integrais improprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Imprópias
Alânnio Barbosa Nó[email protected]
2012
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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dme
IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Introdução
Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:
1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo
[1,+∞)?
e
2)Qual a área da região sob a curva y =1√x
no intervalo (0,1]?
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Introdução
Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:
1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo
[1,+∞)?
e
2)Qual a área da região sob a curva y =1√x
no intervalo (0,1]?
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Introdução
Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:
1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo
[1,+∞)?
e
2)Qual a área da região sob a curva y =1√x
no intervalo (0,1]?
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Introdução
Até agora, as integrais definidas tiveram que exibir duas proprie-dades: primeiro, que o domínio de integração [a,b] fosse finito;segundo que a imagem do integrando fosse finita nesse inter-valo.No presente estudo seremos capazes de responder as se-guintes perguntas:
1)Qual a área da região sob a curva y =lnxx2 no intervalo
[1,+∞)?
e
2)Qual a área da região sob a curva y =1√x
no intervalo (0,1]?
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Impróprias do Tipo I
1)Se f é contínua em um intervalo [a,+∞), então:∫ +∞
af (x)dx = lim
b→+∞
∫ b
af (x)dx
2)Se f é contínua em um intervalo (−∞,b], então:∫ b
−∞f (x)dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x)dx
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Impróprias do Tipo I
1)Se f é contínua em um intervalo [a,+∞), então:∫ +∞
af (x)dx = lim
b→+∞
∫ b
af (x)dx
2)Se f é contínua em um intervalo (−∞,b], então:∫ b
−∞f (x)dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x)dx
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Impróprias do Tipo I
1)Se f é contínua em um intervalo [a,+∞), então:∫ +∞
af (x)dx = lim
b→+∞
∫ b
af (x)dx
2)Se f é contínua em um intervalo (−∞,b], então:∫ b
−∞f (x)dx = lim
a→−∞
∫ b
af (x)dx
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)Se f é contínua em um intervalo (−∞,+∞), então:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,
onde c é um número real qualquer.
Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integralimprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limitenão existir dizemos que a integral imprópria diverge.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)Se f é contínua em um intervalo (−∞,+∞), então:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,
onde c é um número real qualquer.
Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integralimprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limitenão existir dizemos que a integral imprópria diverge.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)Se f é contínua em um intervalo (−∞,+∞), então:∫ +∞
−∞f (x)dx =
∫ c
−∞f (x)dx +
∫ +∞
cf (x)dx ,
onde c é um número real qualquer.
Em qualquer dos casos se o limite for finito dizemos que a integralimprópria converge e que o limite é o valor da integral. Se o limitenão existir dizemos que a integral imprópria diverge.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Exemplos
1)∫ +∞
1
lnxx2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
1
lnxx2 dx = lim
b→+∞
∫ b
1
lnxx2 dx
passo 2
Usando integração por partes temos∫ b
1
lnxx2 dx = − lnb
b− 1
b+ 1
passo 3
Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞
− lnbb− 1
b+ 1 = 1
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Exemplos
1)∫ +∞
1
lnxx2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
1
lnxx2 dx = lim
b→+∞
∫ b
1
lnxx2 dx
passo 2
Usando integração por partes temos∫ b
1
lnxx2 dx = − lnb
b− 1
b+ 1
passo 3
Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞
− lnbb− 1
b+ 1 = 1
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Exemplos
1)∫ +∞
1
lnxx2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
1
lnxx2 dx = lim
b→+∞
∫ b
1
lnxx2 dx
passo 2
Usando integração por partes temos∫ b
1
lnxx2 dx = − lnb
b− 1
b+ 1
passo 3
Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞
− lnbb− 1
b+ 1 = 1
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Exemplos
1)∫ +∞
1
lnxx2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
1
lnxx2 dx = lim
b→+∞
∫ b
1
lnxx2 dx
passo 2
Usando integração por partes temos∫ b
1
lnxx2 dx = − lnb
b− 1
b+ 1
passo 3
Usando L’Hopital mostramos que limb→+∞
− lnbb− 1
b+ 1 = 1
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Conclusão
Portanto,∫ +∞
1
lnxx2 dx = 1
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Conclusão
Portanto,∫ +∞
1
lnxx2 dx = 1
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
2) Para quais valores de p a integral∫ +∞
1
dxxp converge?
passo 1
Escreva∫ +∞
1
dxxp = lim
b→+∞
∫ b
1
dxxp
passo 2
Se p 6= 1 mostramos que∫ b
1
dxxp = (
11− b
)(1
bp−1 − 1).
passo 3
Então limb→+∞
(1
1− b)(
1bp−1 − 1) =
1
p − 1, se p > 1
+∞, se p < 1.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
2) Para quais valores de p a integral∫ +∞
1
dxxp converge?
passo 1
Escreva∫ +∞
1
dxxp = lim
b→+∞
∫ b
1
dxxp
passo 2
Se p 6= 1 mostramos que∫ b
1
dxxp = (
11− b
)(1
bp−1 − 1).
passo 3
Então limb→+∞
(1
1− b)(
1bp−1 − 1) =
1
p − 1, se p > 1
+∞, se p < 1.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
2) Para quais valores de p a integral∫ +∞
1
dxxp converge?
passo 1
Escreva∫ +∞
1
dxxp = lim
b→+∞
∫ b
1
dxxp
passo 2
Se p 6= 1 mostramos que∫ b
1
dxxp = (
11− b
)(1
bp−1 − 1).
passo 3
Então limb→+∞
(1
1− b)(
1bp−1 − 1) =
1
p − 1, se p > 1
+∞, se p < 1.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
2) Para quais valores de p a integral∫ +∞
1
dxxp converge?
passo 1
Escreva∫ +∞
1
dxxp = lim
b→+∞
∫ b
1
dxxp
passo 2
Se p 6= 1 mostramos que∫ b
1
dxxp = (
11− b
)(1
bp−1 − 1).
passo 3
Então limb→+∞
(1
1− b)(
1bp−1 − 1) =
1
p − 1, se p > 1
+∞, se p < 1.
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
passo 4
Se p = 1 mostramos que∫ b
1
dxx
= lnb.
passo 5
Portanto,∫ +∞
1
dxx
diverge.
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
passo 4
Se p = 1 mostramos que∫ b
1
dxx
= lnb.
passo 5
Portanto,∫ +∞
1
dxx
diverge.
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
passo 4
Se p = 1 mostramos que∫ b
1
dxx
= lnb.
passo 5
Portanto,∫ +∞
1
dxx
diverge.
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)∫ +∞
−∞
16tg−1x1 + x2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
−∞
16tg−1x1 + x2 dx =
∫ c
−∞
16tg−1x1 + x2 dx +
∫ +∞
c
16tg−1x1 + x2 dx
passo 2
Então, ∫ c
−∞
16tg−1x1 + x2 dx = lim
a→−∞
∫ c
a
16tg−1x1 + x2 dx ,
e ∫ +∞
c
16tg−1x1 + x2 dx = lim
b→+∞
∫ b
c
16tg−1x1 + x2 dx
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)∫ +∞
−∞
16tg−1x1 + x2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
−∞
16tg−1x1 + x2 dx =
∫ c
−∞
16tg−1x1 + x2 dx +
∫ +∞
c
16tg−1x1 + x2 dx
passo 2
Então, ∫ c
−∞
16tg−1x1 + x2 dx = lim
a→−∞
∫ c
a
16tg−1x1 + x2 dx ,
e ∫ +∞
c
16tg−1x1 + x2 dx = lim
b→+∞
∫ b
c
16tg−1x1 + x2 dx
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)∫ +∞
−∞
16tg−1x1 + x2 dx
passo 1
Escreva∫ +∞
−∞
16tg−1x1 + x2 dx =
∫ c
−∞
16tg−1x1 + x2 dx +
∫ +∞
c
16tg−1x1 + x2 dx
passo 2
Então, ∫ c
−∞
16tg−1x1 + x2 dx = lim
a→−∞
∫ c
a
16tg−1x1 + x2 dx ,
e ∫ +∞
c
16tg−1x1 + x2 dx = lim
b→+∞
∫ b
c
16tg−1x1 + x2 dx
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
passo 3
Calculando as integrais∫ c
a
16tg−1x1 + x2 dx e
∫ b
c
16tg−1x1 + x2 dx e passando
ao limite de a→ −∞ e b → +∞, concluímos que a integral emquestão diverge.
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Impróprias do Tipo II
1)Se f é contínua em um intervalo (a,b] e é descontínua em a, então:∫ b
af (x)dx = lim
c→a+
∫ b
cf (x)dx
2)Se f é contínua em um intervalo [a,b) e é descontínua em b, então:∫ b
af (x)dx = lim
c→b−
∫ c
af (x)dx
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Impróprias do Tipo II
1)Se f é contínua em um intervalo (a,b] e é descontínua em a, então:∫ b
af (x)dx = lim
c→a+
∫ b
cf (x)dx
2)Se f é contínua em um intervalo [a,b) e é descontínua em b, então:∫ b
af (x)dx = lim
c→b−
∫ c
af (x)dx
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Integrais Impróprias do Tipo II
1)Se f é contínua em um intervalo (a,b] e é descontínua em a, então:∫ b
af (x)dx = lim
c→a+
∫ b
cf (x)dx
2)Se f é contínua em um intervalo [a,b) e é descontínua em b, então:∫ b
af (x)dx = lim
c→b−
∫ c
af (x)dx
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
![Page 32: integrais improprias](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022050804/54601033b1af9f0e598b51b7/html5/thumbnails/32.jpg)
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)Se f é descontinua em um ponta c ∈ (a,b) e é contínua em[a, c) ∪ (c,b], então:∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx .
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IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
3)Se f é descontinua em um ponta c ∈ (a,b) e é contínua em[a, c) ∪ (c,b], então:∫ b
af (x)dx =
∫ c
af (x)dx +
∫ b
cf (x)dx .
Alânnio Barbosa Nóbrega Integrais Impróprias
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dme
IntroduçãoIntegrais Impróprias do Tipo I
ExemplosIntegrais Impróprias do Tipo II
Exemplos
Exemplos
1)∫ 1
0
1√x
dx
passo 1
Escreva∫ 1
0
1√x
dx = lima→0+
∫ 1
a
1√x
dx
passo 2
Daí∫ 1
a
1√x
dx =23− 2a3/2
3
passo 3
Portanto, lima→0+
23− 2a3/2
3=
23
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Exemplos
1)∫ 1
0
1√x
dx
passo 1
Escreva∫ 1
0
1√x
dx = lima→0+
∫ 1
a
1√x
dx
passo 2
Daí∫ 1
a
1√x
dx =23− 2a3/2
3
passo 3
Portanto, lima→0+
23− 2a3/2
3=
23
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Exemplos
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1)∫ 1
0
1√x
dx
passo 1
Escreva∫ 1
0
1√x
dx = lima→0+
∫ 1
a
1√x
dx
passo 2
Daí∫ 1
a
1√x
dx =23− 2a3/2
3
passo 3
Portanto, lima→0+
23− 2a3/2
3=
23
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1)∫ 1
0
1√x
dx
passo 1
Escreva∫ 1
0
1√x
dx = lima→0+
∫ 1
a
1√x
dx
passo 2
Daí∫ 1
a
1√x
dx =23− 2a3/2
3
passo 3
Portanto, lima→0+
23− 2a3/2
3=
23
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Por hoje é só!
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