Cálculo I - Limites, Derivadas e Integrais (Exercicios Resolvidos e Comentados)
Integrais de Linha Exercicios
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IL1
INTEGRAIS DE LINHA (CURVILNEOS)
Intervalo de integrao Funo integrandaIntegral definido
Integral de linha
Segmento de recta f. real
Curva f. vectorial campo escala rcampo vectorial
PROBLEMAS TIPO
Problemas relacionados com:
Distribuio de uma grandeza escalar (massa, carga elctrica) ao longo de uma curva.
Campo escalar Integral de linha de 1 espcie
Medio do escoamento de um fluido ao longo de um trajecto curvo (circulao), i.e. problemas relacionados com o deslocamento de vectores ao longo de curvas.
Campo vectorial Integral de linha de 2 espcie
APLICAES:
Trabalho realizado por uma fora; Energia potencial; Fluxos; Circulao de fluidos
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IL2
CONCEITOS ELEMENTARES
Def.: Seja uma funo vectorial. Se contnua em , a chama-se em , e o contradomnio de caminho , diz-se uma . curva Sendo uma representao paramtrica da curva, designa-se por da representao paramtrica.parmetro
g
a bt
g (a )
g (b )g ( t)
Obs.: - ponto inicial do caminho - ponto final do caminho
Exemplo: A funo tal que contnua em
21
1
0
- 1
g ( t ) = ( 1 + t , t 3 ) - R e p r e s e n t a o p a r a m t r i c a d e C
C D d e g = C u r v a C
g - C a m i n h o
Def.: Um conjunto uma curva de classe se existe um caminho de classe que representa paramtricamente
Obs.: A curva do exemplo ser uma curva de classe ?
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IL3
CONCEITOS ELEMENTARES (Cont.)
Def.: Um caminho diz-se seccionalmente de classe
se for possvel decompor o intervalo num nmero finito de subintervalos, em cada um dos quais de classe . Uma curva diz- -se se for o contradomnio de umseccionalmente de classe caminho de classe .
C1 C2
1
1
2 Obs.: A curva no de classe ( no tem derivada no ponto ) no entanto seccionalmente de classe .
10.5
0-0.5
-1
10.5
0-0.5
-1420
-2-4
Hlice cilndrica Circunferncia
Caminho simples Curva simples Caminhofechado Curva fechada
! " # " $ $ $
-
IL4
CONCEITOS ELEMENTARES (Cont.)
Def.: Sejam % e dois caminhos em . e dizem-se se existe uma funo , bijectiva eequivalentes %continuamente diferencivel, tal que para e$ " & Se diz-se que os caminhos tm o isto $ ' & mesmo sentidopreserva o sentido sentido; se diz-se que os caminhos tm o $ ( &oposto inverte o sentidoisto .
Exemplo: Sejam , com e , & ) * com Considere ainda que existe uma funo & ) * ) definida por Mostre que soe caminhos equivalentes com o mesmo sentido.
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS
P0
P1
P2 P3
P4
Linha poligonal inscrita na curva
a b
Def.: Um caminho diz-se se o conjunto dos comprimentos derectificvellinhas poligonais nele inscritas for majorado. O comprimento do caminho o supremo desse conjunto. Diz-se que uma se puder ser representada curva rectificvelparametricamente por um caminho rectificvel. O comprimento da curva o nfimo dos comprimentos de todos os caminhos rectificveis que arepresentam parametricamente.
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IL5
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS (Cont.)
Teorema: Um caminho de classe rectificvel se ++ ++$
uma funo integrvel em , sendo o comprimento de entre e dado por:
++ ,++ -,
$
Obs. 1: diz-se a . funo comprimento de arco
2: O comprimento do arco elementar da curva: .- ++ ++-$
3: O comprimento da curva entre e
++ ++ -
$
4: Sendo tem-se ++ ++ $ $ $
$
5: No caso de um caminho sendo , , com tem-se: . / 0
++ ++ $ -. -0- - - -/ .
Ento o comprimento do caminho dado por:
-
-. -0- - - -/
-
IL6
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS (Cont.)
Obs. ,6: Se com , representa uma curva em a/ . . parametrizao da curva dada por
. /
isto Ento e
$ $
++ ++ $ $ . Deste modo o comprimento da curva ser:
$ -
Exemplo: Calcular o comprimento do arco da catenria definido parametricamente pelo caminho com & . 1
Nota: 1 2 1 2
.1 1
Exemplo: Determinar o comprimento do arco da hlice helicoidal definido parametricamente pelo caminho com entre e & &
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IL7
DEFINIO DE INTEGRAL DE LINHA
z
x
y
z =
(x,y)
O
a=t0
b =tn
A=P0
B=PnPiPi - 1 Qi
titi - 1
C
S
Integral de Linha de 1 Espcie:
- 3 lim
4&
5
5 5
se o valor do limite no depende da decomposio de 3, nem da escolha de .5
6. + +5 5 5
-
IL8
CLCULO DO INTEGRAL DE LINHARECORRENDO AO INTEGRAL DEFINIDO
5 5$
5 5 5 5
T. Lagrange
com 5 5 5
Deste modo, sendo tem-se:3 5 5
5 5
5 5 5 5$ 3
5 5
Soma de Riemann para . em $
. #$ contnua em integral de Riemann de .7 $ em
Ento:
lim4&
5
5 5$ $
-5 55
++ ++ -
$
Finalmente tem-se o integral de linha de sobre a curva relativo ao comprimento do arco definido pelo caminho :
- ++ ++ -
$
Obs.: Se o que representa ? -
-
IL9
REPRESENTAO PARAMTRICA DE CURVAS
Obs.: Numa curva constituda por vrias seces , o ltimo5
valor de em corresponde ao primeiro valor de em . 5 5
Recta definida por dois pontos e :8 . / 0 3 . / 0
9 8 83 8 3 8 8 3
9 . / 0
. . . . . ./ / / / / /0 0 0 0 0 0
:
Exemplo: a) Representar parametricamente a curva da figura.
z
x
y(0,0,0) (0,2,0)
(1,2,0)
(1,2,1)
C1 C2
C3
C
= C1 C2
C3
C4
b) Calcular )
. / 0 -
-
IL10
Curva definida por com / . .
. /
Curva definida por . / ;
. / ;
;
&
Circunferncia Elipse "
Exemplo: Calcular a rea da superfcie lateral do slido limitado superiormente pelo plano e0 . / inferiormente pelo crculo do plano . / < 0 & )
MASSA E CENTRO DE MASSA
Sendo a densidade de massa por unidade de comprimento de um filamento curvo ento a massa total :
O centro de massa do filamento :
-
IL11
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS VECTORIAISOU DE 2 ESPCIE
Seja um curva representada parametricamente por umcaminho e um campo vectorial contnuo definido em , que toma valores em . Chama-se integral de linha de ao longo do caminho ao integral
- -$ (1)
Obs.: Interpretao fsica: Mede o trabalho realizado por um campo de foras ao deslocar uma partcula ao longo de uma curva , sujeita aco desse campo.
Como e a igualdade (1)
pode escrever-se:
- - - -
(2) -=
$
= =
-
IL12
Caso bidimensional:
Equaes paramtricas da curva:. /
- -. -/
- -
$ $
Caso tridimensional:
Equaes paramtricas da curva:
.
/ 0
- -. -/ -0
- -
$ $
-
$
Exemplo: Seja o campo vectorial definido por . / . / . !. / . Calcular o integral de linhade de at , ao longo de cada um dos seguintes & &
caminhos: a) o segmento de recta de equaes paramtricas ;. / & < < b) a curva de equaes paramtricas . / & < <
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IL13
PROPRIEDADES DOS INTEGRAIS DE LINHA
Def.: Designa-se por curva no ponto , avector tangente
derivada quando existe e no nula. $
1&
1
1lim
g ( t )
g ( t)g ( t+ h )
g ( t+ h ) - g ( t )
Obs.1: Chama-se tangente ao caminho (e curva por ele descrita), recta que passa por e paralela a $
2: Se o versor de ento> $
> ++ ++ --$
$
----
3: A curva de classe parametrizada pelo caminho diz-se se " & ! regular $
Propriedades:
5 O integral de linha de um campo vectorial ao longo de uma curva regular o integral de linha do campo escalar relativo ao comprimento do arco.
A
BP 2
g ( a )
g ( t 1 )g ( t 2 ) g ( b )
0
P 1
f (P 1 )
f (P 2 ) T ( t 2 )
T ( t 1 )
-
IL14
Propriedades (cont.):
Sejam e campos escalares definidos em e e campos 1vectoriais definidos em com valores em . Ento: 6
55 - - -
e +- - - ! 1 + 1+
Se ( ) e um caminho 555 seccionalmente de classe que representa , ento
- - - -
e
+- +- +- +-
onde a restrio de a um certo intervalo de 5 5
modo que constitua uma parametrizao de .5
Sejam e dois caminhos 5? % seccionalmente de classe equivalentes em e a curva por eles definida. Se um campo vectorial tal que ento,
+- @ +-
Obs.: O sinal positivo ou negativo, consoante a relao entre os sentidos dos dois caminhos.
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IL15
CAMPOS VECTORIAISCONSERVATIVOS
Def.: Um campo vectorial F diz-se conservativo se existe alguma funo diferencivel , tal que
F
funo potencial de F.
Obs.: (grad ) gradiente de
Exemplo: Mostre que F um campo vectorial conservativo.
Campos Vectoriais Conservativos
- campos gravitacionais; - campos magnticos; - campos de foras elctricas.
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IL16
CRITRIO DE CAMPO VECTORIALCONSERVATIVO
Como investigar se um campo vectorial, , no planoou no conservativo?
Sejam e funes com derivadas parciais de 1 ordem contnuas num disco (intervalo) aberto. O campovectorial F conservativo sse
Como investigar se um campo vectorial, , no espaoou no conservativo?
- Noo de rotacional de um campo vectorial em 3
F
rot F F
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IL17
Sejam , e funes com derivadas parciais de 1 ordem contnuas numa esfera (intervalo) aberta. Ocampo vectorialF conservativo sse
rot F 0 i.e
, e
CAMPOS VECTORIAIS CONSERVATIVOS EINDEPENDNCIA DO CAMINHO
Exemplo: Determinar o trabalho realizado pelo campovectorial F para deslocar uma partcula de a ao longo dos seguintes caminhos:
a) b)
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IL18
TEOREMA FUNDAMENTAL DOS INTEGRAIS DELINHA
Seja uma curva seccionalmente de classe C , includa 1numa regio aberta e definida por ! ! ! " # ! # $% Se F conservativo em , e e so contnuas em , ento
F $ $ " "
sendo uma funo potencial de F.
Exemplo: Aplique este resultado ao exemplo anterior
Obs.: Pelo teorema anterior se F contnuo econservativo num aberto ento o valor de F o
mesmo para qualquer curva seccionalmente de classeC , entre dois pontos fixos de , i.e. o integral 1 independente do caminho.
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IL19
Trabalho Realizado por uma ForaDefinido como um Integral de Linha
Fora Constante com a Direco e o Sentido do Deslocamento da Partcula
A ++ ++ &
a b
b - a
F F
l
& ' & ' &+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ A
Se varia em & A B. -.
sendo em cada B. ++ ++ . &
-
IL20
Fora Constante com a Direco diferente da do Deslocamento da Partcula
a b
b - a
FF
l
F1
F2
Somente intervm no trabalho realizado:&
A ++ ++ &1
isto , se e , ento:& ' B B &
& ' &+ ++ ++ A1
Em geral, tem-se:
Def.: Seja um caminho que define <
parametricamente a curva , seccionalmente de classe O trabalho A B realizado por uma fora quando o seu ponto de aplicaopercorre a curva dado por
A +-&
Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelo campo de forasB. / 0 . ./ 0i j k sobre uma partcula que se move sobrea hlice definida parametricamente pelo caminho & & & i j k desde at .
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IL21
Princpio do Trabalho e Energia
Energia cintica em C 6 ?
Energia cintica em D C 6 ?
v? ++ ++ velocidade no instante
A
BP 2
r ( a )
r ( t 1 )r ( t 2 ) r ( b )
0
P 1
f ( P 1 )
f ( P 2 )
r vector posio da partcula no instante
Prop.: O trabalho realizado por ao longo de igual diferena entre a energia cintica no fim e no incio do movimento.
A +-; 6? 6? ;
;
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IL22
Frmula de Riemann-Green
Def.: Um conjunto diz-se se for possvel unir quaisquerE conexo, dois pontos do interior de por uma curva contnua.E
Obs.: Se o complementar de for igualmente conexo, diz-seE E . Se esta condio no for verificada simplesmente conexo E diz-se .multiplamente conexo
R2 R3R1
A B
A
B
conj. simplesmente conexo;9 conj. multiplamente conexo;9 conj. no conexo.9
: Teorema Seja uma regio simplesmente conexa, cuja9fronteira a curva , orientada no sentido directo (i.e tal que umobsevador que o percorra veja a regio sempre sua esquerda)9e representada parametricamente pelo caminho definido em
2, fechado, simples e seccionalmente de classe . Seja ainda . / F. /, G. /,. / um campo vectorial contnuo,e com derivadas parciais de 1 ordem contnuas num conjuntoaberto que contenha Ento 9
9
+- F-. G-/ -.-/ HG HFH. H/
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IL23