Kombi Nato Rika Full

8/19/2019 Kombi Nato Rika Full

1/104

KOMBINATORIKA


2/104

DEFINISI

•Kombinatorika adalah cabang

matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objektanpa harus mengenumerasisemua kemungkinan susunannya.


3/104

ENUMERASISebuah sandi-lewat ( password ) panjangnya 6 sampai 8 karakter.Karakter boleh berupa huru atau angka. !erapa banyakkemungkinan sandi-lewat yang dapat dibuat"

# abcde # aaaade# a$%&r# '# erhtgahn# yutresik # '## """"


4/104

Kaidah Dasar Menghitung

$. Kaidah perkalian

(rule of product )

%. Kaidah penjumlahan

(rule of sum)


5/104

Kaidah perkalian (rule of product)isalkan

*ercobaan $+ p hasil

*ercobaan %+ q hasilmaka

*ercobaan $ dan percobaan %+

p q hasil


6/104

Kaidah penjumlahan (rule of sum)isalkan

*ercobaan $+ p hasil

*ercobaan %+ q hasilmaka

*ercobaan $ atau percobaan %+

p + q hasil


7/104

Contoh

• Ketua kelas ,-$& hanya $ orang (pria atau wanita tidak bias gender). umlah pria ,-$& /60 orang dan jumlah wanita / $0 orang. !erapa banyak cara memilih ketua kelas"

• *enyelesaian+

60 1 $0 / 82 cara.


8/104

Contoh

• 3ua orang perwakilan ,-$& mendatangi 3osenuntuk protes nilai kuis. 4akil yang dipilih $orang pria dan $ orang wanita. !erapa banyakcara memilih % orang wakil tersebut"

• *enyelesaian+

60 × $0 / 50 cara.


9/104

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

isalkan ada n percobaan masing-masing dg pi

hasil

$. Kaidah perkalian (rule of product )

p1 p2 … pn hasil%. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

p1 + p2 + … + pn hasil


10/104

Contoh

!it biner hanya 2 dan $. !erapa banyak

string biner yang dapat dibentuk jika+# panjang string 0 bit

# panjang string 8 bit (/ $ byte)

*enyelesaian+

# % × % × % × % × % / %0 / &% buah# %8 / %06 buah


11/104

Contoh

!erapa banyak bilangan ganjil antara $222 dan5555 (termasuk $222 dan 5555 itu sendiri)

yang boleh ada angka yang berulang.*enyelesaian+

# posisi satuan + 0 kemungkinan angka (yaitu $ & 0 dan 5)7# posisi ribuan + 5 kemungkinan angka ($ sampai 5)# posisi ratusan + $2 kemungkinan angka (2 sampai 5)

# posisi puluhan + $2 kemungkinan angka (2 sampai 5) !anyak bilangan ganjil seluruhnya /

(0)(5)($2)($2) / 022


12/104

Contoh !erapa banyak bilangan ganjil antara $222 dan 5555

(termasuk $222 dan 5555 itu sendiri) yang semua

angkanya berbeda• *enyelesaian+

# posisi satuan + 0 kemungkinan angka (yaitu $ & 0 dan 5)# posisi ribuan + 8 kemungkinan angka# posisi ratusan + 8 kemungkinan angka

# posisi puluhan + kemungkinan angka !anyak bilangan ganjil seluruhnya

/ (0)(8)(8)() / %%2 buah.


13/104

ContohSandi-lewat ( password ) sistem komputer panjangnya enam sampai

delapan karakter. ,iap karakter boleh berupa huru atau angka7huru besar dan huru kecil tidak dibedakan. !erapa banyaksandi-lewat yang dapat dibuat"

• *enyelesaian+!anyaknya huru alabet adalah %6 (9-:) dan banyak angkadesimal adalah $2 (2-5) jadi seluruhnya &6 karakter.

# ;ntuk sandi-lewat dengan panjang 6 karakter jumlahkemungkinan sandi-lewat adalah

# (&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6) / &66 / %.$6.8%.&&6# ;ntuk sandi-lewat dengan panjang karakter jumlah

kemungkinan sandi-lewat adalah

# (&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6) / &6 / 8.&6.$6.256


14/104

Contoh (lanjutan)# ;ntuk sandi-lewat dengan panjang 8 karakter jumlah

kemungkinan sandi-lewat adalah (&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6) / &68 / %.8%$.$25.52.06

adi jumlah seluruh sandi-lewat (kaidahpenjumlahan) adalah

%.$6.8%.&&6 1 8.&6.$6.256 1 %.8%$.$25.52.06/

2.901.650.833.888 buah.


15/104

Latihan

• *elat nomor memuat % huru (boleh sama)diikuti & angka dengan digit pertama tidak samadengan 2 (boleh ada angka yang sama). 9da berapa pelat nomor berbeda

• %6 < %6 < 5 < $2 < $2 /62822


16/104

Latihan

• *elat nomor memuat % huru berbeda diikuti &angka berbeda. 9da berapa pelat nomor berbeda"

• %6 < %0 < $2 < 5 < 8 /68222


17/104

Latihan

• *elat nomor memuat % huru berbeda diikuti &angka berbeda dengan digit pertama tidak samadengan 2. 9da berapa pelat nomor berbeda

• %6 < %0 < 5 < 5 < 8 /%$%22


18/104

Latihan

• ,entukan n cara agar sebuah organisasi yangterdiri dari %6 anggota dapat memilihketuasekretaris dan bendahara dgn catatantidak ada jabatan rangkap)

• %6 < %0 < % /$0622


19/104

Latihan• ,ulis bilangan $ % & ... %2$&. !erapa kali kita

menulis angka $ "

• 9ngka $ sebagai ribuan.3ari $ sampai %2$& banyak angka $ sbg ribuan ada 1000(dari $222 sampai $555)

• 9ngka $ sebagai ratusan.

3ari $22 sampai $55 banyak angka $ sbg ratusan ada 100.aka $ s.d %222 angka $ sbg ratusan ada % < $22 / 200.


20/104

• 9ngka $ sebagai puluhan.

3ari $2 s.d $5 banyak angka $ sebagai puluhan ada 10.aka $ s.d %222 angka $ sbg puluhan ada % < $2 < $2

/200.

3ari %22$ s.d %2$& banyak angka $ sbg puluhan ada 4.

adi $ s.d %2$& angka $ sebagai puluhan ada sebanyak204.

• 9ngka $ sebagai satuan.

9ngka satuan berulang setiap kala ulang $2.

aka $ s.d %222 angka $ sebagai satuan ada %222 = $2 /200.

3ari %22$ s.d %2$& banyak angka $ sbg satuan ada 2.

adi $ s.d %2$& angka $ sebagai satuan ada sebanyak 202.


21/104

Latihan

• ,erdapat jalur bus antara 9 dan ! dan & jalur bus dari ! ke >. ,entukan banyaknya cara agar

seseorang dapat bepergian dengan bus dari 9 ke> melewati !

• < & /$%


22/104

Latihan


seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari 9ke > melewati !

• $% < $% /$


23/104

Latihan


seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari 9ke > melewati ! dan tidak ingin melewati satu jalur lebih dari sekali"

• < & < % < & /%


24/104

Latihan

• Suatu kemeja merek tertentu memiliki $% warnapilihan memiliki ?ersi untuk pria dan wanita

serta & ukuran untuk tiap-tiap ?ersi. !erapa banyak tipe kemeja yang dibuat "


25/104

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Setiap byte disusun oleh 8-bit. !erapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan @$$A atau

berakhir dengan @$$A"• *enyelesaian+isalkan A / himpunan byte yang dimulai dengan @$$A

B / himpunan byte yang diakhiri dengan @$$A A ∩ B / himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan @$$A


26/104


27/104

Latihan:1. (a)Berapa banyak bilangan genap 2-angka?

(b)Berapa banyak bilangan ganjil 2-angkadengan setiap angka berbeda?

2. Suatu bilangan dibentuk dari angka 2,3,4,5,7,,dan !. Berapa banyak bilangan 4-angka yangkurang dari 5""", na#un $abis dibagi 5?


28/104

&. ,ersedia 6 huru+ a b c d e f . !erapa jumlahpengurutan & huru jika+

(a) tidak ada huru yang diulang7(b) boleh ada huru yang berulang7(c) tidak boleh ada huru yang diulang tetapi hurue harus ada7(d) boleh ada huru yang berulang huru e harus

ada

. ,entukan banyak cara pengaturan agar & orangmahasiswa urusan ,eknik normatika (C) orang mahasiswa ,eknik Kimia (,K) orangmahasiswa ,eknik Deologi (DE) dan % orangmahasiswa Carmasi (C9) dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang samaduduk berdampingan"


29/104

PERMUTASI


30/104

DEFINISI• *ermutasi adalah jumlah urutan berbeda dari

pengaturan objek-objek.


31/104

Permutasi• !erapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat

dari penempatan bola merah biru putih ke dalam kotak

$%& "

m b p

BOLA

KOTAK

2 31


32/104

Jumlah !emun"!inan urutan #er#e$a $ari %enem%atan

#ola !e $alam !ota! a$alah &'(&)(&*( + ', + -.

KOTAK 1 KOTAK 2 KOTAK 3 URUTAN

m b p mbpp b mpb

b m p bmp

p m bpmp m b pmb

b m pbm


33/104

%&tak 1 %&tak 2 %&tak 3 'rutan

b p mbp

m

p b mpb

m p bmp

b

p m bpm

m b pmb

p

b m pbm

u#la$ ke#ungkinan urutan berbeda dari pene#patan b&la ke

dala# k&tak adala$ (3)(2)(1) 3* +.


34/104

Fa!torial

Eatihan

a. b.

c. d.

*7*

)*3(

*

−nn

*3*2*5

)*1(

)*1(

+−

n

n


35/104

Permutasi

*ermutasi merupakan bentuk khusus aplikasikaidah perkalian.

isalkan jumlah objek adalah n makaurutan pertama dipilih dari n objekurutan kedua dipilih dari n B $ objekurutan ketiga dipilih dari n B % objek'urutan terakhir dipilih dari $ objek yang tersisa.

enurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah

n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!


36/104

Contoh• !erapa banyak FkataG yang terbentuk dari kata

FH9*;SG"

• *enyelesaian+ >ara $+ (0)()(&)(%)($) / $%2 buah kata >ara %+ P (0 0) / 0I / $%2 buah kata

• !erapa banyak cara mengurutkan nama %0 orang

mahasiswa"• *enyelesaian+ P (%0 %0) / %0I


37/104

Contoh :Berapa banyak cara penyusunan 15 puzzle seperti

conto !iba"a ini#

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15

$ % &1'( 1') * 1'+


38/104

Permutasi r dari n elemen 9da enam buah bola yang berbeda warnanya dan & buah kotak.

asing-masing kotak hanya boleh diisi $ buah bola. !erapa jumlahurutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola kedalam kotak-kotak tersebut"

m b p h k j

BOLA

KOTAK

1 2 3


39/104

Permutasi r dari n elemen• *enyelesaian+

# kotak $ dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6

pilihan)7# kotak % dapat diisi oleh salah satu dari 0 bola (ada 0

pilihan)7# kotak & dapat diisi oleh salah satu dari bola (ada

pilihan).

Jumlah urutan berbea ari enematan b"la = (6)(5)(4) = 120


40/104

Permutasi r dari n elemen

*erampatan+ 9da n buah bola yang berbeda warnanya dan r buahkotak (r ≤ n) maka# kotak ke-$ dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan)# kotak ke-% dapat diisi oleh salah satu dari (n - $) bola (ada n B $

pilihan)# kotak ke-& dapat diisi oleh salah satu dari (n - %) bola (ada n B %)

pilihan7# '''.# kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n - (r - $)) bola (ada n

B r 1 $ pilihan)7

Jumlah urutan berbea ari enematan b"laaalah#n(n $ 1)(n $ 2)…(n $ (r $ 1))


41/104

Permutasi r dari n elemen• J;;S

))1()...(2)(1(),( −−−−= r nnnnr n P

)*(

*

r n

n

−=


42/104

Contoh !erapakah jumlah kemungkinan membentuk & angka

dari 0 angka berikut+ $ % & 0 jika+

(a) tidak boleh ada pengulangan angka dan(b) boleh ada pengulangan angka.

• *enyelesaian+(a) 3engan kaidah perkalian+ (0)()(&) / 62 buah 3engan rumus permutasi *(0 &) / 0I=(0 B &)I / 62

(b) ,idak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. 3engan kiadah perkalian+ (0)(0)(0) / 0& / $%0.


43/104

Permutasi r dari n elemen• %e&inisi

*ermutasi r dari n elemen adalah jumlah

kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilihdari n buah elemen dengan r ≤ n yang dalamhal ini pada setiap kemungkinan urutan tidak

ada elemen yang sama.


44/104

Permutasi $en"an %en"ulan"an

• !anyaknya permutasi dari n objek dari n$ yang

sama n% yang sama'' nr yang sama adalah

**...*

*

21 r nnn

n


45/104


46/104

Latihan Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya

karakter terdiri dari huru berbeda dan

diikuti dengan & angka yang berbeda pula"• *enyelesaian+

P (%6 ) × P ($2&) / %08.&&6.222


47/104

Latihan

• !erapa banyak bilangan berdigit & yang bisadibentuk dari 6 angka %&05 danpengulangan tidak diperbolehkan"

• *ermutasi / (6 < 0 < < & < % < $)=(& < % < $ )/$%2

• Kaidah *erkalian / 6 < 0 < / $%2

)*(

*

r n

n

−


48/104

Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang kurang

dari 22 yang bisa dibentuk dari 6 angka

%&05 dan pengulangan tidakdiperbolehkan"

• %


49/104


50/104

Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang ganjil

dan bisa dibentuk dari 6 angka %&05 dan

pengulangan tidak diperbolehkan"

• 0


51/104

Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang dapat

dibagi 0 dan bisa dibentuk dari 6 angka

%&05 dan pengulangan tidakdiperbolehkan"

• 0


52/104

Latihan• Sebuah keluarga terdiri atas 0 orang. ereka

akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar

untuk makan bersama. !erapa banyaknya caraagar mereka dapat duduk mengelilingi mejamakan tersebut dengan urutan yang berbeda"

• (0 -$)I / I / < & < % < $ / %


53/104

Latihan• ,entukan banyaknya cara agar orang dapat

mengatur dirinya dalam $ barisan yang terdiri

dari kursi

• n(n B $) (n B %) ' (%)($) / nI

/


54/104

Latihan• ,entukan banyaknya cara agar orang dapat

mengatur dirinya duduk mengelilingi meja

bundar yang terdiri dari kursi

• 6


55/104

Latihan

• !erapa banyak bilangan berdigit & yang bisadibentuk dari 6 angka %&05 danpengulangan diperbolehkan"

• Kaidah *erkalian

6


56/104


57/104

Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang genap


pengulangan diperbolehkan"

• 6


58/104

Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang ganjil


pengulangan diperbolehkan"

• 6


59/104

Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang dapat

dibagi 0 dan bisa dibentuk dari 6 angka

%&05 dan pengulangan diperbolehkan"

• 6


60/104

Kombinasi• !entuk khusus dari permutasi adalah

kombinasi. ika pada permutasi urutan

kemunculan diperhitungkan maka padakombinasi urutan kemunculan diabaikan.


61/104


62/104

Kombinasilustrasi

sama

sama

sama

,anya

3 cara

a b

ab

a

a

a

a

b

b

b

b


63/104

Kombinasi• !ila sekarang jumlah bola & dan jumlah kotak

$2 maka jumlah cara memasukkan bola ke

dalam kotak adalah

karena ada &I cara memasukkan bola yang warnanya sama.

*3

))(!)(1"(

*3

*7

*1"

*3

)3,1"(==

P


64/104

Kombinasi• Secara umum jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak

adalah

( )

==

−=

−−−−r

nr nC

r nr

n

r

r nnnn,

)*(*

*

*

))1()...(2)(1(


65/104

Definisi• Kombinasi r elemen dari n elemen atau C (n r)

adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r

elemen yang diambil dari n buah elemen.


66/104

Interpretasi Kombinasi 1. C (n r) / banyaknya himpunan bagian yang

terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari

himpunan dengan n elemen.isalkan A / L$ % &M umlah Himpunan bagian dengan % elemen+

L$ %M / L% $M

L$ &M / L& $M & buah atauL% &M / L& %M

3*2*1

*3

*2)*23(

*3

2

3

==−=


67/104

Interpretasi Kombinasi

2. C (n r) / cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada tetapi urutan elemen didalam susunan hasil pemilihan tidak penting.

>ontoh+ !erapa banyak cara membentuk panitia(komite komisi dsb) yang beranggotakan 0orang orang dari sebuah raksi di 3*J yang beranggotakan %0 orang"


68/104

Interpretasi Kombinasi*enyelesaian+ *anitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut

artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannyasama.isal lima orang yang dipilih 9 ! > 3 dan makaurutan penempatan masing-masingnya di dalam panitiatidak penting (9!>3 sama saja dengan !9>3

93>! dan seterusnya). !anyaknya cara memilihanggota panitia yang terdiri dari 0 orang anggota adalahC (%00) / 0&$&2 cara.


69/104

Contoh 3i antara $2 orang mahasiswa , %2$& berapa banyak cara

membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 0 orang sedemikiansehingga+

$. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya7%. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya7&. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya tetapi B tidak7. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya tetapi A tidak70. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya76. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B

termasuk di dalamnya.


70/104

Contoh

*enyelesaian+• C (5 ) / $%6 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 0 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya.

• C (5 0) / $%6 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 0 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya.

• C (8 ) / 2 cara untuk membentuk perwakilan

yang beranggotakan 0 orang sedemikiansehingga A termasuk di dalamnya tetapi B tidak.


71/104

Contoh• C (8 ) / 2 cara untuk membentuk

perwakilan yang beranggotakan 0 orang

sedemikian sehingga B termasuk di dalamnyatetapi A tidak.

• C (8 &) / 06 cara untuk membentukperwakilan yang beranggotakan 0 orang

sedemikian sehingga A dan B selalu termasukdi dalamnya.


72/104

Contoh• umlah cara membentuk perwakilan

sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari

A atau B termasuk di dalamnya/ jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya B tidak 1

jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya A tidak 1

jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya

/ 2 1 2 1 06 / $56


73/104

Contoh*rinsip inklusi-eksklusi+ X / jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A

Y / jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B X ∩ Y / jumlah cara membentuk perwakilan yangmenyertakan A dan B maka

X / C (5 ) / $%67 Y / C (5 ) / $%67

X ∩ Y / C (8 &) / 067 X ∪ Y / X 1 Y - X ∩ Y / $%6 1 $%6 B 06 / $56


74/104

Contoh

• Sebuah karakter dalam sistem 9S> berukuran $ byte atau 8 bit ($ atau 2)

a) !erapa banyak pola bit yang terbentuk "

b) !erapa banyak pola bit yang mempunyai & bit $ "

c) !erapa banyak pola bit yang mempunyai bit $ sejumlahgenap "

S l i


75/104

Solusi• $ byte / 8 bit (posisi 2 .. )• $ bit terdiri dari F$G atau F2G

• aka +a) *osisi bit dalam $ byte +

6 0 & % $ 2

*osisi 2 dapat diisi dengan % cara ($ atau 2)

*osisi $ dapat diisi dengan % cara ($ atau 2)

++

*osisi dapat diisi dengan % cara ($ atau 2)

Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk +

(%)(%)(%)(%) (%)(%)(%)(%) / %8

b) !anyaknya pola bit yang mempunyai & bit $ +

( ) caraC C C 5+

*3*3

*

3

)3,( 3 =−

==

=


76/104

c) !anyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit $ / >(82)!anyaknya pola bit yang mempunyai % buah bit $ / >(8%)!anyaknya pola bit yang mempunyai buah bit $ / >(8)!anyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit $ / >(86)!anyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit $ / >(88)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit $ sejumlahgenap +

>(82) 1 >(8%) 1 >(8) 1 >(86) 1 >(88) /$ 1 %8 1 2 1 %8 1 $ / $%8


77/104

Contoh• Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg

terdiri dari 0 putra dan & putri. ika terdapat $0

pelamar 5 diantaranya putra. ,entukan banyaknya cara menyeleksi karyawanI

*elamar putra / 5 dan pelamar putri 6 banyak caramenyeleksi+

>(50) < >(6&) / 5I=0I


78/104

S l i


79/104

Solusi

• *ria / orang• 4anita / 0 orang• *anitia / orang jumlah pria lebih banyak daripada

jumlah wanita• aka +

# *anitia terdiri dari orang pria dan 2 orang wanita

>() < >(02) / &0 < $ / &0# *anitia terdiri dari & orang pria dan $ orang wanita >(&) < >(0$) / &0 < 0 / $0

• Sehingga jumlah cara pembentukan panitiaseluruhnya +

>() < >(02) 1 >(&) < >(0$) / &0 1 $0 / %$2 cara


80/104


81/104


82/104

Contoh


83/104

Contoh!erapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 0orang yang dipilih dari orang pria dan 0 orang wanita jika di dalampanitia tersebut paling sedikit beranggotakan % orang wanita "

•*enyelesaian+

umlah wanita di dalam panitia + %& atau 0 orang.

*ilih % wanita -N maka sisanya memilih & dari pria +>(0%).>(&)

*ilih & wanita -N maka sisanya memilih % dari pria +

>(0&).>(%)

*ilih wanita -N maka sisanya memilih $ dari pria +

>(0).>($)

*ilih 0 wanita -N maka sisanya memilih 2 dari pria +

>(00).>(2)

umlah cara pembentukan panitia seluruhnya +

>(0%).>(&)1>(0&).>(%)1>(0).>($)1>(00).>(2)


84/104

Permutasi dan Kombinasi Bentuk mum

isalkan+ ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi ada beberapa bola yang warnanyasama).n$ bola diantaranya berwarna $

n% bola diantaranya berwarna %

nk bola diantaranya berwarna k

dan n$ 1 n% 1 ' 1 nk / n.

!erapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalamkotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. $ buah bola)"


85/104

Permutasi dan Kombinasi Bentuk mum

ika n buah bola itu kita anggap berbedasemuanya maka jumlah cara pengaturan n buah

bola ke dalam n buah kotak adalah P (n n) / nI.

3ari pengaturan n buah bola itu ada n$I cara memasukkan bola berwarna $

ada n%I cara memasukkan bola berwarna %ada nkI cara memasukkan bola berwarna k


86/104

Permutasi dan Kombinasi Bentukmum• *ermutasi n buah bola yang mana n$ diantaranya

berwarna $ n% bola berwarna % ' nk bola

berwarna k adalah+

**...*

*

**...*

),(),...,,(

2121

21

k k

k

nnn

n

nnn

nn P nnnn P ==


87/104

Permutasi dan Kombinasi Bentukmum>ara lain+ 9da C (n n$) cara untuk menempatkan n$ buah

bola yang berwarna $. 9da C (n B n$ n%) cara untuk menempatkan n% buah bola berwarna %.

9da C (n B n$ B n% n&) cara untuk menempatkan n& buah bola berwarna &.

. 9da C (n B n$ B n% B ' B nk-$ nk ) cara untuk

menempatkan nk buah bola berwarna k.


88/104

Permutasi dan Kombinasi Bentukmum• umlah cara pengaturan seluruh bola kedalam

kotak adalah+

• C (n7 n$ n% ' nk) / C (n n$) C (n B n$ n%) C (n B n$ B n% n&) ' C (n B n$ B n% B ' B nk-$ nk)

k nnnn

n

*...**

*

321

*


89/104

Kesim%ulan

**...*

*

),...,,(),...,,(

21

2121

k

k k

nnn

n

nnnnC nnnn P

=

=


90/104

Contoh !erapa banyak FkataG yang dapat dibentuk dengan menggunakan

huru-huru dari kata !""!""!PP! "*enyelesaian+

" / L ! " " ! " " ! P P ! Mhuru / $ buah (n$) huru ! / buah (n%)huru " / buah (n&) huru P / % buah (n)n / $ 1 1 1 % / $$ buah / O " O

>ara $+ umlah string / P ($$7 $ %) /

>ara %+ umlah string / C ($$ $)C ($2 )C (6 )C (% %)

/ / &602 buah

34+5")*2)(*4)(*4)(*1(

*11=

)*")(*2(

*2.

)*2)(*4(

*+.

)*+)(*4(

*1".

)*1")(*1(

*11


91/104


92/104

Contoh $% buah lampu berwarna ( merah & putih dan

0 biru) dipasang pada $8 buah soket dalamsebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkankosong). !erapa jumlah cara pengaturan lampu"

*enyelesaian+n / $87 n$ / n% / & n& / 0 dan n8 / 6 (socket kosong)

umlah cara pengaturan lampu /

)*+)(*5)(*3)(*4(

*1cara


93/104

Kombinasi Dengan Pengulanganisalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak.

asing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola.umlah cara memasukkan bola+ C (n r).asing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola)

Jumlah 'ara memasuan b"la# C (n + r – 1 r ).


94/104

Contoh*ada persamaan


95/104

Contoh %2 buah apel dan $0 buah jeruk dibagikan kepada 0

orang anak tiap anak boleh mendapat lebih dari $ buahapel atau jeruk atau tidak sama sekali. !erapa jumlah

cara pembagian yang dapat dilakukan"*enyelesaian+n / 0 r$ / %2 (apel) dan r% / $0 (jeruk)embagi %2 apel kepada 0 anak+ C (0 1 %2 B $ %2) caraembagi $0 jeruk kepada 0 anak+ C (0 1 $0 B $ $0) cara.

umlah cara pembagian kedua buah itu adalah# C (0 1 %2 B $ %2) × C (0 1 $0 B $ $0)/ C (% %2) × C ($5 $0)


96/104

Koefisien Binomial


97/104

Koefisien Binomial Koeisien untuk $ n%kyk adalah C (n k).

!ilangan C (n k) disebut "e&isien

bin"mial.


98/104

Contohabarkan (& $ - %)&.*enyelesaian+

isalkan a / & $ dan b / -%(a 1 b)& / C (& 2) a& 1 C (& $) a%b$ 1 C (& %) a$b% 1 C (& &) b&

/ $ (& $ )& 1 & (& $ )% (-%) 1 & (& $ ) (-%)% 1 $ (-%)&

/ % $ & B 0 $ % 1 &6 $ B 8


99/104

Se"iti"a Pas/al


100/104

Latihan• ,entukan suku keempat dari penjabaran

perpangkatan ( $ - y)6.

• abarkan ($2$)0.

•abarkan (&


101/104

Multinomial

−++++

∑=+++

n

t nadalah

nt x x x pada suku Banyaknya

t qt x

q x

q x

t qqq

nnt x x x

1)...21(

....221

1

*....*2*1

*)...21

(


102/104

Contoh• Hitunglah koeisien dari +

3an hitung banyaknya suku dalam ekspresi tersebut

*enyelesaian +

Koeisien adalah

!anyaknya Suku /

1"

)54321(

4

5

3

42

2

1 x x x x xekspresidalam x x x x ++++

4

5

3

42

2

1 x x x x 12+""

*4*3*"*1*2

*1"=

1""11"

151"=

−+


103/104

Contoh

• Hitunglah koeisien dari +


104/104

Latihan$. (0< 1y)8

%. (25)6

&. (&< 1 y B 0)&

Kombi Nato Rika Full

Documents

Transcript of Kombi Nato Rika Full