Feladatok megoldsokkal a hatodik gyakorlathoz (Riemann integrl defincija)

1. Feladat. Tekintsk az f : [0, 1] R, f(x) = x2 fggvnyt! A [0, 1] intervallumot tegyenl rszre felosztva adjuk meg a felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeget s felsintegrlkzelt sszeget!

megolds:

A feloszts ltal keletkezett osztpontok, illetve rszintervallumok

D = {0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1},

d = {[0; 0.2], [0.2; 0.4], [0.4; 0.6], [0.6; 0.8], [0.8; 1]}.

Az als integrlkzelt sszeg

s(f, d) = 0 0, 2 + 0, 22 0, 2 + 0, 42 0, 2 + 0, 62 0, 2 + 0, 82 0, 2 == 0, 2(0, 04 + 0, 16 + 0, 36 + 0, 64) = 0, 2 1, 2 = 0, 24.

Az fels integrlkzelt sszeg

S(f, d) = 0, 22 0, 2 + 0, 42 0, 2 + 0, 62 0, 2 + 0, 82 0, 2 + 12 0, 2 == 0, 2(0, 04 + 0, 16 + 0, 36 + 0, 64 + 1) = 0, 2 2, 2 = 0, 44.

2. Feladat. Szmoljuk ki az f(x) = x2 fggvny x-tengellyel bezrt terlett a [0, 1] interval-lumon!

megolds:1

2A keresett terlet a fggvny Riemann integrljnak rtke az adott intervallumon. A [0, 1]intervallumot n egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok halmaza

D ={0,

1

n,2

n, . . . ,

n 1n

, 1

},

tovbb az osztpontok ltal keletkezett rszintervallumok

d =

{[0,

1

n

],

[1

n,2

n

], . . . ,

[n 1n

, 1

]}.

A felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg

s(f, d) =1

n

(02 +

(1

n

)2+ . . .+

((n 1)

n

)2).

Felhasznljuk, hogy az els n termszetes szm ngyzetnnek sszege

12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6,

azt kapjuk, hogy

s(f, d) =1

n3(02 + 12 + . . .+ (n 1)2) = 1

n3

((n 1)n(2n 1)

6

).

Ebbl az als integrl1

0

x2 dx = limn

s(f, d) =1

3.

A felosztshoz tartoz fels integrlkzelt sszeg

S(f, d) =1

n

((1

n

)2+

(2

n

)2. . .+

(n 1n

)2+(nn

)2).

Felhasznljuk, hogy az els n termszetes szm ngyzetnnek sszege

12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6,

azt kapjuk, hogy

S(f, d) =1

n3(12 + 22 . . .+ (n 1)2 + n2) = 1

n3

(n(n+ 1)(2n+ 1)

6

).

Ebbl a fels integrl10

x2 dx = limn

S(f, d) =1

3.

Mivel az als s fels integrl rtke megegyezik, ezrt a fggvny Riemann integrlhat, saz integrl rtke 1

3.

33. Feladat. Egy egyenes plyn mozg test gyorsuls-id fggvnye

a :[0,

pi

2

] R, a(t) = sin 2t.

A[0, pi

2

]intervallumot 4 egyenl rszre osztva, hatrozzuk meg kzeltleg a sebessg megvl-

tozst! Adjunk als, illetve fels becslst is!

megolds:

A sebessg megvltozst a gyorsuls fggvny integrlja adja. Ennek kzelt rtkt azals s fels integrlkzelt sszeg kiszmolsval hatrozzuk meg. A

[0, pi

2

]intervallumot 4

egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok

D ={0,

pi

8,pi

4,3pi

8,pi

2

},

az osztpontok ltal keletkezett rszintervallumok

d =

{[0,

pi

8

],[pi8,pi

4

],

[pi

4,3pi

8

],

[3pi

8,pi

2

]}.

Az ezen felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg

s(f, d) =pi

8

(sin 0 + sin

pi

4+ sin

3pi

4+ sin pi

)=

pi

8

(2

2+

2

2

)=

pi

82 0, 5553.

A felosztshoz tartoz fels integrlkzelt sszeg

S(f, d) =pi

8

(sin

pi

4+ sin

pi

2+ sin

pi

2+ sin

3pi

4

)=

pi

8

(2

2+ 1 + 1 +

2

2

)=

=pi

8 (2 +

2) 1, 3408.

44. Feladat. Tekintsk az f : [2, 2] R, f(x) = 4 x2 fggvnyt! A [2, 2] intervallumotnyolc egyenl rszre felosztva adjuk meg a felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszegets fels integrlkzelt sszeget!

megolds:

A [2, 2] intervallumot nyolc egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok halmazaD = {2,1.5,1,0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2} .

A felosztshoz tartoz rszintervallumok halmaza

{[2,1.5], [1.5,1], [1,0.5], [0.5, 0], [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]} .

Ezen felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg

s(f, d) =1

2

(0 +

(4 (1, 5)2)+ (4 (1)2)+ (4 (0, 5)2)+ (4 (0, 5)2)+ (4 12)+

+(4 (1, 5)2)+ 0) = 1

2(1, 75 + 3 + 3, 75 + 3, 75 + 3 + 1, 75) =

17

2= 8, 5.

A felosztshoz tartoz fels inegrlkzelt sszeg

S(f, d) =1

2

((4 (1, 5)2)+ (4 (1)2)+ (4 (0, 5)2)+ (4 02)+ (4 02)+

+(4 (0, 5)2)+ (4 12)+ (4 (1, 5)2)) =

=1

2(1, 75 + 3 + 3, 75 + 4 + 4 + 3, 75 + 3 + 1, 75) =

25

2= 12, 5.

5. Feladat.Egy egyenes plyn mozg test sebessg-id fggvnye v : [0, 6] R, v(t) = t2 3t + 5. A[0, 6] intervallumot 6 egyenl rszre osztva, hatrozzuk meg kzeltleg a hely megvltozst!Adjunk als, illetve fels becslst is!

5megolds:

A [0, 6] intervallumot hat egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok halmazaD = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} .

A felosztshoz tartoz rszintervallumok halmazad = {[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]} .

Szmolsaink sorn fel fogjuk hasznlni, hogy a v(t) = t2 3t + 5 fggvny minimum helyet = 1, 5, ami meghatrozhat pldul teljes ngyzett alaktssal:

t2 3t+ 5 = (t 1, 5)2 2, 25 + 5 = (t 1, 5)2 + 2, 75.A d felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg

s(f, d) = 1((12 3 1 + 5) + ((1, 5)2 3 1, 5 + 5) + (22 3 2 + 5) + (32 3 3 + 5) +

+ (42 3 4 + 5) + (52 3 5 + 5)) = 3 + 2, 75 + 3 + 5 + 9 + 15 = 37, 75.A d felosztshoz tartoz fels integrlkzelt sszeg

S(f, d) = 1((02 3 0 + 5) + (12 3 1 + 5) + (32 3 3 + 5) + (42 3 4 + 5) +

+ (52 3 5 + 5) + (62 3 6 + 5)) = 5 + 3 + 5 + 9 + 15 + 23 = 60.