KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAKVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA Kod projektovanja...
Transcript of KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAKVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA Kod projektovanja...
KVALITET SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAKod projektovanja ili ocene kvaliteta sistema automatskog upravljanja kao što je g p j j jregulisani elektromotorni pogon, bitna su tri kriterijuma:
3 kriterijuma
kriterijuma: stabilnost t tičk k kt i tik statička karakteristika dinamička karakteristika Analiza prema redosledu i važnosti:
stabilnost, zatim ponašanje u stacionarnom stanju, , p j j ,i na kraju kvalitet prelaznog režima.
1
StabilnostStabilnost
• Teorema Ljapunova o stabilnosti dinamičkih sistema
Za linearne dinamičke sistemeAl b ki k it ij i t bil ti
Алекса́ндр Миха́йлович
Ляпуно́в, 1856 1918• Algebarski kriterijumi stabilnosti
• Grafo-analitički kriterijumi stabilnosti
1856-1918
G a o a a t č te ju stab ostZa stacionarne, kontinualne, fizički ostvarive, linearne sisteme sakoncentrisanim parametrima potreban i dovoljan uslov zakoncentrisanim parametrima, potreban i dovoljan uslov zastabilnost jeste da svi koreni njegove karakteristične jednačineimaju negativne realne delove ili, što je isto, da leže u levoj
2poluravni kompleksne promenljive p. [1].
[1]. M. Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd
Kontinualni sistemiKontinualni sistemiSvi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini
N pF p
Svi koreni karakteristične jednačine u levoj polovini kompleksne ravni:
1 0 1 2... ... 0
w
nn n n
F pD p
D p a p a p a a p p p p p p
1 0 1 2... ... 0Re( ) 0, 1,...,
n n n
i
p a p a p a a p p p p p pp j n
U opštem slučaju, za kompleksna rešenja, uslov je Re(pj)<0,Re(pj) 0,
U slučaju realnih rešenja karakteristične jednačine, uslov se svodi se na
pj <03
Diskretni sistemiDiskretni sistemiPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotskuPotreban i dovoljan uslov za globalnu asimptotsku stabilnost linearnog digitalnog (diskretnog) sistema
( ) ( )t tAje da sve nule svojstvenog polinoma matrice A, odnosno s i koreni karakteristične jednačine
1( ) ( )k kt t x A x
odnosno svi koreni karakteristične jednačine
det( ) 0z I A
budu po modulu manji od 1 ili, što je isto, da se nalaze unutar jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom početku z ravni [1].
4[1]. M. Stojić, Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd
Statičke karakteristikeStatičke karakteristikePosmatrajmo sistem:
u y+ e
Posmatrajmo sistem:
u yW(p)
+_
e
1 1w
W p W pYF p p Y p U pU W p W p
1 1U W p W p
Pretpostavimo da je sistem stabilan5
Pretpostavimo da je sistem stabilan.
Greška je:1
11
E p U p Y p U pW p
0
lim lim limt t p
e e t u t y t pE p
Odnosno:
01
p
p U pe
W p
0p
Uzmimo dalje da se W(p) u opštem slučaju može predstaviti u obliku:obliku:
0
r
k P pW p
p Q p
0
00 0 1
p Q p
P Q
r - je astatizam sistema6
Astatizam sistemaAstatizam sistema
00 0 1r
k P pW p P Q
p Q p
0p Q p
ako je r = 0 (nulti astatizam),
0
lim ppW p k
0lim 0p
p W p
2
0lim 0p
p W p
ako je r = 1 (astatizam prvog reda),
li W li W k 2li 0W
k j 2 ( i d d )
0
limp
W p
0
lim vpp W p k
2
0lim 0p
p W p
ako je r = 2 (astatizam drugog reda),
0
limp
W p
0
limp
p W p
2
0lim up
p W p k
7
0p
0p 0p
Konstanta položaja Brzinska konstanta Konstanta ubrzanja
Sistem nultog astatizma- konstanta položaja
Sistem nultog astatizma
0lim pp
W p k k
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede odskočni signal:
0uh
u
00
uu t u h t U pp
0
0
1 1
upupe
W p k
0
1 1p
W p k
ako je r = 0, kp = k greška postoji e()=u0/(1+k)
> 0 k šk t ji ( ) 0za r > 0, kp→∞ greška ne postoji e(∞)→0.8
Odziv sistema sa nultim astatizmom u vremenskom domenuu vremenskom domenu.
r > 0, kp→∞, greška ne postoji
r = 0, kp = k greška postoji
9
Sistemi sa astatizmom prvog reda
0lim vp
pW p k k
- brzinska konstanta
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede linearna funkcija (rampa): Primer „soft start” 0( ) uu t u t U p
0u
Konstantno ubrzanje. 0 2( )u t u t U pp
0
1upe
W p k
0p
0 0vr k e Greška se povećava. v
01 /vr k k e u k
p
Greška ima konačnu vrednost.
1 0vr k e 10
Greška ne postoji.
r = 0kp = k, greška postoji
kv = 0, e(∞) → ∞v , ( )
Vremenski odziv sistema sa astatizmom nultog reda k d l d d “ ” f k ijkada se na ulaz dovede “rampa” funkcija.
11
r = 1
kp
k ≠0kv≠0kv=kv
Vremenski odziv sistema sa astatizmom prvog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija
12
r = 2
kp
kv
Vremenski odziv sistema sa astatizmom drugog redakada se na ulaz dovede “rampa” funkcijakada se na ulaz dovede rampa funkcija
13
Sistemi sa astatizmom drugog reda 2
0lim up
p W p k k
- konstanta ubrzanja
Posmatrajmo sistem kada se na ulaz dovede polinomijalna funkcija (na pr. kvadratna):
2 0( ) uu t u t U p
0u
0 3( )u t u t U pp
Primer: zadavanje ciljne (referentne)
02
0
1upe
W p k
j ( )pozicije kod sistema za pozicioniranje.
0p
2 0ur k e Greška se povećava. u
02 /ur k k e u k
p
Greška ima konstantnu vrednost.
2 0ur k e 14
Greška ne postoji.
r = 1kp
r=1 kv=kGreška je konstantna
1r=1ku=0
Greška se povećava
Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa kvadratnom zavisnosti od vremena 15
r = 2kp
r=2 kv
r=2 ku=k
Odziv sistema kada se na ulaz dovede signal sa kvadratnom zavisnosti od vremena 16
Statička greška kod sistema sa dva ulaza
up
uuyx+
–
+F1(p) F2(p)
–
uu – Upravljački ulaz
up – Poremećaj
17
Statička greška kod sistema sa dva ulaza
0
lim limut pe u t y t p E p
E p U p Y p
1( )
u
u
E p U p Y p
X p F p U p Y p
2 ( ) pY p F p X p U p
211 u p
Fy p F U p U pF F
1 2
2
11
1 1u p
F FFE p U p U p
F F F F
181 2 1 21 1F F F F
Uprošćeni primer regulisanog pogona
*
uU p
g g g
mp
mU p u pp
p p
uu(t)*
up(t)
t
ω*
t
mm
mm
1p T
ω* ωme+–
+kmp T– +
19
Odloženo dejstvo poremećaja
*
uU p
j j
0p tmp
mU p e u pp
uu(t)*
p pp
up(t)
t
ω*
t
mm
t0
mm
1p T
ω* ωme+–
+kmp T– +
20
Uprošćeni primer regulisanog pogonaa) Proporcionalni regulator brzine, veoma brz odziv momenta,
Njutnova jednačina
g g g
Njutnova jednačina
1( )F p k 21( )F pT
2
1 2 1 2
11 1u p
FE p U p U pF F F F
2
mp T*
p
1 2 1 2
0mm 0
lim 01
p
ppe kT
* 1mmpp
mp T
0
lim1 1
m m
p
ppp p T mpe k k k
0mm 1 1
m mp T p T 21
Uprošćeni primer regulisanog pogonab) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,
veoma brz odziv momenta Njutnova jednačina
g g g
veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
11 1( ) i
p ip TF p k K KT
2
1( )F pT
1 p iip T p 2
mp T
1
mm–
Kp+ 1
mp Tω* ωme+
– +1K
+
+iK
p
22
Uprošćeni primer regulisanog pogonab) Proporcionalno-Integralni regulator brzine,
veoma brz odziv momenta Njutnova jednačina
g g g
veoma brz odziv momenta, Njutnova jednačina
11( ) ip TF p k
T
21( )F pT
1ip T 2
mp T*
p
0mm 0
lim 01 11p i
ppe p Tk
T T
* 1mmpp
0mm
i mp T p T
0
lim 01 11 11 1
m
p i i
ppp p Tpe p T p Tk k
1 1
i m i m
k kp T p T p T p T
23
Dinamičke karakteristikeDinamičke karakteristike
• Posmatramo sisteme drugog reda• Promena upravljačkog ulaza kao “stepPromena upravljačkog ulaza kao step
funkcija”D ličit l č j• Dva različita slučaja:– Sa konjugovano kompleksnim polovima.j g p p– Sa realnim polovima (koji u opštem slučaju
nisu jednaki, ali bi mogli biti).nisu jednaki, ali bi mogli biti).
24
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
2
( ) nF p
y(t)u(t)Y( )2 2( )
2wn n
F pp p
0( ) ( ) ( ) uh U
Fw(p)U(p) Y(p)
00( ) ( ) ( ) uu t u h t U p
p
20u 0
2 2( ) ( ) ( )2
nw
n n
uY p U p F pp p p
1( ) £ ( ) ( )U F
1
2
( ) £ ( ) ( )
11 cos 1n
w
t
y t U p F p
t
20 2
2
1 cos 11
1
n tnu e t
25 2arccos 1
Dominantni konjugovano-kompleksni poloviKorišćene oznake:
ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjaζ g p g jπ – preskok [%]T – vreme smirivanjaTs vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenja
period oscilacija – period oscilacijaTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstantaTr – vreme reagovanja
26
r g j
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
1 4
1.6
ymax
Td Ts
1.2
1.4
Ts1
y(t)
±5%(±2%)
Ts
0.6
0.8
u(t),
0.63 u0
Td0.4
Td
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
27
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Vreme, t [s]
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
1 4
1.6
ymax
T10 T90
1.2
1.4
1
y(t) Tr
0.6
0.8
u(t),
Tk
0.4
0.5 u0k
0 1 2 3 4 50
0.2 Tu
0 1 2 3 4 5
Vreme, t [s] 28
Dominantni konjugovano-kompleksni polovi
1.4
1.6
ymax
t t τ
1.2
1.4
π
0 8
1
y(t)
0.6
0.8
u(t),
0.4
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0 2 4 6 8 10 12
Vreme, t [s] 29
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
1 2
1 2 1 2
1( )1 1w
p pF pp p p p T p T p
1 2 1 2p p p p p p
00( ) ( ) ( ) uu t u h t U p 1 2
1 1T T 0( ) ( ) ( )pp
( ) ( ) ( )wY p U p F p y(t)u(t)
1 21 2p p
( ) ( ) ( )wp U p p y(t)
Fw(p)
u(t)U(p) Y(p)
1( ) £ ( ) ( )y t U p F p
2 11 20
( ) £ ( ) ( )
1
w
p t p t
y t U p F p
p pu e e
1 2
01 2 1 2
/ /1 21 t T t T
p p p p
T Tu e e
30
1 20
1 2 1 2
1u e eT T T T
Dominantni realni polovi (dva realna pola)Korišćene oznake:
Ts – vreme smirivanjaTk – vreme kašnjenjak j jTu – vreme usponaTd – dominantna vremenska konstantaTd dominantna vremenska konstanta
Ne mogu se definisati:Ne mogu se definisati:ωn – prirodna (neprigušena) učestanostζ – faktor relativnog prigušenjag g jπ – preskok [%]τ – period oscilacijaT j
31Tr – vreme reagovanja
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
1 4
1.6 Td Ts
1.2
1.4
1
y(t)
±5%(±2%)Ts
0.6
0.8
u(t),
0.63 u0
Td
s
0.4
Td
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
32
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vreme, t [s]
Dominantni realni polovi (dva realna pola)
1.4
1.6 T10 T90
1.2
0 8
1
), y(
t)
0.6
0.8
u(t)
0 5 u0Tk
0 2
0.4
0.5 u0
T
0 1 2 3 4 50
0.2 Tu
33Vreme, t [s]
Matlab/Simulnik modelMatlab/Simulnik model
11
s +0.5s+12
Transfer FcnStep Scope
1 1
s+0.64147Transfer Fcn1
s+1.55826Transfer Fcn2
Scope11 Scope11
s +2.2s+12
Transfer Fcn3
34
2 1,558262,2 2.2 4 1 10,641472