Kocsisné Dr. Szilágyi Gyöngyi

LOGIKA

5. Előadás

TECHNIKAI ADATOK

Elérehetőség:• aszt.inf.elte.hu/~szilagyi/

• szilagyi@aszt.inf.elte.hu

Fogadó óra: hétfő 10-12 2.620 szoba

Jegyzet:

Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda:

A MATEMATIKAI LOGIKA ALKALMAZÁSSZEMLÉLETŰ TÁRGYALÁSA

TEMATIKA

Bevezetés

A 0. rendű logika (Itéletkalkulus)

• Szintaxis

• Szemantika

• 0. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)

• Szemantikus következmény

• Normálformák

• Automatikus tételbizonyítás (szemantikus, szintaktikus)

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus)

• Szintaxis

• Szemantika

• 1. rendű logikai törvények (kielégíthető, kielégíthetetlen, azonosan igaz)

• Szemantikus következmény

• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

Gödel tételei

SZINTAKTIKUS SZEMANTIKUS

Levezethető / Bizonyítható Azonosan igaz / következmény

A szintaktikus és a szemantikus megközelítés ugyanoda vezet-e?

Gödel Teljességi tétele

Gödel teljességi tétele a matematikai logika fontos tétele, azt mondja ki, hogy ha egy elsőrendű elméletben egy tetszőleges mondat minden modellben igaz, akkor bizonyítható is.

• Az igazság tétel

A tétel szerint, ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elméletnek (zárt formulák halmazának) van modellje, akkor konzisztens (ellentmondásmentes).

Ez nyilvánvaló, hiszen a modellben minden T-ből levezethető állításnak igaznak kell lennie, márpedig a modellen nem teljesülhet egyszerre egy zárt formula és tagadása.

• A teljességi tétel

A teljességi tétel az igazság tétel megfordítása:

Ha egy L elsőrendű nyelvben megadott T elmélet (zárt formulák halmaza)

konzisztens, akkor van modellje.

• A teljességi tétel másik alakja

Ha egy L elsőrendű nyelvben T elmélet és F zárt formula, amire teljesül

T = F, azaz F igaz T minden modelljében, akkor F levezethető T-ből.

Ez az állítás ekvivalens a teljességi tétel fenti alakjával

Gödel 1. nemteljességi tétele

Tétel – Gödel első nemteljességi tételeMinden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan mondat, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható.Terminológiai megjegyzések1 – Formális-axiomatikus elmélet alatt bármilyen formalizált (például elsőrendű nyelvre épített) axiomatikus-deduktív elméletet érthetünk,.2 – Ellentmondásos egy axiomatikus elmélet, ha van benne olyan mondat, mely bizonyítható is és cáfolható is. Amennyiben kizárt, hogy akármelyik mondat bizonyítható és cáfolható is legyen, akkor azt mondjuk, hogy az elmélet ellentmondásmentes.3 – Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet elegendően erős.4 – Megfogalmazható, azaz létezik a formális nyelvnek ilyen mondata. (Ez a fajta létezés ráadásul konstruktív abban az értelemben, hogy valamilyen eljárással véges lépésben kikereshető az összes mondat közül – bár a kikeresés idejére vonatkozóan nem feltétlenül lehet felső korlátot megadni.)5 – Bizonyítható, azaz formalizált axiomatikus-deduktív elméletek levezethetőség kritériumának megfelel.6 – Cáfolható egy S mondat, ha negációja (azaz a 'nem S' mondat) bizonyítható.

Gödel 2. nemteljességi tétele

Gödel második nemteljességi tétele Gödel első nemteljességi tételének egy lényeges kiterjesztése.

• Míg az első nemteljességi tétel azt mondja ki, hogy minden „valamirevaló” elméletnek van megoldhatatlan problémája,

• addig ez a tétel konkrét példát mutat: minden „valamirevaló” elméletben bizonyíthatatlan, hogy maga az elmélet ellentmondásmentes.

FEJTÖRŐ

1. Van olyan paciens, aki minden doktorban megbízik.

2. A kuruzslókban egyetlen paciens sem bízik meg.

Formalizáljon elsőrendben.

Következmény-e 3.

3. Egyetlen doktor sem kuruzsló.

P(x): az x egy paciens

D(y): y egy doktor

K(y): y egy kuruzsló

M(x,y): X megbízik y-ban

TEMATIKA

Az 1. rendű logika (Predikátumkalkulus) Szintaxis • abc, term, formula, szintaktikai definíció,

• egyértelmű elemzés, szerkezeti indukció és rekurzió

• Műveletek hatásköre, változó előfordulás-változó-formula minősítése

• Logikai összettetség

• Alapkifejezés, prímformula, prímkomponens

• Változó átnevezés, Termhelyettesítés

Szemantika

• Interpretáció (abc elemei: logikán kívüli rész, változó kiértékelés( ))

• L-értékelés (term és formula)

• Term és formula értéktáblája

• Quine-féle táblázat

• Kielégíthetőség: kielégíthető, kielégíthetetlen, logikailag igaz, tautológia

• 1. rendű logikai törvények

• Szemantikus következmény

• Szintaktikus megközelítés ( Rezolúció)

1. Rendű logika: Bevezetés

• Az ítéletlogikában nem foglalkoztunk az állítások minősítésével és az állítások leírásával.

• Az állítás definíciója szerint az állítást egy kijelentő mondattal ki lehet fejezni.

• Ehhez rendeltük az állításjelet,

• majd az állítások halmazához az ítélet változót

• Az állítás információ tartalma alapján igaz vagy hamis.

Például: 1. P: a 7 prímszám – állítás, ítélet változó (P)!

2. Az x prímszám – nem állítás (paraméteres)

Alaphalmaz: x ϵ N

x nem ítélet változó

Hogyan analizálhatnánk a 2. mondatot?

1. Rendű logika: Bevezetés

Az ilyen állítások formális leírására egy relációt (logikai függvényt) definiálunk.

• P(x) = i, ha x prímszám - Alaphalmaz: x ϵ N

• E(x) = i, ha x egészszám - Alaphalmaz: x ϵ N

• L(x,y,z) = i, ha z az x és az y legnagyobb közös osztója.

- Alaphalmaz: x, y, z ϵ N

Szükségünk lesz:Alaphalmaz- egyedek/indivíduumok halmaza- Univerzum-Jele: U

•X: indivíduum változó: U elemeit futhatja be

• P (x) : predikátum szimbólum:U {i, h}

1. Rendű logika: Bevezetés

•Az állítás konkrét egyedekkel behelyettesített reláció. Pl.: E(9)=i, E(0.8)=h vagy

L(9,6,3)=i, L(9,6,7)=h állítások, de

L(9,6,z) nem állítás (paraméteres állítás).

•Ha a kijelentő mondat alanya egy konkrét egyed, akkor az állítást nulladrendű állításnak hívjuk.

•Az alaphalmaz lehet például a racionális számok halmaza.

•Ha a kijelentő mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, az állítást elsőrendű állításnak hívjuk.

1. Rendű logika: Bevezetés

• Ebben az esetben az állítás az elemek halmazára vonatkozik és az összes elemre egyidejűleg fennálló megállapítást/általánosítást vagy a halmaz bizonyos elemeire (nem feltétlenül mindre) fennálló megállapítást/létezést fogalmaz meg.

• Ennek leírására vezetjük be a (univerzális) és a (egzisztenciális) kvantorokat.

• Pl. a „Vannak prímszámok” kijelentés - xP(x) alakban írható le, ha feltételezzük, hogy a vizsgált elemhalmaz/ vagy indivíduumhalmaz/univerzum az egészszámok halmaza.

• Amennyiben az univerzum a valós számok halmaza, akkor ugyanezt az állítást x(E(x)P(x)) alakban írhatjuk fel.

1. Rendű logika: Bevezetés

• A„Minden háromszög szögösszege 180 fok” kijelentést – felírhatjuk x(H(x)S(x,f(y1,y2,y3)) alakban, ahol

- H(x) = i, ha x háromszög és

- f(y1,y2,y3) = y1+y2+y3

- S(x,f(y1,y2,y3)) = i, ha

y1,y2,y3 az x szögei és f(y1,y2,y3) = 180 fok.

Szükség lesz:

• f(y1,y2,y3): Függvény szimbólum: UxUxU U

• : univerzális kvantor

• : egzisztenciális kvantor

Abc

NYELV = ABC + SZINTAXIS + SZEMANTIKA

Abc

Logikai rész: • , , , , , ,

• Indivídum változók (X, Y, …) – megszámlálhatóan végtelen, adott fajtájúak

• Elválasztó jelek („(„ „)”)

• (ítélet változók)

Logikán kívüli rész:

•Függvény, predikátum és konstans szimbólumok

•Elemfajták halmaza

Abc, szignatúra

Abc, term, formula

Abc, term, formula

Példa:Term: f(x,f(c,y))

• f: függvényszimbólum : U x U U

• c: konstansszimbólum: c ϵ U

• x: indivíduum változó: U elemeit futja be

Formula: x(H(x) S(x,f(y1,y2,y3))

• f: függvényszimbólum: U x U x U U

• c: konstansszimbólum

• x, y1,y2,y3: indivíduum változók: U elemeit futják be

• H: predikátum szimbólum: U {i,h}

• S: predikátum szimbólum: U x U {i,h}

Szerkezeti fa: term, formula

Szerkezeti fa: term

Szerkezeti fa: formula

Szintaktikai definíció

Szintaktikai definíció

Egyértelmű elemzés

Szerkezeti indukció

Szerkezeti rekurzió

Műveletek hatásköre

• A kvantorok (, ) prioritása a legerősebb az összes logikai műveletei jel között.

• A , hatásköre a legszűkebb részformula jobbra.

 

A hatókörök megállapításánál ezt a szabályt kell figyelembe venni, és az Ítéletkalkulusnál megismert szabályokkal együtt kell alkalmazni.

 

Példa

 

xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))

 

hatáskör hatáskör

hatáskör

 

Változó előfordulás minősítése

Egy formulában egy x változó egy előfordulása:

• szabad, ha nem esik x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe

• kötött ha x-re vonatkozó kvantor hatáskörébe esik.

 

Példa

xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))

A fenti formulában x első előfordulása kötött, második előfordulása viszont szabad.

Y mindegyik előfordulása kötött.

Z mindegyik előfordulása kötött (egy van).

Változó minősítése

Egy x változó egy formulában:

• kötött változó ha x minden előfordulása kötött,

• szabad változó ha x minden előfordulása szabad,

• vegyes változó ha x -nek van szabad és kötött előfordulása is.

Példa

xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))

• x vegyes,

• y kötött,

• z kötött

Formula minősítése

•Egy formula zárt, ha minden változója kötött.

•Egy formula nyitott, ha legalább egy indivíduum változónak van legalább egy szabad előfordulása.

•Egy formula kvantormentes, ha nem tartalmaz kvantort.

 

Példa

xP(x) y(Q(x,y)P(y)zQ(y,z))

A fenti formula nyitott, mert például x-nek van szabad előfordulása.

Logikai összettetség

Példa:

Alapkifejezés

Definíció:

Kifejezés: termek + formulák

Azokat a kifejezéseket, melyekben nincs indivídumváltozó alapkifejezéseknek nevezzük.

• alapterm: f(t1, ..., tn), ahol f: függvényszimbólum

• alapatom: p(t1, ..., tn), ahol p: predikátumszimbólum

• alapformula: tetszőleges formula, melyben nincs indivíduum változó

 

Nem alapkifejezés például a kvantoros formula, mert ott legalább egy változónak kell lenni, amire a kvantor vonatkozik.

Részterm, Részformula

Részterm, Részformula

Prímformula, prímkomponens

Definíció:

• Egy 1. rendű formula primformulái az atomi formulák

( p(t1, ..., tn) ) és a kvantált formulák.

• Egy 1. rendű formula primkomponensei a formula azon primformulái, amelyekből a formula logikai összekötőjelek segítségével épül fel.

 

Példa:

• P(X) prímformula, de csak akkor prímkomponens, ha magában szerepel a formulában:

- P(X) Q(X) ben: P(X) prímkomponens is

- xP(x) Q(X) ben: P(X) nem prímkomponens, csak prímformula

 

Változó átnevezés

Termhelyettesítés

SZEMANTIKA: Zérusrendben

• A nyelv ábécéjének értelmezése (interpretációja - modellezése).  

• Az ítéletlogika ábécéjében csak az ítéletváltozókat kell interpretálni.

• Az ítéletváltozók befutják az állítások halmazát.

• Ha megmondjuk melyik ítéletváltozó melyik állítást jelenti, akkor a változó igazságértékét megadtuk.

• Ennek rögzítését interpretációnak nevezzük:

Emlékeztető: Formula

• minden ítéletváltozó ( Vv) JFF

• ha AJFF akkor AJFF

• ha A,BJFF akkor (A○B)JFF

minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával.

 

 Egyszerű állítás Összetett állítás

 

interpretáció Boole-értékelés

{ i , h } { i , h }

 

 Formula jelentése mindig igazságérték!

Szemantika: 1 rendben

1. Interpretáció (I)

+

2. változó kiértékelés ( )+

3. L-értékelés (I + -n alapuló) 

1. Rendű logika

Finomabb elemzést tesz lehetővé, nagyobb kifejező erővel rendelkezik!

 

Példa: Panni kirándulni ment.

 

individum predikátum

Nevek: individum név vagy leírás, amiről állítunk valamit

Predikátumok: A mondat többi része, amit állítunk; önmagában is értelmes kifejezés vagy kifejezés szerkezet.

• mondat {i,h}

• Olyan logikai függvény, melyeknek a változószáma megegyezik a mondat individumszámával.

, : zR(z, g(z)) ( Q(g(x)) xR(x,x))