Les1

Rijen , termen , meetkundige rij , Fibonaccirij, convergente rij , divergente rij , reeksen , het - teken ( lees sigma teken ) , partiële som , convergente reeks , divergente reeks ,som meetkundige reeks,toepassingen meetkundige reeks, Binomium van Newton , faculteit , binomiaalcoefficient, driehoek van Pascal .

Rij: oneindig of eindig aantal getallen vaak met een zekere regelmaatTermen: de getallen uit de rij

Voorbeelden:1 , 4, 9, 16 , 25 ,………… 36 tn = n2

1 , 2, 3, 4, 5, 6, …………. 7 tn = n– 1 , 1 , – 1 , 1 , – 1 , …… 1 tn = (–1)n

1 , ½, ¼, 1/8, 1/16, …….. 1/32 tn = (½)n-1

t1, t2 , t3 , t4 , …….. , tn , ……

Wat is de volgende term ?Wat is de nde term ? ( Algemene term )Voorbeeld Fibonaccirij blz. 4 zelf bestuderen

Meetkundige Rij ( MR)1 , ½, ¼, 1/8, 1/16, ……..

Elke nieuwe term ontstaat door de voorgaande met een factor r te vermenigvuldigen.

t1 = a = 1 ( eerste term)r = ½ ( reden)De algemene term van een MR is tn = a . rn-1

Convergente en divergente rijenWe bekijken het gedrag van de rij ´in oneindig´ .De rij kan een limiet hebben.

Als lim tn bestaat dan is de rij convergent en zoniet is de rij divergent.

n

Voorbeelden1 , 4, ,9, 16 , 25 ,………… 36 tn = n2 divergent1 , 2, ,3, 4, 5, 6, …………. 7 tn = n divergent–1 , 1 , –1 , 1 , –1 , …… 1 tn = (–1)n divergent1 , ½, ¼, 1/8, 1/16, …….. 1/32 tn = (½)n-1 convergent

Voor de eerste 2 rijen geldt: lim tn = n De limiet bestaat dus niet

Voor de derde rij bestaat de limiet ook niet.De vierde rij is een convergente rij want lim tn = 0

n

Voor de MR geldt :

0 voor –1 < r < 1 dus convergentlim tn = a voor r = 1 dus convergentn bestaat niet voor r – 1 en r > 1 dus divergent

Toegepaste Analyse 7 april 2008

Les1

Toepassing meetkundige rij ( blz 5)We zetten Є 1000, – op een spaarrekening met een rente van 5% per jaar.We kunnen het kapitaal jaarlijks berekenen.

t1 = 1000t2 = t1 + 0.05 t1 = 1.05 t1 we vinden t2 door t1 te vermenigv. met 1.05t3 = t2 + 0.05 t2 = 1.05 t2 = (1.05)2 t1 we vinden t3 door t2 te vermenigv. met 1.05t4 = t3 + 0.05 t3 = 1.05 t3 = (1.05)3 t1 we vinden t4 door t3 te vermenigv. met 1.05

Ik heb dus een MR met a = 1000 en r = 1.05Het kapitaal na t jaar is dus tn = 1000. (1.05)n-1

Het - teken ( lees sigma teken ) Als we veel getallen moeten optellen gebruiken we het - teken.

Voorbeelden

= t1 + t2 + t3 + …tk

= 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14

tk = 2k – 1

= t1 + t2 + t3 + t4 + t5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Reeksen

Reeks: alle termen van een oneindige rij optellen geeft een reeksPartiele som: een eindig aantal termen optellen geeft een partiele som Sn

Voorbeeld1 , 4, 9, 16 , 25 ,…………

S1 = t1 S1 = 1S2 = t1 + t2 S2 = 5S3 = t1 + t2 + t3 S3 = 14

S1 , S2 , S3 , S4 , ….vormen weer een rij getallen.Deze getallen kunnen weer een limiet hebben of niet.Als de limiet bestaat dan is de reeks convergent en zoniet divergent.Als de limiet bestaat dus lim Sn = S , dan heet S de som van de reeks.

n

Meetkundige reeksen

Gegeven de meetkundige rijen:1 , 2, 4, 8 , 16 …..1 , ½, ¼, 1/8, 1/16, …

We bekijken de partiële sommen

Toegepaste Analyse 7 april 2008

Les1

S1 = 1 S1 = 1S2 = 3 S2 = 1½S3 = 7 S3 = 7/4S4 = 15 S4 = 15/8

lim Sn = lim Sn = 2n n

divergente reeks convergente reeksde som van de reeks is 2

Wanneer bestaat de som van de meetkundige reeks en hoe groot is de som ?

De partiële som van de eerst n termen is …Sn = a . en r 1

(Hoe komen we aan deze formule ? Zie blz. 7)

Als –1 < r < 1 dan geldt rn 0 voor n

De meetkundige reeks a + ar + ar2 + … heeft als som …S = = .. voor –1 < r < 1

Voor alle andere waarden van r is de reeks divergent.

Bestudeer zelf de voorbeelden op blz.7

Faculteit en het Binomium van Newton

Def. n! = 1 x 2 x 3 x ….n0! = 1

Dus 3! = 1 x 2 x 3 = 65! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

We willen ( a + b)n berekenen.We kunnen daarvoor de driehoek van Pascal ( zie blz. 8 ) gebruiken of m.b.v. de binomiaalcoefficienten.

De binomiaalcoefficient van 2 getallen n en k is:

= . . ….. = ( k n)

= = = = 35 of . . . = 35

= . . =

Binomium van Newton

Toegepaste Analyse 7 april 2008

Les1

(a + b)n = an + an-1.b + an-2.b2 + ………. bn = ..

Voorbeeld

(a + b)4 = a4 + a3.b + a2.b2 + a.b3 + b4

We berekenen eerst :

= 1 , = 4 , = 6 , = 4 , = 1

(a + b)4 = a4 + 4a3.b + 6a2.b2 + 4a.b3 + b4

Eigenschappen

1. = = 1 = = 1

2. = = = 4

3. + =

De bewijzen staan op blz.9 of als opgave

HW.Bestudeer Toepassing 1 en Toepassing 2 grondig.Blz.14 opg.1.11 t/m 1.23 en 1.25

Toegepaste Analyse 7 april 2008