IAC6_Analiza_modala

7/25/2019 IAC6_Analiza_modala

1/5

1

ANALIZA DINAMIC

Studiul dinamic prin MEF al structurilor elastice poate fi privit ca o extindere a analizei

statice n probleme n care se consider i dependena de timp a modelelor discretizate spaial prin

elemente finite. Dac deplasrile u(x,y), considerate la analiza static variaz n timp, este necesar ca,

pe lng forele considerate pentru modelul static s se ia n considerare i forele de inerie, precum i cele de frecare. Ecuaia (1) se scriepe baza principiului lui dAlembert, ca echilibru de fore

[ ]{} [ ]{} [ ]{ } { ( )}M u C u K u F t (1)

unde termenul }]{[ uM reprezint forele de inerie, }]{[ uC - forele de frecare, care sunt

proporionale cu vitezele,[K]{u}forele elastice, iar )}({ tF - forele exterioare, variabile n timp.

[M] reprezint matricea maselor, sau matricea de interie a ntregii structuri, iar [C]este matricea de

amortizare. Matricile [C], [M] i [K] se asambleazdin matricile elementare.

n domeniul dinamic programele de analiz structural cu elemente finite actuale pot rezolva

urmtoarele probleme:

- Analiz modal(Modal analysis) - calculul modurilor proprii i al frecvenelor proprii ale unei

piese sau ale unui ansamblu.

- Analiz tranzitorie (Transient analysis) rspunsul dinamic al structurii la o for variabil n

timp (rspuns n timp). Pentru acest tip de analiz este important efectul inerieii al amortizrii.

Cazul n care aceste efecte trebuie considerate este cnd fora aplicat este de tip semnal treapt

sau impuls, adic atuncicnd variaia forei n timp este brusc, abrupt. Un semnal ideal de tip

impuls activeaz toate modurile de vibraie ale structurii. Semnalul ideal, aplicat instantaneu, detip impuls nu este posibil de realizat numeric. De aceea, se aplic semnalul pe un interval de timp

foarte scurt, dt, ca n Fig 1,a. Dup aplicarea acestui semnal se analizeaz rspunsul structurii pe

intervalul de timp dorit. Mrimea duratei dt(2) pe care se aplic semnalul depinde de frecvena

proprie f a structurii pe care dorim s o includem n rspunsul structural.Fora se aplic n trei

etape, sau trei cazuri de ncrcare succesive, notate cu LS1 LS3, ca n Fig. 1,b.

fdt 20/1 (2)

a - semnalul treapt b - cazuri de ncrcare

Fig. 1. Aplicarea forei n analiza tranzitorie


2/5

2

afr amortizare bcu amortizare

Fig. 2 Rspunsul n timp. Deplasri

Variaia n timp a deplasrilor este reprezentat n Fig. 2. Dac nu se specific amortizarea,

atunci rspunsul structurii este ca n Fig. 2,a, staionar.n cazul n care se introduce coeficientul de

amortizare rspunsul este reprezentat n Fig. 2,b.

- Rspuns armonic (Rspuns n frecven) rspunsul structurii la fore variind armonic

(sinusoidal) n timp, n regim stabil de solicitare.

-

Vibraii aleatoaresau (analiz spectral). Rspunsul spectral n timp al structurilor solicitate la

cutremure, vnt, valuri. Sunt folosite modurile de vibraii i este considerat un spectru de intrare

ca solicitare. Analiza spectral este o extensie a analizei modale care calculeaz tensiunile i

deformaiile ca rspuns la vibraii aleatoare.

ANALIZA MODAL

Analiza modal este folositpentru determinarea unor caracteristici dinamice ale structurilor

i anume: frecvenele proprii i modurile proprii de vibraie. Frecvenele proprii ale structurilor

trebuie comparate cu frecvenele de lucru ale mainii/sistemului, pentru a evita apariia rezonanelor,

sau pentru a nu permite funcionarea unei piese/ansamblu cu armonici ale frecvenelor proprii.

Analiza modal poate folosi nu numai la cunoaterea i mbuntirea caracteristicilor

dinamice ale unei maini sau robot, dar poate conduce la identificarea unor puncte slabe, sau de

rigiditate dinamic sczut din componena ansamblurilor. Analiza modal precede, de obicei, orice

alt tip de analiz dinamic.

n cazul analizei modale formularea matematic a problemei este:

}0{}{][}{][}{ uKuCuM . (3)

unde [M] este matricea de inerie, sau matricea maselor, [C] este matricea de amortizare, [K] este

matricea de rigiditate. {F(t)} - vectorul forelor exterioare care solicit structura este {0}. Matricile

[C] i [M] sunt obinute prin asamblare, din submatricile corespunztoare fiecrui element finit. n

sistemul de ecuaii (3) toate matricile sunt n general simetrice. Sistemul de ecuaii (3) este, n general


3/5

3

liniar, dar poate fi i neliniar, dac matricea de rigiditate, de exemplu, depinde de proprietile

neliniare ale materialului, sau dac apar deformaii mari.

Dac se neglijeaz amortizarea,sistemul (3) devine:

}0{}{][}]{[ uKuM . (4)

Soluia sistemului de ecuaii (4) se presupune c este de forma

tu iii cos}{}{ (5)

Aceast form corespunde sensului fizic al fenomenului vibraiilor. n sistemul (5) {}ieste

vectorul propriu reprezentnd modul de vibraie corespunztor frecvenei proprii i vectorul care

conine amplitudinile relative ale tuturor nodurilor, iar i este pulsaia proprie corespunztoare

frecvenei proprii i. nlocuind soluia de forma (5) n sistemul de ecuaii (4) acesta devine:

}0{}]){[][( 2

ii KM (6)

Sistemul (6) este

Frecvenele de rezonan fi, corespunztoare fiecrei pulsaii proprii i se calculeaz curelaia:

2

iif (7)

unde ireprezint numrul modului propriu de vibraie. Sistemul de ecuaii (6) reprezint o problem

de vectori proprii i valori proprii, care se rezolv prin metode numerice. Pentru rezolvare vectorul

propriu {}ise normalizeaz n funcie de unitate, sau n funcie de matricea maselor. n cazul cnd

vectorul propriu {}ie normalizat n funcie de matricea maselorexpresia matematic este

1}{][}{ iT

i M (8)

Frecvenele proprii i modurile proprii de vibraie sunt soluiile ecuaiei

iii MK }]{[}{][ 2

(9)

unde [K] este matricea de rigiditate, {}i- vectorul propriu, ipulsaia proprie, iar [M]matricea

masei. Programele de analiz structuralconin proceduri de rezolvare a sistemului de ecuaii (9), cum

ar fi: metoda bloc Lanczos, metoda redus, unisimetric, amortizat etc.

Metoda de rezolvare prin iteraii pe subspaii lucreaz cu matricile [K] i [M] ntregi.

Dezavantajul este timpul de calcul mare i utilizarea intensiv a memoriei i spaiului de lucru ale

calculatorului. Metodele de rezolvare reduse sunt rapide i precise, dar utilizatorul trebuie s fac

opiuni care presupun experien de calcul i cunoaterea comportamentului structural. De exemplu,


4/5

4

n cazul rezolvrii pe subspaii trebuie alese grade de libertate master, n care programul calculeaz

modurile proprii i apoi le expandeaz pentru ntreaga structur.

Fiind un process iterativ, convergena modurilor este calculat de program pentru fiecarepulsaieproprie i

51 10)()(

B

e ninii

(10)

undeBeste 1 sau ni}{

ni

B}{

1

, (11)

care dintre valori este mai mare. n general, toate programele de analiz structural prin elemente

finite asigur o bun precizie pentru primele 6 frecvene proprii i modurile de vibraie

corespunztoare.

n ultimul timp a aprut analiza modal cu considerarea tensiunilor (Modal prestressed).

Aceast analiz modal ia n considerare tensiunile datorate unor fore aplicate static. Prin urmare , ea

este precedat de o analiz static, urmnd ca rezultatele acestei analize s fie condiii iniiale pentru

analiza modal.n acest caz frecvenele proprii ale unei structuri sunt mai mici dect n cazul analizei

modale obinuite, dac tensiunile statice sunt mari, sau dac structura este solicitatat puternic axial.

Aplicaie: S se calculeze frecvenele proprii i modurile proprii de vibraiepentru un mner

din oel, ale crui dimensiuni sunt reprezentate n figura 3.


5/5

5

Fig. 3 Desen execuie mner din oel

Fig. 4 Frecvenele proprii calculate

Modurile proprii

Modul 1 Modul 2

Modul 3 Modul 4

Modul 5 Modul 6

IAC6_Analiza_modala

Documents

Transcript of IAC6_Analiza_modala