Linearni ravenki
1. Voved
Logi~noto mislewe i rabotata se osnova za `ivotot i svetot. Logikata e temel na matematikata i taa ne mo`e da postoi bez logikata. Matematikata e edna od najstarite nauki. Se koristi nasekade vo svetot. Jazikot na matematikata, pretstaven preku broevite, go koristat site. Taa se sozdava dolgo vreme kako rezultat od potrebite na ~ovekot.
Najstarite i osnovni granki na matematikata se: aritmetikata, algebrata i geometrijata. Site ostanati granki proizleguvaat od ovie tri. Algebrata ima golema primena vo praktikata.
Vo sekojdnevniot `ivot, na primer, koga kupuvame kola, go ureduvame na{iot dom, nie ja koristime matematikata. So pomo{ na algebrata go planirame na{iot buxet, igrame razni igri na sre}a so presmetuvawe na {ansite za dobivka. So eden zbor taa se koristi nasekade.
Eden matemati~ar rekol:“Dokolku se razvie matemati~koto mislewe, rabotite okolu
nas bi bile kristalno jasni”. Vo osnova na algebrata se nao|aat linearnite ravenki. So cel
da gi objasnam podobro linearnite ravenki, }e po~nam od poimite za ravenstvo, identitet i ravenka, koi se bazi~ni poimi vo linearnite ravenki, kako i vo site ostanati vidovi na ravenki vo algebrata.
Taa e tesno vrzana i za drugite prirodni nauki kako: hemijata, fizikata, informatikata i dr.
1
2. Poim za ravenstvo, identitet i ravenka.
Nepoznata vo matematikata e simbol za nekoj broj. Taa pretstavuva nekoj broj. Obi~no za nepoznata gi upotrebuvame bukvite n, t, ili x, y, z. Koga rabotime so nepoznati, podobro e da upotrebime bukva koja }e uka`uva {to ili koj, nepoznatata zastapuva, na primer: neka t e brojot na to~ki vo ramninata.
Izraz pretstavuva matemati~ka re~enica koja sodr`i broevi, nepoznati ili pak dvete zaedno. Na primer:
2 , x , 3 + 7 , 2y + 5 , 2 + 6(4 - 2) , z + 3(8 - z)
Ili pak preku tekstualna prezentacija: Marija e te{ka 70 kilogrami, a Mile te`i k kilogrami. Izrazot koj }e ja pretstavuva nivnata zaedni~ka te`ina }e bide: 70+k.
Dva izrazi svrzani so znakot na relacijata ”=” (ednakvo), obrazuvaat ravenstvo. Na primer:
2 = 2
17 = 2 + 15
x = 7
7 = x
t + 3 = 8
3n +12 = 100
w + 4 = 12 - w
y - 1 - 2 – 9,3 = 34
3(d + 4) - 11 = 321 - 23
Ili pak nekoj tekstualen problem da se zapi{e vo vid na ravenstvo. Na primer: Posle 20 godini }e imam 4 pati od godinite koi gi imam sega namaleni za 10. Ako brojot na godinite koi gi imam sega, gi ozna~am so g, ravenstvoto bi izgledalo vaka:
2
g + 20 = 4g - 10
Kaj ravenstvata razlikuvame leva i desna strana. Ako dvete strani na ravenstvoto sodr`at samo broevi ili brojni izrazi, toga{ tie se narekuvaat brojni ravenstva. Tie mo`at da bidat vistiniti ili nevistiniti. Na primer prvoto i vtoroto ravenstvo se vistiniti.
Ravenstvoto na dve funkcii, koi dobivaat ednakvi brojni vrednosti za sekoj proizvolen sistem na dopu{teni brojni vrednosti na argumentite, se vika identitet.
Na primer:
Ravenstvoto kaj koe brojnite vrednosti na dvete strani se ednakvi samo za opredeleni dopu{teni brojni vrednosti na argumentite, se vika ravenka.
Ravenkite mo`at da bidat: od prv stepen ili linearni ravenki, od vtor stepen ili kvadratni ravenki, od tret stepen ili kubni ravenki itn. vo zavisnost od stepenot na polinomite koi gi sodr`at. Dodeka spored brojot na nepoznatite mo`at da bidat so edna nepoznata, so dve, so tri itn.
Jas }e se zadr`am na linearnite ravenki so edna nepoznata i na na~inot na nivno re{avawe.
3. Re{enie na ravenka
Re{enieto na ravenkata e brojot za koja taa ravenka preminuva vo identitet. Ili, sekoj podreden par od dopu{teni brojni vrednosti na argumentite (x,y), koj ja zadovoluva ravenkata se vika re{enie na edna ravenka ili koren na ravenkata.
Koga barame re{enie na ravenka, mora da gi koristime osnovnite pravila za poednostavuvawe na ravenkata. Tie se slednite:
1) Ako vo ravenkata imame zagradi, stepeni, proizvodi, koli~nici, zbirovi i razliki, re{avaweto e po voobi~aenoto pravilo na prednost(kako {to se navedeni).
3
2) Sli~nite izrazi se kombiniraat. Toa zna~i sobirawe i odzemawe na nepoznatite od ist vid.
3) Mo`eme da dodademe ili odzememe koja bilo vrednost od dvete strani na ravenkata. Toa povlekuva deka ako vo dvete strani na ravenkata ima ednakvi ~lenovi so isti znaci, tie mo`at da se poni{tat t.e. izostavat. Ili pak, sekoj ~len na ravenkata mo`e da se prenese od ednata strana na ravenkata na drugata, a pritoa negoviot znak da se promeni vo sprotiven.
4) Mo`eme da gi pomno`ime ili podelime dvete strani na ravenkata so koj bilo broj, osven nulata. Ova povlekuva deka, po potreba znacite na ravenkata mo`at da se promenat vo sprotivni, dokolku dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so -1. Ili, vo ravenka so drobno numeri~ki koeficienti ako site ~lenovi na ravenkata gi pomno`ime so najmaliot zaedni~ki sodr`atel na imenitelite, taa }e se transformira vo ravenka so celi koeficienti. Kako i, ako dvete strani na ravenkata imaat zaedni~ki mno`itel, koj{to ne ja sodr`i nepoznatata i e rali~en od nula, toga{ so nego mo`at da se podelat stranite na ravenkata bez taa da se promeni.
Na primer, da ja re{ime slednava ednostavna ravenka:
x - 12 + 20 = 37
Bidej}i na levata strana imame sli~ni termini (- 12 + 20) tie mo`eme da gi presmetame. Ravenkata }e dobie oblik:
x + 8 = 37
Ako od dvete strani na ravenkata odzememe 8:
x + 8 + (-8) = 37 + (-8)
ili
x + 0 = 29
x = 29
4
4. Linearna ravenka so edna nepoznata. Diskusija na re{enijata.
Ravenka od prv stepen so edna nepoznata e sekoja ravenka vo oblik:
kade {to a i b se koi bilo dadeni realni broevi ili izrazi {to ne zavisat od nepoznatata x.
Ovoj vid na linearna ravenka so edna nepoznata se narekuva op{t vid, kade a e koeficient pred nepoznatata, a b e sloboden ~len.
Da gi ispitame mo`nite re{enija na ravenkata vo zavisnost od vrednostite na a i b:
1) Ako . Vo toj slu~aj ravenkata }e izgleda:
ili
(*)
Toga{, mo`ni se dva slu~aja:
a) Ako , ravenkata nema re{enie. (da re~eme b=2, toga{ ako zamenime vo (*) bi dobile 0=2)
5
b) Ako b=0, ravenkata e zadovolena za sekoja vrednost na x. So drugi zborovi, taa ima beskone~no mnogu re{enija. Vo toj slu~aj velime deka ravenkata e neopredelena.
2) Ako . Ako b go prefrlime na desnata strana, a potoa dvete strani na ravenkata gi podelime so , }e ja dobieme
ekvivalentnata ravenka: , a so toa i baranoto re{enie.
Koli~nikot e ednozna~no opredelen, bidej}i operacijata
delewe (so broj razli~en od nula) sekoga{ dava edinstven
rezultat. Znakot na re{enieto }e zavisi od znacite na a i b i
toa: ako a i b imaat isti znaci, re{enieto }e bide negativen broj
t.e. , a ako a i b imaat razli~ni znaci, re{enieto }e bide
pozitiven broj t.e. .
I dokolku b=0, toga{ re{enieto }e bide nula, t.e.
.
Diskusijata na edna ravenka ja pravime so cel da utvrdime:
a) Za koi vrednosti na nepoznatata i parametrite ravenkata ima smisla.
b) Pod kakvi uslovi i za koi vrednosti na parametrite ravenkata ima edno re{enie.
v) Za koi vrednosti na parametrite ravenkata nema re{enie, a za koi ima beskone~no mnogu re{enija.
5. Primeri na re{avawe i ispituvawe na linearni ravenki so edna nepoznata.
5.1. Celi racionalni ravenki so posebni koeficienti.
Primer1: Da se re{i ravenkata
6
2(3x – 7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9 ) + 3
Prvo se osloboduvame od zagradite a potoa nepoznatite gi prefrluvame na levata strana, a poznatite na desnata:
Ili ako dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so -1 se dobiva:
koe e re{enie na ravenkata.
Primer2: Da se re{i ravenkata vo odnos na m:
Dvete strani na ravenkata gi mno`ime so N.Z.S. na imenitelite
(3 i 7) t.e. so 21 }e dobieme:
Ako se oslobodime od zagradite i nepoznatite gi prefrlime levo a poznatite desno }e dobieme:
5.2. Drobno racionalni ravenki so posebni koeficienti.
Primer1: Da se re{i ravenkata po z:
7
Pred da po~neme da ja re{avame ravenkata mora da naglasime deka treba i , ili ako gi re{ime se dobiva
i . Za tie vrednosti ako zamenime vo imenitelite se dobiva 0, a so nula ne se deli. Taka, dopu{tenite vrednosti za z }e bidat: .
Zna~i, ako vo re{enieto dobieme edna od ovie vrednosti, toga{ bidej}i ne mo`e da primi takva vrednost, velime deka ravenkata nema re{enie.
Prvo barame N.Z.S. na imenitelite, a toa e: (z+3)(z-10) i dvete strani na ravenkata gi mno`ime so N.Z.S.:
Po osloboduvaweto od zagradite dobivame:
Zna~i re{enieto e ili .
Primer2: Da se re{i ravenkata
Prvo kvadratnata ravenka da ja razlo`ime na mno`iteli:
8
Pred da po~neme da ja re{avame da razgledame za koi vrednosti na x ravenkata nema smisla. Ako x=-2 ili x=-3, vo imenitelite se dobiva 0. Zna~i dokolku re{enieto e edno od ovie dve, velime ravenkata nema re{enie.
Barame N.Z.S. na imenitelite i toa e: (x+2)(x+3) pa dvete strani na ravenkata gi mno`ime so N.Z.S.:
Dobivme deka re{enieto e x=-2 no taa vrednost za x ne be{e dozvolena, pa vo ovoj slu~aj ravenkata nema re{enie.
5.3. Celi i drobni racionalni ravenki so parametri.
Kaj ovoj vid na linearni ravenki, va`no e da se naglasi koi nepoznati vo ravenkata se parametri, za da znaeme vo odnos na {to da ja re{avame ravenkata. Obi~no vo ravenkite se bara da se najde kolku e x a ostanatite nepoznati pretstavuvaat parametri.
Primer1: Da se re{i ravenkata , kade {to a i c se
parametri.
Prvo da zabele`ime deka ravenkata }e ima smisla ako i . Ako gi pomno`ime dvete strani na ravenkata so
najmaliot zaedni~ki sodr`atel za imenitelite se dobiva:
koja posle osloboduvaweto od zagradite i prefrluvaweto na nepoznatite na levata strana se transformira vo:
9
.
Ako , ravenkata ima re{enie:
.
Re{enieto zavisi od promena na parametrite. Vo ovoj slu~aj parametrite treba da gi zadovoluvaat slednive uslovi:
, i .
Primer2: Da se re{i ravenkata
kade a, b i c se parametri.
Prvo, na levata strana na ravenkata vo imenitelot imame izraz od vtor stepen koj mo`e da se razlo`i na linearni mno`iteli. Ravenkata posle razlo`uvaweto }e izgleda vaka:
Gi razgleduvame dopu{tenite vrednosti na nepoznatite. Vo ovoj slu~aj x ne mo`e da primi vrednost a i –a, bidej}i ako gi zamenime tie vrednosti dobivame nula vo imenitelite, pa ravenkata nema da ima smisla.
Sega ja mno`ime ravenkata od dvete strani so najmaliot zaedni~ki sodr`atel, koj iznesuva: (x-a)(x+a). Taa }e go dobie sledniov oblik:
ili posle krateweto na sli~nite monomi( , ) dobivame:
10
ako celata ravenka ja pomno`ime so (-1), se dobiva:
od levata strana }e izvadime x pred zagrada, a od desnata a:
Ako e , toga{ ili x=-a. No, ve}e vidovme
deka toa ne e dozvolena vrednost za x, pa ravenkata nema re{enie, dokolku .
Ako , toga{ ravenkata }e dobie oblik , t.e. taa e zadovolena za sekoe x osven ako .
6. Grafi~ko re{avawe na linearnite ravenki
Da se re{i grafi~ki ravenkata ax+b=0 zna~i da se odredi apscisata na presekot na pravata y=ax+b i x – oskata.
Vrednosta na taa apscisa se vika nula na funkcija, bidej}i taa e onaa vrednost za koja funkcijata se anulira.
Da gi ispitame mo`nite re{enija na op{ta linearna ravenka.
a) Ako , grafikot na funkcijata y=ax+b ja se~e x-oskata samo vo edna to~ka. Tuka postojat dve opcii vo zavisnost od toa kakov broj e b. Ako i , grafikot na funkcijata ja se~e x-oskata vo to~ka ~ija apscisa ne e nula. Vo toj slu~aj ravenkata
ax+b=0 ima samo edno re{enie i toa (sl.1).
y=ax+b:
11
Slika1.
b) Ako pak b=0, ravenkata ima oblik ax=0, a grafikot na funkcijata y=ax minuva niz koordinatniot po~etok. Re{enie na ravenkata ax=0 e apscisata na koordinatniot po~etok, t.e. x=0. (sl.2)
v) Ako a=0 i , ravenkata dobiva oblik . Grafikot na funkcijata y=0x+b ili y=b e prava paralelna so x-oskata, pa spored toa ne mo`e da ima zedni~ki to~ki so nea (sl.3). Ovaa funkcija e konstantna pa ne treba tabela, bidej}i za koe bilo x taa dobiva vrednost b. Vo toj slu~aj ravenkata nema re{enie.
g) Ako a=0 i b=0, ravenkata dobiva oblik 0x=0. Toga{, funkcijata y=ax+b preminuva vo y=0, {to pretstavuva grafik na x-
x 0
y 0 b
12
oskata. Vo takov slu~aj y=ax+b i x-oskata imaat beskone~no mnogu zaedni~ki to~ki. Ili ravenkata ima beskone~no mnogu re{enija.
y=ax:
Slika2.
x 0 1
y 0 a
13
Slika3.
Primer1: Da se re{i grafi~ki ravenkata 2x-5=x+1.
Edna ravenka mo`e da se re{i grafi~ki na dva na~ina.
1)Da gi nacrtame graficite na funkciite y=2x-5 i y=x+1 vo ist koordinaten sistem. To~kata S vo koja se se~at ima apscisa x=6 koe e baranoto re{enie na ravenkata. (sl.4)
Prvo, izrabotuvame tabela za y=2x-5, pa za funkcijata y=x+1:
y=2x-5:
y=x+1:
x 0 -2,5
y -5 0
x 0 -1
y 1 0
14
Slika4.
2) Dadenata ravenka prvo ja doveduvame vo op{t vid x-6=0, a potoa go crtame grafikot na funkcijata y=x-6. Apscisata na 6 na prese~nata to~ka M na grafikot na funkcijata y=x-6 so x-oskata e baranoto re{enie na dadenata ravenka. (sl.5)
Naj~esto se koristi prviot na~in za grafi~ko re{avawe na linearna ravenka. Pa vo sledniot primer ravenkata }e ja re{avame spored prviot na~in.
y=x-6:
x 0 6
y -6 0
15
Slika 5.
Primer2: Da se re{i grafi~ki ravenkata 2x+5=2x.
Ako gi nacrtame graficite na funkciite y=2x+5 i y=2x, }e zabele`ime deka tie se dve pravi {to se paralelni i nemaat zaedni~ka to~ka (sl.6). Spored toa, ne postoi vrednost za x za koja tie dve funkcii se ednakvi. Toga{ velime deka ravenkata nema re{enie.
y=2x+5:
y=2x:
x 0 -2,5
y 5 0
16
Slika 6.
7. Primena na linearni ravenki so edna nepoznata.
Vo razli~ni oblasti na naukata, tehnikata i sekojdnevniot `ivot ima mnogu zada~i, koi te{ko se re{avaat po ~isto aritmeti~ki pat. Nivnoto re{avawe zna~itelno se olesnuva so primena na ravenkite.
Vo 1707 godina, Isak Wutn napi{al:
“ Za da re{ime nekoj problem so broevi ili apstraktni odnosi me|u goleminite, treba da go prevedeme problemot od maj~iniot jazik vo jazik na algebrata”.
Preveduvaweto }e go ilustriram preku primer.
x 0 1
y 0 2
17
Primer1: Nekoj trgovec ima odredena suma na pari. Sekoja godina toj tro{i po 100 den. za izdr`uvawe na semejstvoto, a ostanatite pari gi zgolemuva za edna tretina so pomo{ na razvieniot trgovski biznis. Posle 3 godini toj zaklu~il deka ima dva pati pogolema suma otkolku po~etnata. So kolkava suma raspolagal trgovecot na po~etokot?
Da ja obele`ime baranata suma so x.
Trgovecot ima odredena suma pari
x
Vo prvata godina toj potro{il 100 den.
x – 100
Ostatokot go zgolemuva za edna tretina
Slednata godina povtorno potro{il 100den.
Ostatokot go zgolemil za edna tretina
Tretata godina povtorno potro{il 100 den.
I toj ostatok go zgolemil za edna tretina
Ima 2 pati pogolema suma otkolku po~etnata
Ostanuva samo da se re{i poslednata ravenka. Ako dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so 27, }e se dobie:
64x – 14800 = 54x
Nepoznatite gi prefrlame levo, poznatite desno i se dobiva:
18
10x = 14800
x = 1480.
Zna~i toj raspolagal na po~etokot so 1480 den..
Re{avaweto na zada~i od razli~ni oblasti ~esto pati se sveduva na re{avawe na linearna ravenka so edna nepoznata. Re{avaweto na krajnata ravenka e mnogu lesno, te{kiot del e preveduvaweto na jazikot na algebrata vrz osnova na ve}e prethodno zadadeni podatoci.
Primer2: Koj broj treba da se zgolemi za negovata tretina za da se dobie brojot 100?
Ja postavuvame zada~ata:
Ako dvete strani na ravenkata gi pomno`ime so najmaliot zadni~ki sodr`atel, se dobiva:
Zna~i baraniot broj e 75.
Sodr`ina:
19
1. Voved........................................................................................................1
2. Poim za ravenstvo, identitet i ravenka..........................................2
3. Re{enie na ravenka...............................................................................3
4. Linearna ravenka so edna nepoznata. Diskusija na re{enijata..5
5. Primeri na re{avawe i ispituvawe na linearni ravenki so edna nepoznata........................................................................................6
6. Celi racionalni ravenki so posebni koeficienti......................6
7. Drobno racionalni ravenki so posebni koeficienti.................7
8. Celi i drobni racionalni ravenki so parametri.........................9
9. Grafi~ko re{avawe na linearnite ravenki.................................11
20
10. Primena na linearni ravenki so edna nepoznata.........................17
Koristena literatura:
1.
2.
21
Top Related