DS4-2015_corrige (version: 31/12/15)

C. Gabrion (déc.15) page 1/5

DS4-2015_CORRIGE

Partie A : « Pince de robot »

1. Présentation du mécanisme Le dessin de la figure 1 représente une pince de robot. Elle est utilisée à

l’extrémité d’un bras manipulateur et est munie de deux doigts se déplaçant symétriquement pour assurer la préhension des objets à manipuler. La forme des doigts est adaptée à la géométrie des objets. Dans le cas de cette pince les doigts sont munis d’une rainure en Vé et se déplacent parallèlement l’un à l’autre pour prendre des objets cylindriques.

Un moteur électrique (non représenté) entraîne la vis 2 qui par l’intermédiaire d’un système vis écrou, permet la translation de l’écrou 3. Le mouvement de 3 actionne l’ensemble des biellettes articulées et permet la fermeture ou l’ouverture de la pince.

Ce système est symétrique par rapport à l’axe de la vis mais pour avoir les deux positions extrêmes de ce mécanisme, la vue de face représente la pince dans deux positions différentes :

- au dessus du trait d’axe « pince ouverte » - au dessous du trait d’axe « pince fermée »

2. Travail demandé Question A-1 : Dessiner en perspective isométrique et à main levée, le doigt 6, l’écrou 3 et l’équerre 5.

Question A-2 : Tracer le schéma cinématique de ce mécanisme en utilisant des couleurs différentes pour

différencier les solides cinématiques.

C. Gabrion / DS4-2015_corrige (version: 31/12/15) page 2/5

Question A-3 : Quelles sont les pièces mécaniques qui effectuent une translation circulaire dans ce mécanisme ?

Les seules pièces de cette pince effectuant une translation circulaire sont les doigts 6 et 6’. En effet, tous les points de ces deux solides décrivent des cercles de même diamètre mais leurs arêtes restent toujours parallèles. Il n’y a pas de rotation. Question A-4 : Quelles sont les particularités du torseur cinématique du mouvement d’une pièce

effectuant une translation circulaire ? Une translation circulaire est une translation particulière c’est-à-dire que son torseur cinématique admet un vecteur rotation nul en tout point de l’espace. Il s’agit d’un torseur couple. Il en résulte qu’à un instant donné, tous les points du solide ont le même vecteur vitesse.

Partie B : « Quelques tours de manège ! »

1. Présentation du mécanisme : La figure 2 ci-contre représente un manège constitué d’un plateau tournant S1 par rapport au sol (S0) et de 4 nacelles (S31, S32, S33 et S34) qui peuvent, elles aussi tourner par rapport au plateau. La cinématique de ces deux mouvements est décrite sur le schéma de la figure 3. La rotation du plateau (α) est directement commandée par le moteur 1. En revanche la rotation des nacelles (θ) est indirectement commandée par le moteur 2 qui entraîne une roue (S2) laquelle engrène avec les pignons liés à chaque nacelle. Les deux rotations peuvent donc être commandées indépendamment l’une de l’autre. Pour un observateur lié au plateau, les 4 nacelles ont le même mouvement de rotation. Sur la figure 4, le paramétrage est partiellement donné :

- )0,0,0,(0 ZYXOR est le repère lié à S0 - )1,1,0,(1 ZYXOR est le repère lié à S1

- )2,2,0,(2 ZYXOR est le repère lié à S2 - )3,3,0,(3 ZYXAiiR est lié à S3i (avec i = 1 à 4)

- α est le paramètre angulaire de S1/S0 - β est le paramètre angulaire de S2/S1 - θ est le paramètre angulaire de S3i/S1

Les dimensions du système sont notées de la façon suivante : - ROAi = = 3 m

- rAiM = = 1 m - Nombre de dents de la roue (S2) : n2 = 200 - Nombre de dents des pignons de nacelle : n3 = 40

La commande des deux moteurs est décrite par les deux chronogrammes ci-contre. A la date t = 0s, tous les angles sont nuls.

2. Travail demandé Question C-1 : Donner (sans calcul) l’expression

littérale des vecteurs )0/1( SSAiV ∈ .

1.)0/11( zRSSAV α&=∈ ; 1.)0/12( yRSSAV α&−=∈

1.)0/13( zRSSAV α&−=∈ ; 1.)0/14( yRSSAV α&=∈

Fig. 2

C. Gabrion / DS4-2015_corrige (version: 31/12/15)

Question C-2 : Donner (sans calcul) l’expression littérale des vecteurs

)0/1( SSAi∈Γ .

1.1.)0/11( yRzRSSA αα &&& −=∈Γ

1.1.)0/12( zRyRSSA αα &&& −−=∈Γ

1.1.)0/13( yRzRSSA αα &&& +−=∈Γ

1.1.)0/14( zRyRSSA αα &&& ++=∈Γ

Question C-3 : Etablir la relation entre en fonction de n2 et de n3.

Pour un observateur lié au carter du moteur 2, c'est-à-dire au plateau S, la transmission entre le solide S2 et les solides S3i se fait par un contact d’engrenage externe. La formule de Willis est réduite à sa plus simple expression :

32

1/21/31

n

n−==βθ

ωω

&

&

5−=⇒βθ&

&

Question C-4 : Calculer de façon

littérale :

)0/311( SSMV ∈ et

)0/311( SSM ∈Γ en fonction de αααα, θθθθ et leurs dérivées en dérivant le vecteur position.

0

1)0/311(

Rdt

OAd

dt

OMdSSMV

=

=∈

3.1.0/1

1.

1dt

ydryR

dt

ydR

RR

+∧Ω+

=

3.0).(1.0. yrxyRx ∧++∧= θαα &&&

3).(1. zrzR θαα &&& ++=

/311()0/311(

dt

SSMVdSSM

∈=∈Γ

(1.0/1

1.

1

drzR

dt

zdR

R

ααα &&

&

+∧Ω+

=

3).(1.0.1. zrzRxzR θαααα &&&&&&&& +++∧+=

(3).(1².1. rzryRzR αθααα &&&&&&&& +−++−=

: Donner (sans calcul) l’expression littérale des vecteurs

: Etablir la relation entre θ& et β& en fonction de n2 et de n3.

00

111

RRdt

MAd

dt

OA

+

3.0/33

yrR

∧Ω+

000

3).(1.)0

RRRdt

zdr

dt

zdRS

++

=

θαα &&&

3).(0/33).

3

zrdt

z

R

θαθα&&

&&+∧Ω+

+

3).(0).( zrx θαθα &&&& +∧++

) 3.2

yθ&+

Figure 3 : schéma cinématique du manège

Figure 4 : paramétrage du manège

page 3/5

: schéma cinématique du manège

C. Gabrion / DS4-2015_corrige (version: 31/12/15) page 4/5

Question C-5 : Vérifier les deux résultats précédents en appliquant les formules de champ des vitesses et des accélérations.

0/3111)0/311()0/311( Ω∧+∈=∈ AMSSAVSSMV

0).(3.1.)0/311( xyrzRSSMV θαα &&& +∧−=∈

3).(1.)0/311( zrzRSSMV θαα &&& ++=∈

( )0

0/31110/31110/31)0/311()0/311(

Rdt

dAMAMSSASSM

Ω∧+Ω∧∧Ω+∈Γ=∈Γ

( )0

0).(3.0).(3).(0).(1.1.)0/311(

Rdt

xdyrxyrxyRzRSSM

+∧−+∧−∧++−=∈Γ θαθαθααα&&

&&&&&&&

( ) 0).(3.0).(3).(1.1.)0/311( xyrxzryRzRSSM θαθαθααα &&&&&&&&&&& +∧−+∧+−+−=∈Γ

( ) 3).(3.1.1.)0/311(2

zryryRzRSSM θαθααα &&&&&&&&& +++−−=∈Γ Question C-6 : Calculer les applications numériques suivantes : ∗ θ∗ θ∗ θ∗ θ et α α α α à la date t = 15 s ∗∗∗∗ )0/1( SSAiV ∈ à la date t = 5 s

∗∗∗∗ )0/1( SSAi ∈Γ à la date t = 55 s

+×−=−= ∫

15

0

.)0(5)15(32

)15( dtssn

ns βββθ & avec =∫

15

0

.dtβ&

trrds 12,34

254

55)15( ≈=

−×−= ππθ

∫+=15

0

.)0()15( dtss ααα & avec =∫15

0

.dtα&

trrds 5,252

54

10)15( ≈=+= πππα

smsmRSAV /36,2/4

3

43)0/1( ≈=×== ππα&

( ) ( )22 )55²()55()0/1( sRsRSA αα &&& +=Γ avec ²/10

)55( srdsπα −=&& et srds /0)55( =α&

²/94,010

3)55()0/1( smsRSA ≈×==Γ πα&&

C. Gabrion / DS4-2015_corrige (version: 31/12/15) page 5/5

Fig. 1 Dessin d’ensemble de la pince à cylindre