Gpgyrtstechnolgia II.

KplkenyalaktsII. elads

Dr. Bodzs Sndoregyetemi adjunktus

KPLKENYSGTANI ALAPOKA feszltsgi llapot jellemzi s

alapsszefggsei Kls errendszerrel terhelt nyugalomban lev testben

olyan bels errendszer bred, amely biztostja a test brmelykiragadott rsznek egyenslyt.

A test brmely (gondolatilag kettvlasztott) felletn olyan belsmegoszl errendszert (feszltsgeket) kell mkdtetnnk, amely atest nyugalmi llapott biztostja. Egy test tetszleges Ppontjnak feszltsgi llapott akkor tekinthetjk teljesenmeghatrozottnak, ha ismerjk a ponton tfektetett, hromegymsra merleges skon hat feszltsgvektorokat, azazismert az F feszltsgi tenzor:

.x xy xz

ij zx y yz

zx zy z

= =

F (1)

A feszltsgi tenzor ismeretben a tetszlegesen kivlasztott Pponton tmen brmely skon hat feszltsg vektor a

n n = Fr r (2)

sszefggssel hatrozhat meg, ahol

{ }; ;x y zn n n n=r (3)a sk normlvektora.

Az adott skra merleges, norml feszltsgi komponenst a

n n n = Fr r

(4)

kifejezssel, mg a vizsglt skba es cssztatfeszltsgikomponenst a

2 2n n n =

r (5)

sszefggssel hatrozhatjuk meg. A P - ponton tmen normlis skon bred

feszltsgkomponenseket az 1. bra szemllteti.nr

Minden szimmetrikus msodrend tenzorra igaz, hogytallhat 3 egymsra klcsnsen merleges sk, amelyekrecsak normlfeszltsgek hatnak. Ezek a fskok.

A fskok normlvektorai pedig firnyokat jellnek ki.

1. bra. A feszltsgi komponensek szemlltetse az normlis skonn

r

A firnyokban hat feszltsgeket ffeszltsgeknek (norml)nevezzk:

321 >> (6)

A firnyokban felrt feszltsgi tenzor:

=

3

2

1

000000

F (7)

A firnyokat a feszltsgi tenzor karakterisztikus determinnsbl tudjuk meghatrozni:

0det =F (8)

A feszltsgi tenzorbl kpzett karakterisztikus determinnskifejtsvel a

3 21 2 3 0I I I + = (9)

harmadfok egyenlethez jutunk, amelynek gykei a keresett1, 2, 3 ffeszltsgek rtkeit adjk meg.

A (9) egyenletben szerepl I1, I2, I3 egytthatk a feszltsgitenzor skalr invarinsait jellik, nevezetesen:

1

2 2 22

2 2 23

,

,

2 .

x y z

x y y z z x xy yz zx

x y z xy yz zx x yz y zx z xy

I

I

I

= + +

= + + + + +

= +

(10)

A gyakorlati feladatok tbbsgnl rendszerint nem szksges ebonyolult, harmadfok egyenlet megoldsa a ffeszltsgek s affeszltsgi irnyok meghatrozsra, ugyanis a legtbb esetbenaz ignybevtel mdja mr eleve meghatrozza a ffeszltsgiskokat s irnyokat, illetve gyakran elfogadhat egyszerstfelttelezsek alkalmazsval viszonylag knnyen kijellhetjk afeszltsgi firnyokat.

A feszltsgi firnyok koordinta rendszerben affeszltsgi komponensekkel a skalr invarinsok isegyszerbb alakra hozhatk, mivel a cssztatfeszltsgikomponenseket tartalmaz tagok kiesnek, azaz:

1 1 2 2

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

,

,

.

III

= + +

= + +

=

(11)

A kplkenysgtanban a feszltsgi tenzor skalr invarinsainakigen fontos szerepe van.

Az els skalr invarins (I1) egyharmada a kzepes normlfeszltsg, amelyet hidrosztatikus feszltsgi komponensnek isneveznk s m-mel jellnk.

Az elzkbl kvetkezen a hidrosztatikus feszltsgkomponens

( ) ( )1 2 31 13 3m x y z = + + = + + (12)szmolhat, amelynek segtsgvel az F feszltsgi tenzor egyhidrosztatikus gmbtenzorra (mI) s a hidrosztatikusfeszltsgllapottl val eltrst ler devitor feszltsg tenzorra(T) bonthat az albbi egyenlet szerint:

ITF m += (13)

12

3

0 0 0 00 0 0 0 .0 0 0 0

m m

m m m

m m

= + = +

F I T

(14) A (14) egyenletben szerepl, I-vel jellt idemtenzor,

tulajdonkppen egy egysgtenzor, amelynek a ftljban lvelemek egysgnyiek s minden tovbbi eleme nullval egyenl.

Mivel a hidrosztatikus feszltsgi llapot csak rugalmastrfogatvltozssal jr, gy a kplkeny alakvltozs szempontjblkizrlag a feszltsgi devitor a meghatroz.

A kplkeny alakvltozs csszsi mechanizmusbl is kvetkezik,hogy a kplkenyalakts szempontjbl fontos szerepe van af-cssztatfeszltsgeknek.

Minl negatvabb a feszltsgi llapot annl nagyobb azalakvltoz kpessge az anyagnak.

2. bra. A ffeszltsgi Mohr-krk brzolsa

A f-cssztatfeszltsgeket a feszltsgi Mohr-krk alapjn (2.bra) a f norml-feszltsgekkel az albbi sszefggsekkelfejezhetjk ki:

2 3 3 1 1 21 2 3; ; .2 2 2

= = = (15)

A kplkeny alakvltozs megindulsa szempontjblkiemelten fontos szerepe van az n. oktaderescssztatfeszltsgnek, amely a koordinta tengelyekkel azonosszget bezr, n. oktader skban bred.

Az oktader skot az elz definci szerint az albbinormlvektorral jellemezhetjk:

1 1 1; ; .

3 3 3n

=

r

(16)

A (4) s az (5) egyenleteket, valamint az elzkben bevezetettoktader sk normlvektornak az sszefggst felhasznlva, azoktader skra hat norml- s cssztatfeszltsgi komponenseket

( )

( ) ( ) ( )1 2 3

12 2 2 2

1 2 2 3 3 1

1,

313

okt

okt

= + +

= + +

(17)

A feszltsgi egyenslyi egyenletek Egy test nyugalmi llapotnak felttele, hogy a testre hat

errendszer egyenslyban legyen. Ezt a felttelt a mechanikbljl ismert

0q + =Frr

(18)vektor-egyenlettel fejezhetjk ki, ahol

; ;x y z

= (19)

a Hamilton-fle differencil-opertor

{ }; ;x y zq q q q=ra trfogategysgre hat trfogati errendszer eredje.

(20)

A (18) vektor-egyenletet xyz derkszg koordinta rendszerbenaz albbi hrom skalr egyenlettel rhatjuk fel:

0,

0,

0.

xyx xzx

yx y yzy

zyzx zz

qx y z

qx y z

qx y z

+ + + =

+ + + =

+ + + =

(21)

Szmos alaktsi feladat hengerszimmetrikus alakvltozsillapottal jellemezhet: ilyen esetekben a feszltsgi egyenslyiegyenlet hengerkoordinta rendszerben felrhat alakjt clszeralkalmazni, amely az albbi hrom skalr egyenletet jelenti:

1 0,

1 2 0,

1 0.

r rr rzr

r z r

zrz rz zz

qr r z r

qr r z r

qr r r z

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

(22)

Az alakvltozsi llapot jellemzi s alapsszefggsei

Egy test alakvltozsi llapotnak szemlletes lersra a mszakimechanikban az elemi kiskocka torzulst alkalmazzuk (3. bra).

3. bra. Az elemi kiskocka alakvltozsnak

szemlltetse derkszg koordinta

rendszerben

A test egy tetszleges P(xo; yo; zo) pontjnak az alakvltozs utniP(x1; y1; z1) helyzett a elmozduls vektor hatrozzameg.

{ }; ;t u v wr

Test alakvltozsi llapott az alakvltozsi tenzorraljellemezhetjk, amelyet az elmozdulsi vektorbl a

12

t t= + Ar ro o (23)

n. diadikus szorzattal hatrozhatjuk meg.

1 12 2

1 12 2

1 12 2

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

+ +

= + +

+ +

A (24)

x xy

y yz

z zx

u u v

x y xv v w

y z yw w u

z z x

= = +

= = +

= = +

1 12 2

1 12 21 12 2

x xy xz

yx y yz

zx zy z

=

A

(25)

(26) Az alakvltozsi tenzor

az albbi alakban isfelrhat:

A (27) alakvltozsi tenzor sszefggsben szerepl alakvltozsikomponenseket az n. mrnki nyls, illetve szgtorzulsdifferencilis kifejezseinek tekinthetjk.

Ha egy do kezdeti tmrj, lo hosszsg hengeres prbatestmretei egytengely hzvizsglat sorn dc s lc rtkekrevltoznak, a prbatest hossztengelye irnyban a mrnki nylst

c o

o

l ll

= (27)

sszefggssel hatrozzuk meg, azaz a prbatest hosszmretnekmegvltozst az eredeti hosszra vonatkoztatjuk.

A kplkenyalakts technolgijban ezzel szemben ltalnosabbanalkalmazott nyls-fogalom az n. logaritmikus, vagy msmegnevezssel a valdi nyls, amelynek meghatrozsakor aprbatest mretvltozst mindig annak pillanatnyi hosszravonatkoztatjuk.

A valdi nyls vges alakban felrhat sszefggshez ennekmegfelelen annak elemi (differencilis) alakjtl juthatunk el.

A valdi nyls differencilis sszefggst az elzkbenismertetett definci alapjn a

dldl

= (28)

kifejezssel rhatjuk fel, amelybl a valdi nyls vges, lo kiindulhosszrl lc hosszra val nyjtsakor a

lnc

o

lc

c

ol

dl ll l

= = (29)

sszefggssel szmolhatjuk.

Termszetesen a (29) kifejezssel alakilag s tartalmilag megegyezkifejezs rhat fel tetszleges irnyokban mrt alakvltozsokra, gypldul a derkszg, x, y, z koordintarendszer f irnyaibanmrhet alakvltozsi komponensekre is, azaz

ln ; ln ; ln ,x y zo o o

x y zx y z

= = = (30)

ahol xo, yo, zo a koordinta tengelyek irnyban mrt kiindul(eredeti) hosszakat, x, y, z pedig a marad alakvltozs utnipillanatnyi hosszakat jelenti.

A mrnki nyls (27) kifejezst a valdi nyls (29)sszefggsvel sszevetve a ktfle nyls kztt a

ln(1 ) = + (31)

kapcsolatot teremthetjk.

A kplkenyalaktsban klnsen hengerszimmetrikusalakvltozsok esetn ugyancsak gyakran alkalmazottalakvltozsi mrszm az n. fajlagos keresztmetszet-vltozs,amelyet a kezdeti Ao s az alakvltozs utni Ac keresztmetszetekbl

o c

o

A AqA

= (32)

sszefggssel hatrozhatunk meg. Kplkeny alakvltozs sorn a trfogat-llandsg elve

rvnyesl, amelynek figyelembevtelvel a hrom klnflealakvltozsi jellemz (az mrnki nyls, a valdi nyls s aq fajlagos keresztmetszet-vltozs) kztt az albbi kapcsolatteremthet:

1ln(1 ) ln .1 q

= + =

(33)

Az alakvltozsi sebessget az egysgnyi id alatt megvalsult valdinylsknt rtelmezzk, azaz

ddt =&

(34) Fontos azonban rmutatni az alakvltozsi sebessg s az alaktsi

sebessg klnbzsgre. Ehhez tekintsk az albbi egyszer pldt. Rgztsk egy l hosszsg

hengeres rd egyik vgt, mikzben a msik vgt v egyenletessebessggel hzzuk. A rd mozg vgnek elmozdulsa dt id alattdl=vdt. Ebbl a valdi nyls elemi rtke

dl vdtdl l

= = (35)

Behelyettestve a (35) sszefggst a (34) egyenletbe, az alakvltozsisebessg rtke

,

d vdt vdt ldt l = = =& (36)

A trfogat llandssg ttele Kplkenyalakts sorn a marad trfogatvltozs nulla. Mivel a kplkenyalakt eljrsok sorn megvalstott marad

alakvltozs rendszerint nagysgrendekkel meghaladja a rugalmasalakvltozsok nagysgt, gy a rugalmas trfogatvltozsszmottev hiba nlkl elhanyagolhat.

Ennek a felttelnek az elfogadsval a kplkenyalakts egyik igenlnyeges s gyakran alkalmazott alapsszefggstszrmaztathatjuk a valdi nyls komponensek kztt.

Vlasszunk egy xo, yo, zo kiindul mretekkel jellemezhet Votrfogat hasbot, amelynek mreteit kplkenyalaktssal x1,y1, z1 rtkre vltoztatjuk.

Az elz bekezdsben kzlt okfejtsbl kvetkezik, hogy amarad trfogatvltozs rtke nulla.

4. bra. Vzlat a trfogat-llandsg ttelnek szrmaztatshoz

A test trfogata alakts eltt s alakts utn megegyezik, azaz

0 0 0 1 1 1x y z x y z= (37)

rhat, amelybl elemi talaktssal az

0 0 0

1 1 1

1x y zx y z

= (38)

kvetkezik. Mindkt oldal termszetes logaritmust vve az

1 1 1

0 0 0

ln ln ln 0x y zx y z

+ + = (39)

kifejezsre jutunk. Figyelembe vve a logaritmikus (valdi) nylsramegismert sszefggseket, az egyenlet a

0x y z + + = (40)

sszefggsre vezet, amelybl az olvashat ki, hogy a koordintatengelyek mentn mrt valdi nylsok sszege nulla.

Tekintettel arra, hogy a x + y + z, a valdi nylsokkal felrtalakvltozsi tenzor els skalr invarinsa, amely rtk brmelykoordinta rendszerben lland, gy a sszefggs a valdifnylsokkal is felrhat, azaz rvnyes a

1 2 3 0 + + = (41)sszefggs is.

Kplkeny alakvltozs esetn a logaritmikus alakvltozsoksszege, brmely hrom, egymsra klcsnsen merlegesirnyban nullval egyenl.

Ezt nevezzk a kplkenyalaktsban a trfogat-llandsgttelnek, amelyet az alaktsi feladatok megoldsnl szmosesetben hasznostunk.

A folysi felttelek

Folysi (ms kifejezssel, kplkenysgi) feltteleknek nevezzkaz olyan sszefggseket, amelyek megadjk a feszltsgekvalamennyi olyan kombincijt, amelyek bekvetkezsekor akplkeny (marad) alakvltozs megindul.

A folysi felttelek elemzsekor minden esetben kt lnyegesdolgot kell vizsglnunk.

Az egyik, hogy a klnbz feszltsgi llapotokat mikortekintjk egyenrtknek (jelen esetben a kplkeny alakvltozsmegindulsa szempontjbl).

A msik, hogy tnylegesen mikor kvetkezik be a kplkenyalakvltozs.

A Tresca-St. Venant folysi felttel E folysi felttel az n. legnagyobb cssztatfeszltsgi

elmleten alapszik. Ugyanis e szerint a folysi felttel szerint kt klnbz

feszltsgi llapot akkor tekinthet egyenrtknek, ha alegnagyobb cssztatfeszltsgeik megegyeznek s a kplkenyalakvltozs akkor indul meg, amikor a legnagyobbcssztatfeszltsg egy az adott anyagra jellemz kritikusrtket elr.

Annak rdekben, hogy ezt a kritikus rtket meghatrozhassukclszer olyan feszltsgi llapotot vlasztani, amely egyrsztegyszeren szrmaztathat sszefggseket eredmnyez, msrsztmentes egyb zavar krlmnyektl (pldul nem befolysoljk asrldsi felttelek).

Ezeknek a kvetelmnyeknek kivlan eleget tesz az egytengelyhzvizsglat.

Egytengely hzvizsglatnl a legnagyobb ffeszltsg 1 > 0, amsik kt ffeszltsg pedig nullval egyenl, azaz 2 = 3 = 0.

Anyagvizsglati tanulmnyainkbl ismert, hogy szaktvizsglatnl(amely lnyegben egytengely hzvizsglat), a marad(kplkeny) alakvltozs akkor indul meg, amikor a 1 ffeszltsgelri az anyag folysi hatrt.

A folysi hatr rtkeknt az n. egyezmnyes folysi hatrt(Rp0,2) alkalmazva, az elz felttel a

1 0,2pR = (42)

sszefggssel rhat fel. Az egytengely hzvizsglat feszltsgillapott jellemz feszltsgi Mohr-kr az 5. brn lthat,amelybl a legnagyobb cssztat ffeszltsgre a

1 3max 2

= (43)

5. bra. Az egytengely hzfeszltsgi llapot Mohr kre a folys

megindulsakor

sszefggs rhat fel, amelybe 1 rtkt a (42) egyenletblbehelyettestve s figyelembe vve, hogy 2 = 3 = 0, a maradalakvltozs megindulsakor a maximlis cssztatfeszltsg rtkre

0.2max 2

pR = (44)

sszefggst kapjuk, azaz a folys megindulsakor a maximliscssztatfeszltsg kritikus rtke ppen az Rp0,2 folysi hatrfelvel egyezik meg, azaz

0.2max .2

pkrit

R = = (45)

A Tresca-St. Venant folysi felttel feszltsgi llapotokegyenrtksgre vonatkoz kittelbl kvetkezik, hogytetszleges hromtengely feszltsgi llapotban a maximliscssztatfeszltsgnek ugyanezt a kritikus rtket kell elrnie akplkeny alakvltozs megindulshoz.

Mivel hromtengely feszltsgi llapotban valamennyi ffeszltsgnulltl klnbz, a legnagyobb cssztatfeszltsg rtkt a

1 3max 2

= (46)

kifejezssel szmolhatjuk (5. bra). Mivel a folys megindulsakorennek az rtknek is meg kell egyezni a cssztatfeszltsg (45)sszefggssel megadott kritikus rtkvel, azaz

0.21 3max ,2 2

pkrit

R

= = = (47)amelybl a

1 3 0.2pR = (48)kvetkezik.

A (48) sszefggsben az Rp0,2 folysi hatr a lgy llapot (nemalaktott) anyag egyezmnyes folysi hatrt jelli.

A mszaki gyakorlatbl jl ismert, hogy a relis anyagok akplkeny alakvltozs hatsra kemnyednek, azaz nvekvkplkeny alakvltozs elrshez nvekv feszltsgre vanszksg. Ezt mutatja a 6. bra, amelyen a valdi nylsfggvnyben a kplkeny alakvltozs megindtshoz szksgesvaldi feszltsget () brzoltuk.

Az alaktott prbatest pillanatnyi folysi hatra az elzetesalakvltozs fggvnyben folyamatosan s monoton vltozik.

Ezt a vltoz folysi hatrt a lgy llapot anyag Rp0,2egyezmnyes folysi hatrtl megklnbztetsl akplkenyalaktsi gyakorlatban kf-fel jelljk s alaktsiszilrdsgnak nevezzk.

Ennek bevezetsvel a (48) sszefggs, azaz a Tresca-St. Venantfolysi felttel

1 3 ( )fk = (49)

6. bra. A valdi feszltsg vltozsa a valdi nyls fggvnyben

A Huber-Mises-Hencky folysi felttel Az oktader skban bred cssztatfeszltsgek

egyenrtksgi kritriumt elfogadva, tulajdonkppen csakazt a kritikus cssztatfeszltsget kell meghatroznunk,amelynek elrsekor a kplkeny alakvltozs bekvetkezik.

Ennek meghatrozshoz ismtelten az egytengelyhzvizsglatbl indulunk ki. Amint az elz pontban is lttuk,egytengely hzvizsglatnl a kplkeny alakvltozsmegindulsakor

1 0.2 2 3; 0pR = = = (50)

Az oktaderes cssztatfeszltsg:

( ) ( ) ( )21323222131

++=okt (51)

az oktaderes cssztatfeszltsget az (51) kifejezsbebehelyettestve a

0.22

3okt p kritR = = (52)

kifejezst kapjuk. Az oktaderes cssztatfeszltsg ezen kritikusrtkt a hromtengely feszltsgi llapotban az oktader skonbred cssztatfeszltsg kifejezsvel egyenlv tve a

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 1 0.21 23 3okt p kritR = + + = =(53)

sszefggshez jutunk, amelybl elemi talaktsok utn a

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 1 0.212 pR + + = (54)

kifejezst kapjuk. Figyelembe vve az anyagvizsglati egyezmnyesfolysi hatr s a valdi nyls fggvnyben folyamatosan vltozfolysi hatr, az alaktsi szilrdsg rtelmezst, a Huber-Mises-Hencky fle folysi felttel vgleges formban

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 11 ( )2 fk + + = (55) Figyeljk meg, hogy tulajdonkppen a ktfle folysi felttel

egyetlen sszefggsbe is foglalhat. Ugyanis mindkt esetben lnyegben a feszltsgi

komponensekbl szmtunk kt klnbz sszefggssel egy n. egyenrtk, vagy ms szval sszehasonlt feszltsget(jelljk ezt -vel), amely egyenrtk feszltsgnek azalaktsi szilrdsg rtkt kell elrni a kplkeny alakvltozsbekvetkezshez, azaz a

( ) fk = (56)

egyenletnek kell teljesedni, figyelembe vve, hogy az sszehasonltfeszltsg rtkt a Tresca-St. Venant folysi felttel szerint a

1 3 = (57)

sszefggssel, mg a Huber-Mises-Hencky folysi felttel szerint a

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 112 = + + (58)

kifejezssel hatrozhatjuk meg.

Anyagtrvnyek, anyagmodellek

A Hooke-trvny az alakvltozsi s a feszltsgi devitortenzor kztt teremt kapcsolatot, amely tenzorikus alakban az

12D G

=A T (59)

sszefggssel rhat fel, ahol AD az alakvltozsi devitor tenzor,T a feszltsgi devitor tenzor s G az n. cssztat-rugalmassgi modulus.

Az (59) tenzor-egyenlet elemi talaktsokkal az albbi skalregyenletrendszerr alakthat:

( )( )( )

1 1, ,

1 1, ,

1 1, .

x x y z xy xy

y y z x yz yz

z z x y zx zx

vE G

vE G

vE G

= + =

= + =

= + =

(60)

A (60) egyenlet-rendszerben E a Young-fle rugalmassgimodulus s az n. Poisson tnyez, amely a kereszt- shosszirny alakvltozsok kztt teremt kapcsolatot.

A G-cssztat rugalmassgi modulus s a Young-fle rugalmassgimodulus kztti kapcsolat

2(1 )EG

=

+(61)

A nagy kplkeny alakvltozsok esetre rvnyes anyagtrvnytHencky fogalmazta meg, amely alakilag nagymrtkben hasonlt alinerisan rugalmas testre vonatkoz ltalnos Hooke-trvnyhez,mikzben tartalmilag igen jelents mrtkben klnbzik.

A Hencky-fle kplkeny test anyagtrvnye tenzorikus alakban:3

2D D=A T (62)

Skalr egyenletrendszerknt:

( )( )

( )

1 1 3, ,

21 1 3

, ,

21 1 3

, .

2

x x y z xy xy

y y z x yz yz

z z x y zx zx

D D

D D

D D

= + =

= + =

= + =

(63)

A (60) s (63) egyenletek formai-alaki hasonlsga mellett, azalbbi lnyeges, tartalmi klnbsgeket kell kiemelni:

o A Hooke-trvnyben az mrnki nylsok, mg a Hencky-egyenletekben a kplkenyalaktsban ltalnosabbanalkalmazott valdi nylskomponensek szerepelnek.

o A Hooke-trvnyben a Poisson-tnyez anyagtl fggenvltozik (adott anyagra azonban lland, anyagjellemz), mga Hencky-egyenletekben rtke anyagtl fggetlenlgyakorlatilag lland (valdi nylsokkal szmolva a = 1/2rtk vehet figyelembe).

o A Hooke-trvnyben szerepl E Young-fle rugalmassgimodulus ugyancsak anyaglland, mg a Hencky-egyenletekben szerepl D kplkenysgi modulus rtke azalakvltozstl fggen, gyakorlatilag pontrl-pontravltozik.

A Hencky egyenletek felhasznlsval egy igen hasznossszefggst szrmaztathatunk a reduklt (sszehasonlt)feszltsg s alakvltozs kztt.

Az egyszerbb kezelhetsg rdekben a (63) egyenletrendszertrjuk fel ffeszltsgi koordinta rendszerben, amely a

( )

( )

( )

1 1 2 3

2 2 3 1

3 3 1 1

1 1,

21 1

,

21 1

2

D

D

D

= +

= +

= +

(64)

egyenleteket eredmnyezi.

A (64) egyenletrendszer hrom egyenlett egymsbl rendrekivonva a

( )( )( )

1 2 1 2

2 3 2 3

3 1 3 1

3,

23

,

23

2

D

D

D

=

=

=

(65)

egyenleteket kapjuk, amelyeket kln-kln ngyzetre emelve,majd sszeadva, egyszer algebrai talaktsok utn a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 12 1 19 2D + + = + + (66)egyenlethez jutunk.

A (66) egyenlet jobboldaln, a ngyzetgykjel alatt szereplkifejezs megegyezik a Huber-Mises-Hencky folysi felttelblszrmaztatott reduklt, vagy sszehasonlt feszltsg rtkvel

(67)

jellst, amellyel az sszehasonlt (valdi) alakvltozs s azsszehasonlt (valdi) feszltsg kztt az egyszer Hooke-trvnyhez alakilag nagyon hasonl

Ennek felismersvel a egyenlet bal oldaln szerepl kifejezstreduklt, vagy sszehasonlt alakvltozsnak tekintjk, azazbevezethetjk a

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 129 = + + (68)

( ) ( ) ( )2 2 21 2 2 3 3 112 = + +

1 D

= (69)

kifejezst szrmaztathatunk. Ezen sszefggs alapjn megfogalmazhat a kplkenyalakts

egyik igen fontos ttele, amely szerint azonos sszehasonltvaldi alakvltozs elrshez a feszltsgi llapottlfggetlenl azonos sszehasonlt valdi feszltsg szksges.

Amint a 6. brbl is lthat, az sszehasonlt valdi feszltsgkplkenyalakts sorn az anyagra jellemz alaktsiszilrdsggal megegyezik, azaz a helyett a kf jellst isalkalmazhatjuk.

Az egyszersg kedvrt az sszehasonlt alakvltozst gyakranindex nlkli -vel jelljk.

Ezek figyelembevtelvel a (69) sszefggs1

fkD = (70)

A gyakorlati letben a kifejezst sokkal inkbb az alaktsiszilrdsgra kifejezett formjban, azaz a

fk D= (71)

alakban hasznljuk. Amint korbban is megjegyeztk, maga a Dkplkenysgi modulus is az alakvltozsnak is fggvnye,ezrt a (71) sszefggst ltalnos formban a

( )f fk k = (72)

sszefggssel adjuk meg. A (72) kifejezssel meghatrozott, azalaktsi szilrdsg s a valdi nyls kztti kapcsolatot lergrbket a szakirodalom folysi grbknek nevezi.

A folysi grbk alkalmasak a klnbz alakvltozsillapotokban bekvetkez felkemnyeds, az alaktsiszilrdsg pillanatnyi rtknek meghatrozsra.

7. bra. Az alaktsi szilrdsg meghatrozsa a folysi grbe alapjn

Mivel a kplkenyalakts sorn megvalsul maradalakvltozs nagysgrendekkel meghaladja a rugalmasalakvltozsok nagysgt, a folysi grbken a marad valdinyls fggvnyben brzoljuk az alakvltozs kvetkeztbenmegvltoz (felkemnyed) alaktsi szilrdsgot.