Forward Kinematics

Forward dan Inverse Kinematics Robot Puma 560, Standford Manipulator, dan Cincinnati Milacron

1. Forward Kinematics

Koordinat posisi dan orientasi dari end effector atau tool merupakan hal yang penting

dalam pergerakan manipulator. Orientasi menyatakan rotasi end effector terhadap base frame

sedangkan koordinat posisi menyatakan letak end effector (x,y,z) terhadap base frame. Ciri

khas dari penyelesaian menggunakan persamaan forward kinematics adalah hanya

mempunyai satu solusi penyelesaian yang menyatakan hubungan antara joint terkait atau end-

efector terhadap base frame sehingga dapat diketahui koordinat posisi dan orientasi dari end

effector.

T=[ R3 x3 ¿ P3 x1

−¿∨¿−¿01 x 3 ¿ 11x 1]=[matrik rotasi ¿ matrik posisi

−¿∨¿−¿0 ¿ 1 ]........................(1)

Forward kinematic dinyatakan dalam matriks transformasi homogen seperti pada

persaaman 1, dimana R3 x3 merupakan matriks rotasi dan P3 x 1merupakan matriks posisi yang

menyatakan pergerakan end effector terhadap base frame

Langkah untuk mencari forward kinematic pertama kali adalah mencari terlebih

dahulu parameter dari tiap joint dengan aturan Denavit Hartenberg (DH). Parameter joint ini

kemudian dibentuk menjadi matriks transformasi homogen tiap joint seperti pada persamaan

(2), untuk selanjutnya dibentuk menjadi matriks transformasi seperti pada persamaan (3)

yang menyatakan hubungan antar joint.

Ai = Rotz,θi • Transz,di • Transx,ai • Rotx,αi

Ai=[cθi−sθi

0 0

sθicθi

0 0

0 0 1 00 0 0 1

] [1 0 0 00 1 0 00 0 1 d i

0 0 0 1][1 0 0 ai

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] [1 0 0 00 cα i

−sα i0

0 sαicαi

d i

0 0 0 1]

Ai=[cθi−sθi

cαisθi

sαia icθi

sθicαi

cθi−cθi

sα iai sθi

0 sα icα i

d i

0 0 0 1] ......................................................................(2)

T 0n=A1 A2 … .. An .....................................................(3)

Dari matriks T yang didapat maka dapat diketahui posisinya dengan melihat struktur

pembentuk matrik seperti pada persamaan (1).

1.1 Persamaan Forward Kinematics Robot Puma 560

Manipulator merupakan salah satu jenis robot yang terdiri dari lengan semu, dimana

aplikasinya banyak diterapkan pada skala industri terutama di industri manufaktur. Puma 560

seperti pada Gambar 1, merupakan salah satu jenis robot manipulator yang mempunyai 6

joint atau derajat kebebasan (6DOF) dengan konfigurasi semua jointnya adalah revolute atau

sendi putar.

Gambar 1. Robot Puma 560

Seperti yang dijelaskan diatas bahwa untuk mencari persamaan forward kinematics

maka yang harus dilakukan terlebih dahulu adalah mencari parameter joint Puma 560 dengan

aturan DH sebagai berikut :

a. Tahap 1

Menentukan dan memberikan label pada sumbu Z0 sampai Zn-1 seperti pada Gambar 2,

dimana n adalah jumlah joint robot yaitu 6 sehingga sumbu yang ditentukan dari Z0

sampai Z5.

Gambar 2. Penentuan sumbu Z pada Puma 560

b. Tahap 2

Menetapkan base frame dan menentukan titik origin (O0) dimana saja sepanjang sumbu

Z0, selanjutnya melengkapi sumbu X0 dan Y0 sesuai kaidah tangan kanan seperi pada

Gambar 3. Base frame ini nantinya digunakan sebagai acuan posisi dan orientasi dari

end-effector.

Gambar 3. Penentuan base frame Puma 560

c. Tahap 3

Menentukan titik Oi (untuk i=1 sampai i = n-1), dengan aturan jika sumbu Zi

memotong sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada perpotongannya dan jika sumbu

Zi sejajar dengan sumbu Zi-1, maka titik Oi ditempatkan pada joint i+1. Ilustrasi tahap

ini ditunjukkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Penentuan titik Oi Puma 560

d. Tahap 4

Menentukan dan memberi label sumbu Xi (untuk i=1 sampai i = n-1), sepanjang

common normal antara Zi-1 dan Zi melalui Oi, atau pada arah normal ke bidang Zi-1 - Zi

jika Zi-1 dan Zi berpotongan. Ilustrasi tahap ini ditunjukkan pada Gambar 5.

Gambar 5. Penentuan sumbu Xi Puma 560

e. Tahap 5

Melengkapi sumbu Yi (untuk i=1 sampai i=n-1), dengan aturan kaidah tangan kanan

seperti pada Gambar 6.

Gambar 6. Penentuan sumbu Yi Puma 560

f. Tahap 6

Menentukan frame end-effector OnXnYnZn, dengan mengasumsikan bahwa joint ke n

adalah revolute yaitu joint 6 dan arah sumbu Zn yaitu Z6 mengikuti sumbu Z terakhir

(Z5), selanjutnya melengkapi titik origin O6 dan X6 ,Y6 dengan menggunakan kaidah

tangan kanan seperti ditunjukkan pada Gambar 7

Gambar 7. Penentuan end effector Puma 560

g. Tahap 7

Menentukan dan membuat tabel parameter DH seperti ditunjukkan pada Tabel 1.

Parameter yang dicari, yaitu :

1. ai merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari titik Oi.

2. di merupakan jarak perpotongan sumbu Xi dan sumbu Zi-1 diukur dari Oi-1 , jika joint

ke-i adalah prismatik maka di bernilai variabel.

3. αi merupakan sudut yang terbentuk antara Zi-1 dan Zi dengan acuan sumbu Xi.

4. өi merupakan sudut antara Xi-1 dan Xi dengan acuan Zi-1 jika joint ke-i adalah

revolute maka өi bernilai variabel.

Tabel 1. DH Paramater Robot Puma 560

h. Tahap 8

Membentuk matriks transformasi homogen untuk setiap joint dengan memasukkan

parameter pada Tabel 1 kedalam persamaan 2, misal diasumsikan θ1=90o ,θ2=0o ,θ3= 90o

,θ4=0o ,θ5 =90o ,θ6=0o sehingga didapat hasil sebagai berikut :

A1=[cθ10 −sθ1

0

sθ10 cθ1

0

0 −1 0 00 0 0 1

]=[0 0 −1 01 0 0 00 −1 0 00 0 0 1

] A2=[cθ2

−sθ20 0.4138 cθ2

sθ2cθ2

0 −0 .2 32 sθ2

0 0 1 0 .149 090 0 0 1

]=[1 0 0 0.41380 1 0 00 0 1 0 .149 090 0 0 1

]

Joint i ai di αi θi Rentang sudut θi

1 0 m 0 m -90o θ1* -160o sampai +160 o

2 0.4138 m 0.14909 m 0o θ2* -225o sampai +45 o

3 -0.232 m 0 m 90o θ3* -45o sampai +225 o

4 0 m 0.43307 m -90o θ4* -110o sampai +170 o

5 0 m 0 m 90o θ5* -100o sampai +100 o

6 0 m 0.5625 m 0o θ6* -266o sampai +266 o

A3=[cθ30 sθ3

−0 .232 cθ3

sθ30 −cθ3

−0 .232 sθ3

0 1 0 00 0 0 1

]=[0 0 1 01 0 0 −0 .2320 1 0 00 0 0 1

]A4=[cθ4

0 −sθ40

sθ40 cθ4

0

0 −1 0 0 . 433 070 0 0 1

]=[1 0 0 00 0 1 00 −1 0 0 . 433 070 0 0 1

] A5=[cθ5

0 sθ50

sθ50 −cθ5

0

0 1 0 00 0 0 1

]=[1 0 0 00 0 −1 00 1 0 00 0 0 1

] A6=[cθ6

−sθ60 0

sθ6cθ6

0 0

0 0 1 0 .56 250 0 0 1

]=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 .56 250 0 0 1

]i. Tahap 9

Membentuk matrik transformasi homogen yang menyatakan hubungan antar joint

seperti pada persamaan 3. Mengingat Puma 560 mempunyai 6 joint, sehingga akan

diperoleh bentuk matriks T yaitu T 06= ( A1)( A¿¿2)( A3)( A4)( A ¿¿5)( A6)¿¿ sebagai

berikut :

T 06=[0 0 −1 0

1 0 0 00 −1 0 00 0 0 1

] .[1 0 0 0.41380 1 0 00 0 1 0 .149 090 0 0 1

] .[0 0 1 01 0 0 −0 .2320 1 0 00 0 0 1

] .[1 0 0 00 0 1 00 −1 0 0 . 433 070 0 0 1

] . [1 0 0 0

0 0 −1 00 1 0 00 0 0 1

] .[1 0 0 00 1 0 00 0 1 0 . 56 250 0 0 1

] T 0

6=[ 0 −1 0 −0 . 14991−1 0 0 −0.15310 0 −1 −0 .33050 0 0 1

]

Dari hasil matriks T yang terbentuk dapat diketahui bahwa dengan memberikan nilai

sudut θ1=90o ,θ2=0o ,θ3= 90o ,θ4=0o ,θ5 =90o ,θ6=0o maka akan didapat posisi dari end effector,

yaitupada posisi x = -0.14991 m, y = -0.1531 m , z = -0.3305 m, dimana tanda negatif

menunjukkan posisi end effector berada berkebalikan dengan arah sumbu base frame.

1.2 Persamaan Forward Kinematics Stanford Manipulator

Stanford manipulator seperti pada Gambar 8, merupakan salah satu jenis robot

manipulator yang mempunyai 6 joint atau derajat kebebasan (6DOF) dengan konfigurasi 5

joint revolute dan 1 joint prismatik yang terletak pada joint 3 seperti ditunjukkan pada

Gambar 9.

Gambar 8. Stanford manipulator

Gambar 9. Konfigurasi joint stanford manipulator

Hal yang pertama kali harus dilakukan untuk mencari persamaan forward kinematics

dari stanford manipulator yaitu mencari parameter joint dengan aturan DH seperti pada poin

1.1 diatas. Tahapan yang dilakukan adalah sebagai berikut :

a. Tahap 1



sampai Z5

Gambar 10. Penentuan sumbu Z pada stanford manipulator

b. Tahap 2




end-effector.

Gambar 11. Penentuan base frame stanford manipulator

c. Tahap 3





Gambar 12. Penentuan titik Oi stanford manipulator

d. Tahap 4




Gambar 13. Penentuan sumbu Xi stanford manipulator

e. Tahap 5



Gambar 14. Penentuan sumbu Yi stanford manipulator

f. Tahap 6





Gambar 15. Penentuan end effector stanford manipulator

g.

Tahap 7









Tabel 2. DH Paramater Robot Stanford Manipulator

h. Tahap 8


parameter pada Tabel 2 kedalam persamaan 2, misal diasumsikan θ1=90o ,θ2=0o ,θ4=-90o

,θ5 =0o ,θ6=90o dan d3 = 0.3 m, maka akan didapat hasil sebagai berikut :

A1=[cθ10 −sθ1

0

sθ10 cθ1

0

0 −1 0 00 0 0 1

]=[0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 1

]

Joint i ai di αi θi Rentang di Rentang sudut θi

1 0 m 0 m -90o θ1* - -160o sampai +160 o

2 0 m 0.154 m 90o θ2* - -225o sampai +45 o

3 0 m d3* m 0o 0 0.1 – 0.5 m -

4 0 m 0 m -90o θ4* - -110o sampai +170 o

5 0 m 0 m 90o θ5* - -100o sampai +100 o

6 0 m 0.263 m 0o θ6* - -266o sampai +266 o

A2=[cθ20 sθ2

0

sθ20 −cθ2

0

0 1 1 0.1540 0 0 1

]=[1 0 0 00 0 −1 00 1 1 0.1540 0 0 1

] A3=[1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 d3

¿

0 0 0 1]=[1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 0.30 0 0 1

] A4=[cθ4

0 −sθ40

sθ40 cθ4

0

0 −1 0 00 0 0 1

]=[ 0 0 1 0−1 0 0 00 −1 0 00 0 0 1

] A5=[cθ5

0 sθ50

sθ50 −cθ5

0

0 1 0 00 0 0 1

]=[1 0 0 00 0 −1 00 1 0 00 0 0 1

] A6=[cθ6

−sθ60 0

sθ6cθ6

0 0

0 0 1 0.2630 0 0 1

]=[0 −1 0 01 0 0 00 0 1 0.2630 0 0 1

]i. Tahap 9


seperti pada persamaan 3. Mengingat stanford manipulator mempunyai 6 joint, maka

akan diperoleh bentuk matriks T yaitu T 06= ( A1)( A¿¿2)( A3)( A4)( A ¿¿5)( A6)¿¿

sebagai berikut :

T 06=[0 0 0 0

0 0 1 00 −1 0 00 0 0 1

] .[1 0 0 00 0 −1 00 1 1 0.1540 0 0 1

] .[1 0 0 00 1 0 00 0 1 0.30 0 0 1

] .[ 0 0 1 0−1 0 0 00 −1 0 00 0 0 1

] . [1 0 0 0

0 0 −1 00 1 0 00 0 0 1

] .[0 −1 0 01 0 0 00 0 1 0.2630 0 0 1

] T 0

6=[0 0 0 00 1 1 0.71700 0 0 0 .56300 0 0 1

]

Dari hasil matriks T yang terbentuk dapat diketahui bahwa dengan memberikan nilai

sudut θ1=90o ,θ2=0o ,θ4=-90o ,θ5 =0o ,θ6=90o dan mengasumsikan nilai d3 = 0.3 m maka akan

didapat posisi dari end effector, yaitu pada posisi x = 0 m, y = 0.7170 m , z = 0.5630 m,

terhadap base frame.

1.3 Persamaan Forward Kinematics Cincinnati Milacron T3

Berbagai jenis manipulator banyak digunakan di industri yang bertujuan untuk

mempermudah maupun menjaga kualitas dari suatu pekerjaan , salah satunya yaitu Cincinnati

Milacron T3 seperti pada Gambar 16, manipulator ini mempunyai 6 joint atau derajat

kebebasan (6DOF) dengan konfigurasi semua joint adalah revolute seperti pada robot Puma

560.

Gambar 16. Cincinnati Milacron T3

Hal yang pertama kali harus dilakukan untuk mencari persamaan forward kinematics

dari manipulator ini yaitu mencari parameter joint dengan aturan DH seperti pada poin 1.1

dan 1.2 diatas. Tahapan yang dilakukan adalah sebagai berikut :

a. Tahap 1



sampai Z5

Gambar 17. Penentuan sumbu Z pada Cincinnati Milacron T3

b. Tahap 2




end-effector.

Gambar 19. Penentuan base frame Cincinnati Milacron T3

c. Tahap 3





Gambar 20. Penentuan titik Oi Cincinnati Milacron T3

d. Tahap 4




Gambar 21. Penentuan sumbu Xi Cincinnati Milacron T3

Gambar 22. Penentuan sumbu Yi Cincinnati Milacron T3

e. Tahap 5



f. Tahap 6





Gambar 23. Penentuan end effector stanford manipulator

g. Tahap 7









Tabel 3. DH Paramater Robot Cincinnati Milacron

h.

Tahap 8


parameter pada Tabel 2 kedalam persamaan 2, misal diasumsikan θ1=90o ,θ2=0o , θ3=0o

θ4=90o ,θ5 =0o ,θ6=90o, maka akan didapat hasil sebagai berikut :

A1=[cθ10 sθ1

a1cθ1

sθ10 −cθ1

a1 sθ1

0 1 0 d1

0 0 0 1]=[0 0 1 0

1 0 0 00 1 0 1.50 0 0 1

] A2=[cθ2

−sθ20 a2 cθ2

sθ2cθ2

0 a2 sθ2

0 0 1 d2

0 0 0 1]=[1 0 0 1.067

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] A3=[cθ3

−sθ30 a3 cθ3

sθ3cθ3

0 a3 sθ3

0 0 1 d3

0 0 0 1]=[1 0 0 1.067

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] A4=[cθ4

0 −sθ4a4 cθ4

sθ40 cθ4

a4 sθ4

0 −1 0 d4

0 0 0 1]=[ 0 0 −1 0

−1 0 0 0 .2050 −1 0 00 0 0 1

] A5=[cθ5

−sθ50 a5 cθ5

sθ5cθ5

0 a5 sθ5

0 0 1 d5

0 0 0 1]=[1 0 0 0.369

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]

Joint i ai di αi θi Rentang sudut θi

1 0 m 1.5 m 90o θ1* -120o sampai +120 o

2 1.067 m 0 m 0o θ2* 0o sampai +90 o

3 1.067 m 0 m 0o θ3* -150o sampai 0 o

4 0.205 m 0 m -90o θ4* -90o sampai +90 o

5 0.369 m 0 m 0o θ5* -90o sampai +90 o

6 0 m 0 m 0o θ6* -135o sampai +135 o

A6=[cθ6−sθ6

0 a6 cθ6

sθ6cθ6

0 a6 sθ6

0 0 1 d6

0 0 0 1]=[0 −1 0 0

1 0 0 00 0 1 00 0 0 1

]i. Tahap 9


seperti pada persamaan 3. Mengingat stanford manipulator mempunyai 6 joint, maka

akan diperoleh bentuk matriks T yaitu T 06= ( A1)( A¿¿2)( A3)( A4)( A ¿¿5)( A6)¿¿

sebagai berikut :

T 06=[0 0 1 0

1 0 0 00 1 0 1.50 0 0 1

] .[1 0 0 1.0670 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] .[1 0 0 1.0670 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] .[ 0 0 −1 0−1 0 0 0.2050 −1 0 00 0 0 1

] . [1 0 0 0.369

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

] .[0 −1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

] T 0

6=[−1 0 0 00 0 −1 2.13400 1 0 1.33600 0 0 1

]Dari hasil matriks T yang terbentuk dapat diketahui bahwa dengan memberikan nilai

sudut θ1=90o ,θ2=0o , θ3=0o θ4=90o ,θ5 =0o ,θ6=90o maka akan didapat posisi dari end effector,

yaitu pada posisi x = 0 m, y = 2.1340 m , z = 1.3360 m, terhadap base frame.

2. Inverse Kinematics

Inverse kinematics digunakan untuk mencari kombinasi sudut yang harus diberikan

pada manipulator agar end effector bergerak menuju koordinat posisi yang ditentukan. Hal ini

berbeda dengan konsep forward kinematics, dimana sudut dari tiap joint sudah ditentukan

untuk mencari koordinat posisi dari end effector, perbedaan antara keduanya dapat dilihat

pada Tabel 4. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan inverse kinematics, salah satunya

adalah dengan metode aljabar.

Ciri khas dari penyelesaian menggunakan persamaan inverse kinematics adalah

mempunyai lebih dari satu solusi penyelesaian, karena dimungkinkan memiliki lebih dari satu

kombinasi sudut tiap joint untuk mendapatkan koordinat posisi dari end effector.

Tabel 4. Perbedaan inverse dan forward kinematic

Inverse Kinematics Forward Kinematics

θ = f−1 (x) x = f (θ)❑

dimana : θ = variabel joint

x = posisi dan orientasi end effector

2.1 Persamaan Inverse Kinematics Robot Puma 560

2.2 Persamaan Inverse Kinematics Standford Manipulator

2.3 Persamaan Inverse Kinematics Cincinnati Milacron

3. Simulasi Forward Kinematics

3.1 Simulasi Forward Kinematics Robot Puma 560

3.2 Simulasi Forward Kinematics Stanford Manipulator

3.3 Simulasi Forward Kinematics Cincinnati Milacron T3

4. Simulasi Inverse Kinematics

4.1 Simulasi Forward Kinematics Robot Puma 560

4.2 Simulasi Forward Kinematics Stanford Manipulator

4.3 Simulasi Forward Kinematics Cincinnati Milacron T3

Forward Kinematics

Documents

Transcript of Forward Kinematics