UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Informe final Experiencia Nº 1

Curso:Laboratorio de telecomunicaciones 1

Integrantes: Gomez Quispe , juan Manuel 20090069J Quispe cervantes, Edward Paul 20094023D Choque Cueva, Gustavo Alberto20092048J

Horario:Jueves de 6pm a 9 pm

Código de curso:

EE-513M

Profesora:

Ing. Virginia Romero.

1

1. OBJETIVO.-

Hallar gráficamente la aproximación de una onda por medio de la sumatoria de “n términos” de la serie de Fourier y estimar su ancho de banda.

2. FUNDAMENTO TEORICO.-

Biografía de Joseph Fourier

Fourier fue un visionario que se abocó con audacia a un nuevo paradigma del Análisis Matemático. Como resultado de ello surgió una de las teorías que más frutos ha dado en la historia de las Matemáticas Aplicadas.Jean-Baptiste-Joseph Fourier nació el 21 de marzo de 1768 en Auxerre, Bourgogne, Francia. Su padre,  un sastre en dicha ciudad,  enviudó con tres hijos y se casó por segunda vez. De este segundo matrimonio tuvo doce hijos de los cuales Joseph fue el noveno. Su madre murió cuando él tenía nueve años y su padre cuando cumplió los diez. Sus primeros estudios, que básicamente se limitaron al francés y el latín, los llevó a cabo en una escuela religiosa adscrita a la catedral de su ciudad natal. Dadas sus especiales aptitudes como alumno, en 1780 ingresó en la real escuela Militar de Auxerre, en la que ya a la temprana edad de 13 años supo que lo que más le interesaba eran las Matemáticas. Fourier fue sin duda un niño prodigio. A la edad de 14 años había estudiado y comprendido los seis volúmenes del Curso de matemáticas Bézout y a los 15 años recibió un premio por sus estudios sobre la Mecánica general de Bossut.A pesar de ello, la llamada religiosa tuvo más peso y se decidió a tomar los hábitos como novicio en la abadía benedictina de Saint-Benoit, sin dejar su actividad matemática, vocación que cada día que pasaba iba tomando mayor protagonismo, hasta que, coincidiendo con el inicio de la revolución, abandonó los hábitos sin haber llegado a hacer los votos.En 1795 Fourier accede a un puesto como profesor en la Escuela Politécnica y dos años después sucede a Lagrange en la cátedra de Análisis y Mecánica. En 1798 se unió a los ejércitos napoleónicos que invadieron Egipto, siendo uno de los doce matemáticos que formaron parte de aquella división expedicionaria. En 1802 fue nombrado prefecto de Iser. Con la derrota de Napoleón y la consiguiente caída del Imperio, dimitió de su puesto de prefecto y se unió a los borbones en 1814. Aun así, cuando Napoleón regresó de la isla de Elba lo nombró conde y prefecto del Rhone.Con la llegada al poder en 1815 del Rey Louis XVIII, Fourier quedó desposeído de todo cargo político e incluso cuando fue elegido en 1816 miembro de la Academia de Ciencias, el rey no aprobó su nombramiento hasta su reelección en el año siguiente. El enorme valor de sus trabajos como científico acabó por superponerse a las ideologías políticas de su tiempo y acabó siendo nombrado secretario perpetuo de la Academia de Ciencias, puesto que le permitió dedicarse plenamente a su labor de investigación los últimos años de su vida. Fourier murió en París el 16 de mayo de 1830, a los sesenta y dos años.

La Teoría Analítica del Calor

2

Entre las obras de Fourier hay que destacar especialmente la que se centró en el problema de la propagación del calor. Fue durante su estancia en Grenoble cuando empezó a trabajar sobre este problema, una cuestión que ya entonces se veía envuelta en fuertes controversias.Después de una intensa labor de investigación que llevó a cabo durante el período 1804-1807, publicó finalmente una memoria con el título de: “La propagación del calor en los cuerpos sólidos”. Fourier había deducido una ecuación que describía la conducción del calor a través de los cuerpos sólidos, la ecuación del calor. Pero no solo la había deducido, sino que había desarrollado un método para resolverla, el método de separación de variables, procedimiento que, en cierto modo, haba sido utilizado ya por Bernouilli para su solución, aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistemática en la resolución de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicación de la técnica de separación de variables a la ecuación del calor, le condujo a escribir la solución en forma de serie trigonométrica, e incluso llegar a afirmar que cualquier función f(x), periódica de periodo se puede poner como una serie de la forma.

Y, para ello, incluso encontró las fórmulas de Fourier que permiten calcular los coeficientes de la serie asociada a la función

Aunque la representación de una función en serie trigonométrica se había considerado antes de Fourier nadie antes que Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre función y coeficientes.

Esta memoria que remitió al Instituto de París el 21 de diciembre de 1807. Los científicos designados para revisar este trabajo fueron Lagrange, Laplace, Monge y Lacroix, que acabaron por rechazarlo argumentando para ello imprecisiones en su desarrollo. Sin embargo, dada la importancia del tema, la Academia instituyó un premio con el único objeto de estimular el trabajo de Fourier en este campo. Fourier corrigió su memoria y el premio le fue otorgado en 1812.Sin embargo, el mismo comité del jurado anterior, al que esta vez se había agregado Legendre, siguió considerando que en el desarrollo matemático había falta de rigor, por lo que la Academia de París decidió de nuevo no publicar la memoria. Fourier, ofendido por el desplante, continuó trabajando en el tema y finalmente, en 1822, publicó los resultados en la famosa memoria La teoría analítica del calor, en la que aparecen por primera vez las series que actualmente llevan su nombre. Dos años después Fourier fue nombrado secretario de la academia de Ciencias y, haciendo uso de la autoridad que le otorgaba el cargo, hizo que la Academia publicara íntegramente la memoria.Fourier encabezó el primer capítulo de su Teoría Analítica del Calor con una cita de Platón “que rezaba et ignem regunt numeri” (incluso el fuego está gobernado por los números). Maxwell calificó a esta obra de  “gran poema matemático”.

Hay que añadir que el estudio de las series de Fourier contribuyó de manera decisiva a clarificar la idea de función hasta el moderno concepto de nuestros días. Todo este tratamiento posterior está asociado a nombres tales como P.G.L. Dirichlet (1805-1859), B. Riemann (1826-1866), G. Cantor (1845-1918) y H. Lebesgue (1875-1941)

El contexto matemático

Los de Fourier no fueron los primeros desarrollos en serie de una función que se llevaron a cabo. Ya por entonces se manejaban con cierta frecuencia el desarrollo en serie de potencias que había establecido Taylor, desarrollo en el que se exigía que la función en cuestión quedara completamente determinada por su comportamiento en un pequeño intervalo.Las Series de Fourier podían tener su origen en funciones mucho más generales, pero adolecían del inconveniente de que tenían un carácter excesivamente local, en el sentido de que, conocido el comportamiento de la serie en un pequeño entorno, poco o nada podía decirse de su  comportamiento en cualquier otro entorno que fuera disjunto con éste. Y en esta cuestión es donde radicó la mayor parte de la oposición que Fourier encontró en el ámbito matemático de la época.

ARMONICOS:los armónicos son distorsiones de las ondas senosoidales de tensión y/o corriente de los sistemas eléctricos, debido al uso de cargas con impedancia no lineal, a materiales ferromagnéticos, y en general al uso de equipos que necesiten realizar conmutaciones en su operación normal. La aparición de corrientes y/o tensiones armónicas en el sistema eléctrico crea problemas tales como, el aumento de pérdidas de potencia activa, sobretensiones en los condensadores, errores de medición, mal funcionamiento de protecciones, daño en los aislamientos, deterioro de dieléctricos, disminución de la vida útil de los equipos, entre otros.

3

En un sistema de potencia eléctrica, los aparatos y equipos que se conectan a él, tanto por la propia empresa como por los clientes, están diseñados para operar a 50 ó 60 ciclos, con una tensión y corriente sinusoidal. Por diferentes razones, se puede presentar un flujo eléctrico a otras frecuencias de 50 ó 60 ciclos sobre algunas partes del sistema de potencia o dentro de la instalación de un usuario. La forma de onda existente esta compuesta por un número de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias, incluyendo una referida a la frecuencia fundamental. En la figura se observa la descomposición de una onda distorsionada en una onda sinusoidal a la frecuencia fundamental (60 Hz) más una onda de frecuencia distinta. El término componente armónico o simplemente armónico, se refiere a cualquiera de las componentes sinusoidales mencionadas previamente, la cual es múltiplo de la fundamental. La amplitud de los armónicos es generalmente expresada en por ciento de la fundamental.

3. DATA SHEET y/o HOJA DE DATOS.

No

corresponde se utiliza solo una PC y el Software Matlab

4. EQUIPOS Y MATERIALES.-

Una computadora Software MATLAB Acceso a Internet Guía de Laboratorio

5. PROCEDIMIENTO.-

a) Haciendo uso del Software MATLAB, elabore un programa que permita realizar lo siguiente: Dada una función del tiempo, el programa nos debe permitir visualizar en la pantalla la gráfica real. Con el uso de la Serie de Fourier, el programa nos debe permitir visualizar las diferentes

aproximaciones, dependiendo de “n”, a la gráfica. Para permitir realizar el paso anterior, el programa debe solicitar:

La ecuación característica del termino ao. La ecuación de los términos an. La ecuación correspondiente a las bn. En el programa desarrollado, simule la onda asignada para diferentes valores de n. Visualice los cambios, si realizamos variaciones en los parámetros de la función; amplitud,

periodo, duración del pulso.b) Para cada grupo se le asignara una función.

Grupo 2.Pulso triangular impar, amplitud 10Vpp periodo 20mseg. Duración 20mseg.

6. RESPUESTA A PREGUNTAS.-

a) Definir y explicar detalladamente, la serie de Fourier determinar los coeficientes de la función f.

Serie de Fourier

Estable que las funciones continuas a trozos y periódicas pueden representarse como una combinación lineal de un término constante y de senos y cosenos cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental fo=1/T, y cuyos coeficientes son determinados usando ciertas relaciones. Matemáticamente:

4

v (t )=a0+∑n=1

∞

[ancos (nwot )+bn sen(nwot ) ] , wo=2πfo

Con:

ao=1T∫

0

T

v ( t ) dt

an=2T∫0

T

v (t ) cos (nwot )dt

bn=2T∫0

T

v ( t ) sen (nwot )dt

A las frecuencias wn=wn se les denomina armónicos.

A ao se le denomina la componente continua de v(t).

A ∑n=1

∞

[an cos (nwot )+bn sen (nwot )] se le denomina parte alterna pura de v(t).

Existen otras representaciones de la serie de Fourier:

o Trigonométrica Compacta.

v (t )=c0+∑n=1

∞

cn cos ( nwot−γn )

Con c0=a0 cn=√an2+bn

2 γn=arctan (bn

an

)

o Exponencial Compleja

v (t )= ∑n=−∞

∞

Fn e jωot , Fn=1T∫0

T

v (t ) e− jωot dt

Con F0=a0 Fn=12(an− j bn)

A primera vista parece contradictorio que funciones complejas puedan representar a una señal de variable real, pero como demostraremos a continuación, un término Fn y otro F-n conllevan a la función de variable real.

Fne− jωot+Fn¿e jωot=¿ Fn∨e− jγn e− jωot+¿Fn∨e jγn e jωot

¿∨Fn∨(e− j (γn+ωot )+e j ( γn+ωot ))

¿2∨Fn∨cos (nwot+γn )

Que es un número real.

b) Explique: Condiciones de DRICHLET, teorema de convergencia.

Condiciones de Dirichlet

5

Las condiciones que una determinada función f(x) debe cumplir para poder ser representada como una serie de Fourier, se conocen con el nombre de condiciones de Dirichlet las cuales pueden ser esquematizadas en los siguientes puntos.

Para que una función f(x) sea susceptible de ser expandida en series de Fourier debe ser:

Periódica Univaluada y continua a trozos (continua menos, en un numero finito de puntos) con un número finito de

máximos y mínimos Para que las Series de Fourier existan, los coeficientes de Fourier deben ser finitos, esta condición garantiza su

existencia. Para ello la integral ∫−T /2

T /2

¿ f (x )∨dx debe ser convergente, donde T es el periodo.

Teorema de convergencia de Dirichlet

Sea f: R→R una función periódica de periodo T que satisface las condiciones de Dirichlet y sea

f (t)=12

a0+∑n=1

∞

[ancos (nwt )+bn sen(nwt) ]

1) Si f es continua en un punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto a f(t)

f ( t )=12

a0+∑n=1

∞

[ancos (nwt )+bn sen(nwt ) ]

2) Si f tiene una discontinuidad de salto en el punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto al punto medio del salto

12

a0+∑n=1

∞

[an cos (nwt )+bn sen (nwt )]=f ¿¿

El teorema nos dice, en particular, que si f satisface las condiciones de Dirichlet y se redefine el valor de f en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto f(t) = (f(t−) +f(t+))/2, entonces la serie de Fourier convergerá para cada t ∈ R.

c) Explicar el fenómeno de Gibbs, en qué casos se presentan

Una de las muchas derivaciones interesantes, aunque desde luego no la más importante, a que ha dado lugar el análisis de Fourier, es el llamado fenómeno de Gibbs, que surge a mediados del siglo XIX. H. Wilbraham observó en 1848 que en puntos cercanos a una discontinuidad de una función “f”, las sumas parciales de la Serie de Fourier de “f” presentaban un comportamiento oscilatorio anómalo que hacía que las gráficas de las sumas parciales excedieran en aproximadamente en 9 % del valor del salto de la discontinuidad. Este trabajo de Wilbraham cayó en el olvido, hasta que hacia 1898 volvió a reaparecer en un contexto distinto. Fue de mano del Premio Nobel en Física (1907) A. Michelson, científico norteamericano, inventor y constructor de numerosos instrumentos físicos de gran precisión.Michelson construyó un aparato llamado analizador armónico que permitía mecánicamente, determinar hasta los 80 primeros componentes de la serie de Fourier, a partir de la gráfica de una función y = f(x). Michelson observó que para una función de tipo salto, en las cercanías del punto de discontinuidad, aparecía una extraña protuberancia que no aparecía en la función original. En un principio creyó que podía deberse a un defecto mecánico del aparato.Una vez verificado que podía no ser así, escribe al físico-matemático J.W.Gibbs, 1899 que investigó y explicó el fenómeno basándose en la no convergencia uniforme de la serie de Fourier en las cercanías de un punto de discontinuidad. Este fenómeno, que se conoce como fenómeno de Gibbs (o fenómeno de Gibbs-Wilbraham), tiene consecuencias físicas interesantes. Por ejemplo, en el caso de circuitos eléctricos en los que, por medio de un conmutador, se pueden crear saltos de voltaje. Dado que este voltaje puede sobrepasar lo inicialmente previsto, resulta importante conocer esta desviación en relación con la respuesta de los componentes del circuito.

Consideremos la serie formal de Fourier asociada a la función escalonada

x (t )={−12

sitϵ [−π , 0 ]

12

sitϵ [ 0 , π ]

6

La serie de Fourier es:

x (t )= 2π∑k=0

∞ sen((2 k+1)t)2k+1

La suma parcial N-ésima la podemos escribir como:

SNX ( t )= 2π∑k=0

N

∫0

t

cos ((2 k+1)u)du= 2π∫0

t

{∑k=0

N

cos((2 k+1)u)}du

Usamos la identidad:

cos ( (2k+1 )u ) sinu=sen ( (2k+1 )u )−sen(2ku)

2

∑k=0

N

cos ( (2 k+1 ) u ) sinu=sen ( (2 N+1 )u )

2

SNX ( t )= 1π∫0

t sen ( (2 N+1 ) u )sinu

du

Con esta fórmula podemos fácilmente calcular los extremos relativos deSNX (t )

S'NX (t )= 1

π

sen ( (2 N+1 ) t )sint

El primer máximo de SNX ( t )ocurre para t=π

2 ( N+1 ) y toma el valor:

SNX ( π2 ( N+1 ) )= 1

π∫0

π2( N +1 )

sen ( (2N+1 )u )sinu

du

Hacemos el cambio de variable v=(2 N+1 )u para obtener:

SNX ( π2 ( N+1 ) )= 1

π∫

0

πsen (v )

sen( v2 ( N+1 )

)

dv2 (N+1 )

Por tanto,

limN → ∞

( 1π∫0

πsen ( v )

vdv−SNX ( π

2 ( N+1 ) ))= limN →∞

( 1π∫0

πsen ( v )

vdv− 1

π∫0

πsen ( v )

sen ( v2 ( N+1 )

)

dv2 ( N+1 )

)

¿ limN →∞

( 1π∫0

πsen ( v )

v(1−

v /(2(N+1))

sen ( v2 ( N+1 )

))dv )=0

¿ limN →∞

(SNX ( π2 (N+1 ) ))=1

π∫0

πsen (v )

vdv=0.5+0.08949

7

Que era lo que queríamos probar.

A continuación se muestran las series parciales de la función analizada, en donde se puede notar claramente el fenómeno de Gibbs alrededor del punto de discontinuidad en t=0.

7. SIMULACIÓN ( programa y ejecución)

Se trabajara con Matlab la siguiente función (señal triangular impar):

Con A=5 y To=20

8

Hallemos los coeficientes de Fourier:

Por ser una función impar an=0

bn=2T

∫−T /2

T /2

f (t ) sen (nwot )dt

bn=2T

∫−T /2

−T /4

(−T2

−t) 4 AT

sen(nwot)dt + 2T

∫−T /4

T /44 AT

tsen(nwot )dt2T∫T /4

T /2

(T2−t) 4 A

Tsen (nwot )dt

En el intervalo de <-T/2,-T/4>

−4 AT

∫−T

2

−T4

sen (nwot ) dt−8 AT2 ∫

−T /2

−T /4

tsen(nwot )dt

4 AT

cos (nwot )nwo {−T /4

−T /2+ 8 A

Ttcos(nwot )

nwo {−T /4−T /2

−8 AT

sen(nwot )n2 wo2 {−T /4

−T /2

¿−2 Anπ

cos (nπ )+ 2 Anπ

cos ( nπ2 )+ 2 A

nπcos ( nπ )− A

nπcos ( nπ

2 )− 2 A

n2 π2sen (nπ )+ 2 A

n2 π 2sen ( nπ

2 )….(¿)

En el intervalo de <-T/4, T/4>

−8 AT 2

tcos(nwot )nwo { T /4

−T /4+ 8 A

T 2

sen(nwot)n2wo2 { T /4

−T /4

¿ 2 Anπ

cos (nπ )− Anπ

cos ( nπ2 )− 2 A

n2 π2sen (nπ )+ 2 A

n2 π2sen ( nπ

2 )….¿

En el intervalo de <T/4,T/2>

4 AT

∫T /4

T /2

sen (nwot ) dt−8 AT 2 ∫

T /4

T /2

tsen(nwot )dt

¿−2 Anπ

cos (nπ )+ 2 Anπ

cos ( nπ2 )+ 2 A

nπcos ( nπ )− A

nπcos ( nπ

2 )− 2 A

n2 π2sen (nπ )+ 2 A

n2 π 2sen ( nπ

2 )….(¿∗¿)

Sumando (*), (**) y (***) obtenemos

bn= 8 A

n2 π2sen( nπ

2 )Finalmente se puede expresar por serie de Fourier:

9

f ( t )=∑n=1

impar

∞8 An2 π2 sen( nπ

2 )sen (nwot )

Reemplazando los valores numéricos:

f ( t )=∑n=1

impar

∞8× 5n2 π 2 sen( nπ

2 )sen (n 2 π20

t)

Notar que la Serie de Fourier solo contiene armónicos impares.Nuestra experiencia será una onda Triangular impar sin componente continua con amplitud A=5 y periodo T=20

Se implementa esta sumatoria en el Software Matlab para poder visualizar las sumas parciales de Fourier y las componentes armónicas.

A continuación se muestra el código utilizado para la presente experiencia.

10

Para permitir realizar el paso b), el programa debe solicitar: ao, an, bn:%programa para obtener los coeficentes de la seriefunction [a0,an,bn]=furier(y,T)syms tsyms nao=1/T*int(y,t,-T/2,T/2)a1=2/T*int(y.*cos(n.*t.*2*pi/T),t,-T/2,T/2)bn=2/T*int(y.*sin(n.*t.*2*pi/T),t,-T/2,T/2)%----------------------------------------------syms tT=input('T= ');A=input('Amp= ');y=(-4*A/T*t-2*A).*(heaviside(t+T/2)-heaviside(t+T/4))+4*A/T*t.*(heaviside(t+T/4)-heaviside(t-T/4))+(-4*A/T*t+2*A).*(heaviside(t-T/4)-heaviside(t-T/2));

ao = 0 a1 = 0 bn = -(20*(sin(pi*n) - 80*sin((pi*n)/2)))/(pi^2*n^2)= 80*sin(pi*n/2)/(pi^2*n^2)

A continuación se muestran los armónicos de la serie de Fourier a la función triangular impar, para distintos valores de N (número de armónicos).

Primer armónico o fundamental.

4.05 sen( π10

t)

11

Tercer armónico

−0.45 sen( 3 π10

t)

Quinto armónico

0.16 sen( π2

t)

12

Noveno armónico

0.05 sen( 9 π10

t)

Se puede notar que a mayor armónico la amplitud de dicho armónico es menor.

A continuación se muestra las sumas parciales de la serie de Fourier superpuestas a la función triangular impar, para distintos valores de N (número de armónicos).

Para N=1.

S 1=4.05 sen ( π10

t)

13

Para N=3

S 3=4.05 sen ( π10

t)−0.45 sen (3 π10

t)

Para N=5

S 5=4.05 sen ( π10

t)−0.45 sen (3 π10

t )+0.16 sen ( π2

t)

14

Para N=9

S 9=4.05 sen ( π10

t)−0.45 sen ( 3 π10

t)+0.16 sen( π2

t)−0.0827 sen ( 7 π10

t)+0.05 sen ( 9 π10

t)

Se puede notar en las gráficas presentadas que conforme se valla trabajando con más cantidad de armónicos la serie de Fourier de una función se aproxima cada vez más a la función original.

Calculo analítico del espectro de frecuencias

El espectro de frecuencias representa una función en el dominio del tiempo, para lo cual se grafica de forma discreta las magnitudes de los coeficientes de la Fourier versus las frecuencias de los armónicos

Sabemos que:

15

¿cn∨¿ 8 A

n2 π2∨sen( nπ

2 )∨¿

Para fo=0.05

c 1=8 ×5

12 π 2=4.05

Para fo=0.1

c 2=8 ×5

22 π 2× 0=0

Para fo=0.15

c 3=8 ×5

32 π2=0.45

Para fo=0.2

c 4=8 ×5

42 π2× 0=0

Para fo=0.25

c 5=8 ×5

52 π2=0.16

Para fo=0.3

c 4=8 ×5

62 π2× 0=0

Para fo=0.35

c 5=8 ×5

72 π2=0.0827

A continuación se muestran el espectro de magnitud de la función triangular impar

16

Notamos que los coeficientes hallados analíticamente se ajustan a los hallados y graficados en el espectro de frecuencias mediante la simulación.

CONCLUSIONES:El análisis de Fourier es un método aproximado para graficar una función a a partir de los coeficientes obtenidos por básicas operaciones de integración, más aun estos coeficientes nos dan la posibilidad de poder analizar dicha grafica a profundidad en términos de espectros de frecuencia y magnitud.

Hemos podido ver en las simulaciones con el programa MATLAB que una señal puede estar definida como la suma infinita de muchas otras funciones lo que nos da la idea que una función cualquiera puede ser analizada a apartir de funciones más elementales.

8. BIBLIOGRAFIA.-

Biografía de Joseph Fourier, Sangakoo, disponible en:http://www.sangakoo.com/blog/fourier/

Fenómeno de Gibbs, LAFA: Laboratorio de Análisis de Fourier Aplicado, disponible en:http://www4.ujaen.es/~jmalmira/gibbs_almira.pdf

Series de Fourier y fenómeno de Gibbs, Roberto Rodríguez del Rio & Enrique Zuazua, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad Complutense de Madrid, Madrid, España, disponible en:http://eprints.ucm.es/8364/1/cubo.pdf

David Jornet Vicente Montesinos--------- Análisis Complejo. Víctor Daniel Rojas Cerna ------------------- Matemática V.

17