Linearni ravenki

1. Voved

Logi~noto mislewe i rabotata se osnova za `ivotot i svetot. Logikata e temel na matematikata i taa ne mo`e da postoi bez logikata. Matematikata e edna od najstarite nauki. Se koristi nasekade vo svetot. Jazikot na matematikata, pretstaven preku broevite, go koristat site. Taa se sozdava dolgo vreme kako rezultat od potrebite na ~ovekot.

Najstarite i osnovni granki na matematikata se: aritmetikata, algebrata i geometrijata. Site ostanati granki proizleguvaat od ovie tri. Algebrata ima golema primena vo praktikata.

Vo sekojdnevniot `ivot, na primer, koga kupuvame kola, go ureduvame na{iot dom, nie ja koristime matematikata. So pomo{ na algebrata go planirame na{iot buxet, igrame razni igri na sre}a so presmetuvawe na {ansite za dobivka. So eden zbor taa se koristi nasekade.

Eden matemati~ar rekol:“Dokolku se razvie matemati~koto mislewe, rabotite okolu

nas bi bile kristalno jasni”. Vo osnova na algebrata se nao|aat linearnite ravenki. So cel

da gi objasnam podobro linearnite ravenki, }e po~nam od poimite za ravenstvo, identitet i ravenka, koi se bazi~ni poimi vo linearnite ravenki, kako i vo site ostanati vidovi na ravenki vo algebrata.

Taa e tesno vrzana i za drugite prirodni nauki kako: hemijata, fizikata, informatikata i dr.

1

2. Poim za ravenstvo, identitet i ravenka.

Nepoznata vo matematikata e simbol za nekoj broj. Taa pretstavuva nekoj broj. Obi~no za nepoznata gi upotrebuvame bukvite n, t, ili x, y, z. Koga rabotime so nepoznati, podobro e da upotrebime bukva koja }e uka`uva {to ili koj, nepoznatata zastapuva, na primer: neka t e brojot na to~ki vo ramninata.

Izraz pretstavuva matemati~ka re~enica koja sodr`i broevi, nepoznati ili pak dvete zaedno. Na primer:

2 , x , 3 + 7 , 2y + 5 , 2 + 6(4 - 2) , z + 3(8 - z)

Ili pak preku tekstualna prezentacija: Marija e te{ka 70 kilogrami, a Mile te`i k kilogrami. Izrazot koj }e ja pretstavuva nivnata zaedni~ka te`ina }e bide: 70+k.

Dva izrazi svrzani so znakot na relacijata ”=” (ednakvo), obrazuvaat ravenstvo. Na primer:

2 = 2

17 = 2 + 15

x = 7

7 = x

t + 3 = 8

3n +12 = 100

w + 4 = 12 - w

y - 1 - 2 – 9,3 = 34

3(d + 4) - 11 = 321 - 23

Ili pak nekoj tekstualen problem da se zapi{e vo vid na ravenstvo. Na primer: Posle 20 godini }e imam 4 pati od godinite koi gi imam sega namaleni za 10. Ako brojot na godinite koi gi imam sega, gi ozna~am so g, ravenstvoto bi izgledalo vaka:

2

g + 20 = 4g - 10

Kaj ravenstvata razlikuvame leva i desna strana. Ako dvete strani na ravenstvoto sodr`at samo broevi ili brojni izrazi, toga{ tie se narekuvaat brojni ravenstva. Tie mo`at da bidat vistiniti ili nevistiniti. Na primer prvoto i vtoroto ravenstvo se vistiniti.

Ravenstvoto na dve funkcii, koi dobivaat ednakvi brojni vrednosti za sekoj proizvolen sistem na dopu{teni brojni vrednosti na argumentite, se vika identitet.

Na primer:

Ravenstvoto kaj koe brojnite vrednosti na dvete strani se ednakvi samo za opredeleni dopu{teni brojni vrednosti na argumentite, se vika ravenka.

Ravenkite mo`at da bidat: od prv stepen ili linearni ravenki, od vtor stepen ili kvadratni ravenki, od tret stepen ili kubni ravenki itn. vo zavisnost od stepenot na polinomite koi gi sodr`at. Dodeka spored brojot na nepoznatite mo`at da bidat so edna nepoznata, so dve, so tri itn.

Jas }e se zadr`am na linearnite ravenki so edna nepoznata i na na~inot na nivno re{avawe.

3. Re{enie na ravenka

Re{enieto na ravenkata e brojot za koja taa ravenka preminuva vo identitet. Ili, sekoj podreden par od dopu{teni brojni vrednosti na argumentite (x,y), koj ja zadovoluva ravenkata se vika re{enie na edna ravenka ili koren na ravenkata.

Koga barame re{enie na ravenka, mora da gi koristime osnovnite pravila za poednostavuvawe na ravenkata. Tie se slednite:

1) Ako vo ravenkata imame zagradi, stepeni, proizvodi, koli~nici, zbirovi i razliki, re{avaweto e po voobi~aenoto pravilo na prednost(kako {to se navedeni).

3

2) Sli~nite izrazi se kombiniraat. Toa zna~i sobirawe i odzemawe na nepoznatite od ist vid.

3) Mo`eme da dodademe ili odzememe koja bilo vrednost od dvete strani na ravenkata. Toa povlekuva deka ako vo dvete strani na ravenkata ima ednakvi ~lenovi so isti znaci, tie mo`at da se poni{tat t.e. izostavat. Ili pak, sekoj ~len na ravenkata mo`e da se prenese od ednata strana na ravenkata na drugata, a pritoa negoviot znak da se promeni vo sprotiven.

4) Mo`eme da gi pomno`ime ili podelime dvete strani na ravenkata so koj bilo broj, osven nulata. Ova povlekuva deka, po potreba znacite na ravenkata mo`at da se promenat vo sprotivni, dokolku dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so -1. Ili, vo ravenka so drobno numeri~ki koeficienti ako site ~lenovi na ravenkata gi pomno`ime so najmaliot zaedni~ki sodr`atel na imenitelite, taa }e se transformira vo ravenka so celi koeficienti. Kako i, ako dvete strani na ravenkata imaat zaedni~ki mno`itel, koj{to ne ja sodr`i nepoznatata i e rali~en od nula, toga{ so nego mo`at da se podelat stranite na ravenkata bez taa da se promeni.

Na primer, da ja re{ime slednava ednostavna ravenka:

x - 12 + 20 = 37

Bidej}i na levata strana imame sli~ni termini (- 12 + 20) tie mo`eme da gi presmetame. Ravenkata }e dobie oblik:

x + 8 = 37

Ako od dvete strani na ravenkata odzememe 8:

x + 8 + (-8) = 37 + (-8)

ili

x + 0 = 29

x = 29

4

4. Linearna ravenka so edna nepoznata. Diskusija na re{enijata.

Ravenka od prv stepen so edna nepoznata e sekoja ravenka vo oblik:

kade {to a i b se koi bilo dadeni realni broevi ili izrazi {to ne zavisat od nepoznatata x.

Ovoj vid na linearna ravenka so edna nepoznata se narekuva op{t vid, kade a e koeficient pred nepoznatata, a b e sloboden ~len.

Da gi ispitame mo`nite re{enija na ravenkata vo zavisnost od vrednostite na a i b:

1) Ako . Vo toj slu~aj ravenkata }e izgleda:

ili

(*)

Toga{, mo`ni se dva slu~aja:

a) Ako , ravenkata nema re{enie. (da re~eme b=2, toga{ ako zamenime vo (*) bi dobile 0=2)

5

b) Ako b=0, ravenkata e zadovolena za sekoja vrednost na x. So drugi zborovi, taa ima beskone~no mnogu re{enija. Vo toj slu~aj velime deka ravenkata e neopredelena.

2) Ako . Ako b go prefrlime na desnata strana, a potoa dvete strani na ravenkata gi podelime so , }e ja dobieme

ekvivalentnata ravenka: , a so toa i baranoto re{enie.

Koli~nikot e ednozna~no opredelen, bidej}i operacijata

delewe (so broj razli~en od nula) sekoga{ dava edinstven

rezultat. Znakot na re{enieto }e zavisi od znacite na a i b i

toa: ako a i b imaat isti znaci, re{enieto }e bide negativen broj

t.e. , a ako a i b imaat razli~ni znaci, re{enieto }e bide

pozitiven broj t.e. .

I dokolku b=0, toga{ re{enieto }e bide nula, t.e.

.

Diskusijata na edna ravenka ja pravime so cel da utvrdime:

a) Za koi vrednosti na nepoznatata i parametrite ravenkata ima smisla.

b) Pod kakvi uslovi i za koi vrednosti na parametrite ravenkata ima edno re{enie.

v) Za koi vrednosti na parametrite ravenkata nema re{enie, a za koi ima beskone~no mnogu re{enija.

5. Primeri na re{avawe i ispituvawe na linearni ravenki so edna nepoznata.

5.1. Celi racionalni ravenki so posebni koeficienti.

Primer1: Da se re{i ravenkata

6

2(3x – 7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9 ) + 3

Prvo se osloboduvame od zagradite a potoa nepoznatite gi prefrluvame na levata strana, a poznatite na desnata:

Ili ako dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so -1 se dobiva:

koe e re{enie na ravenkata.

Primer2: Da se re{i ravenkata vo odnos na m:

Dvete strani na ravenkata gi mno`ime so N.Z.S. na imenitelite

(3 i 7) t.e. so 21 }e dobieme:

Ako se oslobodime od zagradite i nepoznatite gi prefrlime levo a poznatite desno }e dobieme:

5.2. Drobno racionalni ravenki so posebni koeficienti.

Primer1: Da se re{i ravenkata po z:

7

Pred da po~neme da ja re{avame ravenkata mora da naglasime deka treba i , ili ako gi re{ime se dobiva

i . Za tie vrednosti ako zamenime vo imenitelite se dobiva 0, a so nula ne se deli. Taka, dopu{tenite vrednosti za z }e bidat: .

Zna~i, ako vo re{enieto dobieme edna od ovie vrednosti, toga{ bidej}i ne mo`e da primi takva vrednost, velime deka ravenkata nema re{enie.

Prvo barame N.Z.S. na imenitelite, a toa e: (z+3)(z-10) i dvete strani na ravenkata gi mno`ime so N.Z.S.:

Po osloboduvaweto od zagradite dobivame:

Zna~i re{enieto e ili .

Primer2: Da se re{i ravenkata

Prvo kvadratnata ravenka da ja razlo`ime na mno`iteli:

8

Pred da po~neme da ja re{avame da razgledame za koi vrednosti na x ravenkata nema smisla. Ako x=-2 ili x=-3, vo imenitelite se dobiva 0. Zna~i dokolku re{enieto e edno od ovie dve, velime ravenkata nema re{enie.

Barame N.Z.S. na imenitelite i toa e: (x+2)(x+3) pa dvete strani na ravenkata gi mno`ime so N.Z.S.:

Dobivme deka re{enieto e x=-2 no taa vrednost za x ne be{e dozvolena, pa vo ovoj slu~aj ravenkata nema re{enie.

5.3. Celi i drobni racionalni ravenki so parametri.

Kaj ovoj vid na linearni ravenki, va`no e da se naglasi koi nepoznati vo ravenkata se parametri, za da znaeme vo odnos na {to da ja re{avame ravenkata. Obi~no vo ravenkite se bara da se najde kolku e x a ostanatite nepoznati pretstavuvaat parametri.

Primer1: Da se re{i ravenkata , kade {to a i c se

parametri.

Prvo da zabele`ime deka ravenkata }e ima smisla ako i . Ako gi pomno`ime dvete strani na ravenkata so

najmaliot zaedni~ki sodr`atel za imenitelite se dobiva:

koja posle osloboduvaweto od zagradite i prefrluvaweto na nepoznatite na levata strana se transformira vo:

9

.

Ako , ravenkata ima re{enie:

.

Re{enieto zavisi od promena na parametrite. Vo ovoj slu~aj parametrite treba da gi zadovoluvaat slednive uslovi:

, i .

Primer2: Da se re{i ravenkata

kade a, b i c se parametri.

Prvo, na levata strana na ravenkata vo imenitelot imame izraz od vtor stepen koj mo`e da se razlo`i na linearni mno`iteli. Ravenkata posle razlo`uvaweto }e izgleda vaka:

Gi razgleduvame dopu{tenite vrednosti na nepoznatite. Vo ovoj slu~aj x ne mo`e da primi vrednost a i –a, bidej}i ako gi zamenime tie vrednosti dobivame nula vo imenitelite, pa ravenkata nema da ima smisla.

Sega ja mno`ime ravenkata od dvete strani so najmaliot zaedni~ki sodr`atel, koj iznesuva: (x-a)(x+a). Taa }e go dobie sledniov oblik:

ili posle krateweto na sli~nite monomi( , ) dobivame:

10

ako celata ravenka ja pomno`ime so (-1), se dobiva:

od levata strana }e izvadime x pred zagrada, a od desnata a:

Ako e , toga{ ili x=-a. No, ve}e vidovme

deka toa ne e dozvolena vrednost za x, pa ravenkata nema re{enie, dokolku .

Ako , toga{ ravenkata }e dobie oblik , t.e. taa e zadovolena za sekoe x osven ako .

6. Grafi~ko re{avawe na linearnite ravenki

Da se re{i grafi~ki ravenkata ax+b=0 zna~i da se odredi apscisata na presekot na pravata y=ax+b i x – oskata.

Vrednosta na taa apscisa se vika nula na funkcija, bidej}i taa e onaa vrednost za koja funkcijata se anulira.

Da gi ispitame mo`nite re{enija na op{ta linearna ravenka.

a) Ako , grafikot na funkcijata y=ax+b ja se~e x-oskata samo vo edna to~ka. Tuka postojat dve opcii vo zavisnost od toa kakov broj e b. Ako i , grafikot na funkcijata ja se~e x-oskata vo to~ka ~ija apscisa ne e nula. Vo toj slu~aj ravenkata

ax+b=0 ima samo edno re{enie i toa (sl.1).

y=ax+b:

11

Slika1.

b) Ako pak b=0, ravenkata ima oblik ax=0, a grafikot na funkcijata y=ax minuva niz koordinatniot po~etok. Re{enie na ravenkata ax=0 e apscisata na koordinatniot po~etok, t.e. x=0. (sl.2)

v) Ako a=0 i , ravenkata dobiva oblik . Grafikot na funkcijata y=0x+b ili y=b e prava paralelna so x-oskata, pa spored toa ne mo`e da ima zedni~ki to~ki so nea (sl.3). Ovaa funkcija e konstantna pa ne treba tabela, bidej}i za koe bilo x taa dobiva vrednost b. Vo toj slu~aj ravenkata nema re{enie.

g) Ako a=0 i b=0, ravenkata dobiva oblik 0x=0. Toga{, funkcijata y=ax+b preminuva vo y=0, {to pretstavuva grafik na x-

x 0

y 0 b

12

oskata. Vo takov slu~aj y=ax+b i x-oskata imaat beskone~no mnogu zaedni~ki to~ki. Ili ravenkata ima beskone~no mnogu re{enija.

y=ax:

Slika2.

x 0 1

y 0 a

13

Slika3.

Primer1: Da se re{i grafi~ki ravenkata 2x-5=x+1.

Edna ravenka mo`e da se re{i grafi~ki na dva na~ina.

1)Da gi nacrtame graficite na funkciite y=2x-5 i y=x+1 vo ist koordinaten sistem. To~kata S vo koja se se~at ima apscisa x=6 koe e baranoto re{enie na ravenkata. (sl.4)

Prvo, izrabotuvame tabela za y=2x-5, pa za funkcijata y=x+1:

y=2x-5:

y=x+1:

x 0 -2,5

y -5 0

x 0 -1

y 1 0

14

Slika4.

2) Dadenata ravenka prvo ja doveduvame vo op{t vid x-6=0, a potoa go crtame grafikot na funkcijata y=x-6. Apscisata na 6 na prese~nata to~ka M na grafikot na funkcijata y=x-6 so x-oskata e baranoto re{enie na dadenata ravenka. (sl.5)

Naj~esto se koristi prviot na~in za grafi~ko re{avawe na linearna ravenka. Pa vo sledniot primer ravenkata }e ja re{avame spored prviot na~in.

y=x-6:

x 0 6

y -6 0

15

Slika 5.

Primer2: Da se re{i grafi~ki ravenkata 2x+5=2x.

Ako gi nacrtame graficite na funkciite y=2x+5 i y=2x, }e zabele`ime deka tie se dve pravi {to se paralelni i nemaat zaedni~ka to~ka (sl.6). Spored toa, ne postoi vrednost za x za koja tie dve funkcii se ednakvi. Toga{ velime deka ravenkata nema re{enie.

y=2x+5:

y=2x:

x 0 -2,5

y 5 0

16

Slika 6.

7. Primena na linearni ravenki so edna nepoznata.

Vo razli~ni oblasti na naukata, tehnikata i sekojdnevniot `ivot ima mnogu zada~i, koi te{ko se re{avaat po ~isto aritmeti~ki pat. Nivnoto re{avawe zna~itelno se olesnuva so primena na ravenkite.

Vo 1707 godina, Isak Wutn napi{al:

“ Za da re{ime nekoj problem so broevi ili apstraktni odnosi me|u goleminite, treba da go prevedeme problemot od maj~iniot jazik vo jazik na algebrata”.

Preveduvaweto }e go ilustriram preku primer.

x 0 1

y 0 2

17

Primer1: Nekoj trgovec ima odredena suma na pari. Sekoja godina toj tro{i po 100 den. za izdr`uvawe na semejstvoto, a ostanatite pari gi zgolemuva za edna tretina so pomo{ na razvieniot trgovski biznis. Posle 3 godini toj zaklu~il deka ima dva pati pogolema suma otkolku po~etnata. So kolkava suma raspolagal trgovecot na po~etokot?

Da ja obele`ime baranata suma so x.

Trgovecot ima odredena suma pari

x

Vo prvata godina toj potro{il 100 den.

x – 100

Ostatokot go zgolemuva za edna tretina

Slednata godina povtorno potro{il 100den.

Ostatokot go zgolemil za edna tretina

Tretata godina povtorno potro{il 100 den.

I toj ostatok go zgolemil za edna tretina

Ima 2 pati pogolema suma otkolku po~etnata

Ostanuva samo da se re{i poslednata ravenka. Ako dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so 27, }e se dobie:

64x – 14800 = 54x

Nepoznatite gi prefrlame levo, poznatite desno i se dobiva:

18

10x = 14800

x = 1480.

Zna~i toj raspolagal na po~etokot so 1480 den..

Re{avaweto na zada~i od razli~ni oblasti ~esto pati se sveduva na re{avawe na linearna ravenka so edna nepoznata. Re{avaweto na krajnata ravenka e mnogu lesno, te{kiot del e preveduvaweto na jazikot na algebrata vrz osnova na ve}e prethodno zadadeni podatoci.

Primer2: Koj broj treba da se zgolemi za negovata tretina za da se dobie brojot 100?

Ja postavuvame zada~ata:

Ako dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so najmaliot zadni~ki sodr`atel, se dobiva:

Zna~i baraniot broj e 75.

Sodr`ina:

19

1. Voved........................................................................................................1

2. Poim za ravenstvo, identitet i ravenka..........................................2

3. Re{enie na ravenka...............................................................................3

4. Linearna ravenka so edna nepoznata. Diskusija na re{enijata..5

5. Primeri na re{avawe i ispituvawe na linearni ravenki so edna nepoznata........................................................................................6

6. Celi racionalni ravenki so posebni koeficienti......................6

7. Drobno racionalni ravenki so posebni koeficienti.................7

8. Celi i drobni racionalni ravenki so parametri.........................9

9. Grafi~ko re{avawe na linearnite ravenki.................................11

20

10. Primena na linearni ravenki so edna nepoznata.........................17

Koristena literatura:

1.

2.

21