8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
1/104
KOMBINATORIKA
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
2/104
DEFINISI
•Kombinatorika adalah cabang
matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objektanpa harus mengenumerasisemua kemungkinan susunannya.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
3/104
ENUMERASISebuah sandi-lewat ( password ) panjangnya 6 sampai 8 karakter.Karakter boleh berupa huru atau angka. !erapa banyakkemungkinan sandi-lewat yang dapat dibuat"
# abcde # aaaade# a$%&r# '# erhtgahn# yutresik # '## """"
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
4/104
Kaidah Dasar Menghitung
$. Kaidah perkalian
(rule of product )
%. Kaidah penjumlahan
(rule of sum)
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
5/104
Kaidah perkalian (rule of product)isalkan
*ercobaan $+ p hasil
*ercobaan %+ q hasilmaka
*ercobaan $ dan percobaan %+
p q hasil
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
6/104
Kaidah penjumlahan (rule of sum)isalkan
*ercobaan $+ p hasil
*ercobaan %+ q hasilmaka
*ercobaan $ atau percobaan %+
p + q hasil
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
7/104
Contoh
• Ketua kelas ,-$& hanya $ orang (pria atau wanita tidak bias gender). umlah pria ,-$& /60 orang dan jumlah wanita / $0 orang. !erapa banyak cara memilih ketua kelas"
• *enyelesaian+
60 1 $0 / 82 cara.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
8/104
Contoh
• 3ua orang perwakilan ,-$& mendatangi 3osenuntuk protes nilai kuis. 4akil yang dipilih $orang pria dan $ orang wanita. !erapa banyakcara memilih % orang wakil tersebut"
• *enyelesaian+
60 × $0 / 50 cara.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
9/104
Perluasan Kaidah Dasar Menghitung
isalkan ada n percobaan masing-masing dg pi
hasil
$. Kaidah perkalian (rule of product )
p1 p2 … pn hasil%. Kaidah penjumlahan (rule of sum)
p1 + p2 + … + pn hasil
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
10/104
Contoh
!it biner hanya 2 dan $. !erapa banyak
string biner yang dapat dibentuk jika+# panjang string 0 bit
# panjang string 8 bit (/ $ byte)
*enyelesaian+
# % × % × % × % × % / %0 / &% buah# %8 / %06 buah
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
11/104
Contoh
!erapa banyak bilangan ganjil antara $222 dan5555 (termasuk $222 dan 5555 itu sendiri)
yang boleh ada angka yang berulang.*enyelesaian+
# posisi satuan + 0 kemungkinan angka (yaitu $ & 0 dan 5)7# posisi ribuan + 5 kemungkinan angka ($ sampai 5)# posisi ratusan + $2 kemungkinan angka (2 sampai 5)
# posisi puluhan + $2 kemungkinan angka (2 sampai 5) !anyak bilangan ganjil seluruhnya /
(0)(5)($2)($2) / 022
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
12/104
Contoh !erapa banyak bilangan ganjil antara $222 dan 5555
(termasuk $222 dan 5555 itu sendiri) yang semua
angkanya berbeda• *enyelesaian+
# posisi satuan + 0 kemungkinan angka (yaitu $ & 0 dan 5)# posisi ribuan + 8 kemungkinan angka# posisi ratusan + 8 kemungkinan angka
# posisi puluhan + kemungkinan angka !anyak bilangan ganjil seluruhnya
/ (0)(8)(8)() / %%2 buah.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
13/104
ContohSandi-lewat ( password ) sistem komputer panjangnya enam sampai
delapan karakter. ,iap karakter boleh berupa huru atau angka7huru besar dan huru kecil tidak dibedakan. !erapa banyaksandi-lewat yang dapat dibuat"
• *enyelesaian+!anyaknya huru alabet adalah %6 (9-:) dan banyak angkadesimal adalah $2 (2-5) jadi seluruhnya &6 karakter.
# ;ntuk sandi-lewat dengan panjang 6 karakter jumlahkemungkinan sandi-lewat adalah
# (&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6) / &66 / %.$6.8%.&&6# ;ntuk sandi-lewat dengan panjang karakter jumlah
kemungkinan sandi-lewat adalah
# (&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6) / &6 / 8.&6.$6.256
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
14/104
Contoh (lanjutan)# ;ntuk sandi-lewat dengan panjang 8 karakter jumlah
kemungkinan sandi-lewat adalah (&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6)(&6) / &68 / %.8%$.$25.52.06
adi jumlah seluruh sandi-lewat (kaidahpenjumlahan) adalah
%.$6.8%.&&6 1 8.&6.$6.256 1 %.8%$.$25.52.06/
2.901.650.833.888 buah.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
15/104
Latihan
• *elat nomor memuat % huru (boleh sama)diikuti & angka dengan digit pertama tidak samadengan 2 (boleh ada angka yang sama). 9da berapa pelat nomor berbeda
• %6 < %6 < 5 < $2 < $2 /62822
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
16/104
Latihan
• *elat nomor memuat % huru berbeda diikuti &angka berbeda. 9da berapa pelat nomor berbeda"
• %6 < %0 < $2 < 5 < 8 /68222
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
17/104
Latihan
• *elat nomor memuat % huru berbeda diikuti &angka berbeda dengan digit pertama tidak samadengan 2. 9da berapa pelat nomor berbeda
• %6 < %0 < 5 < 5 < 8 /%$%22
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
18/104
Latihan
• ,entukan n cara agar sebuah organisasi yangterdiri dari %6 anggota dapat memilihketuasekretaris dan bendahara dgn catatantidak ada jabatan rangkap)
• %6 < %0 < % /$0622
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
19/104
Latihan• ,ulis bilangan $ % & ... %2$&. !erapa kali kita
menulis angka $ "
• 9ngka $ sebagai ribuan.3ari $ sampai %2$& banyak angka $ sbg ribuan ada 1000(dari $222 sampai $555)
• 9ngka $ sebagai ratusan.
3ari $22 sampai $55 banyak angka $ sbg ratusan ada 100.aka $ s.d %222 angka $ sbg ratusan ada % < $22 / 200.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
20/104
• 9ngka $ sebagai puluhan.
3ari $2 s.d $5 banyak angka $ sebagai puluhan ada 10.aka $ s.d %222 angka $ sbg puluhan ada % < $2 < $2
/200.
3ari %22$ s.d %2$& banyak angka $ sbg puluhan ada 4.
adi $ s.d %2$& angka $ sebagai puluhan ada sebanyak204.
• 9ngka $ sebagai satuan.
9ngka satuan berulang setiap kala ulang $2.
aka $ s.d %222 angka $ sebagai satuan ada %222 = $2 /200.
3ari %22$ s.d %2$& banyak angka $ sbg satuan ada 2.
adi $ s.d %2$& angka $ sebagai satuan ada sebanyak 202.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
21/104
Latihan
• ,erdapat jalur bus antara 9 dan ! dan & jalur bus dari ! ke >. ,entukan banyaknya cara agar
seseorang dapat bepergian dengan bus dari 9 ke> melewati !
• < & /$%
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
22/104
Latihan
• ,erdapat jalur bus antara 9 dan ! dan & jalur bus dari ! ke >. ,entukan banyaknya cara agar
seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari 9ke > melewati !
• $% < $% /$
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
23/104
Latihan
• ,erdapat jalur bus antara 9 dan ! dan & jalur bus dari ! ke >. ,entukan banyaknya cara agar
seseorang dapat pulang pergi dengan bus dari 9ke > melewati ! dan tidak ingin melewati satu jalur lebih dari sekali"
• < & < % < & /%
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
24/104
Latihan
• Suatu kemeja merek tertentu memiliki $% warnapilihan memiliki ?ersi untuk pria dan wanita
serta & ukuran untuk tiap-tiap ?ersi. !erapa banyak tipe kemeja yang dibuat "
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
25/104
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Setiap byte disusun oleh 8-bit. !erapa banyak jumlah byte yang dimulai dengan @$$A atau
berakhir dengan @$$A"• *enyelesaian+isalkan A / himpunan byte yang dimulai dengan @$$A
B / himpunan byte yang diakhiri dengan @$$A A ∩ B / himpunan byte yang berawal dan berakhir dengan @$$A
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
26/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
27/104
Latihan:1. (a)Berapa banyak bilangan genap 2-angka?
(b)Berapa banyak bilangan ganjil 2-angkadengan setiap angka berbeda?
2. Suatu bilangan dibentuk dari angka 2,3,4,5,7,,dan !. Berapa banyak bilangan 4-angka yangkurang dari 5""", na#un $abis dibagi 5?
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
28/104
&. ,ersedia 6 huru+ a b c d e f . !erapa jumlahpengurutan & huru jika+
(a) tidak ada huru yang diulang7(b) boleh ada huru yang berulang7(c) tidak boleh ada huru yang diulang tetapi hurue harus ada7(d) boleh ada huru yang berulang huru e harus
ada
. ,entukan banyak cara pengaturan agar & orangmahasiswa urusan ,eknik normatika (C) orang mahasiswa ,eknik Kimia (,K) orangmahasiswa ,eknik Deologi (DE) dan % orangmahasiswa Carmasi (C9) dapat duduk dalam satu baris sehingga mereka dari departemen yang samaduduk berdampingan"
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
29/104
PERMUTASI
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
30/104
DEFINISI• *ermutasi adalah jumlah urutan berbeda dari
pengaturan objek-objek.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
31/104
Permutasi• !erapa jumlah urutan berbeda yang mungkin dibuat
dari penempatan bola merah biru putih ke dalam kotak
$%& "
m b p
BOLA
KOTAK
2 31
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
32/104
Jumlah !emun"!inan urutan #er#e$a $ari %enem%atan
#ola !e $alam !ota! a$alah &'(&)(&*( + ', + -.
KOTAK 1 KOTAK 2 KOTAK 3 URUTAN
m b p mbpp b mpb
b m p bmp
p m bpmp m b pmb
b m pbm
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
33/104
%&tak 1 %&tak 2 %&tak 3 'rutan
b p mbp
m
p b mpb
m p bmp
b
p m bpm
m b pmb
p
b m pbm
u#la$ ke#ungkinan urutan berbeda dari pene#patan b&la ke
dala# k&tak adala$ (3)(2)(1) 3* +.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
34/104
Fa!torial
Eatihan
a. b.
c. d.
*7*
)*3(
*
−nn
*3*2*5
)*1(
)*1(
+−
n
n
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
35/104
Permutasi
*ermutasi merupakan bentuk khusus aplikasikaidah perkalian.
isalkan jumlah objek adalah n makaurutan pertama dipilih dari n objekurutan kedua dipilih dari n B $ objekurutan ketiga dipilih dari n B % objek'urutan terakhir dipilih dari $ objek yang tersisa.
enurut kaidah perkalian permutasi dari n objek adalah
n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
36/104
Contoh• !erapa banyak FkataG yang terbentuk dari kata
FH9*;SG"
• *enyelesaian+ >ara $+ (0)()(&)(%)($) / $%2 buah kata >ara %+ P (0 0) / 0I / $%2 buah kata
• !erapa banyak cara mengurutkan nama %0 orang
mahasiswa"• *enyelesaian+ P (%0 %0) / %0I
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
37/104
Contoh :Berapa banyak cara penyusunan 15 puzzle seperti
conto !iba"a ini#
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
$ % &1'( 1') * 1'+
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
38/104
Permutasi r dari n elemen 9da enam buah bola yang berbeda warnanya dan & buah kotak.
asing-masing kotak hanya boleh diisi $ buah bola. !erapa jumlahurutan berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan bola kedalam kotak-kotak tersebut"
m b p h k j
BOLA
KOTAK
1 2 3
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
39/104
Permutasi r dari n elemen• *enyelesaian+
# kotak $ dapat diisi oleh salah satu dari 6 bola (ada 6
pilihan)7# kotak % dapat diisi oleh salah satu dari 0 bola (ada 0
pilihan)7# kotak & dapat diisi oleh salah satu dari bola (ada
pilihan).
Jumlah urutan berbea ari enematan b"la = (6)(5)(4) = 120
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
40/104
Permutasi r dari n elemen
*erampatan+ 9da n buah bola yang berbeda warnanya dan r buahkotak (r ≤ n) maka# kotak ke-$ dapat diisi oleh salah satu dari n bola (ada n pilihan)# kotak ke-% dapat diisi oleh salah satu dari (n - $) bola (ada n B $
pilihan)# kotak ke-& dapat diisi oleh salah satu dari (n - %) bola (ada n B %)
pilihan7# '''.# kotak ke-r dapat diisi oleh salah satu dari (n - (r - $)) bola (ada n
B r 1 $ pilihan)7
Jumlah urutan berbea ari enematan b"laaalah#n(n $ 1)(n $ 2)…(n $ (r $ 1))
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
41/104
Permutasi r dari n elemen• J;;S
))1()...(2)(1(),( −−−−= r nnnnr n P
)*(
*
r n
n
−=
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
42/104
Contoh !erapakah jumlah kemungkinan membentuk & angka
dari 0 angka berikut+ $ % & 0 jika+
(a) tidak boleh ada pengulangan angka dan(b) boleh ada pengulangan angka.
• *enyelesaian+(a) 3engan kaidah perkalian+ (0)()(&) / 62 buah 3engan rumus permutasi *(0 &) / 0I=(0 B &)I / 62
(b) ,idak dapat diselesaikan dengan rumus permutasi. 3engan kiadah perkalian+ (0)(0)(0) / 0& / $%0.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
43/104
Permutasi r dari n elemen• %e&inisi
*ermutasi r dari n elemen adalah jumlah
kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilihdari n buah elemen dengan r ≤ n yang dalamhal ini pada setiap kemungkinan urutan tidak
ada elemen yang sama.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
44/104
Permutasi $en"an %en"ulan"an
• !anyaknya permutasi dari n objek dari n$ yang
sama n% yang sama'' nr yang sama adalah
**...*
*
21 r nnn
n
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
45/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
46/104
Latihan Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya
karakter terdiri dari huru berbeda dan
diikuti dengan & angka yang berbeda pula"• *enyelesaian+
P (%6 ) × P ($2&) / %08.&&6.222
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
47/104
Latihan
• !erapa banyak bilangan berdigit & yang bisadibentuk dari 6 angka %&05 danpengulangan tidak diperbolehkan"
• *ermutasi / (6 < 0 < < & < % < $)=(& < % < $ )/$%2
• Kaidah *erkalian / 6 < 0 < / $%2
)*(
*
r n
n
−
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
48/104
Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang kurang
dari 22 yang bisa dibentuk dari 6 angka
%&05 dan pengulangan tidakdiperbolehkan"
• %
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
49/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
50/104
Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang ganjil
dan bisa dibentuk dari 6 angka %&05 dan
pengulangan tidak diperbolehkan"
• 0
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
51/104
Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang dapat
dibagi 0 dan bisa dibentuk dari 6 angka
%&05 dan pengulangan tidakdiperbolehkan"
• 0
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
52/104
Latihan• Sebuah keluarga terdiri atas 0 orang. ereka
akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar
untuk makan bersama. !erapa banyaknya caraagar mereka dapat duduk mengelilingi mejamakan tersebut dengan urutan yang berbeda"
• (0 -$)I / I / < & < % < $ / %
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
53/104
Latihan• ,entukan banyaknya cara agar orang dapat
mengatur dirinya dalam $ barisan yang terdiri
dari kursi
• n(n B $) (n B %) ' (%)($) / nI
/
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
54/104
Latihan• ,entukan banyaknya cara agar orang dapat
mengatur dirinya duduk mengelilingi meja
bundar yang terdiri dari kursi
• 6
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
55/104
Latihan
• !erapa banyak bilangan berdigit & yang bisadibentuk dari 6 angka %&05 danpengulangan diperbolehkan"
• Kaidah *erkalian
6
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
56/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
57/104
Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang genap
dan bisa dibentuk dari 6 angka %&05 dan
pengulangan diperbolehkan"
• 6
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
58/104
Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang ganjil
dan bisa dibentuk dari 6 angka %&05 dan
pengulangan diperbolehkan"
• 6
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
59/104
Latihan• !erapa banyak bilangan berdigit & yang dapat
dibagi 0 dan bisa dibentuk dari 6 angka
%&05 dan pengulangan diperbolehkan"
• 6
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
60/104
Kombinasi• !entuk khusus dari permutasi adalah
kombinasi. ika pada permutasi urutan
kemunculan diperhitungkan maka padakombinasi urutan kemunculan diabaikan.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
61/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
62/104
Kombinasilustrasi
sama
sama
sama
,anya
3 cara
a b
ab
a
a
a
a
b
b
b
b
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
63/104
Kombinasi• !ila sekarang jumlah bola & dan jumlah kotak
$2 maka jumlah cara memasukkan bola ke
dalam kotak adalah
karena ada &I cara memasukkan bola yang warnanya sama.
*3
))(!)(1"(
*3
*7
*1"
*3
)3,1"(==
P
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
64/104
Kombinasi• Secara umum jumlah cara memasukkan r buah bola yang berwarna sama ke dalam n buah kotak
adalah
( )
==
−=
−−−−r
nr nC
r nr
n
r
r nnnn,
)*(*
*
*
))1()...(2)(1(
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
65/104
Definisi• Kombinasi r elemen dari n elemen atau C (n r)
adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r
elemen yang diambil dari n buah elemen.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
66/104
Interpretasi Kombinasi 1. C (n r) / banyaknya himpunan bagian yang
terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari
himpunan dengan n elemen.isalkan A / L$ % &M umlah Himpunan bagian dengan % elemen+
L$ %M / L% $M
L$ &M / L& $M & buah atauL% &M / L& %M
3*2*1
*3
*2)*23(
*3
2
3
==−=
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
67/104
Interpretasi Kombinasi
2. C (n r) / cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada tetapi urutan elemen didalam susunan hasil pemilihan tidak penting.
>ontoh+ !erapa banyak cara membentuk panitia(komite komisi dsb) yang beranggotakan 0orang orang dari sebuah raksi di 3*J yang beranggotakan %0 orang"
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
68/104
Interpretasi Kombinasi*enyelesaian+ *anitia atau komite adalah kelompok yang tidak terurut
artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannyasama.isal lima orang yang dipilih 9 ! > 3 dan makaurutan penempatan masing-masingnya di dalam panitiatidak penting (9!>3 sama saja dengan !9>3
93>! dan seterusnya). !anyaknya cara memilihanggota panitia yang terdiri dari 0 orang anggota adalahC (%00) / 0&$&2 cara.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
69/104
Contoh 3i antara $2 orang mahasiswa , %2$& berapa banyak cara
membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 0 orang sedemikiansehingga+
$. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya7%. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya7&. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya tetapi B tidak7. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya tetapi A tidak70. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya76. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B
termasuk di dalamnya.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
70/104
Contoh
*enyelesaian+• C (5 ) / $%6 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 0 orang sedemikian sehingga A selalu termasuk di dalamnya.
• C (5 0) / $%6 cara untuk membentuk perwakilan yang beranggotakn 0 orang sedemikian sehingga A tidak termasuk di dalamnya.
• C (8 ) / 2 cara untuk membentuk perwakilan
yang beranggotakan 0 orang sedemikiansehingga A termasuk di dalamnya tetapi B tidak.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
71/104
Contoh• C (8 ) / 2 cara untuk membentuk
perwakilan yang beranggotakan 0 orang
sedemikian sehingga B termasuk di dalamnyatetapi A tidak.
• C (8 &) / 06 cara untuk membentukperwakilan yang beranggotakan 0 orang
sedemikian sehingga A dan B selalu termasukdi dalamnya.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
72/104
Contoh• umlah cara membentuk perwakilan
sedemikian sehingga setidaknya salah satu dari
A atau B termasuk di dalamnya/ jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A termasuk di dalamnya B tidak 1
jumlah cara membentuk perwakilan sehingga B termasuk di dalamnya A tidak 1
jumlah cara membentuk perwakilan sehingga A dan B termasuk di dalamnya
/ 2 1 2 1 06 / $56
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
73/104
Contoh*rinsip inklusi-eksklusi+ X / jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan A
Y / jumlah cara membentuk perwakilan yang menyertakan B X ∩ Y / jumlah cara membentuk perwakilan yangmenyertakan A dan B maka
X / C (5 ) / $%67 Y / C (5 ) / $%67
X ∩ Y / C (8 &) / 067 X ∪ Y / X 1 Y - X ∩ Y / $%6 1 $%6 B 06 / $56
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
74/104
Contoh
• Sebuah karakter dalam sistem 9S> berukuran $ byte atau 8 bit ($ atau 2)
a) !erapa banyak pola bit yang terbentuk "
b) !erapa banyak pola bit yang mempunyai & bit $ "
c) !erapa banyak pola bit yang mempunyai bit $ sejumlahgenap "
S l i
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
75/104
Solusi• $ byte / 8 bit (posisi 2 .. )• $ bit terdiri dari F$G atau F2G
• aka +a) *osisi bit dalam $ byte +
6 0 & % $ 2
*osisi 2 dapat diisi dengan % cara ($ atau 2)
*osisi $ dapat diisi dengan % cara ($ atau 2)
++
*osisi dapat diisi dengan % cara ($ atau 2)
Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk +
(%)(%)(%)(%) (%)(%)(%)(%) / %8
b) !anyaknya pola bit yang mempunyai & bit $ +
( ) caraC C C 5+
*3*3
*
3
)3,( 3 =−
==
=
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
76/104
c) !anyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit $ / >(82)!anyaknya pola bit yang mempunyai % buah bit $ / >(8%)!anyaknya pola bit yang mempunyai buah bit $ / >(8)!anyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit $ / >(86)!anyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit $ / >(88)
Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit $ sejumlahgenap +
>(82) 1 >(8%) 1 >(8) 1 >(86) 1 >(88) /$ 1 %8 1 2 1 %8 1 $ / $%8
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
77/104
Contoh• Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg
terdiri dari 0 putra dan & putri. ika terdapat $0
pelamar 5 diantaranya putra. ,entukan banyaknya cara menyeleksi karyawanI
*elamar putra / 5 dan pelamar putri 6 banyak caramenyeleksi+
>(50) < >(6&) / 5I=0I
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
78/104
S l i
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
79/104
Solusi
• *ria / orang• 4anita / 0 orang• *anitia / orang jumlah pria lebih banyak daripada
jumlah wanita• aka +
# *anitia terdiri dari orang pria dan 2 orang wanita
>() < >(02) / &0 < $ / &0# *anitia terdiri dari & orang pria dan $ orang wanita >(&) < >(0$) / &0 < 0 / $0
• Sehingga jumlah cara pembentukan panitiaseluruhnya +
>() < >(02) 1 >(&) < >(0$) / &0 1 $0 / %$2 cara
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
80/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
81/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
82/104
Contoh
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
83/104
Contoh!erapa banyak cara membentuk sebuah panitia yang beranggotakan 0orang yang dipilih dari orang pria dan 0 orang wanita jika di dalampanitia tersebut paling sedikit beranggotakan % orang wanita "
•*enyelesaian+
umlah wanita di dalam panitia + %& atau 0 orang.
*ilih % wanita -N maka sisanya memilih & dari pria +>(0%).>(&)
*ilih & wanita -N maka sisanya memilih % dari pria +
>(0&).>(%)
*ilih wanita -N maka sisanya memilih $ dari pria +
>(0).>($)
*ilih 0 wanita -N maka sisanya memilih 2 dari pria +
>(00).>(2)
umlah cara pembentukan panitia seluruhnya +
>(0%).>(&)1>(0&).>(%)1>(0).>($)1>(00).>(2)
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
84/104
Permutasi dan Kombinasi Bentuk mum
isalkan+ ada n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (jadi ada beberapa bola yang warnanyasama).n$ bola diantaranya berwarna $
n% bola diantaranya berwarna %
nk bola diantaranya berwarna k
dan n$ 1 n% 1 ' 1 nk / n.
!erapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalamkotak-kotak tersebut (tiap kotak maks. $ buah bola)"
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
85/104
Permutasi dan Kombinasi Bentuk mum
ika n buah bola itu kita anggap berbedasemuanya maka jumlah cara pengaturan n buah
bola ke dalam n buah kotak adalah P (n n) / nI.
3ari pengaturan n buah bola itu ada n$I cara memasukkan bola berwarna $
ada n%I cara memasukkan bola berwarna %ada nkI cara memasukkan bola berwarna k
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
86/104
Permutasi dan Kombinasi Bentukmum• *ermutasi n buah bola yang mana n$ diantaranya
berwarna $ n% bola berwarna % ' nk bola
berwarna k adalah+
**...*
*
**...*
),(),...,,(
2121
21
k k
k
nnn
n
nnn
nn P nnnn P ==
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
87/104
Permutasi dan Kombinasi Bentukmum>ara lain+ 9da C (n n$) cara untuk menempatkan n$ buah
bola yang berwarna $. 9da C (n B n$ n%) cara untuk menempatkan n% buah bola berwarna %.
9da C (n B n$ B n% n&) cara untuk menempatkan n& buah bola berwarna &.
. 9da C (n B n$ B n% B ' B nk-$ nk ) cara untuk
menempatkan nk buah bola berwarna k.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
88/104
Permutasi dan Kombinasi Bentukmum• umlah cara pengaturan seluruh bola kedalam
kotak adalah+
• C (n7 n$ n% ' nk) / C (n n$) C (n B n$ n%) C (n B n$ B n% n&) ' C (n B n$ B n% B ' B nk-$ nk)
k nnnn
n
*...**
*
321
*
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
89/104
Kesim%ulan
**...*
*
),...,,(),...,,(
21
2121
k
k k
nnn
n
nnnnC nnnn P
=
=
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
90/104
Contoh !erapa banyak FkataG yang dapat dibentuk dengan menggunakan
huru-huru dari kata !""!""!PP! "*enyelesaian+
" / L ! " " ! " " ! P P ! Mhuru / $ buah (n$) huru ! / buah (n%)huru " / buah (n&) huru P / % buah (n)n / $ 1 1 1 % / $$ buah / O " O
>ara $+ umlah string / P ($$7 $ %) /
>ara %+ umlah string / C ($$ $)C ($2 )C (6 )C (% %)
/ / &602 buah
34+5")*2)(*4)(*4)(*1(
*11=
)*")(*2(
*2.
)*2)(*4(
*+.
)*+)(*4(
*1".
)*1")(*1(
*11
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
91/104
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
92/104
Contoh $% buah lampu berwarna ( merah & putih dan
0 biru) dipasang pada $8 buah soket dalamsebuah baris (sisanya 6 buah soket dibiarkankosong). !erapa jumlah cara pengaturan lampu"
*enyelesaian+n / $87 n$ / n% / & n& / 0 dan n8 / 6 (socket kosong)
umlah cara pengaturan lampu /
)*+)(*5)(*3)(*4(
*1cara
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
93/104
Kombinasi Dengan Pengulanganisalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak.
asing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola.umlah cara memasukkan bola+ C (n r).asing-masing kotak boleh lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola)
Jumlah 'ara memasuan b"la# C (n + r – 1 r ).
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
94/104
Contoh*ada persamaan
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
95/104
Contoh %2 buah apel dan $0 buah jeruk dibagikan kepada 0
orang anak tiap anak boleh mendapat lebih dari $ buahapel atau jeruk atau tidak sama sekali. !erapa jumlah
cara pembagian yang dapat dilakukan"*enyelesaian+n / 0 r$ / %2 (apel) dan r% / $0 (jeruk)embagi %2 apel kepada 0 anak+ C (0 1 %2 B $ %2) caraembagi $0 jeruk kepada 0 anak+ C (0 1 $0 B $ $0) cara.
umlah cara pembagian kedua buah itu adalah# C (0 1 %2 B $ %2) × C (0 1 $0 B $ $0)/ C (% %2) × C ($5 $0)
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
96/104
Koefisien Binomial
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
97/104
Koefisien Binomial Koeisien untuk $ n%kyk adalah C (n k).
!ilangan C (n k) disebut "e&isien
bin"mial.
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
98/104
Contohabarkan (& $ - %)&.*enyelesaian+
isalkan a / & $ dan b / -%(a 1 b)& / C (& 2) a& 1 C (& $) a%b$ 1 C (& %) a$b% 1 C (& &) b&
/ $ (& $ )& 1 & (& $ )% (-%) 1 & (& $ ) (-%)% 1 $ (-%)&
/ % $ & B 0 $ % 1 &6 $ B 8
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
99/104
Se"iti"a Pas/al
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
100/104
Latihan• ,entukan suku keempat dari penjabaran
perpangkatan ( $ - y)6.
• abarkan ($2$)0.
•abarkan (&
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
101/104
Multinomial
−++++
∑=+++
n
t nadalah
nt x x x pada suku Banyaknya
t qt x
q x
q x
t qqq
nnt x x x
1)...21(
....221
1
*....*2*1
*)...21
(
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
102/104
Contoh• Hitunglah koeisien dari +
3an hitung banyaknya suku dalam ekspresi tersebut
*enyelesaian +
Koeisien adalah
!anyaknya Suku /
1"
)54321(
4
5
3
42
2
1 x x x x xekspresidalam x x x x ++++
4
5
3
42
2
1 x x x x 12+""
*4*3*"*1*2
*1"=
1""11"
151"=
−+
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
103/104
Contoh
• Hitunglah koeisien dari +
8/19/2019 Kombi Nato Rika Full
104/104
Latihan$. (0< 1y)8
%. (25)6
&. (&< 1 y B 0)&