkia

lisää.

70

Viitteet

Painetut lähteet

Aunio, P. (2008). Matemaattiset taidot ennen koulun alkua. NMI-Bulletin, 18(4), 63–74.

Aunio, P., Hannula M. M. & Räsänen, P. (2004). Matemaattisten taitojen

varhaiskehitys. Teoksessa P. Räsänen, P. Kupari, T. Ahonen & P. Malinen

(toim.), Matematiikka - näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen (ss. 198-221).

Jyväskylä: Niilo Mäki Instituutti.

Aunio, P. & Niemivirta, M. (2010). Predicting children's mathematical performance in

grade one by early numeracy. Learning and Individual Differences, 20, 427-435.

doi: 10.1016/j.lindif.2010.06.003

Aunio, P. & Räsänen, P. (2015). Core numerical skills for learning mathematics in

children aged five to eight years – a working model for educators. European

Early Childhood Education Research Journal. doi:

10.1080/1350293X.2014.996424

Aunola, K., Leskinen, E., Lerkkanen, M.-K. & Nurmi, J-E. (2004). Development

dynamics of math performance from preschool to grade 2. Journal of

Educational Psychology, 96(4), 699–713. doi: 10.1037/0022-0663.96.4.699

71

Aunola, K., Leskinen, E. & Nurmi, J-E. (2006). Developmental dynamics between

mathematical performance, task motivation, and teacher´s goals during the

transition to primary school. British Journal of Educational Psychology, 76, 21-

40. doi: 10.1348/000709905X51608

Baroody, A. (1984). Children´s difficulties in subtraction: some causes and questions.

Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 203-213.

Baroody, A. J. (2004). The developmental bases for early childhood number and

operations standards. Teoksessa D. H. Clements & J. Sarama (toim.), Engaging

young children in mathematics. Standards for early childhood mathematics

education (ss. 173-220). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.

Berg, M., Mäkelä, R., Ruuska, H., Stenberg, K., Loukomies, A. & Palmqvist, R. (2013).

Tutki, kokeile ja kehitä. Suomen harjoittelukoulujen julkaisu 2012. Helsinki:

Helsingin yliopisto.

Butterworth, B. (2005). The development of arithmetical abilities. Journal of Child

Psychology and Psychiatry , 46(1), 3-18. doi:10.1111/j.1469-7610.2005.00374.x

Fennema, E., Carpenter, T. P., Jacobs, V. R., Franke, M. L. & Levi, L. W. (1998). A

longitudinal study of gender differences in young children's mathematical

thinking. Educational Researcher, 27(5), 6-11.

Fuson, K. (1984). More complexities in subtraction. Journal for Research in

Mathematics Education, 15(3), 214-225.

Geary, D.C., Hoard, M. K., Byrd-Craven, J., Nugent, L., Numtee, C. (2007). Cognitive

mechanisms underlying achievement deficits in children with mathematical

learning disability. Child Development, 78(4), 1343-1359.

72

Geary, D.C., Bow-Thomas, C.C., Liu, F. & Siegler, R.S. (1996). Development of

arithmetical competencies in Chinese and American children: Influence of age,

language and schooling. Child Development, 67(5), 2022-2044.

Geary, D.C., Hoard, M. K., Nugent, L. & Bailey, D. H. (2012). Mathematical Cognition

Deficits in Children With Learning Disabilities and Persistent Low

Achievement: A Five-Year Prospective Study. Journal of Education

Psychology, 104(1), 206-223.

Haapasalo, L. (2012). Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu. Joensuu: MEDUSA-

Software.

Hakkarainen, A., Haring, M., Holopainen, L., Lappalainen, K. & Mäkihonko, M.

(2014). Matemaattisen ajattelun mallintaminen ja laskustrategioiden

opettaminen: yleisen tuen interventio ensimmäisen luokan oppilaille. NMI-

bulletin, 1, 9-24.

Hannula, M. M. & Lepola, J. (2006). Matemaattisten taitojen kehittyminen esi- ja

alkuopetuksen aikana: mitkä tekijät ennakoivat aritmeettisten taitojen kehitystä?

Teoksessa J. Lepola & M. M. Hannula (toim.), Kohti koulua. Kielellisten,

matemaattisten ja motivationaalisten valmiuksien kehitys (ss.129-154). Turku:

Turun yliopisto.

Hynynen, S-T. & Hankonen, N. (2015). Autonomiaa tukien aktiivisemmaksi?

Itsemääräämisen teoria lasten ja nuorten liikunnan edistämisessä. Kasvatus,

46(5), 473-487.

Hyvönen, P. & Juujärvi, M. (2005). Keholla ja riemulla – uudenlainen

oppimisympäristö. Kide 5, 8-11.

73

Joutsenlahti, J. (2003). Kielentäminen matematiikan opiskelussa. Teoksessa A. Virta &

O. Marttila (toim.), Opettaja, asiantuntijuus ja yhteiskunta. Ainedidaktinen

symposium 7.2.2003. Turun yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisuja

B:72 (ss. 188–196). Turku: Turun opettajankoulutuslaitos.

Joutsenlahti, J., Ilmavirta, R., Sieppi, H., Riikonen, P., Laine, T., Ahtiainen, P., Tuomi,

J., Okkonen, S., Jerkku, P., Ukkola, T., Holttinen, J., Horila, M., Syvänen, A.,

Överlund, J., Forsblom, K. (2003). Projekteja ja prosesseja. Opetuksen

käytäntöjä matematiikassa ja viestinnässä (ss. 8-11). Tampere: Tampereen

yliopisto.

Joutsenlahti, J. & Kulju, P. (2010). Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan

sanallisiin tehtäviin ja niiden kielennettyihin ratkaisuihin. Teoksessa E. Ropo, H.

Silfverberg & T. Soini (toim.), Toisensa kohtaavat ainedidaktiikat.

Ainedidaktiikan symposiumi Tampereella 13.2.2009. Tampereen yliopiston

opettajankoulutuslaitoksen julkaisuja A:31 (ss. 77–89). Tampere: Tampereen

yliopisto.

Joutsenlahti, J. & Rättyä, K. (2015). Kielentämisen käsite ainedidaktisissa

tutkimuksissa. Teoksessa M. Kauppinen, M. Rautiainen & M. Tarnanen (toim.),

Rajaton tulevaisuus. Kohti kokonaisvaltaista oppimista. Ainedidaktiikan

symposium Jyväskylässä 13.–14.2.2014. Ainedidaktisia tutkimuksia 8 (ss. 45-

61). Jyväskylä: Suomen ainedidaktinen tutkimusseura.

Kaartinen, T. (2015). Monilukutaito kaikki kaikessa. Tampere: Tampereen yliopiston

normaalikoulu, Tampereen Yliopistopaino Oy.

Kanerva, K. & Kyttälä, M. (2013). Varhaisten matemaattisten taitojen harjoittaminen.

Matikkaspesifiä vai yleistä kognitiivista harjoitusta. NMI-bulletin, 23(1), 12-22.

74

Kantomaa, M., Syväoja, H. & Tammelin, T. (2013). Liikunta – hyödyntämätön

voimavara oppimisessa ja opettamisessa? Liikunta ja tiede, 50(4), 12-17.

Karsson, F. (2009). Yleinen kielitiede. Helsinki: Gaudeamus.

Koponen, T. (2008). Calculation and language. Diagnostic and intervention studies.

Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto.

Koponen, M. (2017). Investigating mathematical knowledge for teaching and

mathematics teacher education. Publications of the University of Eastern

Finland, Dissartations of Forestry and Natural Sciences. Lainattu 4.5.2017,

saatavilla: http://epublications.uef.fi/pub/urn_isbn_978-952-61-2472-

8/urn_isbn_978-952-61-2472-8.pdf

Koponen, M., Asikainen, M. A., Viholainen, A. & Hirvonen, P. E. (2014).

Opettajaopiskelijoiden matemaattisen opettajantiedon kehittäminen

opetusintervention avulla. Teoksessa P. Hästö & H. Silvenberg (toim.), Annual

Symposium of the Finnish Mathematics and Science Research association (ss.

47-60). Lainattu 29.4.2017, saatavilla:

http://www.protsv.fi/mlseura/julkaisut/malu_2014FINAL.pdf

Kristjansson, A., Sigfusdottir, I. & Allegrante, J. (2010). Health behavior and academic

achievement among adolescents: The relative contribution of dietary habits,

physical activity, body mass index, and self-esteem. Health Education &

Behavior, 37(1), 51–64. doi: 10.1177/1090198107313481

Kristjansson, A., Sigfusdottir, I., Allegrante, J. & Helgason, A. (2009). Adolescent

health behavior, contentment in school, and academic achievement. American

Journal of Health Behavior, 33(1), 69–79. doi: 10.5993/AJHB.33.1.7

http://epublications.uef.fi/pub/urn_isbn_978-952-61-2472-8/urn_isbn_978-952-61-2472-8.pdf


http://www.protsv.fi/mlseura/julkaisut/malu_2014FINAL.pdf

75

Kyttälä, M. (2008). Visuospatial working memory in adolescents with poor

performance in mathematics: variation depending on reading skills. Educational

Psychology, 28(3), 273-289. doi: 10.1080/01443410701532305

Lahtinen, A. (2014). Matematiikan merkityksestä. Solmu, 2. Lainattu 19.4.2017,

saatavilla: http://matematiikkalehtisolmu.fi/2014/2/lahtinen.pdf

Leino, J. (2004). Konstruktivismi matematiikan opetuksessa. Teoksessa P. Räsänen, P.

Kupari, T. Ahonen & P. Malinen (toim.), Matematiikka - näkökulmia

opettamiseen ja oppimiseen. (ss. 20-31). Jyväskylä: Niilo Mäki Instituutti.

Lerkkanen, M-K., Rasku-Puttonen, H., Aunola, K. & Nurmi, J-E. (2005). Mathematical

performance predicts progress in reading comprehension among 7-year olds.

European Journal of Psychology of Education, 20(2), 121-137.

doi:10.1007/BF03173503

Lusetti, E. & Aunio, P. (2012). Esikoululaisten matemaattisten taitojen kehityksen

tukeminen Minäkin lasken! –harjoitusohjelmalla. NMI-Bulletin, 22(3), 14-27.

Luumi, P. (2006). Kertojan käsikirja. Helsinki: LK-kirjat.

Mattinen, A. (2006). Huomio lukumääriin: Tutkimus 3-vuotiaiden lasten matemaattisten

taitojen tukemisesta päiväkodissa. Turun yliopiston julkaisuja sarja C, 247.

Turku.

McGrath, C. (2014). Teaching mathematics trough story: a creative approach for the

early years. London: Routledge.

Mononen, R., Aunio, P., Hotulainen, R. & Ketonen, R. (2013). Matematiikan

osaaminen ensimmäisen luokan alussa. NMI-Bulletin, 23(4), 12-25.

http://matematiikkalehtisolmu.fi/2014/2/lahtinen.pdf

76

Niiniluoto, I. (1997). Johdatus tieteenfilosofiaan: käsitteen ja teorianmuodostus.

Helsinki: Otava.

Opetushallitus. (2014a). Esiopetuksen opetussuunnitelman perusteet.

Opetushallitus. (2014b). Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet.

Ostad, S. (1999). Development progression of subtraction strategies: a comparison of

mathematically normal and mathematically disabled children. European Journal

of Special Needs Education, 14(1), 21-36. doi:10.1080/0885625990140103

Paukkeri, V., Pakarinen, E., Lerkkanen, M-K & Poikkeus, A-M. (2015).

Alaryhmätarkastelu matemaattisten taitojen kehityksestä esiopetuksesta

neljännelle luokalle. Psykologia, 50(4), 277-291.

Pound, L. (2006). Supporting Mathematical Development in the Early Years.

Maidenhead: McGraw-Hill Education.

Raghubar, K. P., Barnes, M. A. & Hecht, S. A. (2010). Working memory and

mathematics: A review of developmental, individual difference, and cognitive

approaches. Learning and Individual Differences, 20(2), 110-122.

doi:10.1016/j.lindif.2009.10.005

Rauste-von Wright, M. & von Wright, J. & Soini, T. 2003. Oppiminen ja koulutus.

Helsinki: WSOY.

Ruotsalainen, P. (2017). Interventiotutkimus oppilaiden motoristen taitojen ja

lukutaidon kehittymisestä sekä niiden välisistä yhteyksistä ensimmäisen

kouluvuoden aikana. Publications of the University of Eastern Finland,

Dissertations in Education, Humanities, and Theology. Lainattu 4.5.2017,

saatavilla: http://epublications.uef.fi/pub/urn_isbn_978-952-61-2396-

7/urn_isbn_978-952-61-2396-7.pdf



77

Rusanen, E. & Räsänen, P. 2012. Matematiikassa heikosti suoriutuvien lasten

laskustrategioiden kehitys. NMI Bulletin, 22 (3), 28-41.

Räsänen, M. (2015). Visuaalisen kulttuurin monilukukirja. Aalto-yliopiston

julkaisusarja. Lahti: Aldus Oy.

Rättyä, K. (2013). Kielentäminen ja käsitteiden oppiminen äidinkielen opetuksessa.

Teoksessa E. Yli-Panula, A. Virta & K- Merenluoto (toim.), Oppiminen, opetus

ja opettajaksi kasvu ainedidaktisen tutkimuksen valossa. Turun ainedidaktisen

symposiumin esityksiä 11.2.2013 (ss. 18−28). Suomen ainedidaktinen seura.

Turku: Turun yliopisto.

Scardamalia, M., & Bereiter, C. (2006). Knowledge building: Theory, pedagogy, and

technology. Teoksessa K. Sawyer (toim.), Cambridge Handbook of the

Learning Sciences (ss. 97-118). New York: Cambridge University Press.

Schiro, M. S. (1997). Integrating children´s literature and mathematics in the

classroom. New York: Teachers College Press.

Schiro, M. S. (2004). Oral Storytelling and Teaching Mathematics – Pedagogical and

Multicultural Perspectives. Thousand Oaks: Sage Publications.

Schleppegrell, M. (2010). Language in mathematics teaching and learning: a research

review. Teoksessa J. N. Moschkovich (toim.), Language and mathematics

education (ss. 73-112). Charlotte NC: Information Age Publishing.

Siegler, R. S. (1987). Strategy choices in subtration. Teoksessa J. Sloboda & D. Rogers

(toim.), Cognitive process in mathematics (ss. 81-106). Oxford: Oxford

University Press.

78

Siegler, R. S. & Shrager, J. (1984). Strategy choices in addition and subtraction: How

do children know what to do? Teoksessa C. Sophian (toim.), Origins of

cognitive skills (s. 229-293). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Steinberg, R. M. (1985). Instruction on derived facts strategies in addition and

subtraction. Journal of Research in Mathematics Education, 16(5), 337-355.

doi:10.2307/749356

Syväoja, H., Kantomaa, M., Laine, K., Jaakkola, T., Pyhältö, K. & Tammelin, T.

(2012). Liikunta ja oppiminen. Tilannekatsaus – Lokakuu 2012. Muistiot 2012:5.

Helsinki: Opetushallitus. Lainattu 19.4.2017, saatavilla:

http://www.oph.fi/download/144729_Liikunta_ja_oppiminen_2.pdf

Tikkanen, P. (2008). ”Helpompaa ja hauskempaa kuin luulin”: Matematiikka

suomalaisten ja unkarilaisten perusopetuksen neljäsluokkalaisten kokemana.

Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto.

Tuomi, J. & Sarajärvi, A. (2011). Laadullinen tutkimus ja sisällönanalyysi. Helsinki:

Tammi.

Tuomi, M., Joutsenlahti, J. & Kulju, P. (2013). Pipareista voimamiesten painoihin.

Äidinkieli ja matematiikka toistensa tukena. Kielikukko, 4, 10-19.

Van de Weffhorst, H. G. & Mijs, J. J. (2010). Achievement Inequality and the

Instutional Structure of Educational Systems: A Comparative Perspective.

Annual Review of Sociology, 36.

http://www.oph.fi/download/144729_Liikunta_ja_oppiminen_2.pdf

79

Verkkosivut ja muut painamattomat lähteet

www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen-kehitys

http://www.lukimat.fi/matematiikka/tietopalvelu/taitojen-kehitys/aritmeettiset-

perustaidot/yksinumeroisilla-luvuilla-laskeminen




80

Liite A

Opetusintervention tiedot, opetussisällöt sekä tavoitteet.

Ensimmäinen opetuskerta

tiistai

7.2.2017

kello 11.30-13.00

Tavoitteet:

- Kolmen kertotaulun harjoittelu.

- Kuvan, laskun ja liikkeen tekeminen tarinan pohjalta.

- Toiminnallisen matematiikan harjoittelu.

- Yhteistyössä parin kanssa toimimisen harjoittelu.

Tunnin sisältö:

Tehtävä 1

Pareittain työskentelyä, muodostetaan kertolaskuja hyppien ruudukossa, toinen laskee

tulon.

Tehtävä 2

Opettaja lukee matematiikkatarinan ja oppilaat tuottavat sen pohjalta eri esitysmuotoja:

- visuaalinen (kuvan piirtäminen)

- verbaalinen (kuvan tulkinta ja laskutoimituksen löytäminen verbaalisesti)

- symbolinen (laskutoimitus kirjallisesti kuvasta)

- taktiilinen (tuottavat parin kanssa laskua kuvaavan liikesarjan)

81

Tehtävä 3

Opettaja lukee matematiikkatarinan ja oppilaat tuottavat pareittain sen pohjalta eri

esitysmuotoja:

-symbolinen & verbaalinen (parityöskentelyssä syntyy ohessa verbaalinen muoto)

-visuaalinen (kuvan piirtäminen)

-taktiilinen (tuottavat parin kanssa laskua kuvaavan liikesarjan)

Tehtävä 4

Matematiikkatarinan ja sitä vastaavan symbolisen laskun liittäminen toisiinsa sekä

laskun kirjaaminen vihkoon. Tarinat ja laskut ovat irtolapuilla käytävässä, lapset siis

työskentelevät toiminnallisesti pareittain.

Tauko

Tehtävä 5

Oppikirja, sivu 44 tehtävä 2

Tehtävä 6


Tehtävä 7


82

Toinen opetuskerta

tiistai

14.2.2017

kello 9.00-10.30

Tavoitteet:

- Neljän kertotaulun harjoittelu.

- Kuvan, laskun ja liikkeen tekeminen tarinan pohjalta.

- Toiminnallisen matematiikan harjoittelu.

- Matikkatarinoiden luomisen harjoittelu.

- Yhteistyössä parin kanssa toimimisen harjoittelu.

Tunnin sisältö:

Tehtävä 1

Neljän kertotaulua toiminnallisesti. Lattialla olevaa lukusuoraa hyppien ja kertotaulua

ääneen toistaen

Tehtävä 2

Pareittain työskentelyä, muodostetaan kertolaskuja hyppien ruudukossa, toinen laskee

tulon.

Tehtävä 3

Opettaja lukee matematiikkatarinan ja oppilaat tuottavat sen pohjalta eri esitysmuotoja:

- visuaalinen (havainnollistus linkkikuutioilla)

- verbaalinen (oikean vastauksen läpikäynti)

- symbolinen (laskutoimitus kirjallisesti)

- taktiilisen (tuottavat parin kanssa laskua kuvaavan liikesarjan)

Tehtävä 4

Opettaja jatkaa matematiikkatarinaa ja oppilaat tuottavat sen pohjalta eri

83

esitysmuotoja:





Tehtävä 5

Opettaja jatkaa matematiikkatarinaa ja oppilaat tuottavat sen pohjalta eri

esitysmuotoja:





Tehtävä 6

Oppilaat saavat pareittain pieniä matikkatarinoita, joiden pohjalta he tuottavat eri

esitysmuotoja:



- tekevät tämän niin monelle tarinalle kuin ehtivät

Tauko

Tehtävä 7

Oppilaat saavat pareittain kertolaskuja, joiden pohjalta he tuottavat pieniä

matikkatarinoita.

Tehtävä 8


Tehtävä 9


Tehtävä 10


84

Kolmas opetuskerta

tiistai

21.2.2017

kello 9.00-10.30

Tavoitteet:

- Kolmen ja neljän kertotaulujen kertaaminen.

- Tarinan tuottamisen harjoittelu symbolisesta esitysmuodosta.

- Matematiikan harjoittelu tvt:tä hyödyntäen.

Tunnin sisältö:

Oppilaat tekevät matikkatarinan ja siitä edelleen digitarinan, jossa he yhdistävät kuvaa

tai liikkuvaa kuvaa, tekstiä ja ääntä.

Tehtävä 1

Oppilaat saavat opettajalta symbolisessa esitysmuodossa olevan kertolaskun (kolmen

tai neljän kertotaulu). Pienen tarinan suunnittelu ja kirjoittaminen vihkoon.

Tehtävä 2

Kuvien ottaminen tarinaa varten.

Tehtävä 3

Tarinan äänittäminen.

Tehtävä 4

Digitarinan laatiminen suunnitelmansa pohjalta Adobe Sparks -sovelluksella. Kaikkien

matikkatarinan osien yhdistäminen.

85

Neljäs opetuskerta

keskiviikko

1.3.2017

kello 9.00-10.30

Tavoitteet:

Kolmen ja neljän kertotaulun kertaaminen

Tarinan pohjalta laskun tuottamisen harjoittelu.

Toiminnallisen matematiikan harjoittelu.

Yhteistyössä parin kanssa toiminen.

Tunnin sisältö:

Tehtävä 1

Jäätelökertolaskupeli. Joukkueviestipeli, jossa ”radalle” on laitettu ensimmäiseksi

matikkatarinakortteja, toiseksi laskutoimituskortteja ja viimeiseksi jäätelökulhoja ja

jäätelöpalloja.

Ensimmäinen joukkueen jäsen hakee tarinan, tulee takaisin joukkueen luokse.

a) Joukkue lukee tarinan ja pohtii siitä muodostuvan kertolaskun.

b) Sama henkilö lähtee hakemaan tarinalle vastaavaa laskua.

c) Hän jatkaa rakentamaan tarinaa ja laskua vastaavat jäätelöannokset.

Seuraava joukkueenjäsen lähtee matkaan.

86

Tehtävä 2

Matikkatarinalappu open pöydältä.

a) Etsitään toiselta pöydältä siihen sopiva laskutoimitus.

b) Laskusta piirretään kuva vihkoon.

Tauko

Tehtävä 3

Viime kerralla tuotetut digitarinoiden katsominen. Oppilaiden tulee miettiä videoita

katsoessaan, että mistä kertolaskusta on kyse.

Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen ... · monilukutaidon harjoittamisen kautta...

Documents

Transcript of Matemaattisen ajattelun ja matemaattisten taitojen ... · monilukutaidon harjoittamisen kautta...