KONTRAKTY FORWARD

KONTRAKTY FORWARDSprawiedliwa cena wykonania kontraktu

forward na aktywa generujące przepływy finansowe

Kontrakty forward na stopę procentową waluty zagranicznej

Kontrakty na stopę procentową

Przypomnienie podstawowych idei wyceny kontraktów terminowych

Brak arbitrażu, równość oprocentowani kredytów i lokat

Zerowanie się strumienia zdyskontowanych przepływów finansowych

Równoważność zdyskontowanych przepływów w różnych strategiach

Wzór na cenę forward i wartość kontraktu

F0 > S0 erT strategia Apożyczka, zakup waloru, krótka poz.; sprzedaż waloru w ramach realiz. kontr., zwrot pożyczki

wówczas w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje pożyczyć w banku kwotę S0

zakupić walor na rynku za S0

zawrzeć kontrakt sprzedaży z ceną F0

zaś w chwili t = T :

zrealizować kontrakt z ceną F0

zwrócić pożyczkę z odsetkami – w kwocie S0 erT

Różnica F0 - S0 erT jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

F0 < S0 erT strategia B krótka sprzedaż waloru, lokata, długa poz.; kupno – realiz. Kontr., oddanie waloru

w chwili t = 0 można wykonać następujące operacje: pożyczyć walor i sprzedać go za kwotę S0 (krótka sprzedaż

waloru) kwotę S0 zdeponować w banku

zawrzeć kontrakt kupna z ceną F0

w chwili t = T należy:

wycofać z banku depozyt w kwocie S0 erT

zrealizować kontrakt kupna z ceną F oddać walor zamykając krótką sprzedaż

Różnica S0 erT - F0 jest zyskiem arbitrażowym, zatem taka sytuacja jest niemożliwa z założenia

Interpretacja wzoru F0 = S0 erT

Po elementarnych przekształceniach:

(2) - S0 + F0/ erT = 0

W zmodyfikowanej strategii strategia A – bez pożyczki: kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, sprzedaż waloru w ramach realizacji kontraktu:

S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,

F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.

UWAGA 1. Równanie (2) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii (A’) jest równy zeru.

Interpretacja wzoru F0 = S0 erT

Porównanie strategii A’ i B’Wzór (1) jest równoważny wzorowi (3) - S0 + (ST)/erT = - F0/ erT

+ (ST)/erT

gdzie ST oznacza cenę waloru w chwili t = T

Lewa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii A’:

kupno waloru za S0 w chwili t=0,

sprzedaż waloru za ST w chwili t = T,

Prawa strona jest sumą zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii B’ :

W chwili t = 0; długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0, lokata

w banku kwoty F0 / e rT

w chwili t=T; Wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 , sprzedaż waloru za ST,

UWAGA 2. Strategie A’ oraz B’ są równoważne

Cena terminowa kontraktu forward

Niech – jak poprzednio – S0 oznacza cenę waloru w chwili

t = 0. Niech Ft - oznacza cenę terminową kontraktu

forward zawieranego w chwili t z przedziału [0; T] oraz

terminie realizacji T na walor o aktualnej cenie St .

WNIOSEK 1. Z definicji ceny terminowej oraz z rozważań analogicznych do tych ze stwierdzenia 1 wynika, że cena ta wynosi

(4) Ft = St er (T - t)

ponadto po uproszczeniach:

(4’) F = S erT, T - czas do realiz., S cena waloru na T przed realizacją

Wartość kontraktu terminowego kupnadefinicja

Kontrakt terminowy zawarty w chwili t = 0 z ceną wykonania F0 w chwili T, może być przedmiotem obrotu. Zasadne jest więc pytanie o jego wartość w chwili t z przedziału [0; T].

DEF. Wartość długiej pozycji ft kontraktu w chwili t definiuje wzór

(5) ft = St - e-r(T-t) F0

(f = S - e-rT K) Wartość kontraktu kupna w chwili t jest różnicą miedzy

ceną rynkową waloru St a zdyskontowaną na moment t ceną wykonania tego kontraktu

S

Wartość kontraktu terminowego kupna c. d.

(7) ft = St - S0 ert

kolejna interpretacja wartości kontraktu kupna: jest to różnica między ceną waloru w chwili t, a aktualizacją jego ceny z chwili 0 na moment t

Wartość kontraktu terminowego kupna przy danej cenie dostawy K

Zastępując we wzorach (5) i (6) literę F0 - ceną dostawy kontraktu

zawartego w chwili t=0, literą K, otrzymujemy wersje (5’) i (6’) wzorów na wartość pozycji długiej w kontrakcie w chwili t (z przedziału [0; T] )

(5’) ft = St - e-r(T-t) K

(6’) ft = e-r(T- t) (Ft - K )

lub po uproszczenaich:

(8) f = S - e-rT K

(9) f = e-rT (F- K )

S- aktualna cena waloru, T- czas do terminu realizacji, F – cena terminowa kontraktu

Wartość kontraktu terminowego sprzedaży

Wartość kontraktu sprzedaży jest równa wartości przeciwnej „sprzężonego” z nim kontraktu kupna tego samego waloru, zawartego w tym samym momencie z tym samym czasem wykonania.

Zatem w chwili t wartość kontraktu sprzedaży to (10) ft = e-r(T-t) F0 - St

(10’) ( f = e-rT K - S )

Dla krańców przedziału czasowego otrzymujemy f0= e-rT F0 - S0 = 0

fT = F0 - ST

Sprawiedliwa cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe (dyskretne lub ciągłe)

aktywa generujące dyskretne wpływy aktywa generujące dyskretne koszty aktywa generujące stałą stopę zwrotu wypłacaną w

sposób ciągły aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do

wartości aktywa

Kontrakty forward na waluty Kontrakty na stopę procentową

Określenie (sprawiedliwej) ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe

Pewne aktywa będące przedmiotem kontraktów terminowych mogą generować przepływy finansowe (dochody lub koszty) w przedziale czasu od zawarcia kontraktu do terminu realizacji.

(akcje – wypłaty dywidend, obligacje – kuponów; towary, surowce powodują koszty magazynowania)

Przepływy w przedziale [0, T] oznaczamy przez

C1, ..., Cn. Dodatnie liczby oznaczają dochody

posiadacza aktywa, ujemne – koszty.

Określenie ceny wykonania kontraktu forward na aktywa generujące przepływy finansowe

Rozważmy dwie strategie analogiczne do rozpatrywanych w przypadku braku dodatkowych przepływów w UWADZE 2.

strategia A’ (trzymanie waloru):

w chwili t=0 kupno waloru za S0, realizacja przepływów generowanych przez walor w chwilach t1,..,tn

w chwili t = T sprzedaż waloru za ST,strategia B’ (kontrakt + lokata bankowa): w chwili t=0 długa pozycja w kontrakcie z ceną wykonania F0 , lokata w banku

kwoty F0/ erT, w chwili t = T wycofanie lokaty, realizacja kontraktu – kupno waloru za F0 ,

sprzedaż waloru za ST

Jak poprzednio, strategie wymienione wyżej powinny być równoważne, zatem sumy zdyskontowanych przepływów pieniężnych w tych strategiach – równe.


Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii I: - S0 + (C1)/ert

1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT

Suma zdyskontowanych przepływów pieniężnych w strategii II:

- F0/ erT + (ST)/erT

Wobec równoważności obu strategii - S0 + (C1)/ert

1 +...+ (Cn)/ertn + (ST)/erT = - F0/ erT

+ (ST)/erT

Stąd wyliczamy F0

(14) F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ert

n )] erT

Zatem cena wykonania kontraktu jest równa wartości przyszłej w chwili t =T ceny waloru w chwili t = 0 skorygowanej o wartość bieżącą przepływów C1, ...,Cn.


F0 = [S0 – ((C1)/ert1 +...+ (Cn)/ert

n )] erT

(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT symbolicznie

(16) F = (S – PV) erT

Po elementarnych przekształceniach wzoru (15):

- S0 + Σi PV(Ci) + F0/ erT = 0

W strategii : kupno waloru, krótka pozycja na kontrakcie, sprzedaż waloru

za F0 w ramach realizacji kontraktu:

S0 jest wydatkiem w chwili t = 0,

Ci i=1,..., i=n są wpływami w przedziale czasu [0;T]

F0 jest wpływem uzyskanym w chwili t =T.

Równanie (15) stwierdza, że strumień zdyskontowanych na moment t = 0 przepływów finansowych w tej strategii jest równy zeru (identyczna sytuacja jak w Uwadze 1)


Można uzasadnić prawdziwość wzoru (16) z założenia braku arbitrażu. Przypuśćmy że F’ < F = (S - PV) erT Stosujemy strategię: (t = 0) pożyczamy walor (przejmujemy tym samym obowiązek wypłat), dokonujemy

krótkiej sprzedaży uzyskując S,pieniądze w kwocie (S - PV) lokujemy przy stopie r na okres T, Pozostałą kwotę - czyli PV również lokujemy przy stopie r, ale wcześniej

dzielimy na tyle części, ile jest wypłat i w takiej proporcji, by te wypłaty zrealizować;

zajmujemy długą pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t <T) realizujemy przepływy (wypłaty) (t =T)

podejmujemy kwotę (S - PV) erT , realizujemy kontrakt kupując walor za F’ Kwota [(S - PV) erT – F’] jest arbitrażowym zyskiem


Przypuśćmy że F’ > F = (S - PV) erT Stosujemy strategię: (t = 0) kupujemy walor wydając kwotę S, zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie z ceną realizacji F’ (0 < t <T) realizujemy przepływy - dochody, których łączna wartość na chwilę

t = 0 wynosi PV. (Bieżąca wartość wydatków w chwili t=0 wynosi więc (S - PV) )

(t =T) realizujemy kontrakt sprzedając walor za F’

wartość naszej inwestycji w tym momencie to (S - PV) erT Kwota [F’- (S - PV) erT ] jest arbitrażowym zyskiem

Kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe

Przykład 1. Aktualna cena obligacji kuponowej 5 - letniej o nominale 1000 zł wynosi 930 zł. Płatności kuponowe w wysokości 40 zł następują co pół roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Jaka winna być cena wykonania rocznego kontraktu na tą obligację (z terminem wykonania zaraz po drugiej wypłacie)

(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT

t1=0,5; t2=1; T=1

F0 = (930 – 40/e0,08*0,5 - 40/e0,08 )e0,08 = 925,8245

Cena wykonania takiego kontraktu wynosi 925,82 zł

Kontrakty terminowe na aktywa generujące przepływy finansowe

Przykład 2. Aktualna cena tony miedzi wynosi 8730 $ Koszty kwartalne przechowania 1 tony to 150$ płatne z góry. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 6%. Jaka winna być cena terminowa 9 miesięcznego kontraktu na tonę tego surowca .

(15) F0 = [S0 – Σi PV(Ci)] erT

t1=0; t2= 0,25; t3= 0,5; T = 0,75

F0 = (8730 + 150 + 150 /e0,06*0,25 + 150 /e0,06*0,5 )e0,06 *0,75

= (8730 + 150 + 147,668 + 145,567 ) 1,046 = 9595,563

Cena terminowa kontraktu forward wynosi 9595,56 $

Wartość kontraktu kupna na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K

Cena dostawy - K

Do ogólnego wzoru na wartość kontraktu kupna

f = e-rT (F- K )

wstawiamy wzór na cenę terminową F = (S – PV) erT

Otrzymujemy f = e-rT ((S – PV) erT - K ) = S – PV - K e-rT

(17) f = (S – PV) - K e-rT

Wartość kontraktu kupna na aktywa generujące przepływy. Przykład

Niech 102 $ będzie ceną dostawy w dziesięciomisięcznym kontrakcie forward na akcję, której aktualna cena wynosi 100 $.

Po 3, 6, 9 miesiącach przewidywane są wypłaty dywidend w wysokości 1,5 $ na akcję. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi 8%. Ile wynosi wartość kontraktu kupna ?

f = S – PV - K e-rT

f = 100 – 1,5 (e -0,08*0,25 + e -0,08*0,5 + e -0,08*0,75 ) -102 e -0,08*0,8333

= 100 – 4,324 – 95,422 = 0,254

Wartość rozważanego kontraktu to 25,4 centa

Wartość kontraktu sprzedaży na aktywa generujące przepływy finansowe przy danej cenie dostawy K

wartość kontraktu sprzedaży - według ogólnej zasady – jest równa minus wartość kontraktu kupna

(18) f = K e-rT - (S – PV)

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące stałą stopę zwrotu(np. akcje o stałej stopie dywidendy)

Stopa dywidendy w stosunku rocznym : q = wielkość rocznej dywidendy / cena akcji

Założenia dodatkowe Dywidenda wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie

dywidendy q Dochód z dywidendy jest reinwestowany w akcje (ciągłe powiększanie

portfela akcji) Cena akcji jest stała

Rozważmy następującą strategię: t=0 Zakup e-qT akcji o stopie dywidendy q Krótka pozycja na kontrakcie forward na akcję z ceną F t=T Sprzedaż posiadanych akcji – realizacja kontraktu.

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy

Gdyby inwestor w chwili początkowej nabył 1 akcję to po roku miałby już eq akcji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e qT akcji

Ponieważ początkowa liczba akcji wynosiła e-qT , zatem końcowa liczba to e-qT eqT = 1

Założenie, że akcje są podzielne nie jest zupełnie nierealistyczne. Mając bowiem pakiet 10 000 akcji to przy cenie akcji 100 zł, q=5%, T=0,01, dywidenda w tym okresie wynosi 10000*100*(e0,05*0,01- 1)=500,13;

umożliwia zatem zakup dodatkowych 5 akcji

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o stałej stopie dywidendy

Strategia inwestora charakteryzuje się dwoma przepływami:

wydatkiem Se-qT w chwili początkowej, przychodem F po czasie T.

Tak jak w pierwszej sytuacji (wzór (2), UWAGA 1) musi zachodzić równość

- Se -qT + F/ erT

= 0, Skąd otrzymujemy

(19) F = S e(r-q)T

Przykład

Stopa dywidendy płaconej w sposób ciągły dla pewnej pewnej akcji

wynosi 4 % w skali roku. Wolna od ryzyka stopa procentowa wynosi

8%. Cena tych akcji to 50 $. Wyznacz cenę terminową półrocznego kontraktu forward na tą akcję.

F = S e(r-q)T

S = 50; r = 0,08; q = 0,04; T = 0,5

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy

Można uzasadnić prawdziwość ostatniego wzoru z założenia braku arbitrażu

Przypuśćmy że F’ < F = S e(r-q)T

Strategia t=0:

dokonujemy krótkiej sprzedaży e-qT akcji,

kwotę Se-qT lokujemy przy stopie r

zajmujemy długą pozycję na kontrakcie forward na 1 akcję z ceną F’

t=T:

oddajemy zwiększoną liczbę akcji (dywidenda była inwestowana w akcje e-

qT eqT =1 ), mianowicie jedną akcję

Podejmujemy kwotę Se-qT e Tr

Realizacja kontraktu – kupno akcji za F’

Arbitrażowy zysk (S e(r-q)T – F’)

Cena wykonania kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy

Przypuśćmy że F’ > F = S e(r-q)T

Strategia, t=0: Zaciągamy pożyczkę na kwotę Se-qT

Kupujemy e-qT akcji przy cenie S zajmujemy krótką pozycję na kontrakcie forward na akcję z ceną F’

t=T: Posiadamy 1 akcję (ciągle doliczana dywidenda była

inwestowana w akcje e-qT eqT =1 ) Realizacja kontraktu – sprzedaż akcji za F’ Oddajemy kwotę pożyczki z odsetkami Se-qT eTr

Arbitrażowy zysk (F’ – S e(r-q)T)

Wartość kontraktu forward na akcje o znanej stopie dywidendy

Podstawiając F ze wzoru

F = S e(r-q)T do ogólnego wzoru na wartość długiej pozycji na

kontrakcie forward f = e-rT (F- K )

Otrzymujemy wartość długiej pozycji na kontrakcie na akcję o znanej stopie dywidendy

(20) f = Se-qT - Ke-rT

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa

Założenia dodatkowe Ponoszone koszty przechowania surowca stanowią w ciągu

roku ustalony procent (q) ceny aktywa (np. koszt magazynowania uncji złota może być proporcjonalny do jej ceny ) wypłacana jest w sposób ciągły przy rocznej stopie dywidendy

Koszty ponoszone są w sposób ciągły, poprzez zmniejszanie liczby aktywów (ciągła sprzedaż, by pokryć koszty magazynowania)

Przykładowo, gdyby inwestor w chwili początkowej miał 1 uncję złota, to po roku miałby tylko e-q uncji, zaś po czasie T, byłby posiadaczem e -qT uncji, gdzie q jest pewna liczbą dodatnią Cena aktywa jest stała

Cena wykonania kontraktu forward na aktywa generujące ciągłe koszty proporcjonalne do wartości aktywa

W przypadku akcji przynoszącej stałą dywidendę o stopie q liczba posiadanych akcji (aktywów) rosła zgodnie ze współczynnikiem eqT

Jeżeli aktywa wymagają nakładów, co powoduje redukcję liczby aktywów, to możemy przyjąć, że mamy ujemną stopę dywidendy. Zatem cena terminowa takiego kontraktu dana jest tym samym wzorem

F = S e(r-q)T ale q < 0 lub F = S e(r - (- |q|))T = S e( r + |q| )T

(21) F = S e( r + |q| )T

Liczba aktywów do wygaśnięcia kontraktu zmienia się według współczynnika e(- |q|)

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej

Sformułowanie problemu Obecny kurs waluty obcej wynosi S Stopa procentowa waluty krajowej wynosi r Stopa procentowa waluty zagranicznej wynosi rz

(obie stopy podlegają kapitalizacji ciągłej)

Aktualnie zawieramy kontrakt na sprzedaż waluty obcej z terminem realizacji T. Jaki powinien być kurs waluty obcej w tym czasie ?

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej

Rozważmy dwie strategie: stratega I t=0; Zdeponowanie w banku kwoty P na okres T t=T; Wycofanie depozytu P erT stratega II t=0; zakup P/S jednostek waluty obcej Zdeponowanie uzyskanej kwoty na okres T przy stopie rz

Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie kupna z terminem T i kursem waluty obcej F

t =T Wycofanie depozytu w kwocie (P/S) exp (rzT)

Zrealizowanie kontraktu – sprzedaż waluty po kursie F

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej. Parytet stóp procentowych

Żądamy- tak jak w poprzednich przypadkach - by obie strategie były równoważne. Zatem w chwili T liczby jednostek krajowej waluty muszą być równe, czyli:

P exp (rT ) = (P/S) exp (rzT) F

co oznacza, że

(22) F = S exp (r- rz)T

Kontrakt terminowy na kurs waluty obcej Przykład

Dzisiejszy kurs Euro to 3,96 zł. Przyjmijmy, że wolna od ryzyka krajowa stopa procentowa wynosi 4,5%, zaś w strefie Euro 3,5%. Po jakim kursie powinno się kupić jedno Euro za pół roku ?

F = S exp (r - rz)T

F jest szukanym kursem euro

S= 3,96; r = 4,5%; rz = 3,5%; T =0,5

F = 3,97985

Kontrakt terminowy na stopę procentową

Kontrakt na stopę procentową polega na ustaleniu stopy procentowej dla pożyczki lub lokaty ustalonej wielkości w ustalonym, przyszłym przedziale czasu.

Często ważne będzie ustalenie w kontrakcie tylko przyszłej stopy procentowej

Załóżmy, że dane są ciągłe stopy procentowe obowiązujące od dziś do chwili t1 oraz do chwili t2.

Jaka stopa powinna obowiązywać dla lokat (pożyczek) w okresie (t1, t2) ?


Rozważmy dwie strategie: stratega I t=0; Zdeponowanie kwoty P, przy stopie r2 do chwili t2

t= t2; Wycofanie depozytu P exp (r2 t2)stratega II t =0; Zdeponowanie kwoty P przy stopie r1 do chwili t1 Zajęcie krótkiej pozycji na kontrakcie z terminem t1 i stopą r t = t1 Wycofanie depozytu w kwocie P exp (r1 t1)

Zrealizowanie kontraktu – udzielenie pożyczki w kwocie P exp (r1 t1)

przy stopie r do chwili t2

t = t2

Odzyskanie kwoty pożyczki z odsetkami: P exp (r1 t1) exp [r ( t2 -t1)]


Obie strategie powinny być równoważne, gdyż w przeciwnym przypadku istniałaby możliwość arbitrażu.

Zatem kwoty uzyskane w obu strategiach w chwili t2 muszą być

równe

P exp (r2 t2) = P exp (r1 t1) exp [r ( t2 -t1)]

skąd otrzymujemy

(23) r = ( r2 t2 - r1 t1) / ( t2 - t1)

Jest to tzw. stopa terminowa, która powinna

obowiązywać w kontraktach dotyczących okresu (t1, t2)

Literatura

Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie J. Hull Warszawa 1997 Instrumenty pochodne – sympozjum

matematyki finansowej. Kraków UJ 1997 Inwestycje K. Jajuga, T. Jajuga PWN 2008 Rynkowe instrumenty finansowe A. Sopoćko PWN 2005 Inżynieria finansowa A. Weron, R. Weron

Warszawa 1998

KONTRAKTY FORWARD

Documents

Transcript of KONTRAKTY FORWARD