1

Ｃ科 ２年

信号理論

講師： 金田 豊

正弦波 （サイン波）

0

20 40 60 80 100 120 140

時間 ｔ

＋

－

Ａ･ｓｉｎ（ 2πｆ ｔ ＋ θ）

周波数（ｆ）

３つのパラメータ

位相（θ）振幅（Ａ）

（大きさ）

振幅 Ａ の違いを音として聞いてみる

1

1/2

1/4

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1/8

Ａ･ｓｉｎ（ 2πｆ ｔ ＋ θ）

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

200Hz

500Hz

1000Hz

周波数 ｆ の違いを音として聞いてみる

Ａ･ｓｉｎ（ 2πｆ ｔ ＋ θ）

50 100 150 200 250 300 350 400 450-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

位相 θ による波形の違い （時間的な位置）

θ正 負

Ａ･ｓｉｎ（ 2πｆ ｔ ＋ θ）（1） 正弦波の3つの表現を示せ。

① A･sin( 2πft + θ )

または A･sin( ωt + θ )

② a cos( ωt ) + b sin( ωt )

③ A･e j ( ωt + θ )

前回の復習 （演習解答）

2

(2) ｓｉｎωt と をｃｏｓωt をｅ ｊωt （ と ｅ －ｊωt ） を用いて表す式を示せ。

前回の復習 （演習解答）

tjtjtjtj

tj

tj

eeteej

t

tjte

tjte

2

1cos

2

1sin

sincos

sincos

これらの式は、ｓｉｎ （または ｃｏｓ ）が、

ｅ ｊωt と ｅ －ｊωt からできている ことを表している。

虚数単位

◇ 数学では、「 ｉ 」

位置は、「2 ｉ 」 のように、数字の後

◇ 電気・通信分野では、「 ｊ 」

位置は、「 ｊ 2 」 や 「 ｊωt」や 「 ｊωＬ 」のように、

数字や記号の前

複素数の「虚数部」の表し方について

複素数 ａ ＋ ｊ ｂ

虚数部虚数単位実数部

ただし、2 ｊ でも、「間違い」ではない。

ｊ 2 ＝ ｊ × 2＝ 2 × ｊ ＝ 2 ｊ

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06-1.5

-1

-0.5

0

0.5

信号の合成 （フルート風）

500Hz

1000Hz

1500Hz

2000Hz

∑0.03

0.1

0.3

1.00

0 0.05 0.1 0.15

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

200Hz

600Hz

1000Hz

1400Hz

∑

信号の合成 （オーボエ風）

0.25

0.35

0.5

1.00

質問・要望に対する回答 （１）

Ｑ．宿題・演習の採点・解説はするのか？解説をして欲しい

Ａ．基本的には採点も解説はしません。

理由１ 演習の問題の中身は、大半が黒板に書いた

内容なので、ノートを見れば理解できる、はず

理由２ 解答例は、Web ページに掲載しますので、

解答は、それを見てください。

質問や意見には回答をします

演習の意義

・ その日のまとめ

→ 今日勉強したことが答えられるだろうか？

・ 書き上げたら、

もう一度自分で読んでみること

→ 今日勉強したことの復習となっている

・ 成績には関係しない

3

フーリエ級数

周期信号 ｆ (t) は、基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0および、その2倍、3倍･･･（2ω0 、3ω0 ･･･ ）の周

波数の正弦波の和として表すことができる。

前回の復習 （１）

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

cos ＋ sin

周波数 ｆ0 の正弦波

周波数 2･ｆ0 の正弦波

周波数 3･ｆ0 の正弦波

＋ ＋

信号

フーリエ級数

前回の復習 （２）

)sin2sinsin(

)cos2coscos()(

00201

002010

tnbtbtb

tnatataatf

n

n

T

n

T

n

T

dttntfT

b

dttntfT

a

dttfT

a

0 0

0 0

00

)sin()(2

)cos()(2

)(1

(1) 正弦波を n 周期 （ n：整数）積分した結果

ゼロ

(2) 「正弦波 （サインやコサイン） の積」を ｎ 周期積分

① ∫sinA×cosB ＝ 0（サインとコサインの積の n周期積分は０）

② ∫sinA×sinB ＝ 0（異なる周波数の積の n周期積分は０）

③ ∫sinA×sinA ≠ 0（同じ周波数の積の n周期積分は一定値）

前回の復習 （３）

+ + +

- - -

n周期での積分値（面積）は0になる。

質問・要望に対する回答

Ｑ．実際に数値を代入して計算する練習問題を多くやって欲しい。

Ａ．行いません。

理由： この授業の目的は、計算問題を解けるようになる、

ことではなく、（計算はパソコンがやってくれます）

学問体系を理解し、説明できるようになることです。

・ フーリエ変換とは何か？

・ それはどうやって求めるのか？

→ 試験勉強＝計算練習 ＆ 記憶、ではだめ

→ 計算問題をやってみたい人には、ホームページに

本日の内容

１．前回の復習

２．本日の内容

◇ フーリエ級数の例

◇ フーリエ係数の求め方

◇ 複素正弦波によるフーリエ級数

4

方形波は正弦波の和として合成できる

ｆq(t) ＝ ｓｉｎ(ω0t) ＋1/3･ｓｉｎ(3ω0t)

＋1/5･ｓｉｎ(5ω0t) ＋1/7･ｓｉｎ(7ω0t)＋ ・・・・・

-1

0

1

２つの正弦波の和

ｆ ＝ 100 Hz （基本波）

ｆ ＝ 300 Hz （３倍波）

-1

0

1

２つの正弦波の和

ｆ ＝ 100 Hz （基本波）

ｆ ＝ 300 Hz （３倍波）

-1

0

1ｆ ＝ 100 Hz

ｆ ＝ 300 Hz

振幅

時間

２つの正弦波の和

青＋緑 → 赤

１，３，５倍周波数の正弦波の和

0

-1

0

1

振幅

時間

100 Hz＋300Hz

500 Hz

１，３，５倍周波数の正弦波の和

0

-1

0

1

振幅

時間

100 Hz＋300Hz

500 Hz

青＋緑 → 赤

5

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t

t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin

方形波 の合成

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

2ω0

周波数スペクトル

成分の大きさ

周波数ω

ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0

1

1/3

1/5 1/7

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin 1

含まれている正弦波の大きさを表すグラフ

注）これは振幅スペクトル ⇔ パワースペクトルは２乗

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin

のこぎり波 の合成

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin 1

6

2ω0

周波数スペクトル

成分の大きさ

周波数ω

ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0

1

1/3

含まれている正弦波の大きさを表すグラフ

注）これは振幅スペクトル ⇔ パワースペクトルは２乗

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin 1

1/2

1/4

「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･ は、

同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔ をかけて積分すれば得られる。

例）

■ 係数 an、ｂn を求めることは、複雑な波 ｘ(t) を作っている単純な波 （正弦波） 1つ 1つの大きさを求めることに相当する。

ａn、ｂn の求め方

T

dtttfT

b0 02 2sin

2

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

周波数分析の有効性①波形で見る信号の違い

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

時間

・ 波形 → 大きな違いはない・ 音 → 大きな印象の差

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

時間

周波数分析の有効性①周波数分析結果

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

周波数 [Hz]

調波音 （高域を含む）高域を含む

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

周波数 [Hz]

調波音 （フルート風）４倍周波数まで含む

・ 周波数で見ると差が明確・ 差の意味 （信号の性質の差） も明確

周波数分析の有効性②信号の「分析」と「合成」

信号 正弦波

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

分析（分解）

合成

mm ba ,)(tf

すべての信号は、正弦波の和で出来ている

「分析」と「合成」 の例

水 400ｇ

醤油 10g

みりん 5g

塩 2ｇ

砂糖 0.2ｇ

昆布汁 5ｇ

煮干汁 20ｇ

うどんのスープ 材料（成分）

分析

合成

7

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

フーリエ級数との対応

周波数 ｆ0 のcosが a1sin が b1

周波数 2･ｆ0 のcosが a2sin が b2

周波数 3･ｆ0 のcosが a3sin が b3

＋ ＋

スープ ＝ 水 が 400ｇ ＋ 醤油が 10ｇ ＋ みりん が 5g ＋･･･

信号

信号の「分析」と「合成」

信号 正弦波（＝材料）

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

分析

合成

mm ba ,)(tf

すべての信号は、正弦波の和で出来ている

「スペクトル」は、成分のグラフ化

ｆ

成分

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

mm ba ,

0 500 1000 1500 2000

周波数 （Hz）

1

0.50.3

0.25

大きさ（振幅）

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200

-0.5

0

0.5

250Hz (1)

500Hz (0.6)

750Hz (0.25)

1000Hz (0.6)

Σ

信号の合成

情報圧縮

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200-0.4-0.2

00.2

5020 5040 5060 5080 5100 5120 5140 5160 5180 5200

-0.5

0

0.5

250Hz (1)

500Hz (0.6)

750Hz (0.25)

1000Hz (0.6)

Σ

信号の合成（補足）

情報圧縮

10ms

100ms

フーリエ級数の意義

すべての波形は正弦波の和

◇ 分解できる → 各正弦波の大きさを表す、

ａn、ｂn （スペクトル）が信号の特徴を表す。

・ 音声認識

◇ 合成できる

◇ 周波数操作

・ フィルタ

◇ 周波数で見る・考える

8

音声の音色 → 母音のスペクトル

「あ」 「う」「い」

GoldWave

前回の復習

)30.2()(2

1)(

(2.31))()(

deFtf

dtetfF

tj

tj

フーリエ変換（非周期信号）の定義式

前回の復習

Ftf )( 「フーリエ変換対」 と呼ぶ

0

-4π/τ 4π/τ-2π/τ 2π/τ

Aτ

ωτ/2-τ/2 0

τ

A

t

ｆ(t) ： ゲート関数 F(ω) ： 標本化関数（sinc関数）

)2/(

)2/sin()(

AF

)(tf

時間軸での圧縮

ｔ

ｔ

圧縮

2ω0

パワー

ωω0 3ω0

2ω0

パワー

ω0 3ω0

伸張

時間 周波数

ω

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

時間 ［秒］

時間軸の圧縮

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-1

-0.5

0

0.5

1

時間波形の圧縮 時間波形を短縮 周波数スペクトルが広がる

時間周波数

speech_a_m_org1、speech_a_m_halftime、speech_a_m_qtertime

1/2

1/4

2倍

4倍

9

本日の内容

１．前回の復習

２．本日の内容

◇ フーリエ変換の性質

(ｅ) 時間推移と周波数推移

(＊) ｃｏｓωｔ のフーリエ変換

(ｆｇ) 微分・積分

前回の復習

◇ フーリエ変換の性質

(b) 対称性

ｆ(t) ←→ Ｆ（ω） なら F(t) ←→ ｆ（ω）

(c) 線形性

(d) 縮尺性：

時間軸の圧縮は周波数軸の伸張

ｆ（αｔ） ←→ Ｆ（ω/α）

◇ δ（デルタ）関数

０ｔ

時間軸での圧縮

ｔ

ｔ

圧縮

2ω0

パワー

ωω0 3ω0

2ω0

パワー

ω0 3ω0

伸張

時間 周波数

ω

時間

時間波形の圧縮・伸張の例

時間波形の圧縮 周波数の上昇

時間波形の伸張 周波数の低下

前回の復習

◇ フーリエ変換の性質

(b) 対称性

ｆ(t) ←→ Ｆ（ω） なら F(t) ←→ ｆ（ω）

(c) 線形性

(d) 縮尺性：

時間軸の圧縮は周波数軸の伸張

ｆ（αｔ） ←→ Ｆ（ω/α）

◇ δ（デルタ）関数

０ｔ

ｔ

１

δ(t)

δ（デルタ）関数

0ω

１

ｔ ω

2πδ(ω)

00

0

10

本日の内容

１．前回の復習

２．本日の内容

◇ フーリエ変換の性質

(ｅ) 時間推移と周波数推移

(＊) ｃｏｓωｔ のフーリエ変換

(ｆｇ) 微分・積分

微分・積分と周波数成分

2sincossin

tttdt

d

2

sin1

cos1

sin

ttdtt

)(Fjtfdt

d　　　　

微分： 振幅はω倍、位相はπ/2 進む

積分： 振幅は 1/ω倍、位相はπ/2 遅れる

)(1 F

jdttf

t　　　

（式で表せない） 波形の微分

tsin 時間ｔ

微分は傾き

tdt

d sin

0

（式で表せない） 波形の微分

tsin 時間ｔ

微分は傾き

tdt

d sin0

0

微分・積分と周波数成分 （式を使わない解釈）

tsin

周波数が高いほど、傾きは大きい→ 微分値は大きい → 高周波成分が強調

時間ｔ

微分は傾き

微分・積分と周波数成分 （式を使わない解釈）

tsin

周波数が低いほど、（半周期の）面積は大きい→ 積分値は大きい → 低周波成分が強調

時間ｔ

積分は面積

＋

－

＋－

11

微分（差分）の効果： 音声

◇ 原音

◇ １回微分

◇ ２回微分

◇ ３回微分

積分（平均化）の効果： 音声

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

この授業の「これまで」と「これから」

１．信号とは何か？

２．信号の表現と解析

2.1決定論的信号の表現 （信号の周波数分析・合成）

◇ 正弦波の表現

◇ フーリエ級数、フーリエ変換

◇ フーリエ変換の性質（対称性、縮尺性、微分）

2.2 信号の伝送とスペクトル

◇ 伝達関数とインパルス応答

◇ 無ひずみ伝送系

３．変調理論

◇ AM変調

◇ ＰＣＭ ディジタル伝送

時間推移周波数推移

X(ω)

信号 信号

Y(ω)

伝達系の特性

信号の変化と加工

本日の講義内容

◇ 伝達関数とインパルス応答

・ 伝達関数 Ｈ（ω） の定義

・ 伝達関数の例

（いろいろなフィルタの伝達関数）

・ インパルス応答

高域通過フィルタによる雑音低減

s_n_500lpf_01_hpf.wav

s_n_500lpf_01.wav

伝達関数 Ｈ（ω）

線形システム

入力

ｘ(t)

X(ω)

ｙ(t)

Ｙ(ω)

出力

Ｈ(ω)

)(

)()(

X

YH

12

インパルス応答 ｈ（ｔ）

線形システム

入力

ｘ(t)=δ(ｔ） ｈ(t) 出

力

Ｈ(ω)

デルタ関数 δ（ｔ） （インパルス） を入力したときの出力

インパルス応答ｈ（ｔ）

伝達関数Ｈ（ω）

インパルス応答のフーリエ変換は伝達関数

インパルス応答と伝達関数（周波数特性）の測定例

スピーカ マイク

2 .65 2 .7 2 .7

x 104

スピーカのインパルス応答

スピーカの伝達関数（周波数特性）ｈ(t)

|Ｈ(f)|

フーリエ変換

インパルス応答測定1k 10k

10

20

30

40

50

60

70

80

周波数[Hz]

相対

音響

出力

[dB

]

0°

90°

理想特性は一様（フラット）

1000

白色雑音 （ランダム雑音）

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-3

-2

-1

0

1

2

3

4

自己相関 → δ(t) → スペクトルは １(周波数によらない一定値）

音の周波数成分と「主観的大きさ」

白色雑音（ホワイトノイズ）

（周波数）

パワー

全ての周波数成分を等しいパワーで含む

光で言えば白 （＝全ての色を含む）

ｆ

ピンク・ノイズ

パワー

-3 dB/Oct

ｌｏｇ ｆ

ホワイト・ノイズ

ピンク・ノイズｄＢ

１/ ｆ ノイズ 白

ピ白

ピ

RVin Vout

R1

電流 Ｉ

～

inout

in

VRR

RIRV

RR

VI

1

1

抵抗の大小による出力の有無

Vout ＝R1

R

＋RVin ≒ Vin Vout ＝

R1

R

＋RVin ≒ 0

10000 1

11

10.0001

13

RVin Vout

ｊωL

電流 Ｉ

～

inout

in

VRLj

RIRV

RLj

VI

周波数選択機能の実現

周波数ω

| Ｈ |

図 30

1

1/√2

R/L

周波数によってインピーダンス（電流の流れにくさ）が変わる（コイルやコンデンサ）

T

T

dttfT

)(2

1 2

信号のパワー とエネルギー

Q．なぜパワーは信号 ｆ(t) の２乗か？

T

T

dttf )(2

パワー：

エネルギー：

なぜパワーは信号 ｆ(t) の２乗か？

Ｒ

ｉ (t) 素子に電流が流れると電流の向きとは逆向きに電圧が発生する

ｖ(t)＝Ｒ･ｉ(t)

電力（パワー）ｗ(t)は、電圧×電流

ｗ(t)＝ｖ(t)･ｉ(t)＝Ｒ･ｉ2(t)＝ｖ2(t)/Ｒ

⇒ パワーは、信号の２乗量

ｉ(t)＝ｖ(t) / Ｒ

電気回路で考える

電波の波長とアンテナ長

◇ 光の速さ ＝ 30万km/秒 ＝ 電波の速さ

◇ 人の声の周波数(150Hz)の電波の波長波長 ＝ 速さ/周波数 より、30万k/150 ＝ 2000 [km]

◇ 必要なアンテナの長さは、波長/10 以上→ 200km のアンテナ

◇ AM放送： 1000ｋHz＝1MHzAM： 30万k/1000ｋ ＝ 300 [m]

信号の変調

高周波に音声を乗せて送信

音声信号を直接電波として送ることはできない

変調 AM変調FM変調パルス符号変調（PCM)

ω

ωc0

(b) 変調信号ｇ（ｔ）＝ ｆ（ｔ）ｃｏｓωcｔ

2ωc-ωc-2ωc

ωc0

(a) 音声 ｆ（ｔ）

2ωc-ωc-2ωc

ω

ωc0

(c) ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｃｏｓωcｔ

2ωc-ωc-2ωc

ω

ωc0

(d) 低域通過フィルタをかけた信号

2ωc-ωc-2ωc

ω

G

F

F

G

＾

時間

時間

時間

×

＝

①

②

③

振幅変調（AM)を、周波数で理解する

ｆ（ｔ）

ｃｏｓ(ωcｔ)

ｇ（ｔ）

14

ω

ωc0

(b) 変調信号ｇ（ｔ）＝ ｆ（ｔ）ｃｏｓωcｔ

2ωc-ωc-2ωc

ωc0

(a) 音声 ｆ（ｔ）

2ωc-ωc-2ωc

ω

ωc0

(c) ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｃｏｓωcｔ

2ωc-ωc-2ωc

ω

ωc0

(d) 低域通過フィルタをかけた信号

2ωc-ωc-2ωc

ω

G

F

F

G

＾

時間

時間

時間

×

＝

①

②

③

振幅変調（AM)を、周波数で理解する

よくある質問 Ｑ：ｇ（ｔ）＝ ｆ（ｔ）ｃｏｓ(ωcｔ)

から ｆ（ｔ） を得るには、ｆ（ｔ）＝ｇ（ｔ）/ｃｏｓ(ωcｔ)

ではダメなのか？

ｆ（ｔ）

ｃｏｓ(ωcｔ)

ｇ（ｔ）

ωc0

(c) ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｃｏｓωcｔ

2ωc-ωc-2ωc

ω

ωc0

(d) 低域通過フィルタをかけた信号

2ωc-ωc-2ωc

ω

G

F

＾

ω1-ω1

低域通過フィルタ

最低 高高

ωc

(c) ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）ｃｏｓωcｔ

2ωc-ωc-2ωc

ω

ωc0

(d) 低域通過フィルタをかけた信号

2ωc-ωc-2ωc

ω

G

F

＾

ω1-ω1

低域通過フィルタ

最低 高高

0

標本化周波数の例

１）電話

信号周波数の上限 ｆmax ＝ 3.4 kHz

標本化周波数 fs ＝ ８kHz

ｆmax ＜ fs/2 を満足

２）オーディオ

信号周波数の上限 ｆmax ＝ 20 kHz

標本化周波数 fs ＝ 44.1kHz，48kHz

ｆmax ＜ fs/2 を満足

(人間の聞こえる上限周波数)

標本化定理 （周期で表せば）

周期信号の１ 周期に２回以上、標本化すれば、元の情報は失わない。

fmax ＜ fs/2

1/Tmax ＜ 1/（Ｔs・2）

Tmax 2 ＜

Ｔs

1.5

標本化周波数

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

これを直線で結ぶのは誤った情報を与える恐れ有り

だから、標本化周波数は、もっと大きくして

細かく、たくさん標本点をとったほうが良い？

波形の先端部分の情報が失われる

時間

15

補 間

ｘ(0)

ｘ(2)ｘ(1)

ｘ(3)

ｘ(4)

ｘ(5)補間

・ 「内挿」 「Interpolation」 「アップサンプリング」とも言う

・ 離散時間の間の値を計算により求めることができる。

時間n

・ 人間が見たら、理解できないが、情報は失われていない。→ 標本化定理の正当性