LU−NV‰NT¨TNGHIłP H•MRIŒNGCÕATO†NTÛSTURM …˚—ih¯cqu¨cgiah•n¸i...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ STURM-LIOUVILLE TRÊNKHOẢNG HỮU HẠN VÀ KHOẢNG VÔ HẠN

Học viên cao học: Nguyễn Viết ĐạiCán bộ hướng dẫn: TS. Đặng Anh Tuấn

Hà Nội : 25/12/2018

Nguyễn Viết Đại (VNU - Hanoi) Hà Nội : 25/12/2018 1 / 30

Tổng quan

Trong luận văn này em đọc hiểu và trình bày chi tiết lại các kết quả vềkhai triển hàm riêng của toán tử Sturm-Liouville cho hai trường hợp làkhoảng hữu hạn và nửa đường thẳng. Cấu trúc luận văn gồm 3 chương

1 chương 1 : các kiến thức chuẩn bị,

2 chương 2 : khai triển hữu hạn,

3 chương 3 : khai triển trên nửa đường thẳng.

Nội dung chính của luận văn là ở chương 2 và chương 3.


Chương 2 : Khai triển hữu hạn

1 Giới thiệu và tính chất

2 Công thức tiệm cận

3 Khai triển và đẳng thức Parseval

4 Hàm Green, thặng dư và sự hội tụ

5 So sánh sự hội tụ


2.1 Giới thiệu và tính chất

Toán tử Sturm-Liouville L =−d2

dx2 + q(x), trong đó q(x) ∈ C([0, π], R).

L : D(L) ⊂ C[0, π]→ C[0, π]

y(x) 7→ −y′′(x) + q(x)y(x).

D(L) = {y(x) ∈ C2[0, π] : BC0(y) = BCπ(y) = 0},BC0(y) = y(0)cos(α) + y

′(0)sin(α) = 0,

BCπ(y) = y(π)cos(β) + y′(π)sin(β) = 0, (α, β ∈ R).

Định lý 2.1.1

L là toán tử đối xứng , tức là D(L) trù mật trong C[0, π] và với mọi

f , g ∈ D(L) ta có∫ π

0(L f )(x)g∗(x)dx =

∫ π

0f (x)(Lg)∗(x)dx.


2.2 Công thức tiệm cận

Đặt cot(α) = −h, cot(β) = H. Nếu h, H 6= ∞ thì σp(L) gồm :

λ0 < λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · .

• q ∈ C[0, π] :√

λn = n + O(1/n).• q ∈ C1[0, π] :

√λn = n + c/πn + O(1/n2), trong đó

c = h + H + h1 với h1 = 12

∫ π

0q(t)dt.

Hàm riêng được chuẩn hóa

vn(x) =

√2π

{cos(nx) +

β(x)sin(nx)n

}+ O

(1n2

),

trong đó β(x) = −cx + h +12

∫ x

0q(τ)dτ.

• Hàm riêng vn(x) có đúng n không điểm trong khoảng (0, π).Nguyễn Viết Đại (VNU - Hanoi) Hà Nội : 25/12/2018 5 / 30

2.3 Khai triển và đẳng thức Parseval

Định lý 2.5.2 (định lý khai triển)

Cho f ∈ D(L). Khi đó với x ∈ [0, π] ta có

f (x) =∞

∑k=0

( f , vk)vk(x)

ở đó chuỗi hàm là hội tụ đều trên [0, π].

Hệ quả 2.5.3 ( đẳng thức Parseval)

Nếu f ∈ D(L) thì

|| f ||22 =∞

∑k=0|( f , vk)|2.


2.3 Khai triển và đẳng thức Parseval

Định lý 2.5.4

Nếu f ∈ L2(0, π) thì limn→∞ || f −∑nk=0( f , vk)vk||2 = 0. Hơn nữa, ta có

đẳng thức Parseval : || f ||22 = ∑∞k=0 |( f , vk)|2

Định lý 2.5.5

Nếu với một hàm liên tục f (x) mà chuỗi hàm ∑∞k=0( f , vk)vk(x) hội tụ

đều trên [0, π] thì chuỗi này sẽ biểu diễn hàm f (x) :

f (x) =∞

∑k=0

( f , vk)vk(x).


2.4 Hàm Green, thặng dư và sự hội tụ

Cho ϕ(x, λ) và ψ(x, λ) là các nghiệm của y′′+ {λ− q(x)}y = 0 lần lượt

thỏa mãn các điều kiện ban đầu

ϕ(0, λ) = sin(α), ϕ′(0, λ) = − cos(α),

ψ(π, λ) = sin(β), ψ′(π, λ) = − cos(β).

Nếu λ /∈ σp(L) thì W(λ) = W{ϕ, ψ}(λ) 6= 0. Hàm Green được xây dựnglà

G(x, t, λ) =

1

W(λ)ϕ(x, λ)ψ(t, λ) nếu x ≤ t

1W(λ)

ϕ(t, λ)ψ(x, λ) nếu x ≥ t.



Định lý 2.6.1 ( khai triển hàm Green)

Với λ /∈ σp(L) thì

G(x, t, λ) =∞

∑k=0

Res(G(x, t, ζ)

λ− ζ, ζ = λn) =

∞

∑k=0

1αn

ϕ(x, λn)ϕ(t, λn)

λ− λn,

chuỗi trên hội tụ đều với x, t ∈ [0, π], αn = ||ϕ(x, λn)||22.



Xét bài toán

(λ− L)y = y′′+ (λ− q(x))y = 0

y′(0)− hy(0) = 0

y′(π)− Hy(π) = 0.

giả sử h, H 6= ∞.

Định lý 2.6.3

Cho f ∈ BV[0, π], ta có

∞

∑n=0

( f , vn)vn(x) =f (x− 0) + f (x + 0)

2với 0 < x < π.


2.5 So sánh sự hội tụ

Giả sử h, H 6= ∞ và q(x) ∈ C1[0, π]. Cho f ∈ L1[0, π]. Ta đặt

σn, f (x) =π∫

0

f (t)

{1π+

2π

n

∑k=1

cos kx cos kt

}dt,

sn, f (x) =π∫

0

f (t)n

∑k=0

vk(x)vk(t)dt.

Định lý 2.7.1

Với bất kỳ hàm f (x) ∈ L1[0, π] ta có

sn, f (x)− σn, f (x)→ 0, khi n→ ∞

đều theo x ∈ [0, π].


Chương 3 : Khai triển trên nửa đường thẳng

1 Đẳng thức Parseval với nửa đường thẳng

2 Giới hạn điểm, giới hạn tròn

3 Biểu diễn tích phân của giải thức

4 Tính trực giao của khai triển hàm riêng


3.1 Đẳng thức Parseval với nửa đường thẳng

Ta xéty′′+ {λ− q(x)}y = 0 (0 ≤ x < ∞). (0.1)

Với α ∈ R, ϕ(x, λ) là nghiệm của (0.1) thỏa mãn

ϕ(0, λ) = sin(α), ϕ′(0, λ) = − cos(α). (0.2)

Khi đóϕ(0, λ) cos(α) + ϕ

′(0, λ) sin(α) = 0. (0.3)

Xét bài toán Sturm-Liouville chính quy bao gồm phương trình (0.1), điềukiện biên (0.3) và điều kiện biên bổ sung

ϕ(b, λ) cos(β) + ϕ′(b, λ) sin(β) = 0. (0.4)


Ta gọi ϕn,b(x) = ϕ(x, λn,b) là hàm riêng ứng với giá trị riêng λn,b và thỏa

mãn điều kiện ban đầu (0.2). Với f (x) ∈ L2(0, b) và α2n,b =

∫ b

0ϕ2

n,b(x)dx,

từ đẳng thức Parseval ta được :

b∫0

f 2(x)dx =∞

∑n=1

1α2

n,b

b∫0

f (x)ϕn,b(x)dx

2

. (0.5)

Đặt ρb(λ) =

−∑λ<λn,b≤0

1α2

n,b(nếu λ ≤ 0),

∑0<λn,b≤λ1

α2n,b

(nếu λ > 0),

thì (0.5) có thể viết lại dưới dạng một tích phân Stieltjes như sau

b∫0

f 2(x)dx =

∞∫−∞

F2(λ)dρb(λ), với F(λ) =b∫

0

f (x)ϕ(x, λ)dx. (0.6)


3.1 Đẳng thức Parseval

Định lý 3.1.1

Cho f ∈ L2(0, ∞). Tồn tại hàm không giảm ρ(λ) ( không phụ thuộc vàof ) và F(λ) ∈ L2

ρ(λ)(R) sao cho

limn→∞

+∞∫−∞

(F(λ)− Fn(λ))2 dρ(λ) = 0,

∞∫0

f 2(x)dx =

+∞∫−∞

F2(λ)dρ(λ),

trong đó Fn(λ) =∫ n

0f (x)ϕ(x, λ)dx.


Ví dụ 3.1.2

Lấy q = 0, α = π ta có y′′+ λy = 0, y(0, λ) = 0, y(b, λ) = 0.

Khi đó λn,b =(nπ

b

)2, ϕn,b(x) =

bnπ

sin(nπx

b). Hàm phổ

ρb(λ) =

0 , nếu λ <

(π

b

)2,

π2

3b3 n(n + 1)(2n + 1) , nếu(nπ

b

)2≤ λ <

((n + 1)π

b

)2

.

ρ(λ) =

0 , nếu λ < 0,2

3πλ3/2 , nếu λ ≥ 0.

∞∫0

f 2(x)dx =1π

∞∫0

F2(λ)√

λdλ, F(λ) = l.i.mn∫

0

f (x) sin(√

λx)/√

λdλ.


Định lý 3.1.3 (định lý khai triển)

Cho f (x) ∈ C[0, ∞) ∩L2(0, ∞), và giả sử

∞∫−∞

F(λ)ϕ(x, λ)dρ(λ)

hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều theo x trên mọi khoảng hữu hạn. Khi đó

f (x) =∞∫−∞

F(λ)ϕ(x, λ)dρ(λ). (0.7)


3.2 Giới hạn điểm, giới hạn tròn

Xéty′′+ (λ− q(x))y = 0 (0.8)

với q(x) ∈ C([0, ∞), R).Lấy ϕ(x, λ) và θ(x, λ) là các nghiệm của (0.8) thỏa mãn

ϕ(0) = sin(α), ϕ′(0) = − cos(α) (0.9)

θ(0) = cos(α), θ′(0) = sin(α). (0.10)

Do Wx{ϕ, θ} = W0{ϕ, θ} = cos2(α) + sin2(α) = 1 nên nghiệm tổngquát của (0.8) có dạng θ + lϕ. Tại b nghiệm thỏa mãn thêm

{θ(b) + lϕ(b)} cos(β) + {θ ′(b) + lϕ′(b)} sin(β) = 0, β ∈ R. (0.11)


3.2 Giới hạn điểm, giới hạn tròn

Khi đó

l =θ(b) cot(β) + θ

′(b)

ϕ(b) cot(β) + ϕ′(b), (0.12)

Đặt cot(β) = z ta có

l = l(λ, z, b) = − θ(b, λ)z + θ′(b, λ)

ϕ(b, λ)z + ϕ′(b, λ). (0.13)

Khi z chạy từ −∞ đến +∞ thì l chạy trên đường tròn Cb trong mặt

phẳng phức. Tâm của Cb là − Wb{θ, ϕ}Wb{ϕ, ϕ}| và bán kính

rb =∣∣∣ θ′(b)

ϕ′(b)− Wb{θ, ϕ}

Wb{ϕ, ϕ}

∣∣∣ = ∣∣∣Wb{θ, ϕ}Wb{ϕ, ϕ}

∣∣∣ =2v

b∫0

|ϕ(x)|2dx

−1

.

(0.14)Nguyễn Viết Đại (VNU - Hanoi) Hà Nội : 25/12/2018 19 / 30

Nếu v = =(λ) 6= 0 thì l nằm bên trong Cb khi và chỉ khi

b∫0

|θ + lϕ|2dx < −=(l)v

. (0.15)

Từ (0.15) với 0 < b′< b thì Cb nằm trong Cb′ . Cho b→ +∞ thì Cb hoặc

hội tụ đến một điểm giới hạn, hoặc hội tụ đến một đường tròn giới hạn.Cho m = m(λ) là điểm giới hạn hoặc một điểm trên đường tròn giới hạn.

Ta thu được∫ ∞

0|θ(x) + m(λ)ϕ(x)|2dx ≤ −=(m)

v.

Định lý 3.2.1

Nếu =(λ) 6= 0 thì phương trình Ly = λy có một nghiệm

ψ(x, λ) = θ(x, λ) + m(λ)ϕ(x, λ) ∈ L2(0,+∞).


Nếu giới hạn tròn xảy ra thì mọi nghiệm của Ly = λy đều thuộc L2(0, ∞).Nếu giới hạn điểm xảy ra thì rb tiến tới 0, do đó ϕ /∈ L2(0,+∞).

Định lý 3.2.2

Nếu với một số phức λ nào đó mọi nghiệm của phương trình (0.8) thuộcvào L2(0, ∞) thì với bất kì số phức λ mọi nghiệm của (0.8) thuộc vàoL2(0, ∞). Nói cách khác, nếu với một λ0 không thực nào đó trường hợpgiới hạn tròn xảy ra thì giới hạn tròn cũng xảy ra với λ không thực bất kỳ.

Định lý 3.2.3

Nếu q(x) ≥ −kx2 với k là một hằng số dương nào đó thì trường hợp giớihạn điểm xảy ra với L.


Ví dụ 3.2.4

Xét Ly = −y′′(0 ≤ x < ∞) có

ϕ(x, λ) = sin(α) cos(√

λx)− λ−1/2 cos(α) sin(√

λx),θ(x, λ) = cos(α) cos(

√λx) + λ−1/2 sin(α) sin(

√λx).

Với v = Im(λ) > 0 thì ei√

λx ∈ L2(0, ∞) còn e−i√

λx /∈ L2(0, ∞).

Khi đó c.ei√

λx = θ(x, λ) + m(λ)ϕ(x, λ).Như vậy hàm Weyl-Titchmarsh

m(λ) =sin(α)− i

√λ cos(α)

cos(α) + i√

λ sin(α).


3.3 Biểu diễn tích phân của giải thức

Với z không thực, với ϕ, ψ như trong mục 3.2, khi đó hàm Green cho bởi

G(x, t; z) =

{ψ(x, z)ϕ(t, z), t ≤ x,ϕ(x, z)ψ(t, z), t > x.

Với f ∈ C[0,+∞) ∩L2(0,+∞), giải thức cho bởi

Φ(x, z) := (Rz f )(x) =+∞∫0

G(x, t, z) f (t)dt

= ψ(x, z)x∫

0

ϕ(t, λ) f (t)dt + ϕ(x, z)+∞∫x

ψ(t, z) f (t)dt.

Dễ thấy Φxx(x, z) + {z− q(x)}Φ(x, z) = f (x) và

Φ(0, z) cos(α) + Φ′(0, z) sin(α) = 0.


3.3 Biểu diễn tích phân của giải thức

Bổ đề 3.3.2

Cho f ∈ L2(0,+∞) và v = =(z) 6= 0. Khi đó∫ +∞

0|(Rz f )(x)|2dx ≤ 1

v2

∫ +∞

0f 2(x)dx.

Định lý 3.3.3 (biểu diễn tích phân của giải thức)

Với mọi f (x) ∈ L2(0, ∞) và với mọi z không thực ta có đẳng thức

(Rz f )(x) =∞∫−∞

ϕ(x, λ)F(λ)z− λ

dρ(λ), (0.16)

ở đó F(λ) = l.i.m.n→∞

∫ n

0f (x)ϕ(x, λ)dx.


3.4 Tính trực giao của khai triển

Cho ϕ(x, λ) và ρ(λ) như trong mục trước. Ta đặt

E∆(x, t) =∫ λ+∆

λϕ(x, µ)ϕ(t, µ)dρ(µ).

Bổ đề 3.4.1

Cho ∆ = (λ, λ + ∆) là một khoảng hữu hạn với hai đầu mút là các điểmliên tục của hàm ρ(λ). Với mỗi x cố định hàm E∆(x, t), xem như hàmtheo t, thuộc vào L2(0, ∞).

Bổ đề 3.4.2

Cho f (x) ∈ L2(0, ∞) và (E∆ f )(x) =∫ ∞

0E∆(x, t) f (t)dt. Khi đó∫ ∞

0(E∆ f )2(x)dx ≤

∫ ∞

0f 2(x)dx.


3.4 Tính trực giao của khai triển

Bổ đề 3.4.3

Cho f (x) ∈ L2(0, ∞) và F(λ) = l.i.m.n→∞

∫ n

0f (x)ϕ(x, λ)dx. Khi đó

(E∆ f )(x) =∫∆

F(λ)ϕ(x, λ)dρ(λ). (0.17)

Bổ đề 3.4.4

Cho E∆(x) =∫

∆ϕ(x, λ)dρ(λ) và f (x) ∈ L2(0, ∞). Khi đó

F(λ) = lim∆→01

ρ(∆)

∞∫0

f (x)E∆(x)dx, với ρ(∆) = ρ(λ + ∆)− ρ(λ).


Định lý 3.4.1

Cho f ∈ L2(0, ∞), ∆ = (λ, λ + ∆), trong đó λ, λ + ∆ là các điểm liên tụccủa ρ(λ). Với mọi z không thực ta có

(RzE∆ f ) (x) =∞∫

0

G(x, t, z)

∞∫

0

E∆(t, u) f (u)du

dt

=∫∆

ϕ(x, λ)

z− λF(λ)dρ(λ),

(0.18)

trong đó F(λ) là biến đổi Fourier tổng quát của f (x).

Nếu f , g ∈ L2(0,+∞) thì∫ +∞

0RzE∆ f dx =

∫∆

F(λ)G(λ)

z− λdρ(λ).


Mệnh đề 3.4.1

Cho f , g ∈ L2(0, ∞). Khi đó

(i) tự liên hợp : (E∆ f , g) = ( f , E∆g),(ii) đơn điệu : nếu ∆

′ ⊂ ∆ thì (E∆′ f , f ) ≤ (E∆ f , f ),

(iii) đầy đủ : (E(−∞,+∞) f , g) = ( f , g) =∫ ∞

0f (x)g(x)dx,

(iv) trực giao : E∆E∆′ = E∆·∆′

trong đó ∆ · ∆′ là giao của ∆′với ∆.

Bổ đề 3.4.5

Cho E∆(x) =∫

∆ϕ(x, λ)dρ(λ) và F∆(λ) là biến đổi Fourier của E∆(x).

Khi đó với hầu khắp nơi λ (theo độ đo ρ(λ)) ta có : F∆(λ) = 1 nếuλ ∈ ∆ và F∆(λ) = 0 nếu λ /∈ ∆.


Bổ đề 3.4.6

Với mỗi x cố định, mỗi z không thực biến đổi Fourier của hàm Green

G(x, t, z) chính làϕ(x, λ)

z− λ.

Định lý 3.4.2

Cho ρ(λ) xây dựng như trong định lý 3.1.1. Khi đó với bất kỳ hàmF(λ) ∈ L2

ρ(λ)(−∞,+∞) tồn tại một hàm f (x) ∈ L2(0, ∞) sao cho

f (x) = l.i.mN→∞

N∫−N

F(λ)ϕ(x, λ)dρ(λ)

và thỏa mãn đẳng thức Parseval :∫ +∞

−∞F2(λ)dρ(λ) =

∫ ∞

0f 2(x)dx.


Em xin chân thành cảm ơncác thầy cô và các bạn đã

quan tâm theo dõi !


Apostol T.M. (1974), Mathematical analysis, 2nd, Pearson.

Al-Gwaiz M.A. (2008), Sturm-Liouville and its applications, Springer.

Brown J.W. and Churchill R.V. (2013), Complex variables andapplications, 9th, McGraw-Hill.

Coddington E.A. and Levinson N. (1955), Theory of ordinarydifferential equations, McGraw-Hill.

Courant R. and Hilbert D. (1989), Methods of mathematical physics,vol I, Wiley-VCH.

EidelmanY., Milman V. and Tsolomitis A. (2004), Functional analysisan introduction, AMS.

Freiling G. and Yurko V. (2001), Inverse Sturm-Liouville problems andtheir applications, Nova Science .


Folland G.B. (1992), Fourier analysis and its applications, WadsworthBrooks/ cole .

Levitan B.M. and Sargsjan I.S. (1975), Introduction to spectraltheory : selfadjoint ordinary differential operators, AMS.

Levitan B.M. and Sargsjan I.S. (1991), Sturm-Liouville and Diracoperators, Springer.

Lebovitz N. (2019), Ordinary differential equations, Cengage Learning.

Stein E. and Shakarchi R. (2005), Real analysis, Princeton universitypress.

Teschl G. (2012), Ordinary differential equations and Dynamicalsystems, AMS.

Teschl G. (2014), Mathematical methods in quantum mechanics withapplications to Schrodinger operators, 2nd, AMS.


Titchmarsh E.C. (1950), Eigenfunction expansions associated withsecond-order differential equations part I, Clarendon Oxford.


LU−NV‰NT¨TNGHIłP H•MRIŒNGCÕATO†NTÛSTURM …˚—ih¯cqu¨cgiah•n¸i...

Documents

Transcript of LU−NV‰NT¨TNGHIłP H•MRIŒNGCÕATO†NTÛSTURM …˚—ih¯cqu¨cgiah•n¸i...