mat281ders10_d.pptx

7/30/2019 mat281ders10_d.pptx

1/18

Ortogonal bazlar, ortogonal matrisler ve Gram-Schmidt yntemi ile ortogonaletirme

kqqq ,...,, 21 vektrleri aadaki zelii salyorsaortonormaldir:

ji

jiqq jTi10

ortogonallik

normalizasyon

standart baz

1

0,

0

1:2R

1

.

.

.

0

0

....,

0

.

.

.

1

0

,

0

.

.

.

0

1

:n

R

Hatrlatma


2/18

*Ortogonal martis, stunlar ortonormal vektrlerdenoluan kare matristir

*Qnun stunlar ortonormal vektrlerden olumu ise:

1...00

..

..

..

0...10

0...01

...

.

.

.21

2

1

n

T

n

T

T

T qqq

q

q

q

QQ

IQQT 1QQT

Neden ortogonalmatris denmedi?

Q dikdrtgen matris olsa bile QTQ=Iancak QTsadece sol

ters

Hatrlatma


3/18

Varlk ve teklik teoremi

Varlk: Ax=bnin her b iin en az bir zmxvardr

Ann stunlarRm

i rter

Bu durumda r=mdir ve veAC=ImxmsalayanAnn nxmboyutlu sa tersi vardr.

Bu durum mn ise mmkndr.

Hatrlatma


4/18

Teklik:Ax=bnin her b iin en ok bir zmxvardr

Ann stunlar lineer bamsz

Bu durumda r=ndir ve veBA=InxnsalayanAnn nxmboyutlu sol tersi vardr.

Bu durum mn ise mmkndr.

Hatrlatma


5/18

Sa ve sol tersleri bulmann yolu

TT AAAB 1

Hatrlatma

Sol ters

Sa ters1)(

TT AAAC


6/18

ki rnek

cossin

sincosQ

Ortogonal mi?

Baka ortogonal matris hatrlyor musunuz?

001

100

010

P


7/18

Ortogonal matris ile arpma vektrn boyunu korur

Nasl anlarz?xxQx

Ayn zamanda iki vektrn i arpmve

aralarndaki ay da korur

QyQx T QyQx TT

yxT


8/18

Ortonormal bazn bize salad bir kolaylk..

nqqq ,....,, 21 Vvektr uzaynn ortonormal qivektrlerinden olumu bir baz olsun. Vv ise

nnqqqv ...2211 eklinde yazlr

i leribiliyorsak

nn

qqqv ...2211

Ortonormal baz ite burada kolaylk salayacak

n

T

n

TTT qqqqqqvq 121211 ...11 0 0

Ortonormal baz!!!

vq

T

11

1


9/18

Benzer ekilde..

nnqqqv

...2211

n

T

n

TTT qqqqqqvq 22221212 ... 0 1 0

vqT22

n

T

nn

T

n

T

n

T

n qqqqqqvq ...2211

0 0 1

vqTnn

Tm bu ilemleri matris eklinde yazarsak

.

.

.

vQTbaz vektrleri ortonormal olmasayd

nasl olacakt? vB

Stunlar baz vektrleri

vB1

Kazancmz matris tersi hesaplamak

yerine


10/18

Bir eye daha dikkat

aa

baap T

T

bnin aya izdmp:

Tekrar yazalm : iqq

vqqp

T

T

ii

,

=1

v vektr iin ne diyebiliriz?

n

i

i

T qvqvi

1


11/18

Q mxnboyutunda ise ne olacak.

ArtkQT, Qnun tersi deil ama hala daha QTQ=I

Bunu daha ncegrdk

Sonu: bAxbQx nin zm Q kare ise tam zm,Qdikdrtgen ise en kk kareler zm


12/18

m denklem ve n bilinmeyen ieren, tutarszAx=b denklem

takmnn en kk kareler yaklakl ile elde edilecekzmx*

ATAx*=ATb

Eitliini salar veAnn stunlar lineer bamszsa,ATAtersinirdir ve

x*=(ATA)-1ATb

bnin stun uzayna izdmp dep=Ax*=A(ATA)-1ATb

eitliini salar

Hatrlatma


13/18

Qnun stunlar ortonormal ise en kk kareler problemibasitleiyor..

x*=(ATA)-1 ATbyerinex*=(QTQ)-1QTb

ortonormal Q iin:

Qx=b (dikdrtgen sistemlerde ou b iin zm yoktur)

QTQx*=QTb (en iyix* iin denklem)

x*= QTb (zm)

p=Qx* (bnin stunlara izdm- )nT

n

TT qbqqbqqbq ...2211

P=QQT(izdm matrisi)


14/18

Gram-Schmidt Yntemi

Ortonormal vektrler kolaylk saladna greverilen herhangi bir vektr kmesini ortonormalvektrlere dntrebilir miyiz?

nvvv ,....,, 21 verilmi olsun, nasl nqqq ,....,, 21 lar elde ederiz

zelikleri ne?

Kolay olan q1i bulmak:1

11

v

vq

Dorultusu v1ile ayn,boyu da 1

q2, q1e dik olmal: 1222 1 qvqvvT

Bu neye kardyor?

V2ninq1dorultusunda ki

bileeninePeki, neden

karyoruz

Lineerbamsz


15/18

12 qv Ancak ortonormal vektrler kmesine

katlmas iin boyunun 1 olmas gerek

2

2

2

v

vq

q1,q2varq3 oluturalm: 23213133 qvqqvqvvTT

2313, qvqv

3

3

3

v

vq

Diklik saland birimolma da salanmal


16/18

Benzer ekilde..

112211 ... nn

T

nn

T

n

T

nn qvqqvqqvqvv

n

n

nv

vq

n

T

n

n

TT

n

TTT

nn

vq

vqvq

vqvqvq

qqqvvv

.. .00

..

..

..

.. .0

.. .

..... .

222

12111

2121

Gram-Schmidt bizeA matrisi iin yeni bir ayrtrma veriyor

Eskisineydi?

QRA


17/18

A stunlar lineer bamsz mxnboyutunda bir

matris olsun;

Q stunlar ortonormal bir matrisveRtersinir, st gen olmak zereAnnA=QRayrm vardr. m=nise ve tm matrislerkare ise Qortogonal matristir.

Bu ayrm en kk kareler ynteminde kullanrsak:

(ATA)x*=ATb

(RTQTQR)x*= (RTQT)b

(RTR)x*= (RTQT)b

Rx*= QTb


18/18

Biraz tekrar

10

20

0

20

24

13

bA , Amatrisinin stunlarndan Gram-Schmidt yntemiyle ortonormal birbaz elde ediniz.A=QRayrmn eldeedniz veAx=bnin en kk kareler

zmn belirleyiniz.

5

3

1

1

6

1,

1

1

1

1

2

121

xx x1 vex2 R4de ortonormal bir kme

oluturmaktadr. Bu kmeyi ortonormal

baza tamamlaynz.

mat281ders10_d.pptx

Documents

Transcript of mat281ders10_d.pptx