Feladatok megoldsokkal a hatodik gyakorlathoz (Riemann integrl defincija)
1. Feladat. Tekintsk az f : [0, 1] R, f(x) = x2 fggvnyt! A [0, 1] intervallumot tegyenl rszre felosztva adjuk meg a felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeget s felsintegrlkzelt sszeget!
megolds:
A feloszts ltal keletkezett osztpontok, illetve rszintervallumok
D = {0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1},
d = {[0; 0.2], [0.2; 0.4], [0.4; 0.6], [0.6; 0.8], [0.8; 1]}.
Az als integrlkzelt sszeg
s(f, d) = 0 0, 2 + 0, 22 0, 2 + 0, 42 0, 2 + 0, 62 0, 2 + 0, 82 0, 2 == 0, 2(0, 04 + 0, 16 + 0, 36 + 0, 64) = 0, 2 1, 2 = 0, 24.
Az fels integrlkzelt sszeg
S(f, d) = 0, 22 0, 2 + 0, 42 0, 2 + 0, 62 0, 2 + 0, 82 0, 2 + 12 0, 2 == 0, 2(0, 04 + 0, 16 + 0, 36 + 0, 64 + 1) = 0, 2 2, 2 = 0, 44.
2. Feladat. Szmoljuk ki az f(x) = x2 fggvny x-tengellyel bezrt terlett a [0, 1] interval-lumon!
megolds:1
2A keresett terlet a fggvny Riemann integrljnak rtke az adott intervallumon. A [0, 1]intervallumot n egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok halmaza
D ={0,
1
n,2
n, . . . ,
n 1n
, 1
},
tovbb az osztpontok ltal keletkezett rszintervallumok
d =
{[0,
1
n
],
[1
n,2
n
], . . . ,
[n 1n
, 1
]}.
A felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg
s(f, d) =1
n
(02 +
(1
n
)2+ . . .+
((n 1)
n
)2).
Felhasznljuk, hogy az els n termszetes szm ngyzetnnek sszege
12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6,
azt kapjuk, hogy
s(f, d) =1
n3(02 + 12 + . . .+ (n 1)2) = 1
n3
((n 1)n(2n 1)
6
).
Ebbl az als integrl1
0
x2 dx = limn
s(f, d) =1
3.
A felosztshoz tartoz fels integrlkzelt sszeg
S(f, d) =1
n
((1
n
)2+
(2
n
)2. . .+
(n 1n
)2+(nn
)2).
Felhasznljuk, hogy az els n termszetes szm ngyzetnnek sszege
12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6,
azt kapjuk, hogy
S(f, d) =1
n3(12 + 22 . . .+ (n 1)2 + n2) = 1
n3
(n(n+ 1)(2n+ 1)
6
).
Ebbl a fels integrl10
x2 dx = limn
S(f, d) =1
3.
Mivel az als s fels integrl rtke megegyezik, ezrt a fggvny Riemann integrlhat, saz integrl rtke 1
3.
33. Feladat. Egy egyenes plyn mozg test gyorsuls-id fggvnye
a :[0,
pi
2
] R, a(t) = sin 2t.
A[0, pi
2
]intervallumot 4 egyenl rszre osztva, hatrozzuk meg kzeltleg a sebessg megvl-
tozst! Adjunk als, illetve fels becslst is!
megolds:
A sebessg megvltozst a gyorsuls fggvny integrlja adja. Ennek kzelt rtkt azals s fels integrlkzelt sszeg kiszmolsval hatrozzuk meg. A
[0, pi
2
]intervallumot 4
egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok
D ={0,
pi
8,pi
4,3pi
8,pi
2
},
az osztpontok ltal keletkezett rszintervallumok
d =
{[0,
pi
8
],[pi8,pi
4
],
[pi
4,3pi
8
],
[3pi
8,pi
2
]}.
Az ezen felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg
s(f, d) =pi
8
(sin 0 + sin
pi
4+ sin
3pi
4+ sin pi
)=
pi
8
(2
2+
2
2
)=
pi
82 0, 5553.
A felosztshoz tartoz fels integrlkzelt sszeg
S(f, d) =pi
8
(sin
pi
4+ sin
pi
2+ sin
pi
2+ sin
3pi
4
)=
pi
8
(2
2+ 1 + 1 +
2
2
)=
=pi
8 (2 +
2) 1, 3408.
44. Feladat. Tekintsk az f : [2, 2] R, f(x) = 4 x2 fggvnyt! A [2, 2] intervallumotnyolc egyenl rszre felosztva adjuk meg a felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszegets fels integrlkzelt sszeget!
megolds:
A [2, 2] intervallumot nyolc egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok halmazaD = {2,1.5,1,0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2} .
A felosztshoz tartoz rszintervallumok halmaza
{[2,1.5], [1.5,1], [1,0.5], [0.5, 0], [0, 0.5], [0.5, 1], [1, 1.5], [1.5, 2]} .
Ezen felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg
s(f, d) =1
2
(0 +
(4 (1, 5)2)+ (4 (1)2)+ (4 (0, 5)2)+ (4 (0, 5)2)+ (4 12)+
+(4 (1, 5)2)+ 0) = 1
2(1, 75 + 3 + 3, 75 + 3, 75 + 3 + 1, 75) =
17
2= 8, 5.
A felosztshoz tartoz fels inegrlkzelt sszeg
S(f, d) =1
2
((4 (1, 5)2)+ (4 (1)2)+ (4 (0, 5)2)+ (4 02)+ (4 02)+
+(4 (0, 5)2)+ (4 12)+ (4 (1, 5)2)) =
=1
2(1, 75 + 3 + 3, 75 + 4 + 4 + 3, 75 + 3 + 1, 75) =
25
2= 12, 5.
5. Feladat.Egy egyenes plyn mozg test sebessg-id fggvnye v : [0, 6] R, v(t) = t2 3t + 5. A[0, 6] intervallumot 6 egyenl rszre osztva, hatrozzuk meg kzeltleg a hely megvltozst!Adjunk als, illetve fels becslst is!
5megolds:
A [0, 6] intervallumot hat egyenl rszre osztva a keletkez osztpontok halmazaD = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} .
A felosztshoz tartoz rszintervallumok halmazad = {[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]} .
Szmolsaink sorn fel fogjuk hasznlni, hogy a v(t) = t2 3t + 5 fggvny minimum helyet = 1, 5, ami meghatrozhat pldul teljes ngyzett alaktssal:
t2 3t+ 5 = (t 1, 5)2 2, 25 + 5 = (t 1, 5)2 + 2, 75.A d felosztshoz tartoz als integrlkzelt sszeg
s(f, d) = 1((12 3 1 + 5) + ((1, 5)2 3 1, 5 + 5) + (22 3 2 + 5) + (32 3 3 + 5) +
+ (42 3 4 + 5) + (52 3 5 + 5)) = 3 + 2, 75 + 3 + 5 + 9 + 15 = 37, 75.A d felosztshoz tartoz fels integrlkzelt sszeg
S(f, d) = 1((02 3 0 + 5) + (12 3 1 + 5) + (32 3 3 + 5) + (42 3 4 + 5) +
+ (52 3 5 + 5) + (62 3 6 + 5)) = 5 + 3 + 5 + 9 + 15 + 23 = 60.
Top Related