Matematika - Logika 2014-2015 3matematika-osnovna-sola.splet.arnes.si/files/2016/07/... ·...

Logika & razvedrilna matematika 1

Barvni sudoku V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,

v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve nastopalo vseh n števil.

4

3 1

5

3

1

2 5

3

1 2

1

5

4

2 4

1

2

5

42 1

3

1

4

3

3

4

2

4

3

2

1 2

3

4

2

3 4

1

1

2

4

5


Latinski kvadrati V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetne črke A, B, C, … tako, da bo v vsaki vrstici, v

vsakem stolpcu nastopalo vseh n črk.

32 1

12

1 44 32 3

1 4

3 4 23 5

1

31

4 22

2 44

1 55 4 2

4 11

2

1 34

14

34

3 52

5 3 2

22

11 3

3 43 1

4

1 3 22 4

2

4 3 1

42

3 13


Sudoku s črkami

V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici,

v vsakem stolpcu in v kvadratkih z isto črko nastopalo vseh n števil.

B

D

D

D

A

A

A

A

B

B

C

D

C

C

C

B3

2

1

D

D

D

D

A

B

C

B

A

A

C

C

B

A

B

C

3

1 2C

A

D

B

C

B

A

B

C

A

D

D

C

B

D

A

1

4

3

C

B

B

C

A

A

B

C

A

D

D

D

C

B

D

A4 1

3A

D

C

C

A

D

C

B

A

B

A

D

C

B

D

B

2

4 3A

B

C

C

A

B

A

C

A

D

D

D

B

B

D

C

1

4 2

D

C

D

B

D

C

A

D

A

C

A

A

B

C

B

B

4 1

3

D

A

C

B

A

A

D

C

D

D

A

B

C

B

C

B

3

2

1C

A

A

B

D

A

C

D

B

B

C

B

D

C

A

D

1 3 4

A

D

D

D

C

C

B

C

B

B

D

A

C

A

A

B

1

2

4C

D

D

C

B

B

B

C

A

D

D

A

A

C

B

A3

1

3

2A

C

B

B

C

A

B

B

A

D

A

C

D

D

C

D

1

2

4


Futoshiki

V n ×××× n kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do n tako, da bo v vsaki vrstici

in v vsakem stolpcu nastopalo vseh n števil ter da bodo izpolnjene vse relacije.

1

4

>

>

>

1 2

5

5 2

3

> >

<

>

2 5

2 3

5 3

>

>

>

>

1

3

2

4

3 5

<

<

< >

5 3

4

4 3

1

< <

> <

1 4

2

4

5

1

<

>

<

<

3

1

2<

> > 1

< < 1 3

2 4

1

<

>

>

>

1 4

3

<

>

<

1 2

3

1

<

>

<

2

4

1

2 5

<

>

< <


Rdeči kvadratki Naloga reševalca je, da poišče vse skrite rdeče kvadratke in jih označi z R. Pri tem veljata

naslednji pravili: a) Vsako število v preglednici pove, koliko sosednjih kvadratkov je rdečih.

Kvadratek je soseden kvadratku, če imata skupno stranico ali oglišče. b) Kvadratki s

številkami niso rdeči.

2 2 1

1 0

1

1 1

1

1 1

0

1 1

0

2 3 3

2 2 2

2 1

1

3

2 0

1

2 1 2

1

3

0 1

1 1

2

0 1

0

0

2

1 2

0

0

2 2

1

1 1

1 0

0

1 1 2

1

1 1

2 0

0

2

3

2 1

2 3

0 1

0

2

1 0


Gobelini Kvadratke v razpredelnici moraš pobarvati sivo tako, da bo zaporedje sivih pasov v vrstici

ustrezalo zaporedju števil na desni, in da bo zaporedje sivih pasov v stolpcu ustrezalo

zaporedju števil pod njim.

51, 11, 11, 141, 11, 13, 1

11

8 111

11

12

31

1

41, 111

111, 13

6 11

11

11

21

3

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

4 11

11

11

4

311111113

11

9 11

2, 2

1, 1

2

2

1, 1

2, 2

11

22

2 2 22

11

3

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

4 11

11

11

4

2

1, 1

3

1, 1

1, 1

412

111

111

5 1

51, 11, 141, 11, 11, 15

11

8 111

111

111

23

2111, 12, 11, 11, 11, 13, 2

11

9 11

1 5 1

51, 111111, 15

22

111

121

111

22

2111, 12, 11, 11, 11, 13, 2

11

9 11

1 5 1

51, 11, 11, 161, 11, 11, 15

9 111

111

111

111

7


Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da je vsota števk v

zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v rdečem

kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke

v posamezni vrstici (stolpcu) različne.

13 18

17

16

16

14

9 24

9

11

23

12

6 1613

14 165

915

246 22

621

9

9 1314

2015

1516

12

7 9

11

10

9

6

10 88

6 137

75

74 15

1615

13

15 1016

812

1513

7

5 13

5

16

15

14

15 9

9

5

10

10

16 810

1815

1116

12

10 53

1616

915

6

8 1014

1911

814

6


Križni produkti

Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 2 do 9 tako, da bo zmnožek števk

v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enak številu, ki je zapisano v sivem

kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa morajo biti vse števke

v posamezni vrstici (stolpcu) različne.

18 224 32 1080

12 7232

42 192540

1440

112020

2435 64

16 1824

108

56

14 18

14

18

42 240 14 252035 14

3048 378

420

2430

50440

4532 315

6 3014

126

14

15 2410

72 2012

1840

706 252

56360

14

21 252 56 24027 56

4228 144

1344

1256

189014

2418 105

28 4856

252

40

27 144 24 144072 72

1227 144

504

366

4808

1818 90

20 2421

126

56

8 6020

20 3212

3020

50410 288

15126

40

10 1446

40 1040

1010

18930 280

48108

24

21 14 40

112

105

48 36

24

432

432

56

56

72

63 12054

10 2135

614

968 30

2072

40

27 21654

14 7227

1863

708 112

48108

40


Labirint na kocki

Poveži točki na kocki:


Labirinti na enostavnih poliedrih

Poveži točki na poliedru:


Poveži sličici, ki pripadata isti grupi

16

5 2

1 8

15 12

9 11

7 14

17 10

3 6

4 13


Poveži sličici, ki pripadata isti grupi a)

b)

Prostorska predstavljivost a) Katero število moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta stranici pripadali istemu robu

poliedra?


9

4

3

6

1

2

5

8??

7

710

1412

13

8

1

4

5??

112

6

9

15

382

43

6 1

7

5 ??

9

11 12

10

3

2

9

6

??8

5

7

4

10

1

83

??

5

6129

1

4

7

2

10

11

16

1213

9

11

1415

4

8

??

51

10

32

7

6

10

7

2

5

4

1

69

8

??

12

11

3

2

1

3

4

5

7

6

10

??

8

12 11

9

1

42

3

95

11

??

86

7 1012

2

31??

5

64

5

7

4

6

32

??

8

1

5

4

2

6

8

??

7

3

19

1

4

6

3

5

7

8

102

??

12

11

91

6

9

7

4

5

??12

8

10

3

2

11

1

52

3

7

4

8??

6

9


b) Katero številko moramo vpisati na mesto znaka ??, da bosta oglišči pripadali istemu

oglišču poliedra?

3

?? 1

456

236

2

41

??5

2 ??

34 6

5

1

1 2

3

??

4

5

21

??

53

4 5

1 3 4

2

??

3

6

??

4

1

2

5

3

16

4

??

2

5

12

5

4

3

??

6

21

5

3

8

4??

6

7

41

2

73

??

5

8

6

25

??

3 784

1

6

1

4

5 6 7

2

3

8

??

4

??

3

1

6

2

7

5

8

3

2

4

??

8

51

7

6


Imena likov Dane so resničnostne vrednosti stavkov (R ali N). Poiskati je treba imena likov, ki so začetne

črke v zaporedju A, B, C, D, E, …Liki so treh oblik (trikotnik, kvadrat, petkotnik), treh

velikosti (majhen, srednji, velik) in treh barv (oranžen, zelen ali rumen). Poišči imena likov

Določi razpored objekov in poiščinajnižji stavek , ki je odvisen od ostalih !

1. Lik A ni rumen. N2. Lik A je desno od B. N3. Lik A ni petkotnik ali je lik A trikotnik. R


1. Lik C ni trikotnik. R2. Lik A je desno od D. N

3. Če je lik C majhen, potem lik A ni rumen. N

4. Če lik D ni kvadrat, potem lik D ni petkotnik. N


1. Lik A je oranžen. N2. Lik B je pod C. N3. Lik A je levo od D. R4. Lik D je oranžen ali lik C ni oranžen. N


1. Lik E je rumen. R2. Lik B je pod D. N3. Lik A je nad E. N4. Lik B je oranžen in lik E je srednje velikosti. R5. Lik A je srednje velikosti in lik A je majhen. N


Labirinti na robovih poliedra V naslednjih nalogah moramo povezati dve oglišči poliedra, ki je podan z mrežo. Poiskati moramo pot od modre do oranžne točke. Iz ene točke lahko gremo do druge točke, če je med njima zelena črta ali pa točki predstavljata isto oglišče poliedra. 1.


2.


3.


4.

Labirinti na zemljevidu a)


b)


Večdelni labirinti na zemljevidu 1.

2.

3.


4..

5.

6.


Odstranjene kocke Dan je kvader, ki sestoji iz kockic. Odstranimo vse kocke, ki so zaznamovane črno od vrha do

dna, od leve do desne in od spredaj do zadaj. Koliko kock smo odstranili?


Nagradna logična naloga

Štirje prijatelji (Matej, Marko, Jure, Andrej) z raznimi priimki (Hribar, Gorjak, Vodovnik, Gaber) imajo razne poklice (matematik, zdravnik, ekonomist, kmet). Za vsakega ugotovi ime, priimek in poklic. 1. Vodovnik ni ne ekonomist ne matematik. 2. Gaber ni ne zdravnik ne matematik. 3. Jure je ekonomist. 4. Gorjak ni po poklicu matematik. 5. Andrej se ne piše ne Hribar ne Vodovnik. 6. Matej se ne piše Vodovnik. 7. Vodovnik ni po poklicu zdravnik.

Rešitev nagradne uganke pošljite do 15.3.2015 na naslov Logika d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik, s pripisom »Nagradna uganka«. Naslednji reševalci nagradne uganke iz 2. številke bodo prejeli poševno prizmo: M.N., Cerknica; M.R., Poljane nad Škofjo Loko; N.M., Ilirska Bistrica; E.P., Vrhnika; G.M., Ptuj.


Kocki določi mrežo Vsaki mreži na desni (večja mreža) določi mrežo iste kocke na levi.


Spletna tekmovanja iz logike Na spletni strani http://olympiad.fe.uni-lj.si/Logika/ najdemo povezave na mednarodno, državno in šolska tekmovanja iz logike prek spleta. Praviloma so tekmovanja dostopna do 31. avgusta, vendar je v skladu s pravilnikom DMFA za ta tekmovanja najprej potrebna udeležba na šolskem, nato na državnem in nazadnje na mednarodnem tekmovanju. Za vsa tekmovanja je potrebna prijava, ki sestoji iz 8 mestnega gesla ter imena. Da se imena učencev ne bi pojavljala na spletu, priporočamo, da se na mesto imena uporablja psevdonim ali neka druga kombinacija številk in črk.

Za šolska tekmovanja pritisnemo povezavo Tekmovanja po šolah, ki se nahaja levo spodaj.

Na seznamu izberemo šolo, nato pritisnemo Tekmovanje. Tipko Rezultati bomo uporabili za pregled vrstnega reda.


Izberemo 8 mestno šifro in si jo zapomnimo, da bomo lahko večkrat opravili test (ostane najboljši rezultat). Napišemo psevdonim, razred in izberemo število elementov sveta. Nato začnemo s testom.

Če je stavek resničen pritisnemo RES, sicer pa NI RES. Test traja okoli 5 min, napaka pa se kaznuje s 20 s časovnega pribitka. Če nismo zadovoljni z rezultatom začnemo znova. Kategorije so: do 5. razreda 2-elementni svet

6. razred 3-elementni svet




dijaki 7-elementni svet Da bi lahko učitelj določil dejanski vrstni red, je najbolje, da učencem določi psevdonime (na primer: učenec Janez Novak je lahko gh234). Če bodo učenci tekmovali v računalniški učilnici, so rezultati lahko uporabljeni za ocene. Tako bosta le učitelj in učenec vedela, kdo se skriva za psevdonimom. Če učenec ne želi, da bi učitelj poznal njegovo sposobnosti, si pač izmisli psevdonim, ki ga drugim ne pove. Podoben način velja tudi za državno tekmovanje in olimpijado.


Spletna tekmovanja iz prostorske predstavljivosti Vstopna stran za ta tekmovanja je http://olympiad.fe.uni-lj.si/oly/.

Za državno tekmovanje pritisnemo tipko Slovenia. Pokaže se stran

Za tekmovanje po šolah je potrebno vpisati številko šole, ki jo najdete s pritiskom na Izidi tekmovanj po šolah. Tam si ogledate tudi rezultate.


Začnemo enega od 4 testov. Poiskati moramo pot od zelene do rdeče pike s klikom na sosednje polje.

Rezultate najdemo na

Prikažejo se prvi trije znaki gesla in 5 znakov imena. Za sodelovanje na državnem tekmovanju pritisnite 17. državno tekmovanje.


Pogoji z več modeli

Odvisnost, protislovnost in izpeljivost (izhajanje) ter njihovi nasprotni pojmi, neodvisnost, neprotislovnost in neizpeljivost, sodijo med temeljne logične lastnosti množice stavkov (pogojev). Množica pogojev je protislovna (nekonsistentna, nezdružljiva), če in samo če pogoji ne morejo biti vsi hkrati izpolnjeni (resnični). V tem primeru lahko izpeljemo protislovje. V nasprotnem pravimo, da je množica neprotislovna (združljiva, skladna, konsistentna, kompatibilna, ima model). Pogoj P je izpeljiv iz množice pogojev Q, če in samo če iz izpolnjivosti (resničnosti) vseh pogojev iz Q sledi resničnost pogoja P. Če je množica pogojev Q protislovna, potem je vsak pogoj P izpeljiv iz te množice. Pogoj P je neodvisen od pogojev Q, če in samo če niti P niti njegova negacija nista izpeljiva iz Q. Množica Q je neodvisna, če in samo če noben pogoj iz Q ni odvisen od ostalih pogojev iz Q. Če je množica pogojev protislovna, potem je gotovo odvisna. Vzemimo zdaj, da imamo neprotislovno množico pogojev. Če je ta množica odvisna, potem je vsaj en pogoj v tej množici odveč. Imamo torej več pogojev kot je potrebno za rešitev naloge in lahko vsaj enega izpeljemo iz ostalih. Če pa je množica pogojev neodvisna, potem je množica, ki jo sestavljajo negacija nekega pogoja in ostali pogoji, neprotislovna. In to velja za vse pogoje v množici. V naslednji nalogah bomo imeli množico pogojev (stavkov z dano resničnostno vrednostjo). Naloga je določiti imena likov (A, B, C, D, …), če se to da. 1. zgled

3

4

1

2

1. Lik B je levo od C. N2. Lik B je večji kot D. N3. Lik A ni srednje velikosti, če in samo če je lik D trikotnik. N4. Lik D ni siv ali je lik D bel. R5. Lik A je velik ali lik A ni kvadrat. R

6. B≠1 in C≠4 (sledi iz 1). 7. B≠3 (sledi iz 2). 8. D≠3 (sledi iz 4). 9. Recimo, da je A=3. 10. D ni trikotnik, D≠1 (sledi iz 3). 11. C=1 (6, 9, 10). 12. B=4 (sledi iz 2), D=2 Dobili smo rešitev C, D, A, B. (Preveri rešitev!) 13. Recimo, da je C=3. 14. B≠2 (sledi iz 2). 15. B=4 (6, 7, 14).

16. A=1 (sledi iz 5). 17. D=2 (13, 15, 16). Dobili smo rešitev A, D, C, B. (Preveri rešitev!) Skupaj:

1 2 3 4

C D A B

A D C B

Trditev A=3 je neodvisna od pogojev naloge, saj niti A=3 niti A≠3 nista izpeljivi (oziroma, imamo model za eno in drugo možnost). Podobno velja za C=3. Medtem pa sta D=2 in B=4 izpeljivi. Pokažimo posebej, da je B=4 izpeljiva. 6. Recimo, da je B≠4. 7. B≠1 in C≠4 (sledi iz 1). 8. B≠3 (sledi iz 2). 9. B=2 (6, 7, 8). 10. D≠3 (sledi iz 4). 11. Recimo, da je D=1. 12. To je v nasprotju z 2. 13. Potem je D=4. 14. Tudi to je v nasprotju z 2. 15. B=4.


2. zgled

43

1

2

5

1. Lik E je petkotnik in lik C ni velik. R2. Lik C ni kvadrat in lik A je bel. N3. Ali lik D ni siv ali je lik D trikotnik. N

4. Če lik E ni kvadrat, potem lik B ni trikotnik. N5. Ali lik B ni siv ali je lik D bel. N

6. E=5, C≠2 (sledi iz 1). 7. B je trikotnik (4), torej B≠1. 8. C=1 (kvadrat) ali A=4 (siv, 2). 9. Naj bo A≠4. 10. Potem je C=1 in A je bel.

11. B in D sta enake barve (5). To je protislovje, saj mora biti eden 4. 12. Torej A=4, B in D sta oba bela. 13. D je trikotnik (3). 14. C je kvadrat (7, 12). 15. C=1. 16. B=2 in D=3 ali B=3 in D=2 (preveri!). Torej imamo dve rešitvi:

1 2 3 4 5

C D B A E

C B D A E

Trditvi D=2 in B=2 sta neodvisni od pogojev.

3. zgled

42

5

1

3

1. Lik C je pod D. R2. Lik A je nad E. N3. Lik B ni siv in lik B ni siv. R4. Lik C je trikotnik, če in samo če lik A ni kvadrat. R5. Ali lik B ni velik ali lik E ni trikotnik. R6. Lik E je bel ali je lik B srednje velikosti. N

7. B=2 ali B=4 (3). 8. E je siv (6). 9. A≠3 in E≠5 (2). 10. C≠3 in D≠5 (1). 11. Recimo, da je A=5. 12. C je trikotnik (4), C=1. 13. D=3 (12, 1). 14. E je bel (sivi so 1, 3 in 5), Protislovje. 15. Torej A≠5, C=5 (7, 9, 10). 16. A= 4 (kvadrat, 4).

17. B=2 (16, 7). 18. E ni trikotnik (5, 17). 19. E=3, D=1 (18). Rešitev je enolična:

1 2 3 4 5

D B E A C


Naloge: 1)

3

4

2

1

5

1. Lik A je manjši kot D. N2. Ali je lik E kvadrat ali lik D ni bel. N

3. Če lik D ni trikotnik, potem lik E ni srednje velikosti. R4. Ali je lik A trikotnik ali lik C ni trikotnik. N5. Lik A je srednje velikosti in lik B je velik. N6. Lik C je kvadrat ali je lik B velik. R

2)

32

1

1. Lik B je desno od C. N2. Lik A je desno od C. N3. Ali je lik C kvadrat ali lik A ni velik. N

3)

1

3

4

2

1. Lik A je pod C. R2. Lik A je pod D. R

3. Če je lik A velik, potem lik C ni majhen. R4. Lik B je velik ali lik A ni siv. R5. Ali je lik C velik ali je lik A siv. N

4)

3

5

4

1 2

1. Ali je lik E trikotnik ali lik A ni velik. R2. Ali lik E ni kvadrat ali je lik D bel. R3. Ali je lik C kvadrat ali lik C ni siv. N

4. Če lik E ni majhen, potem je lik D petkotnik. N5. Lik C ni petkotnik in lik C ni petkotnik. N6. Ali lik A ni siv ali lik D ni majhen. R

5)

4

3

1

2

1. Lik A je večji kot D. R2. Lik A je nad D. R3. Lik C ni trikotnik in lik C ni bel. R4. Ali lik C ni petkotnik ali lik B ni siv. R

6)

3

2

4 1

5

1. Lik B je pod D. R2. Lik A je desno od C. N3. Lik A ni bel ali lik E ni petkotnik. R

4. Če je lik A bel, potem lik E ni siv. R5. Lik B je petkotnik ali lik D ni bel. R


Dokaz neodvisnosti pogojev V naslednjih nalogah moramo določiti razporeditev (permutacijo) črk A, B, C, D, …, če so dani pogoji. Tokrat ima naloga enolično rešitev in dani pogoji so neodvisni. Za vsak pogoj moramo še poiskati vse tiste razporeditve, v katerih ta pogoj ni izpolnjen, ostali pa so izpolnjeni. Naloge: 1. A JE LEVO OD B.

B JE LEVO OD C. 2. A JE SOSEDA OD B.

B JE SOSEDA OD C.

B JE DESNO OD C. 3. C JE LEVO OD D.

B JE SOSEDA OD C.

B JE SOSEDA OD D.

A JE LEVO OD B. 4. B JE SOSEDA OD C.

A JE DESNO OD B.

A JE SOSEDA OD D.

A JE DESNO OD D.

B JE LEVO OD C. 5. A JE DESNO OD E.

B JE SOSEDA OD E.

B JE DESNO OD E.

A JE DESNO OD D.

C JE LEVO OD E.

A JE SOSEDA OD D. 6. A JE LEVO OD D.

B JE SOSEDA OD C.

A JE SOSEDA OD D.

A JE LEVO OD C.

B JE LEVO OD C. 7.

B JE LEVO OD C.

B JE SOSEDA OD C.

D JE SOSEDA OD E.

A JE LEVO OD D.

A JE DESNO OD B.

A JE SOSEDA OD D. 8. B JE SOSEDA OD C.

A JE DESNO OD D.

A JE SOSEDA OD D.

A JE LEVO OD E.

B JE LEVO OD C.

A JE DESNO OD B. 9. A JE DESNO OD D.

C JE DESNO OD D.

B JE LEVO OD C.

B JE SOSEDA OD C.

A JE SOSEDA OD D. 10. A JE DESNO OD B.

C JE LEVO OD D.

A JE SOSEDA OD B.

B JE LEVO OD E.

C JE SOSEDA OD D.

B JE DESNO OD C. 11. B JE SOSEDA OD C.

A JE DESNO OD B.

A JE SOSEDA OD D.

A JE DESNO OD D.

B JE LEVO OD C.


Rešitve Barvni sudoku

3

4

1

2

4

2

3

1

1

3

2

4

2

1

4

3

2

1

3

4

3

2

4

1

1

4

2

3

4

3

1

2

4

5

2

1

3

2

3

5

4

1

5

2

1

3

4

1

4

3

2

5

3

1

4

5

2

2

4

1

5

3

1

5

3

2

4

4

1

5

3

2

3

2

4

1

5

5

3

2

4

1

4

1

2

3

2

3

4

1

3

4

1

2

1

2

3

4

2

4

1

5

3

3

1

5

2

4

4

3

2

1

5

5

2

4

3

1

1

5

3

4

2

4

2

3

5

1

5

4

2

1

3

3

1

5

4

2

1

3

4

2

5

2

5

1

3

4

3

1

2

4

1

3

4

2

2

4

1

3

4

2

3

1

4

2

3

1

1

4

2

3

3

1

4

2

2

3

1

4

1

2

5

4

3

2

3

1

5

4

5

1

4

3

2

4

5

3

2

1

3

4

2

1

5

5

3

4

1

2

4

5

1

2

3

1

2

5

3

4

3

4

2

5

1

2

1

3

4

5

2

5

3

1

4

1

2

4

3

5

3

1

5

4

2

4

3

2

5

1

5

4

1

2

3


Latinski kvadrati

3 2 4 12 3 1 44 1 2 31 4 3 2

3 1 2 41 3 4 22 4 3 14 2 1 3

1 4 5 3 24 5 2 1 33 1 4 2 52 3 1 5 45 2 3 4 1

1 3 2 42 4 1 34 1 3 23 2 4 1

2 3 5 1 41 5 2 4 33 1 4 5 24 2 1 3 55 4 3 2 1

3 2 4 14 3 1 22 1 3 41 4 2 3

1 4 3 24 3 2 12 1 4 33 2 1 4

5 2 1 4 33 1 4 5 24 3 2 1 52 4 5 3 11 5 3 2 4

3 2 4 14 3 1 22 1 3 41 4 2 3

3 1 2 44 3 1 21 2 4 32 4 3 1

4 1 3 5 22 3 5 1 43 2 1 4 51 5 4 2 35 4 2 3 1

4 3 2 11 2 3 43 1 4 22 4 1 3


Sudoku s črkami

B

D

D

D

A

A

A

A

B

B

C

D

C

C

C

B

1

2

4

3

2

3

1

4

3

4

2

1

4

1

3

2

D

D

D

D

A

B

C

B

A

A

C

C

B

A

B

C

4

1

3

2

1

3

2

4

3

2

4

1

2

4

1

3

C

A

D

B

C

B

A

B

C

A

D

D

C

B

D

A

2

1

3

4

4

3

2

1

3

4

1

2

1

2

4

3

C

B

B

C

A

A

B

C

A

D

D

D

C

B

D

A

2

1

3

4

4

3

2

1

1

2

4

3

3

4

1

2

A

D

C

C

A

D

C

B

A

B

A

D

C

B

D

B

2

3

4

1

1

4

2

3

4

1

3

2

3

2

1

4

A

B

C

C

A

B

A

C

A

D

D

D

B

B

D

C

3

1

4

2

4

3

2

1

1

2

3

4

2

4

1

3

D

C

D

B

D

C

A

D

A

C

A

A

B

C

B

B

1

4

2

3

3

2

1

4

4

1

3

2

2

3

4

1

D

A

C

B

A

A

D

C

D

D

A

B

C

B

C

B

4

3

2

1

2

1

3

4

1

2

4

3

3

4

1

2

C

A

A

B

D

A

C

D

B

B

C

B

D

C

A

D

2

3

1

4

1

4

3

2

3

2

4

1

4

1

2

3

A

D

D

D

C

C

B

C

B

B

D

A

C

A

A

B

3

1

2

4

4

3

1

2

2

4

3

1

1

2

4

3

C

D

D

C

B

B

B

C

A

D

D

A

A

C

B

A

4

2

1

3

1

4

3

2

2

3

4

1

3

1

2

4

A

C

B

B

C

A

B

B

A

D

A

C

D

D

C

D

2

3

1

4

4

1

3

2

3

2

4

1

1

4

2

3


Futošiki

2 1 4 3

3 2 1 4

4 3 2 1

1 4 3 2

>

>

>

3 1 5 4 2

1 4 2 5 3

2 3 4 1 5

5 2 1 3 4

4 5 3 2 1

> >

<

>

3 1 2 5 4

1 5 3 4 2

2 3 4 1 5

4 2 5 3 1

5 4 1 2 3

>

>

>

>

5 1 2 4 3

3 2 4 1 5

1 4 5 3 2

4 5 3 2 1

2 3 1 5 4

<

<

< >

1 3 5 2 4

5 2 3 4 1

3 5 4 1 2

2 4 1 5 3

4 1 2 3 5

< <

> <

2 1 4 5 3

4 5 2 3 1

1 3 5 4 2

5 2 3 1 4

3 4 1 2 5

<

>

<

<

3 2 1 4

1 3 4 2

4 1 2 3

2 4 3 1

<

> >

1 2 3

3 1 2

2 3 1

< < 1 3 2 4 5

4 1 5 3 2

3 2 4 5 1

2 5 3 1 4

5 4 1 2 3

<

>

>

>

1 4 3 2

4 2 1 3

2 3 4 1

3 1 2 4

<

>

<

3 4 2 1

4 3 1 2

2 1 4 3

1 2 3 4

<

>

<

2 5 1 3 4

4 3 5 2 1

3 2 4 1 5

5 1 3 4 2

1 4 2 5 3

<

>

< <


Rdeči kvadratki

R R

R

2 2 1

1 0

R

R

1

1 1

1

1 1

0

R

R

R R R

1 1

0

2 3 3

2 2 2

R

R

R

R

2 1

1

3

2 0

R

R R

R

1

2 1 2

1

3

0 1

R

R

1 1

2

0 1

0

0

R R R

R

R

2

1 2

0

0

2 2

R

R

1

1 1

1 0

0

R R

R R

1 1 2

1

1 1

2 0

R

R

R

0

2

3

2 1

R R

R

2 3

0 1

R

R

0

2

1 0


Gobelini

51, 11, 11, 141, 11, 13, 1

11

8 111

11

12

31

1

41, 111

111, 13

6 11

11

11

21

3

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

4 11

11

11

4

311111113

11

9 11

2, 2

1, 1

2

2

1, 1

2, 2

11

22

2 2 22

11

3

1, 1

1, 1

1, 1

1, 1

3

4 11

11

11

4

2

1, 1

3

1, 1

1, 1

412

111

111

5 1

51, 11, 141, 11, 11, 15

11

8 111

111

111

23

2111, 12, 11, 11, 11, 13, 2

11

9 11

1 5 1

51, 111111, 15

22

111

121

111

22

2111, 12, 11, 11, 11, 13, 2

11

9 11

1 5 1

51, 11, 11, 161, 11, 11, 15

9 111

111

111

111

7


Križne vsote

8 9

5 4 7

5 9

13 18

17

16

16

14

1 8

8 9 6

7 5

9 24

9

11

23

12

4 92 3 8 7

4 2 7 6 9

7 5 9

1 8

6 1613

14 165

915

246 22

621

9

6 8

3 5 7

9 7

4 8

9 1314

2015

1516

12

5 6

2 1 6

2 4

7 9

11

10

9

6

7 1

3 4 1 4

3 1 1 5 96 7 2

9 4

10 88

6 137

75

74 15

1615

13

7 9

8 1 3

4 9

1 6

15 1016

812

1513

7

3 2

2 6 7

5 9

5 13

5

16

15

14

8 1

7 2 1

6 4

15 9

9

5

10

10

7 3

9 5 1

9 7

8 4

16 810

1815

1116

12

1 2

9 3 4

7 8

5 1

10 53

1616

915

6

5 9

3 1 7

8 6

4 2

8 1014

1911

814

6


Križni produkti

3 4 8 96 7 4 6 8

8 5 5 47 5 2 8 42 8 6 3

4 3 97 8

18 224 32 108012 72

3242 192

540

1440

112020

2435 64

16 1824

108

56

7 2

2 9

14 18

14

18

7 5 2 76 8 7 9 6

6 5 8 58 4 7 9 53 2 6 5

9 7 27 2

42 240 14 252035 14

3048 378

420

2430

50440

4532 315

6 3014

126

14

5 2

3 4 8 5

3 2 7 9 49 8 5

7 2

15 2410

72 2012

1840

706 252

56360

14

3 9 7 87 4 8 3 6

7 8 2 73 6 7 3 54 7 6 8

9 7 45 8

21 252 56 24027 56

4228 144

1344

1256

189014

2418 105

28 4856

252

40

9 8 8 93 9 3 8 6

2 3 4 29 2 6 3 54 5 4 6

6 3 78 7

27 144 24 144072 72

1227 144

504

366

4808

1818 90

20 2421

126

56

4 52 6 5 4

2 5 9 4 8

6 3 7

5 8

8 6020

20 3212

3020

50410 288

15126

40

2 35 8 5 2

6 5 7 8 5

2 6 9

8 3

10 1446

40 1040

1010

18930 280

48108

24

7 2 8

3 7 5

21 14 40

112

105

6 4

8 9 6

8 7

9 8

48 36

24

432

432

56

56

72

9 6

7 5 2 7

4 2 2 5 33 4 6

5 8

63 12054

10 2135

614

968 30

2072

40

9 6

3 9 7 9

4 2 7 2 89 6 2

8 5

27 21654

14 7227

1863

708 112

48108

40


Labirint na kocki

12

3 4

56

7 8

9

10

11

12 13

1415

16

1718

19

2021

22

1

23

45

67

8 9 10 11

12

1314

151617

18

19 20

21

2223

1

2 3

4

5 6

7

89

10

11 12 13 14

151617

1819 1

2

34

56

78

9

10 11

12

13 14

15

16

17

18

1920

21

1

2 3 4

5 6

7

89

10

1112

13 14

1516

17 18

19 20 21

22

23

123

4 5

67

8 9

10 11

12

13

14

1516

17 18 1920

21

22

23


Labirinti na enostavnih poliedrih

12

3

4 5

6 7

8 9

1011

12

1314 15

161718

1920

21 22

1 2

3

4

56

78

910

11

12 13 14

15 16

17

1819

20

21 22

23

1

2

3 4

5

6

789

10

11

12

13

14

15

16

17

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

161

2

3

4

5 6

7

8

9

10

111213 14

15

16

17

18


Imena likov Stavek pod številko 3je odvisen od ostalih .

A

B

C

Stavek pod številko 4je odvisen od ostalih .

A

B

C

D

Stavki so neodvisni .

A

B

C

D

Stavek pod številko 5je odvisen od ostalih .

A

B

C

D

E


Labirinti na robovih poliedra 1.

64

5

4 6

2

4

21

4

1

5

35

1

6

5 3

1 2

3

2

6

3

82, 3, 5, 1, 4<

4

5

6

6

2

44

2 1

15

4

5 1

3

5

36 3

1

23 2

6

85, 6, 2, 1<

4 5

6

2

46

1

4

2

54

1

5

1 3

5

3

6

31

2

6

3 2

84, 1, 3, 6<

64

5

4 6

22

14

5

4

1

1

3

5

6

5 3

2 3

1

2

6

3

85, 3, 2, 4, 6<

4 5

6

2

46

1

4

2

54

1

3

5 1

6

5

33

1

23 2

6

84, 6, 3, 1, 5<

6

45

6 2

4

2

1

44

1 513

5

3

6

5 3 1

2

3

26

82, 6, 3, 1<


2.

42

6 8

5 7

86

3

4 8

731

2 4

1 3

755

62

1

82, 6, 5, 7, 3, 1<

4

26

88

65

7

8 7

344 3

12

5 1

37

6 2

15

81, 2, 6, 8, 4, 3, 7<

2

68

4

6 5

78

4

87

3 24

3 1

1 3

75

1

56

2

87, 5, 6, 2, 1, 3<

8

42

6 86

5 7

34

8 7

4 3

12 1

3 7

5

5

62

1

85, 6, 2, 1, 3, 4, 8, 7<

4

26

8

7

86

5

48

7 3

4 3

12

75

1 3

2 1

56

88, 6, 5, 1, 3, 4, 2<

4

2 6

8

5 7

86

7

3 4

8

43

1 2

1 3

75

1

56

2

81, 2, 6, 8, 7, 3<


3.

14 1

1510

9

1211

52

65

117

3

19

11 12

816

74

8

12 6

2020

62

13

18

519

1713

2

420

18

1015

17 9

1018

13

14

917

193

716

114

3 168

4

151

819, 5, 11, 12, 8, 4, 15, 10, 9, 17, 13<

15

109

14

12 6

1211

5

7

319

5

11

1112

8

167

12

620

4

8

206

2

13 18

2

519

1713

420

18 10

15

1018

1317

9

149

17 19

3

1

14 3

716

16

8 4

151

815, 4, 8, 12, 11, 7, 3, 14, 9, 17<

10 914

115

526

1211511 7

319

71112

816

20

48

12

6

62

131820

2 519

1713

154

2018

10

1317910

18 1719

3149

37

161

14

1684 15

1

820, 6, 12, 11, 5, 2, 13, 17, 9, 14, 3, 7, 16, 8<

15 109

141

526 12

115

117

3198

16711

12 204

812 6

131820

62

1713

25

1918

10154

2018 13

179

109

1719314

37 16

114

415

116

8

813, 18, 20, 6, 12, 8, 16, 1, 14, 3, 19, 17<

14

115

10

9

26

1211

5

73

19 5

11

8

167

11

124

812

620

18

206

2

13

1917

132

5

1015

420

18

17

910

1813

17 19

314

914

37

1611 16

84

15

815, 1, 16, 8, 4, 20, 18, 10, 9, 14, 3<

115

109

14

52

612

11

19

511

7

3

12

816

7

11126

20

4 8

2

1318

206

2 5

1917

13

20

1810

15

4

1317

910

18 1719

3

149

3

7 16

114

168

4

15 1

88, 4, 15, 10, 9, 17, 19, 5, 11, 12<


4.

12

8

2

8

7

22

7 11

2

11

4

12 2

4

9

1

5

6

51

10

6

1

1 3

10

9

31

10 8

12

8

3 7

79

11115

4

12

46

11

9

5

6 4

5

10

126

10

3

8

9 7

3

83, 9, 5, 6, 4, 2, 8, 10<

12

8 287

2

7

1122 11

4

2

412

9 1

55

1

6

10

61

10

1

33

19

1210

88

3

7

9

11

7

11 5

4

6

12

49

511 5 6

4

10 12

6

103

8

3

9

7

89, 7, 2, 11, 5, 1, 3<

12

82

7 2

8

11

27

4

2

11 4

122

15

9

6

5 1

10

6 1

10

1

33

1 9

12 10

88 3

7

11

7

9 411

5

4 6

12

9

5

11

64

5

12

6

10

8

10

3

7

3

9

85, 11, 4, 12, 6, 10, 1, 3, 7<

128

2

8

7

2

7

11

2

11 4

2

12

2 4

9

1

5

1

6

5

10 6

1

10

133 1

9

12

10

8

8

377

911

11

5

4

6

12 4

9 5

11

5

6 4610

12

10

3

8

7 3

9

89, 11, 4, 12, 8, 2, 7<

12

8 28

7 227

11

2

11 4

12

2

4

9

15

6

5

1

1 10

6

3

101

3

1

9

10

8

12

83

779

11

11

54

6 12

4

9

5

11

6

45

6

10

12

3 8

10

7

3

9

86, 1, 5, 9, 11, 2, 8, 10<

12

8 228

77

11

2

11

4

2

4

12

2

9

15 1

65

1 10

6

3

101

3

1

9

10

8

12

83

7

911

7

11

54

6 12

4

9

5

11

5 6

4

6

10

12

3 8

10

39

7

82, 11, 5, 1, 6, 12, 8< Grupe

Sličice na drugi sliki moramo zaporedoma označiti: {13, 5, 15, 17, 1, 10, 8, 2, 3, 7, 6, 4, 14, 11, 12, 16, 9} Linearne grupe: a) {4, 5, 2, 7, 1, 3, 6}, {2, 6, 1, 5, 3, 4, 7}


b) {3, 2, 1, 6, 7, 5, 4}, {6, 4, 2, 5, 1, 7, 3}

Prostorska predstavljivost a)

1 2 3

1

2

3

4

5

10 11 9

3 8 6

6 3 4

10 4 5

2 10 7

b)

1 2 3

1

2

3

4

5

5 2 3

1 6 2

1 4 6

5 3 1

4 6 6

Labirinti na zemljevidu a)

1 2

3

45

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

16

17

18

19

20

21

22


b)

12

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

16

17

1819

20

21

22

23

24

25 26

2728

2930

31

32

33

34

35

36

37

3839

Večdelni labirinti na zemljevidu 1.

1

23

456

7

8

910

11

12

13

14

15

16

17

18 19

2021

22 2324

25

2627

28

29

30

31

32

33

34

3536

37

38

39

40

41

42

43 44

4546

47

48

49

50 51

5253

54

55

5657

58

59


2.

1

2 3

4

5

6 7

8 9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2021

22 23

2425

26

27 28

29

3031323334

35

36

37

38

3940

41

42

43

4445

464748

49

50

515253

54 55

5657

585960

6162

63

64

65

3.

1

2

3

4

56

7 8

9

10

11 12

13

14

15

16

17

18 19 20

21

22

2324

25

262728

4.

171819

20

22

23

26 27 28 29 30

1 2

345

6

7 81213

36

38

39

40

9101114

15

16

21

24

25

31

32

3334

35

37

41

42


5.

22

23

24

2526

29

30 31

27

28

35363738

39

40

4142

43

44

45

1

2

10

13 14 15

16

17

18

1920

213233

3

4

5 6

7 8

9

11

12

344647

6.

22

23

24

25 36 37

38

39

40

41

42

43

3

45

6 726

272829

30 31 32 33

34

35

9

10

11 12

13 14 15 16

17 18

19

20

21

1

2

8

Pogoji z več modeli 1) 1 2 3 4 5

D C A B E

E C A B D

D C B A E

E C B A D 2) 1 2 3

C B A 3) 1 2 3 4

A D B C 4) 1 2 3 4 5

D E A C B

A D E C B

D A B C E


5) 1 2 3 4

C D B A

C D A B 6) 1 2 3 4 5

D B A C E

D B A E C

D C A E B Dokaz neodvisnosti pogojev 1. A B C BAC BCA

ACB CAB 2. C B A ACB

CAB

ABC 3. A C B D ADBC

ACDB CABD CADB

ABCD

CBDA 4. B C D A BDAC

DABC

DBCA

BCAD

CBDA 5. C E B D A CDAEB DACEB

CEDAB

CBEDA

CEBAD

EBCDA EBDAC

CDEBA DCEBA 6. A D B C DABC

BADC

ABCD

BCAD

ADCB 7. B C A D E


CBADE

BADEC

BCEAD EBCAD

BCEDA

ADEBC

BCAED 8. B C D A E BDACE BDAEC

BCADE

DBCAE

BCEDA EBCDA

CBDAE

DABCE DAEBC 9. D A B C ADBC

BCDA

DACB

BDAC

DBCA 10. C D B A E CDABE

DCBAE

CDBEA

CDEBA ECDBA

CBADE CBAED

BACDE BAECD 11. B C D A BDAC

DABC

DBCA

BCAD

CBDA

Odstranjene kockice 70 43 117

61 76 116

114 70 63

93 71 95 Kocki določi mreži 1, 2, 3, 2, 3, 2.

Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB: 02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je zavezanec za DDV po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner. E-mail: [email protected]. Spletna stran: http://www.logika.si. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Revijo je sofinanciralo Ministrstvo za izobraževanje, znanost, kulturo in šport.

Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko - oddelek za teoretično računalništvo. Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner (http://mat03.fe.uni-

lj.si/html/people/izidor/homepage/) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Recenzent: Vilko Domajnko, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Monika Kavalir, dr. Meta Lah, Boštjan Kuzman,Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič. Oblikovanje: Ana Hafner Jezikovni pregled: Besana Za objavljene prispevke ne plačujemo honorarjev. © 2014 LOGIKA d.o.o. ISSN 2350-532X LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA, letnik XXIV, št. 3 od 4, 2014/2015 Elektronska izdaja. Cena revije: 0 €.

Matematika - Logika 2014-2015 3matematika-osnovna-sola.splet.arnes.si/files/2016/07/... ·...

Documents

Transcript of Matematika - Logika 2014-2015 3matematika-osnovna-sola.splet.arnes.si/files/2016/07/... ·...