Logika & razvedrilna matematika 1 · PDF fileLogika & razvedrilna matematika 1...
Transcript of Logika & razvedrilna matematika 1 · PDF fileLogika & razvedrilna matematika 1...
Logika & razvedrilna matematika 1
Spoštovani,
Pred vami je druga številka 27. letnika revije Logika in razvedrilna matematika. Bolj kot na
vsebino te številke, ki se ne razlikuje veliko od vsebin številk zadnjih nekaj let, bi vas radi opozorili
na starejše številke revije, ki so zdaj dostopne na spletu, bodisi v celoti, bodisi le delno. Tule je
seznam teh številk:
letnik dostopne številke
2. 4, 5, 6
3. 1, 2, 4, 6
4. 1, 2, 3, 4, 5, 6
5. 1, 3, 5, 6
6. 1, 2, 4
7. 1
16.-26. 1, 2, 3, 4
Do teh številk pridete prek povezave: http://www.logika.si/revija/vsebine.htm
Naloge, ki jih najdete tu, bodo lahko služile za pripravo na tekmovanje iz logike
(https://www.zotks.si/ ), iz razvedrilne matematike (https://www.dmfa.si/ ), na tekmovanje
Matemček in na tekmovanje za priznanje logične pošasti (http://www.mathema.si/ ).
Še bolj so te naloge koristne za vsakdanje urjenje možganov, ki tako kot telo potrebujejo nekaj
vsakdanje telovadbe, potrebujejo kakšno logično nalogo za jutranji zagon naših misli.
Na spletni strani logika.si boste našli še vrsto člankov iz preteklih številk revije, ki dajejo nekaj
teoretičnih izhodišč in definicij, povezanih z logiko, ter več zbirk tipičnih logičnih nalog. Ustrezna
povezava je: http://www.logika.si/sklop_logika/index.html
Gradiva v zvezi s poliedri boste našli na naslovu: http://www.logika.si/poliedriCDsl/index.html
Logika & razvedrilna matematika 2
Barvni sudoku
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.
1.
5
1
2 4
2
1 3
53 1
2
2
4 1
3 3
2
4
1
2
4
3 2
4
5
1
3
2
3
4
2
4
1
2
2 1
4
1
3
4 5
Logika & razvedrilna matematika 3
2.
1
4 3
3
5
4
2
5
3 2
2
4
4
1
2
2
1
2
3
4
2
1
45
3
2
6
1
4
6
2
1
3
1
4 3
11
4
6
5
1
5
2
3
2
4
4
3
5
2
1
3
4
2
3
3
1
1
2
4
1
5
2
5
3
5
1
6
4
Logika & razvedrilna matematika 4
Latinski kvadrati
V n n kvadratkov moraš vpisati začetne številke 1, 2, 3, … tako, da bo v vsaki vrstici, v
vsakem stolpcu nastopalo vseh n številk.
43 1
5 453 4
4 3
4
1
3 52 4
4 12
5
2
4 2
4
3
11
2 4 34 2
2
1 5
2 45 1
4
4 32 1
2 54
1
4 1
3
2
1
3
3 1
2
2
1 4
2 3
3
15 21 2
5 35
2 4
3
2 3
Logika & razvedrilna matematika 5
Sudoku s črkami
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,
v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.
A
D
B
B
C
E
D
C
E
E
E
D
D
B
B
A
E
A
C
C
B
C
A
A
D
5
1
2 3E
B
A
C
D
E
C
C
E
C
D
A
B
B
C
E
D
E
B
A
B
D
A
A
D
5 3 4 2C
A
D
C
C
A
E
E
B
B
C
A
E
C
B
E
D
D
B
D
E
B
D
A
A
5
3
2
4
E
E
D
B
D
E
B
B
B
D
E
E
A
B
A
C
C
C
A
A
A
C
C
D
D
3
4
2
1
E
A
D
B
D
C
A
B
B
C
A
D
E
E
D
C
A
B
E
A
D
C
C
E
B
5
4 2
1
A
D
A
B
D
C
C
C
E
B
E
C
E
D
C
B
E
D
A
A
B
D
A
E
B
3 1
2
4
B
D
E
C
E
D
C
B
D
D
A
A
C
E
C
C
A
B
E
E
B
A
B
D
A3
1 5 2C
C
A
D
D
E
C
E
B
C
D
C
D
E
D
B
B
B
B
E
A
E
A
A
A
4
3 2
5B
D
D
B
A
E
A
A
C
D
E
C
E
E
B
D
A
A
D
B
E
C
B
C
C
2
3
4 1
E
D
C
D
B
D
B
E
B
E
B
A
A
C
D
B
A
E
D
A
E
A
C
C
C
3
1
4
5A
C
A
B
D
E
D
A
C
D
B
C
A
E
A
E
E
B
C
B
D
B
C
E
D
5
3
4
2C
A
E
D
A
C
B
A
C
D
D
E
C
E
D
C
E
A
E
A
D
B
B
B
B
4
3
1 5
Logika & razvedrilna matematika 6
Futoshiki
V n n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici
in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.
Logika & razvedrilna matematika 7
Lastnosti lika Ugotoviti moramo lastnosti lika. Lik ima obliko (trikotnik, kvadrat, petkotnik), velikost (majhen,
srednji, velik), barvo (rumen, oranžen, moder) in debelino (tanek, debel). Lahko si izberemo tudi le
nekaj prvih lastnosti. Dano je nekaj stavkov v simbolni obliki in njihova resničnostna vrednost (R
za resničen in N za neresničen). Stavki so lahko enostavni, na primer, “Rumen” pomeni, da je lik
rumen, ali sestavljeni, na primer, “Velik Moder” pomeni, da je lik velik in moder; “Petkotnik
Tanek”, pomeni, da je lik petkotnik ali tanek;
“Debel Oranžen” pomeni, da je lik ali debel ali oranžen; "Tanek Rumen" pomeni: če je lik
tanek, potem je rumen; "Moder Velik" pomeni: lik je moder, če in samo če je velik).
Logika & razvedrilna matematika 8
Določi razpored
A JE DESNO OD
B.
N
A JE SOSEDA OD
C.
N
B JE LEVO OD C. R
A JE SOSEDA OD
B.
N
A JE LEVO OD B. N
B JE DESNO OD D. N
C JE DESNO OD D. R
A JE LEVO OD D. R
A JE DESNO OD B. N
A JE DESNO OD C. N
B JE LEVO OD C. N
A JE DESNO OD D. R
B JE DESNO OD C. R
C JE LEVO OD E. N
D JE LEVO OD E. R
A JE LEVO OD D. R
C JE DESNO OD E. R
B JE LEVO OD C. R
D JE LEVO OD E. R
A JE LEVO OD C. N
D JE SOSEDA OD E. N
B JE SOSEDA OD E. R
D JE DESNO OD E. R
A JE SOSEDA OD B. N
C JE LEVO OD D. N
A JE LEVO OD C. N
B JE DESNO OD D. R
C JE LEVO OD D. N
D JE SOSEDA OD E. N
B JE DESNO OD E. R
B JE DESNO OD D. R
A JE LEVO OD B. N
Logika & razvedrilna matematika 9
Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici
ustrezalo zaporedju števil na desni in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo
zaporedju števil pod njim.
2
1, 1
4
1
1, 1
2
4 1
1
1
1
1
1
2
1
3, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
7
1
16 1
15 1
15 1
5
1
1
1
4
1
1
1
1
9 1
1
1
1
1
1
1
2, 2
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
4
1 5 1 1
1
6 1
2, 3, 2
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 2, 1
1, 1
1, 1
1 4 2 1
1
4 1
2
2 2 1
3, 3
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1
1 5 1
13 1
15 1
5
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
5
9 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1, 1
2
1
1
1
1
1
7 1 1
2, 2
1, 2
1, 1
1, 1
1, 1
4
1
3
4 1
1
1
1
1
1
1
8 1
1
2, 22, 11, 11, 12, 11, 2113
1
1
9 1
1
1
1
1
1
1
4
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
9 1
2, 11, 21, 11, 11, 11, 22, 114
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
Logika & razvedrilna matematika 10
Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v
zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem
kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke
v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
5 16
12
21
17
4
8
9
14 17
16
14
18
11
12 8
6
24
21
8
9
16
6 910
118
69
1011
4
14 2112
12 1017
916
1714 12
1210
14
8 20
13
17
20
12
3 117
1412
713
106
7
16 2016
10 917
1316
1811 9
1414
17
4 96
1516
128
53
12
13 179
14 416
107
1011 18
1013
4
12 207
12 1717
1513
1114 19
1423
8
11 815
1412
1815
1716
10
Logika & razvedrilna matematika 11
Križni produkti
Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk
v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem
kvadratku na zač
števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne.
14 224
14
12
168
16
24 6
24
40
30
54
24
35
45
14
30 21
18
35
42 27 6
162
42
20 140
28
16
160
10
27 28
21
36
Logika & razvedrilna matematika 12
Labirint na kocki Poveži točki na kocki:
Logika & razvedrilna matematika 13
Labirinti na enostavnih poliedrih
Poveži točki na poliedru:
Logika & razvedrilna matematika 14
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi
17
5 11
9 16
12 15
14 7
1 6
10 13
4 2
8 3
Logika & razvedrilna matematika 15
Poveži sličici, ki pripadata isti grupi
a)
b)
Logika & razvedrilna matematika 16
Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu
poliedra?
21
45
??
67
810
3
1211
9
21
4
39
5
7
??11
86
10
122
1
5??
74
86
310
1211
9
2
15
114
7
86
3
10
9??
12
21
46
39
5
117
12
810?? 3
95
1
74
6 12
8102
11??
1??
6
32
48
95
7
5
2
7
83??1
94
6
1
52
3??
48
769
1423
67??
8
5
574
2
86
1
3
??
42
6 7??
5
1
3
8
85??
26
4
7
3
1
9 26
41
79
8
5??3
3
8
1
26
4
79 ??
5
Logika & razvedrilna matematika 17
b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta oglišči pripadali istemu
oglišču poliedra?
14
562
3 78??
31 2
56??
784
1??4
62
3
87
5
3
215
67
84
??
412
3??
85
6 7124 3 7
8
??
65
??1
3
4 652
5
1 36
42
??
136
4 2 ??
5
2 3
4??5
1
24
35
1
??
??
31
2
45
34??
56
12
1??
42 3
65
43
2??
6 5
1
Logika & razvedrilna matematika 18
Labirinti na robovih poliedra
V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo
pot od oranžne do modre točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima debelejša
črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra.
1.
1
23
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2.
1 2 3
45
Logika & razvedrilna matematika 19
Večdelni labirinti na zemljevidu
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 20
Labirinti na zemljevidu
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 21
Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do
dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?
Logika & razvedrilna matematika 22
Kocki določi mrežo
Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.
Logika & razvedrilna matematika 23
Labirint v kvadru
Kvader sestoji iz vodoravnih slojev kockastih oddelkov (zgornji, srednji in spodnji sloj so dani od
leve proti desni). Odebeljene črte preprečujejo prehajanje med sosednjima oddelkoma istega sloja.
Med oddelkom in oddelkom neposredno pod njim lahko prehajamo, če in samo če je prvi pobarvan
belo.
Poišči najkrajšo pot od oddelka z 1 do oddelka z A! Pot označi z zaporednimi naravnimi števili.
Prvi oddelek je že označen z 1, vsak naslednji sosednji oddelek (kocko) pa s številom, večjim za 1.
1
A
1
A
1
A
1
A
Logika & razvedrilna matematika 24
Labirint na Riemannovi ploskvi Imamo več listov, ki jih razlikujemo po zaporedni številki od leve proti desni. Vsak list ima obliko
podkve, sredina pa je razrez. Vsi kvadratki enega lista so povezani, prehod med njimi pa nam
prepreči odebeljena črta. Kako je s prehajanjem z nekega lista na drugega? To so prehodi po
horizontali. Recimo, da smo se znašli na desnem zgornjem kvadratku drugega lista. Oznaka
sosednjega pravokotnika je 4 - to pomeni, da lahko nadaljujemo na levem zgornjem kvadratku
četrtega lista. Tak prehod pa ni možen, če je med kvadratkom in sosednim pravokotnikom
odebeljena črta. Poiskati moramo pot od črne do sive pike.
2 4 1 33 1 4 2
4 3 1 23 4 2 1
4 3 1 23 4 2 1
2 3 13 1 2
3 1 22 3 1
2 3 13 1 2
3 1 4 22 4 1 3
4 3 1 23 4 2 1
3 1 4 22 4 1 3
4 1 2 32 3 4 1
3 4 2 14 3 1 2
4 3 1 23 4 2 1
4 1 2 32 3 4 1
Logika & razvedrilna matematika 25
Pri barvnem labirintu so listi označeni z barvami.
Logika & razvedrilna matematika 26
Labirinti na ploskvah
Podan je labirint na pravokotniku. Moramo poiskati pot od temnejše do svetlejše pike. Prehod med
sosednimi kvadratki je možen, če med njima ni odebeljene črte. Skica na levi pomeni, kako sta
nasprotni stranici pravokotnika povezani (miselno ju moramo zlepiti).
Logika & razvedrilna matematika 27
Labirinti na projekcijah teles
Telo je projicirano v ravnino. Na projekciji je podan labirint, kjer odebeljene črte preprečujejo
prehod iz projekcije mejne ploskve na projekcijo sosedne mejne ploskve.
Logika & razvedrilna matematika 28
Labirinti na mreži valja in stožca
1.
2.
3.
Logika & razvedrilna matematika 29
Poišči imena likov
Poišči imena likov in analiziraj neodvisnost pogojev.
1. Lik B je levo od C. N
2. Lik B je manjši kot C. N
3. Lik A je majhen in lik C ni trikotnik. N
1. Lik B je desno od D. N
2. Lik A je desno od B. R
3. Lik C je petkotnik, če in samo če lik D ni petkotnik. N
4. Če lik C ni velik, potem je lik C majhen. R
1. Lik A je desno od C. N
2. Lik A je pod B. R
3. Lik B je večji kot D. N
4. Ali je lik B zelen ali lik B ni kvadrat. R
1. Lik C je manjši kot E. N
2. Lik B je manjši kot C. N
3. Lik B je večji kot D. N
4. Lik A ni srednje velikosti in lik B je majhen. R
5. Lik B ni kvadrat ali lik C ni trikotnik. N
Logika & razvedrilna matematika 30
Analiziraj pogoje nalog
Dobro definirana naloga je naloga, pri kateri so njeni pogoji potrebni in zadostni za njeno rešitev.
To pomeni, da noben pogoj ni odveč in da ima naloga enolično rešitev. Pri zastavljeni nalogi imamo
lahko več možnosti:
Naloga nima rešitve, pogoji so protislovni.
Naloga ima več rešitev, to je, pogoji niso zadostni (za enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev, vendar pogoji niso potrebni (vsaj en pogoj bi lahko izpustili in bi
naloga še vedno imela enolično rešitev).
Naloga ima enolično rešitev in pogoji so potrebni (neodvisni) in seveda zadostni. Naloga je dobro
definirana.
V naslednjih nalogah moramo ugotoviti, kako je s pogoji naloge.
Poiskati moramo imena A, B,C, … likov, ki so označeni z 1, 2, 3, …, če so izpolnjeni pogoji na
desni strani slike.
3
1
2
1. Lik B je levo od C. N
2. Lik B je petkotnik, če in samo če je lik B oranžen. N
3
2
1
1. Lik C ni trikotnik. N
2. Če je lik B kvadrat, potem je lik C petkotnik. R
2
31
1. Lik A je nad B. R
2. Lik B je kvadrat ali je lik B trikotnik. N
Logika & razvedrilna matematika 31
Protislovni pogoji
V naslednjih nalogah so pogoji protislovni. V rešitvah navajamo en pogoj, ki je v protislovju z
ostalimi.
1.
1
2
3
1. Lik A je desno od B. N
2. Lik A je večji kot C. R
3. Lik A ni majhen ali je lik A petkotnik. N
2.
1
2
3
1. Lik A je petkotnik. R
2. Lik A je levo od C. R
3. Lik A je srednje velikosti ali lik C ni kvadrat. R
3.
2
1
3
1. Lik B ni velik. N
2. Lik B je manjši kot C. R
3. Lik A je trikotnik, če in samo če je lik B srednje velikosti. R
Nagradna logična naloga Štirje davkoplačevalci (Borut, Matej, Robert, Cene), z različnimi priimki
(Gornik, Gorjak, Vodovnik, Kranjc), so kupili različne, po zagotovilih, varne
naložbe (obveznice NLB, delnice NLB, delnice NKBM, delnice Abanke), različnih
vrednosti (9000 Eur, 20000 Eur, 200000 Eur, 1000000 Eur).
Za vsakega določi ime, priimek, naložbo in njeno nabavno vrednost.
Imena in zneski so izmišljeni.
Logika & razvedrilna matematika 32
1. Gornik ni bil ne ob delnice NKBM ne ob 9000 Eur.
2. Kranjc ni bil ne ob delnice NKBM ne ob 9000 Eur.
3. Cene ni bil ob 9000 Eur.
4. Obveznice NLB niso znašale 20000 Eur.
5. Gorjak ni bil ob 1000000 Eur.
6. Matej se ne piše Vodovnik.
7. Delnice NKBM niso znašale 20000 Eur.
8. Gornik ni bil ob 20000 Eur.
9. Robert se piše Gornik.
10. Delnice NKBM niso znašale 9000 Eur.
11. Matej se ne piše Gorjak.
12. Delnice NKBM niso znašale 200000 Eur.
13. Delnice Abanke niso znašale 20000 Eur.
14. Obveznice NLB niso znašale 200000 Eur.
Borut
Matej
Robert
Cene
obveznice NLB
delnice NLB
delnice NKBM
delnice Abanke
9000 Eur
20000 Eur
200000 Eur
1000000 Eur
Gor
nik
Gor
jak
Vod
ovnik
Kra
njc
obvez
nic
eN
LB
del
nic
eN
LB
del
nic
eN
KB
M
del
nic
eA
banke
9000
Eur
20000
Eur
200000
Eur
1000000
Eur
Borut
Matej
Robert
Cene
ime priimek prevara vrednost
Rešitev nagradne uganke pošljite do 1.2..2018 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241
Kamnik, s pripisom »Nagradna uganka«. Prosimo vas, da napišete domači in ne šolski naslov, da
vam, če boste izžrebani, pošljemo nagrado.
Naslednji reševalci nagradne uganke iz 1. številke bodo prejeli poševno prizmo Polydron in
Mercatorjevo vrtavko »Disney Frozen«: U.P., ŠENTJUR, M.F., PREM, B:G:., VRHNIKA, P:K:,
RADENCI, M:C., POLJANE NAD ŠKOFJO LOKO.
Logika & razvedrilna matematika 33
3D Op -Art Moduli
Abstract. This paper shows some variants of Slavik Jablan's Op Art modules as 3D graphics.
Na 3. konferenci ESMA, ki je bila septembra 2016 v Ljubljani, je gospa Anđelka Simić, profesorica
matematike iz Srbije, razstavila svoj op-art nakit osnovan na Jablanovih op-art modulih. V
razgovoru, ki je sledil, smo ugotovili, da gre v resnici za 3D grafiko, saj gre za nanose pravokotno
na osnovno ravnino. Res je, da so ti nanosi zanemarljive višine, a jih je mogoče povečati.
Nato je bil narejen program v mathematici, rezultat pa so spodnje slike.
Logika & razvedrilna matematika 34
Logika & razvedrilna matematika 35
Logika & razvedrilna matematika 36
Logika & razvedrilna matematika 37
Referenca:
S. Jablan, Modularity in Art, http://www.mi.sanu.ac.rs/~jablans/d3.htm
Plemljevih 2+9 rešitev problema konstrukcije
trikotnika
Naloga, ki jo je Plemelj rešil kot petošolec gimnazije, se je glasila: konstruiraj trikotnik, če je dana
dolžina osnovnice c, dolžina višine na osnovnico in razlika kotov ob osnovnici. Plemelj je imel na
1. kongresu zveze jugoslovanskih društev matematikov, fizikov in astronomov l.1949 na Bledu
govor, ki je bil objavljen l. 1951 v Beogradu, nato pa v l. 1992 v Obzorniku [1]. V njem je podal tri
rešitve tega problema, dve svoji in eno iz knjige njegovega učitelja Vincenca Borštnerja. Spodnja
slika iz [1] prikazuje Plemljevo prvo konstrukcijo.
Logika & razvedrilna matematika 38
Do rešitve je prišel s trigonometrijo, tako da je izpeljal enačbo (vzamemo >):
m sin(-) = c cos(-).
Plemelj je še povedal, da je razen dveh, ki jih je dobil od drugod, sam našel še devet različnih
rešitev, zadnjo na Silvestra 1939. Tri zgornje rešitve so bile objavljene tudi v Proteusu [].
Tam Plemelj tudi pove, da je iz zgornje enačbe možno dobiti 6 različnih rešitev (med temi sta dve
že omenjeni), ker lahko vzamemo cos(-)= sin(/2(-)).
Kot primer vzemimo Plemljevo gimnazijsko rešitev in njeno dvojčico.
A B
A'
H
S
G
K
B'
C
c
c
c
b
bb
a
a
Število m je dolžina daljice BA’. Oglejmo si trikotnik A’B’B. Kot A’B’B je enak /2-(-) in je
nasproti stranici A'B, ki je dolžine m.
Trapez B'BKA' je enakokrak, zato je kot BKA' enak /2+(-).
Z naslednjo konstrukcijo dobimo dve konstrukciji. Narišem daljico AB dolžine c. Pravokotno na
AB iz A odmerim točko H na razdalji dane višine, nato pa še A' na dvojni razdalji. Narišem
krožnico, tako da se A'B vidi kot tetiva pod kotom /2-(-) iz točk krožnice pod tetivo. Iz točk nad
tetivo pa je obodni kot /2+(-). Na krožnici odmerim točko B' na razdalji c od A in točko K na
razdalji c od B, tako da točke B'BKA' tvorijo enakokraki trapez.
Točka C iskanega trikotnika je presek simetrale trapeza in premice skozi H, ki je vzporedna z AB.
Še dve različni rešitvi dobimo, če točko B' postavimo navpično iz B.
Logika & razvedrilna matematika 39
A B
B'
H
S
K
L
C
Animacijo Plemljeve prve rešitve dobite na [4], zgornjo kombinacijo pa na [3]. Če na računalniku
nimate programa mathematica, lahko vseeno izvajate t.i. demonstracije, tako da naložite brezplačni
»cdf-player« s strani: http://wolfram.com/ .
Reference:
[1] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik za matematiko in fiziko, 39, 1992 str.. 188–192.
[2] L. Čermelj, Plemljev trikotnik, Proteus XII, št. 4-9, Ljubljana 1949/50.
[3] Izidor Hafner, Nada Razpet and Marko Razpet
"The Plemelj Construction of a Triangle: 7"
http://demonstrations.wolfram.com/ThePlemeljConstructionOfATriangle7/
Wolfram Demonstrations Project
Published: August 10, 2017
[4] Izidor Hafner
"The Plemelj Construction of a Triangle: 1"
http://demonstrations.wolfram.com/ThePlemeljConstructionOfATriangle1/
Wolfram Demonstrations Project
Published: August 10, 2017
Plemljevih 2+9 rešitev problema konstrukcije
trikotnika, drugi del
Naloga, ki jo je Plemelj rešil kot petošolec gimnazije se je glasila: konstruiraj trikotnik, če je dana
dolžina osnovnice c, dolžina višine na osnovnico in razlika kotov ob osnovnici. Plemelj je imel na
1. kongresu zveze jugoslovanskih društev matematikov, fizikov in astronomov l.1949 na Bledu
govor, ki je bil objavljen l. 1951 v Beogradu, nato pa v l. 1992 v Obzorniku [1]. V njem je podal tri
rešitve tega problema, dve svoji in eno iz knjige njegovega učitelja Vincenca Borštnerja [1].
Spodnja slika podaja rešitev iz Borštnerjeve knjige.
Logika & razvedrilna matematika 40
Spodnja slika iz [1] prikazuje Plemljevo drugo konstrukcijo.
Do rešitve je prišel s trigonometrijo, tako da je izpeljal enačbo (vzamemo >):
m sin(-) = c cos(-).
Plemelj je še povedal, da je razen dveh, ki jih je dobil od drugod, sam našel še devet različnih
rešitev, zadnjo na Silvestra 1939. Tri zgornje rešitve so bile objavljene tudi v Proteusu [].
Tam Plemelj tudi pove, da je iz zgornje enačbe možno dobiti 6 različnih rešitev (med temi sta dve
že omenjeni), ker lahko vzamemo cos(-)= sin(/2(-)). Število m je dolžina daljice AK z
prejšnje slike.
Alternativa za konstrukcijo iz Borštnerjeve knjige, ko na mesto nad A postavimo navpičnico nad B,
je objavljena v Modičevi knjigi [5, str. 92-93]. Tule je slika narejena z mathematico:
Logika & razvedrilna matematika 41
AB
B'
E
S
C
a
a
D
Alternativo za Plemljevo drugo konstrukcijo prikazuje spodnja slika:
A B
K
K'
H
C
M
c
mm
a
bb
Animacijo Plemljeve prve rešitve dobite na [4], kombinacijo prve z alternativopa na [3]. Če na
računalniku nimate programa mathematica, lahko vseeno izvajate t.i. demonstracije, tako da
naložite brezplačni »cdf-player« s strani: http://wolfram.com/ .
Reference:
[1] J. Plemelj, Iz mojega življenja in dela, Obzornik za matematiko in fiziko, 39, 1992 str.. 188–192.
[2] L. Čermelj, Plemljev trikotnik, Proteus XII, št. 4-9, Ljubljana 1949/50.
[3] Izidor Hafner, Nada Razpet and Marko Razpet
"The Plemelj Construction of a Triangle: 7"
http://demonstrations.wolfram.com/ThePlemeljConstructionOfATriangle7/
Wolfram Demonstrations Project
Published: August 10, 2017
[4] Izidor Hafner
"The Plemelj Construction of a Triangle: 1"
http://demonstrations.wolfram.com/ThePlemeljConstructionOfATriangle1/
Wolfram Demonstrations Project
Published: August 10, 2017
[5] D.S. Modic, Trikotniki, Konstrukcije, Algebrske Rešitve, Math d.o.o., Ljubljana 2009.
Logika & razvedrilna matematika 42
Optični tangram Optični tangram ima za osnovo dobro znano kitajsko igro tangram, ki sestoji iz 7 osnovnih delov, s
katerimi sestavljamo različne like. Pri tem moramo uporabiti vse dele, ki se morajo dotikati, ne
smejo pa se prekrivati. Dele lahko tudi obrnemo.
Igranje s tangramom razvija doslednost, koncentracijo, postopnost in iznajdljivost.
Pri uporabi tangrama v šoli učenci razvijajo geometrijsko mišljenje, prostorsko predstavljivost,
ugotavljajo pravilnosti in z večjim razumevanjem sodelujejo v izobraževalnem procesu.
Optični tangram še posebej razvija kreativnost, občutek za natančnost, lepoto, enostavnost in
skladnost. Ta tangram sestoji iz 7 osnovnih likov (ploščic), ki so po obeh straneh pobarvani s črno-
belimi črtami. Za vse like velja, da so to enakokraki-pravokotni trikotniki
Slika 1.
V igri imamo dva trikotnika, ki sta nastala z razpolovitvijo antisimetričnega črno-belega kvadrata,
ki največkrat nastopa v optični umetnosti (Slika 2). Vsak od od obeh trikotnikov ima na eni strani
črno višino, na nasprotni strani pa belo višino, druge črte so razporejene alternativno.
Slika 2.
Tudi sam kvadrat sestoji iz dveh antisimetričnih trikotnikov.
V igri imamo lahko dva ali štiri takšne pare.
Logika & razvedrilna matematika 43
Imamo še trikotnik srednje velikosti in paralelogram. Oba sestojita iz dveh antisimetričnih
trikotnikov (Slika 3).
Slika 3.
Dva velika trikotnika (Slika 4) sestojita vsak iz štirih osnovnih antisimetričnih trikotnikov.
Zanimivo je, da v velikem trikotniku opazimo druge elemente, ki nastopajo v igri. Tako na primer
veliki trikotnik vsebuje trikotnik srednje velikosti ali kvadrat ali paralelogram in dva majhna
trikotnika.
Slika 4.
Vidimo torej, da je pri ustvarjanje te igre narejena minimizacija osnovnih delov.
S tangramom je možno oblikovati 13 konveksnih likov (Fu Traing Wang, Chuan-Chih Hsiung (1942) A theorem of the tangram. The American Mathematical Monthly, 49, 596–599.)(Slika 5).
Slika 5.
Pri optičnem tangramu je najbolj zanimivo sestavljanje teh 13 konveksnih likov.Lahko sestavljamo
like tudi na običajen način kot pri tangramu. Imamo pa možnost ustvarjanja novih ornamentov (en
zgled je na Sliki 6). Deli se ne smejo prekrivati in uporabiti moramo vse dele.
Logika & razvedrilna matematika 44
Slika 6.
1. Naloga Zakaj s tangramom lahko sestavimo samo 13 omenjeni likov? 2. Naloga Sastavi 13 konveksnih tangramskih likov iz delov s Slike 1. Reference: [1] S. Jablan, Modularity in Art (1.12.2017) http://www.mi.sanu.ac.rs/~jablans/d3.htm [2] N. Baranović, Razvoj geometrijskog mišljenja kroz tangram aktivnosti, Simpozijum Matematika i primene, Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2016 ,Vol. VII(1) [3] A. Simić, (Anti)symmetric ornaments in math lessons (1.12.2017), http://www.math-art.eu/X_School/Serbian_School/anti-symmetric-ornaments-in-math-lessons-andjelka-simic.pdf
Anđelka Simić
Logika & razvedrilna matematika 45
Polarna zonoedra
Logika & razvedrilna matematika 46
Logika & razvedrilna matematika 47
Rombska 210-erca
Logika & razvedrilna matematika 48
Osnove geometrije likov
V članku [1, str. 24-29] je Tarski podal osnove geometrije teles, kjer je osnoven (torej nedefiniran)
pojem krogle. Točka je definirana kot množica koncentričnih krogel. Teorija predpostavlja kot
osnovo mereologijo, to je, teorijo o delih in celoti, kjer je del osnovna relacija. Da je možno bazirati
prostorsko geometrijo na pojmu »točka« in »krogla«, je dokazal Pieri [2].
I. Definicija. Reč X je pravi del reči Y, če je reč X del reči Y in ni identična z rečjo Y.
II. Definicija. Reči X in Y sta ločeni, če nobena reč Z ni del obeh reči X in Y.
III. Reč X je sestav vseh elementov množice reči , če je vsak element množice del reči X in
noben del reči X ni ločen od vseh elementov iz množice .
(Zadnji del bi lahko povedali tudi: za vsak del Z reči X obstaja vsaj ena reč Y iz , tako da Z in Y
nista ločena.)
Mereologija ima dva aksioma:
Logika & razvedrilna matematika 49
I. Aksiom. Če je reč X del reči Y in je Y del reči Z, potem je X del reči Z.
II. Aksiom. Če je neprazna množica, potem obstaja natanko ena reč X, ki je sestav vseh
elementov množice .
IV. Definicija. Reči X in Y se prekrivata, če imata skupen del..
Cilj našega sestavka je, da pokažemo ustrezne definicije. Pri vseh definicijah bomo na mesto »če in
samo če« pisali« »če« s krepkim »č«. Dolgoletna matematična praksa je, da se definicije zapisujejo
kot obrat implikacije, čeprav gre za ekvivalence. V srbsko-hrvaških tekstih uporabljajo »akko« za
»ako i samo ako«.
Na mesto krogle bomo tu vzeli krog, ker je naš cilj ravninska geometrija. Pri tem je mišljen krog
brez obodne krožnice (po topološko odprta množica). Na slikah bodo krogi predstavljeni z obodno
krožnico.
1. Definicija. Krog A je zunanje tangenten krogu B, če sta izpolnjena pogoja:
(i) krog A je ločen od B;
(ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki vsebujeta krog A kot del in sta ločena od B, potem je eden od
obeh del drugega.
A
B
X
Y
A
B
X
Y
A
B
Slike prikazujejo primere, ko sta oba pogoja definicije izpolnjena; ko je izpolnjen prvi, drugi pa ni;
ko je izpolnjen drugi, prvi pa ne. V zadnjem primeru je pogoj izpolnjen »na prazno«, saj krogov v
antecedentu implikacije drugega pogoja sploh ni.
Zahteva dobre definicije je, da so pogoji neodvisni.
2. Definicija. Krog A je notranje tangenten krogu B, če sta izpolnjena pogoja:
(i) krog A je pravi del kroga B;
(ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki vsebujeta krog A kot del in sta del kroga B, potem je vsaj eden
od obeh del drugega.
Spodnji primeri prikazujejo izpolnjenost definicije in neodvisnost obeh pogojev.
Logika & razvedrilna matematika 50
A
BX
Y
A
BX
Y
A
B
3. Definicija. Kroga A in B sta zunanje diametralna krogu C, če sta izpolnjena pogoja:
(i) oba kroga A in B sta zunanje tangentna krogu C;
(ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki sta ločena od kroga C, in taka, da je A del kroga X in B del
kroga Y, potem je krog X ločen od Y.
A
C
B
X
Y
Logika & razvedrilna matematika 51
AC
B
X
Y
A
C
B
Slike prikazujejo izpolnjenost definicije in neodvisnost pogojev.
4. Definicija. Kroga A in B sta notranje diametralna krogu C, če sta izpolnjena pogoja:
(i) oba kroga A in B sta notranje tangentna krogu C;
(ii) če sta dana dva kroga X in Y, ki sta ločena od kroga C in taka, da je A zunanje tangenten krogu
X in B zunanje tangenten krogu Y, potem je krog X ločen od Y.
Naslednje slike prikazujejo primer izpolnjenosti definicije in neodvisnost pogojev.
A
C
B
X
Y
AC
BX
Y
A
C
B
5. Definicija. Kroga A in B sta koncentrična, če je izpolnjen eden od pogojev:
(i) krog A je identičen krogu B;
(ii) krog A je pravi del kroga B in če sta dana kroga X in Y zunanje diametralna krogu A in notranje
tangentna krogu B, potem sta notranje diametralna krogu B;
(iii) krog B je pravi del kroga A in če sta dana kroga X in Y zunanje diametralna krogu B in
notranje tangentna krogu a, potem sta notranje diametralna krogu A.
Peta definicija je nekoliko drugačna. Tu mora biti izpolnjen vsaj en pogoj.
Logika & razvedrilna matematika 52
A
B
A
B
X Y
B
A
X Y
6. Definicija. Točka je množica vseh krogov, ki so koncentrični danemu krogu.
Seveda lahko za grafično predstavitev točke lahko vzamemo katerikoli krog točke.
7. Točki a in b sta enako oddaljeni od točke c, če obstaja krog, ki je element točke c in izpolnjuje
pogoj: vsak Y, ki je element točke a ali b ni del kroga X se pa prekriva z X.
Ideja te definicije je ta, da sta točki a in b na neki krožnici s središčem v c.
Sliki prikazujeta izpolnjenost in neizpolnjenost definicije.
c
a
X
Y
b
c
a
X
Y
b
8. Definicija. Lik je sestav neke množice krogov.
9. Definicija. Točka a je v notranjosti lika B, če obstaja tak krog A, ki je element točke a in del lika
B.
Ilustracija primera, ko je točka a v notranjosti lika B.
B Xa
Logika & razvedrilna matematika 53
Znano je, da lahko vse pojme evklidske geometrije lahko definiramo s pomočjo pojmov točke in
enake oddaljenosti dveh točk od tretje.
Reference:
[1] Alfred Tarski: Logic, Semantic, Meta-Mathematics, Clarendon Press, Oxford, 1956.
[2] M. Pieri, La geometria elementareinstituita sulle nozione di »putno« o »sphera«, Memorie e di
Matematica e di Fisica della Societa Italiana delle Scienze, Seria terza, XV, (1908),, 345-450.
Naloga v esperantu
Kvar amikinoj (Iva, Ildiko, Ella, Pika) havas kvar hundojn (Etono, Ksanto, Mistralo, Pegazo) de
diversaj bredoj (grejhundo, pudelo, dalmata hundo, biglo).
Divenu iliajn nomojn kaj la nomojn kaj bredojn de iliaj hundoj.
1. Ksanto estas nek dalmata hundo nek grejhundo.
2. Iva havas nek dalmatan hundon nek grejhundon.
3. Mistralo estas nek dalmata hundo nek biglo.
4. La nomo de la hundo de Pika estas Mistralo.
5. Pegazo ne estas grejhundo.
6. Mistralo ne estas grejhundo.
7. Ildiko ne havas grejhundon.
Simona Klemenčič
Logika & razvedrilna matematika 54
Vitezi in oprode po francosko Chevaliers et valets
Il y a une île où certains habitants s'appellent des chevaliers
et disent toujours la vérité et d'autres s'appellent des valets et mentent toujours.
On suppose que chaque habitant de l'île est soit un chevalier soit un valet.
Dans le problème, il y a N habitants, qui sont désignés par A, B, C, ...
Chacun des premiers N 1 fait une déclaration.
Qui est un chevalier et qui est un valet ?
1.
B est un valet si et seulement si C est un chevalier.
A est un valet ou C est un chevalier.
2.
B est un chevalier et C est un chevalier.
Si A est un chevalier, C est un valet.
3.
Si B est un valet, C est un chevalier.
C est un chevalier ou A est un valet.
4.
C est un valet ou B est un chevalier.
Si A est un chevalier, C est un valet.
5.
B est un chevalier si et seulement si C est un chevalier.
Si A est un valet, C est un chevalier.
6.
Si C est un valet, B est un chevalier.
C est un chevalier ou A est un valet.
7.
B est un chevalier ou C est un chevalier.
A est un valet ou C est un chevalier.
8.
C est un chevalier ou B est un chevalier.
Si A est un chevalier, C est un chevalier.
9.
C est un valet ou B est un chevalier.
A est un valet ou C est un valet.
10.
C est un chevalier ou B est un chevalier.
A est un valet ou C est un chevalier.
Logika & razvedrilna matematika 55
11.
D est un chevalier si et seulement si B est un valet.
D est un chevalier ou C est un chevalier.
Si B est un chevalier, D est un chevalier.
12.
C est un valet si et seulement si B est un chevalier.
Si D est un chevalier, C est un chevalier.
D est un chevalier si et seulement si A est un valet.
13.
B est un chevalier si et seulement si C est un valet.
D est un chevalier et A est un chevalier.
Si B est un chevalier, A est un chevalier.
14.
B est un chevalier ou C est un chevalier.
D est un valet si et seulement si C est un chevalier.
D est un valet ou B est un chevalier.
15.
C est un valet et B est un valet.
A est un chevalier ou D est un valet.
Si D est un chevalier, B est un chevalier.
16.
B est un chevalier et D est un valet.
A est un valet et C est un valet.
A est un chevalier et D est un valet.
17.
C est un chevalier ou B est un chevalier.
C est un chevalier et D est un valet.
Si B est un chevalier, D est un chevalier.
18.
Si C est un chevalier, D est un valet.
Si A est un valet, C est un valet.
Si B est un valet, D est un valet.
19.
C est un valet ou D est un valet.
C est un valet et D est un chevalier.
D est un chevalier et B est un chevalier.
20.
B est un chevalier et C est un chevalier.
Si A est un chevalier, C est un valet.
D est un valet si et seulement si A est un chevalier.
Logika & razvedrilna matematika 56
Solutions
1.
A est un valet. B est un chevalier. C est un chevalier.
2.
A est un valet. B est un chevalier. C est un valet.
3.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier.
4.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un valet.
5.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier.
6.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier.
7.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier.
8.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier.
9.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un valet.
10.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier.
11.
A est un valet. B est un chevalier. C est un chevalier. D est un chevalier.
12.
A est un valet. B est un chevalier. C est un chevalier. D est un chevalier.
13.
A est un chevalier. B est un valet. C est un chevalier. D est un valet.
14.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier. D est un valet.
15.
A est un valet. B est un chevalier. C est un chevalier. D est un valet.
16.
A est un valet. B est un chevalier. C est un valet. D est un chevalier.
17.
A est un chevalier. B est un valet. C est un chevalier. D est un chevalier.
18.
A est un chevalier. B est un chevalier. C est un chevalier. D est un valet.
19.
A est un chevalier. B est un valet. C est un valet. D est un valet.
20.
A est un valet. B est un chevalier. C est un valet. D est un valet.
Meta Lah
Logika & razvedrilna matematika 57
Logika & razvedrilna matematika 58
Rešitve Barvni sudoku 1.
2
5
4
3
1
5
2
3
1
4
4
1
5
2
3
3
4
1
5
2
1
3
2
4
5
5
1
3
4
2
1
5
4
2
3
3
4
2
1
5
2
3
1
5
4
4
2
5
3
1
2
3
1
4
4
1
3
2
3
4
2
1
1
2
4
3
1
2
3
4
5
5
3
4
2
1
2
5
1
3
4
3
4
5
1
2
4
1
2
5
3
2
1
4
3
3
4
1
2
4
2
3
1
1
3
2
4
4
1
2
3
1
4
3
2
2
3
1
4
3
2
4
1
2
3
4
1
3
2
1
4
1
4
3
2
4
1
2
3
3
2
4
5
1
2
5
3
1
4
1
4
2
3
5
5
3
1
4
2
4
1
5
2
3
4
3
2
1
1
2
3
4
2
4
1
3
3
1
4
2
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
3
4
1
2
1
4
2
3
3
2
1
4
2
3
4
1
4
1
3
2
2
4
1
3
5
4
2
3
5
1
3
5
4
1
2
5
1
2
4
3
1
3
5
2
4
Logika & razvedrilna matematika 59
2.
2
3
4
1
4
2
1
3
3
1
2
4
1
4
3
2
1
4
2
3
5
3
2
5
4
1
5
3
1
2
4
2
1
4
5
3
4
5
3
1
2
1
3
4
2
2
4
3
1
3
2
1
4
4
1
2
3
3
4
2
1
2
3
1
4
4
1
3
2
1
2
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
1
2
4
3
2
1
3
4
3
1
4
2
5
6
4
6
5
3
1
2
2
5
6
1
3
4
1
3
2
4
6
5
5
4
1
6
2
3
6
2
3
5
4
1
2
3
1
4
3
2
4
1
1
4
2
3
4
1
3
2
2
1
4
3
5
6
3
5
1
6
4
2
6
4
2
5
1
3
4
3
6
1
2
5
5
2
3
4
6
1
1
6
5
2
3
4
1
2
4
5
3
4
3
5
2
1
5
1
3
4
2
3
4
2
1
5
2
5
1
3
4
1
3
2
4
3
1
4
2
2
4
3
1
4
2
1
3
2
3
1
4
3
2
4
1
1
4
2
3
4
1
3
2
3
6
4
2
1
5
1
4
6
5
2
3
2
5
1
3
4
6
4
2
5
6
3
1
5
1
3
4
6
2
6
3
2
1
5
4
Logika & razvedrilna matematika 60
Latinski kvadrati
2 5 4 3 14 3 1 2 51 2 3 5 45 1 2 4 33 4 5 1 2
2 1 4 3
3 2 1 4
1 4 3 2
4 3 2 1
3 2 1 5 41 3 2 4 54 5 3 2 15 1 4 3 22 4 5 1 3
3 4 2 1
4 2 1 3
2 1 3 4
1 3 4 2
1 3 5 2 43 5 4 1 22 4 3 5 14 2 1 3 55 1 2 4 3
1 4 2 5 34 5 3 2 13 2 4 1 55 3 1 4 22 1 5 3 4
5 4 1 3 24 5 3 2 13 2 5 1 42 1 4 5 31 3 2 4 5
2 3 4 1
3 2 1 4
1 4 3 2
4 1 2 3
1 4 3 2
4 3 2 1
2 1 4 3
3 2 1 4
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
3 1 2 4 55 2 3 1 41 5 4 3 22 4 1 5 34 3 5 2 1
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3
1 2 3 4
Logika & razvedrilna matematika 61
Sudoku s črkami
A
D
B
B
C
E
D
C
E
E
E
D
D
B
B
A
E
A
C
C
B
C
A
A
D
4
5
1
2
3
5
1
4
3
2
1
3
2
4
5
2
4
3
5
1
3
2
5
1
4
E
B
A
C
D
E
C
C
E
C
D
A
B
B
C
E
D
E
B
A
B
D
A
A
D
1
3
2
5
4
5
4
1
2
3
3
1
5
4
2
4
2
3
1
5
2
5
4
3
1
C
A
D
C
C
A
E
E
B
B
C
A
E
C
B
E
D
D
B
D
E
B
D
A
A
2
5
3
1
4
1
3
2
4
5
3
4
1
5
2
4
2
5
3
1
5
1
4
2
3
E
E
D
B
D
E
B
B
B
D
E
E
A
B
A
C
C
C
A
A
A
C
C
D
D
2
1
3
4
5
3
5
1
2
4
5
4
2
3
1
1
2
4
5
3
4
3
5
1
2
E
A
D
B
D
C
A
B
B
C
A
D
E
E
D
C
A
B
E
A
D
C
C
E
B
2
5
1
4
3
5
1
3
2
4
3
2
4
1
5
1
4
5
3
2
4
3
2
5
1
A
D
A
B
D
C
C
C
E
B
E
C
E
D
C
B
E
D
A
A
B
D
A
E
B
1
2
5
4
3
5
3
4
2
1
4
1
3
5
2
2
5
1
3
4
3
4
2
1
5
B
D
E
C
E
D
C
B
D
D
A
A
C
E
C
C
A
B
E
E
B
A
B
D
A
4
5
2
1
3
1
3
5
2
4
3
1
4
5
2
5
2
3
4
1
2
4
1
3
5
C
C
A
D
D
E
C
E
B
C
D
C
D
E
D
B
B
B
B
E
A
E
A
A
A
2
5
1
4
3
4
3
2
5
1
1
4
5
3
2
3
2
4
1
5
5
1
3
2
4
B
D
D
B
A
E
A
A
C
D
E
C
E
E
B
D
A
A
D
B
E
C
B
C
C
5
4
2
1
3
3
1
4
2
5
4
3
1
5
2
1
2
5
3
4
2
5
3
4
1
E
D
C
D
B
D
B
E
B
E
B
A
A
C
D
B
A
E
D
A
E
A
C
C
C
1
4
5
3
2
2
1
4
5
3
4
3
1
2
5
3
5
2
1
4
5
2
3
4
1
A
C
A
B
D
E
D
A
C
D
B
C
A
E
A
E
E
B
C
B
D
B
C
E
D
4
1
5
2
3
3
2
1
5
4
5
4
3
1
2
2
5
4
3
1
1
3
2
4
5
C
A
E
D
A
C
B
A
C
D
D
E
C
E
D
C
E
A
E
A
D
B
B
B
B
1
4
2
3
5
3
5
1
2
4
2
3
5
4
1
4
1
3
5
2
5
2
4
1
3
Logika & razvedrilna matematika 62
Futoshiki
Logika & razvedrilna matematika 63
Lastnosti lika
Razpored znakov
A B C C A B
D A B C D A B C
D A C E B A B C D E
D A E C B B A D E C
Logika & razvedrilna matematika 64
Gobelini
2
1, 1
4
1
1, 1
2
4 1
1
1
1
1
1
2
1
3, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
7
1
16 1
15 1
15 1
5
1
1
1
4
1
1
1
1
9 1
1
1
1
1
1
1
2, 2
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
4
1 5 1 1
1
6 1
2, 3, 2
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 2, 1
1, 1
1, 1
1 4 2 1
1
4 1
2
2 2 1
3, 3
1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1
1, 1
1 5 1
13 1
15 1
5
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
1, 1
5
9 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
1, 1
2
1
1
1
1
1
7 1 1
2, 2
1, 2
1, 1
1, 1
1, 1
4
1
3
4 1
1
1
1
1
1
1
8 1
1
2, 22, 11, 11, 12, 11, 2113
1
1
9 1
1
1
1
1
1
1
4
2
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
9 1
2, 11, 21, 11, 11, 11, 22, 114
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
Logika & razvedrilna matematika 65
Križne vsote
3 9
2 7 8
7 1
6 3
5 16
12
21
17
4
8
9
9 7
5 4 9
6 5
14 17
16
14
18
11
4 2
8 6 7
8 1
9 7
12 8
6
24
21
8
9
16
2 8
4 1 3
8 1
2 9
3 1
6 910
118
69
1011
4
5 7
9 8 7 9
6 8 6 5 1
1 7 2
5 9
14 2112
12 1017
916
1714 12
1210
14
5 8
3 9 8
3 9
8 20
13
17
20
12
2 5
1 6 5
9 4
2 4
1 6
3 117
1412
713
106
7
7 9
9 8 9 7
3 8 6 1 2
5 6 3
8 9
16 2016
10 917
1316
1811 9
1414
17
1 5
3 4 9
6 2
1 2
9 3
4 96
1516
128
53
12
6 3
7 9 6 1
5 6 7 8 3
4 7 2
3 1
13 179
14 416
107
1011 18
1013
4
4 3
8 9 5 8
8 6 3 7 9
9 8 6
6 2
12 207
12 1717
1513
1114 19
1423
8
8 7
3 1 8
6 9
7 9
2 8
11 815
1412
1815
1716
10
Logika & razvedrilna matematika 66
Križni produkti
2 7
7 4 6
8 2
14 224
14
12
168
16
8 3
3 2 5
8 3
9 5
2 7
24 6
24
40
30
54
24
35
45
14
6 3
5 7
30 21
18
35
6 9 3
7 3 2
42 27 6
162
42
4 7
5 4 8
5 2
20 140
28
16
160
10
3 7
9 4
27 28
21
36
Logika & razvedrilna matematika 67
Labirint na kocki
1
2
3
4
5
6
789
10
11
12
13
14
15 16
1718
19 20 21 12
3 4
5
6
7
8
9 10
11
12
13
14
1516
17
18
1
2 3 4
5
6 7
8
9 10
11
12
13 14
15 16
171819
20
212223
24
1234
5
6 7
8
9
10
11 12
13
14151617
18
19
20
1 2
3 4
5
67
8 9
10 11
1213
1415
16 17
18
19 20
21
22
1
23
4
5
6
7 8
910
11 12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Logika & razvedrilna matematika 68
Labirinti na enostavnih poliedrih
12
3
4 5
6 7
8 9
1011
12
1314 15
161718
1920
21 22
1 2
3
4
56
78
910
11
12 13 14
15 16
17
1819
20
21 22
23
1
2
3 4
5
6
789
10
11
12
13
14
15
16
17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5 6
7
8
9
10
111213 14
15
16
17
18
Logika & razvedrilna matematika 69
Grupe
Sličice na drugi sliki moramo zaporedoma označiti:
{9, 15, 1, 16, 10, 3, 4, 2, 13, 6, 11, 12, 14, 7, 5, 8, 17}}
Linearne grupe:
a) {7, 4, 5, 2, 1, 3, 6}, {7, 6, 5, 2, 1, 3, 4}
b) {4, 7, 6, 3, 2, 5, 1}, {6, 3, 1, 5, 4, 2, 7}
Prostorska predstavljivost
a)
1 2 3
1
2
3
4
5
11 5 11
10 9 12
5 4 1
8 8 8
4 9 6
b)
1 2 3
1
2
3
4
5
5 2 2
8 6 4
3 6 4
3 4 5
1 5 1
Labirinti na robovih poliedra
1.
1
15
10
9
14
11
5 2
6
12
117
3
19
5
8
16
7 11
12
8
12
6
204
6
2
13
18
20
19
17
13
2 5
20
18 10
15
4
18
13
17 9
10
3
149
17
19
3 7
16
1
14
1
16
8
415
{16,7,11,5,2,13,18,10,15,4,8}
Logika & razvedrilna matematika 70
2.
45
6
4 6
2
4
21
4
1
5
1
3
55
3 62 3
1
2
6
3
{5,6,3,1}
Večdelni labirinti na zemljevidu 1.
1
12
1314
15
16171819
20
3940
41 42 43
44
3
4 5 6
7 27 28
2930
3132
3349
50
2
34 35
36
37
38 45
46
47 48
8910
11 2122
2324
25
26
2.
21
22
2528
29 30
31
32 3
5 6
9
101112
1314
151819
1
2
4
7
8
203334
35
36
37
38
39
40
1617
23
24
26 27
Logika & razvedrilna matematika 71
3.
123
4 5 6
7 12
1322
23
26
27
28
29 30
10
40
4142
43
45 46
4748
8 9313233
34 35 36
373839
44
4950
11
14 15
16 17
18 19 20 21
24
25
Labirinti na zemljevidu
1.
1
23
4
5 6 7 8 9
10
11
12 13 14 15
16 1718 19
20
2122 23
2425 26 27
28
29 30
31
32
33
34
35
36 37 38 39
4041
42 43
44 45
46 47 4849
2.
1
2
3
45
67
8
9 10
11121314
15 16
17
1819 20
2122
23 24
25 26 27
28
2930 3132
33 34
35 36 37 38
39
4041
4243
4445
46
3.
1 2
3 4
5 6
78
9
10
11
12 13 14
15
16
17
18192021
22 232425
26 27
2829
30
31
32 33 34
35 36
37 38
39 40 4142
43
44 45 46 47
484950
Logika & razvedrilna matematika 72
Odstranjene kocke 106 56 127
116 115 62
75 78 72
62 80 95
Kocki določi mrežo {4, 2, 2, 3, 3, 4} Labirint v kvadru
12
3 4 5 678
910
1112
13 14 15 16
1234 5678
9 1011 12 13
14 15 16 17
1 2 34
5
6 78 9 10
11 12
13
141516
171819
1234 5 6789
10 1112
13 1415161718
1920
Logika & razvedrilna matematika 73
Labirint na Riemannovi ploskvi
12
3
4
56
7
8
91011
12
13 14
1516
17 18
19 20
21 22
2 4 1 33 1 4 2
4 3 1 23 4 2 1
4 3 1 23 4 2 1
12
3
45
6 7
89
1011
12
13
14 15
2 3 13 1 2
3 1 22 3 1
2 3 13 1 2
1
2 3
45
6 7
89
1011
12 13
14
15
1617
1819
20 21
22
2324
25 26
3 1 4 22 4 1 3
4 3 1 23 4 2 1
3 1 4 22 4 1 3
4 1 2 32 3 4 1
1
23
4 5
67
89
10
11 12
1314
15 16
3 4 2 14 3 1 2
4 3 1 23 4 2 1
4 1 2 32 3 4 1
Logika & razvedrilna matematika 74
1
23
4 5
67
8
9 10
11
12 13
1415
16 17
1819
2 3 13 1 2
3 1 22 3 1
3 1 22 3 1
3 1 22 3 1
1
2 3
4
56
7
8 9
10
11 12
1314
1516
17
2 4 1 33 1 4 2
3 1 4 22 4 1 3
2 3 4 14 1 2 3
2 4 1 33 1 4 2
1
2
3
45
6 7
8 9
1011
12
13 14
1516
17 18
3 1 22 3 1
3 1 22 3 1
2 3 13 1 2
3 1 22 3 1
1
2
3 4
56
78
9 10
1112
13
3 1 22 3 1
2 3 13 1 2
3 1 22 3 1
Logika & razvedrilna matematika 75
Labirint na ploskvah
1
234
5 6
78910
11
12
13
1415
16
171819
2021
22
12
3
4
5 6 7
89
10 11
12
13
1415
161718
192021
2223
24 25
2627
28
29 30 31
32 33
34
35
3637
38
3940
41
1
2
3
45
6 7
8
91011
12 13
14
151617
18 19 20
21
2223
24
25 26
2728
29
30 31
32 33
34
1
234
5 6
7 8 9
10 11
1213
14 15 16
17 1819
20
21 22 23
24
25
26 27
282930
31
32
3334
35
Labirint na projekcijah teles
1
2
3
45
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Logika & razvedrilna matematika 76
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
34 5
6
7
8
910
1112
1314
15
Logika & razvedrilna matematika 77
Labirinti na mreži valja in stožca 1.
1234
5
6
78
9
1011
1213
14
15 16
17 18 19
2021
222324
25 26 27 28
29
30
31
3233
3435
3637
2.
12 3
4
5
6
7
8 910
11
1213
14
15
16
3.
12
3
45
6
7 8
9
1011
12
13
14
1516
17
18
19
2021
Logika & razvedrilna matematika 78
Imena likov
Stavki so neodvisni .
A
B
C
Stavek pod številko 2
je odvisen od ostalih .
A
B
C
D
Stavek pod številko 4
je odvisen od ostalih .
A
B
C
D
Stavek pod številko 3
je odvisen od ostalih .
A
BC
D
E
Analiziraj pogoje nalog
B C ABAC
ACB CAB
C B ABCA BAC ACB ABC
CAB
C A BACB
BAC
Protislovni pogoji 1. Pogoj pod številko 3
je v protislovju z ostalimi pogoji .
A
B
C
Logika & razvedrilna matematika 79
2. Pogoj pod številko 3
je v protislovju z ostalimi pogoji .
A
B
C
3. Pogoj pod številko 1
je v protislovju z ostalimi pogoji .
A
B
C
Rešitev naloge v esperantu
Ella, Etono, grejhundo
Pika, Mistralo, pudelo
Ildiko, Pegazo, dalmata hundo
Iva, Ksanto, biglo
Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB:
02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner.
E-mail: [email protected]
Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod
številko 759. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično
računalništvo.
Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-
lj.si/html/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof.
Recenzent: Vilko Domajnko, prof.
Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič.
Oblikovanje: Ana Hafner
Jezikovni pregled: Besana
Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev.
© 2017 LOGIKA d.o.o.
ISSN 2350-532X
LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXVI, št. 1 od 4, 2017/2018
Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.