GeorgiyevskiiPobedrya

7/23/2019 GeorgiyevskiiPobedrya

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ELSEVIER

Avai lable onl ine at w ww.sciencedirect.com

S I E N E

~ __ _~ D I IR E G T P P U E D

M T H E M T I C S

N D M E C H N I C S

~.e]sevier.com/locate/jappmathmech

Journal of Ap pl ied M athematics and Mechanics 68 2004) 941-946

T H E N U M B E R O F I N D E P E N D E N T C O M P A T I B I L I T Y

E Q U A T I O N S I N T H E M E C H A N I C S

O F D E F O R M A B L E S O L I D S t

D V G E O R G I Y E V S K I I a n d B Y e P O B E D R Y A

M o s c o w

e - m a il : g e o r g i e v @ m e c h . m a t h . m s u . s u ; p o b e d r i a @ m e c h . m a t h . m s u . s u

Received

30

September

2 0 0 3

T h e n u m b e r o f i n d e p e n d e n t c o m p a t ib i l i t y e q u a t i o n s i n t e r m s o f s t r es se s , in v o lv e d i n f o r m u la t i n g t h e b a s i c p r o b l e m in t h e m e c h a n i c s

o f d e f o r m a b le so l i d s i n t e r m s o f s t r e s se s i n Nn , i s t h e sa m e a s t h e n u m b e r o f Sa in t - V e n a n t c o m p a t ib i l i t y e q u a t i o n s i n R ~ a n d t h e

n u m b e r o f i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t s o f t h e K r O n e r a n d R i e m a n n - C h r i s t o f f e l t e n s o r s. T h e e x i s te n c e o f th e B i a n c h i i d e n t it i e s

d o e s n o t r e d u c e t h i s n u m b e r . C o u n t e r e x a m p l e s a r e g i v e n t o s h o w t h a t t h e n u m b e r o f B e l t r a m i - M i t c h e l l e q u a t i o n s c a n n o t b e

r e d u c e d f r o m s i x t o t h r e e i n t h e c l a s si c al a n d n e w f o r m u l a t i o n s o f t h e p r o b l e m i n t e r m s o f s t r e s s e s f o r a t h r e e - d i m e n s i o n a l b o d y.

2 0 0 5 E l se v i e r L td . A l l r i g h t s r e se r v e d ,

1 . T H E N U M B E R O F I N D E P E N D E N T S A I N T - V E N A N T C O M P A T I B I L I T Y

E Q U A T I O N S

I n o r d e r t o r e p r e s e n t t h e S a i n t - V e n a n t c o m p a t i b i l it y e q u a t i o n s [ 1] i n c o m p a c t f o r m , o n e u s u a l l y c o n s i d e r s

t h e K r 6 n e r i n c o m p a t i b i l i t y t e n s o r [ 2 ]. I n ~ n t h i s t e n s o r i s t h e o b j e c t ~1~2~ -4} = i n k E { 2 } o f r a n k 2 n - 4

w i t h C a r te s i a n c o m p o n e n t s

l ] i l . . . i n

2 J t . . . J n 2 =

i l . . . i n 2 k l ~ ' j l . . ' J n - 2 r n p g l m , k p

1 .1 )

w h e r e E i t

in i s t h e L e v i - C i v i t a s y m b o l i n R n a n d e 12~ i s t h e s t r a i n t e n s o r . I n d e e d , t h e v a n i s h i n g o f a l l

c o m r ~ o n e n t s q i i : : o i s a n e c e s s a r y a n d , f o r a s i m p l y - c o n n e c t e d d o m a i n V , a l s o a s u f f i c ie n t

r 1 n - 2 J 1 , . . J n - z

c o n d i t io n f o r t h e C a u c h y p r o b l e m

u i . j u j , i = 2 e i j , i , j = 1 . . . . n 1 .2 )

t o b e in t e g r a b l e . T h u s , t h e n u m b e r N n o f i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t s 1 . 1 ) i s t h e s a m e a s th e r e q u i r e d

n u m b e r o f i n d e p e n d e n t e q u a t i o n s o f s tr a i n c o m p a t ib i l it y .

F o r n = 2 t h e K r 6 n e r t e n s o r is a s c a l a r N 2 = 1 ) a n d f o r n = 3 i t i s a s y m m e t r i c r a n k 2 t e n s o r

N 3 = 6 ) . I t i s o b v i o u s f r o m d e f i n i t i o n 1 . 1 ) t h a t , f o r a n y n , t he t ensor ~ 1~ - 4} i s an t i - sym me t r i c i n a l l

p a i r s o f i ts f ir s t n - 2 i n d i c e s, a n d a l s o o f t h e l a s t n - 2 . M u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f 1 . 1 ) b y

~ - i l . . . i n _ 2 q s E j l . . .

J n _ 2 t r

a n d s u m m i n g o v e r th e 2 n - 4 r e p e a t e d i n d ic e s , o n e r e a d i l y o b t a in s t h e f o l l o w i n g

r e l a t i o n s , e q u i v a l e n t t o 1 . 1 )

2 R s q t r

= - E s t , q r 1 -

8 q r s t

- ~ ' s r , q t - E q t , s r = 0

1 . 3 )

w h e r e R ~4} i s t h e c u r v a t u r e t e n s o r o r t h e R i e m a n n - C h r i s t o f f e l t e n s o r , w h o s e r a n k i s 4 f o r a n y n . I t s

c o m p o n e n t s a d m i t o f t h e c la s si c al s y m m e t r i e s

R s q t r = - R q s t r = - R s q r t = R t r s q

1.4)

t P r ik l . Ma t . M ekh .

Vol. 68 , No. 6 , pp . 1043-1 048 , 2004 .

0 0 2 1 - 8 9 2 8 /S - - se e f r o n t m a t t e r . 2 0 05 E l se v i e r L td . A l l r i g h t s r e se r v e d .

d o i : 1 0 . 1 0 1 6 / j. j a p p m a th m e e h . 2 0 0 4 . 1 1 .0 1 5


2/6

9 4 2 D . V . G e o r g i y e v s k i i a n d B . Y e . P o b e d r y a

a n d t h e R i c c i i d e n t i t ie s

R s q t r R s t r q R s r q t = 0

1 . 5 )

T h u s , t h e i n c o m p a t i b i l i t y t e n s o r ~1~2~ -4} and the cur va tu re t ens or R {4} a re dua l t en sors , and

c o n s e q u e n t l y h a v e t h e s a m e n u m b e r o f i n d e p e n d e n t c o m p o n e n t s . T h e g e o m e t r i c a l m e a n i n g o f t h e

c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s 1 . 3) is t h a t a c o n t i n u o u s m e d i u m i n t h e u n s t r a i n e d a n d s t r a i n e d s t a t e s b e l o n g s

t o a E u c l i d e a n s p a c e f o r w h i c h R sq t r - O .

T h e s ix e q u a t i o n s 1 .3 ) w e r e o b t a i n e d f o r t h r e e d i m e n s i o n s b y S a in t - V e n a n t 1 86 0) . L a t e r , B u s s i n e s q

1871) , Be l t ra m i 1889) , and Ce sa ro 1906) [3 ] p rov ed the i r su f f ic iency fo r s im ply-co nnec te d dom ains V.

I t is o b v i o u s t h a t i n R n E q s 1 . 3) m a y b e s p l i t i n t o t h r e e g r o u p s

1 . A l l t h e f r e e i n d i c e s s, q , t a n d r a r e d i f f e r e n t t h i s i s t h e c a s e b e g i n n i n g w i t h n = 4 ) . W e s h a l l n o t

w r i t e d o w n t h e r e l a t i o n s o b t a i n e d , b u t ju s t c a l c u l a t e t h e i r n u m b e r N n l . B y v i r t u e o f t h e s y m m e t r i e s 1 .4 )

a n d t h e R i c c i i d e n t i t ie s 1 . 5) , w e h a v e

4

N n l = 3 C 4 - C n = n n - 1 ) n - 2 ) n - 3 ) l 1 2

2 . O n l y o n e o f t h e p a i r o f f r e e i n d i c e s s , q i s t h e s a m e a s o n e o f t h e p a i r t , r n -> 3 ) . T h e n

N n 2 = 3 C3 n = n n - 1 ) n - 2 ) / 2

3 . T h e p a i r s o f i n d i c e s

s , q

a n d t , r a r e i d e n t i c a l a n d

N n 3 = b , = n n - 1 ) / 2

F i n a l l y , w e h a v e

N n = N n t + N n 2 + N n 3 = n 2 n 2 - 1) /12 1 . 6 )

S i n c e t h e f i rs t d e r i v a t i o n o f E q s 1 . 3) [ 4 ], r e p e a t e d d i s c u s s io n s h a v e b e e n d e v o t e d t o t h e p r o b l e m o f

d e t e r m i n i n g t h e i n d e p e n d e n t e q u a t i o n s a m o n g a l l g r o u p s a n d e x p r es s in g t h e o t h e r s i n te r m s o f t h e s e

i n d e p e n d e n t o n e s [ 5 , 6 ] s e e a l s o t h e b i b l i o g r a p h y i n [ 7] ). A n a p p a r e n t a r g u m e n t i s t h e f a c t th a t N ~ f o r

n > 2 is g r e a t e r t h a n t h e d e g r e e o f o v e r - d e t e r m i n a t i o n b ~ o f t h e C a u c h y s y s t em 1 .2 ) N z = b2 --- 1).

I n a d d i t i o n , N n - n 4 a s n i n c r e a s e s , w h i l e b ~ - n 2 . A p p e a l h a s f r e q u e n t l y b e e n m a d e t o t h e B i a n c h i

i d e n t i t i e s

R s q t r , p R s q r p , t R s q p t , r =

1.7)

w h i c h a r e e a s il y r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h r e e d e r iv a t iv e s o f t h e c o m p o n e n t s e i j . F o r n = 3 , t h e n u m b e r

o f i n d e p e n d e n t i d e n t i t i e s 1 . 7) i s j u s t 3 , w h i c h s e e m s t o d i s p o s e o f t h e d i s c r e p a n c y N 3 - b 3 = 3 , a n d

t h e i r e x i s t e n c e is t h e r e f o r e i d e n t i f i e d w i t h t h e d e p e n d e n c e o f t h e s ix s t r a i n c o m p a t i b i l i t y e q u a t i o n s .

I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a s n i n c r e a s e s , t h e n u m b e r o f B i a n c h i i d e n t i t ie s 1 . 7) i n c r e a s e s a s

C 2 C 3 ~ n 5 ,

w h i c h e v e n f o r m a l l y d o e s n o t r e s o l v e t h e d i s c r e p a n c y N n - b n - n 4. A t t h e s a m e t i m e , t h e

i d e n t i t i e s 1 .7 ) a r e d i f f e r e n t i a l c o n s t r a i n t s o f t h e t h i r d o r d e r i m p o s e d o n

e i j ,

n o t a d d i t i o n a l c o m p a t i b i l i ty

e q u a t i o n s .

H e r e i s a n i l l u s t ra t i v e ex a m p l e . L e t t h e f u n c t i o n f x l , . . . , x ~ ) s a t is f y a s y s t e m o f n d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s

- b f l b x I = 0 . . . . q ) . = - O f l O x . = 0

1.8)

w h i c h i s c o m p a t i b l e a n d h a s t h e s o l u t i o n f - c o n s t . I n a d d i t i o n , al l E q s 1 . 8) a r e c le a r l y i n d e p e n d e n t

i n t h e s e n s e t h a t d e l e t i n g j u s t o n e o f t h e m y i e l d s a n o n - e q u i v a l e n t s y s t e m ) . T h e d e g r e e o f o v er -

d e t e r m i n a t i o n o f t h e s y s t e m i s n - 1 . A t t h e s a m e t i m e , n n - 1 ) /2 i n d e p e n d e n t i d e n t it i e s Pi,j - gJj, = 0

e x i st , w h i c h p l a y t h e p a r t o f t h e i d e n t i t i e s 1 . 7 ), w h o s e e x i s t e n c e d o e s n o t e l i m i n a t e t h e d i s c r e p a n c y

n - 1 a n d m a k e s n o n e o f E q s 1 .8 ) d e p e n d e n t o n t h e o th e r s .

2 . F O R M U L A T I O N O F T H E P R O B L E M O F T H E T H E O R Y O F

E L A S T I C I T Y I N T E R M S O F S T R E S S E S

C l o s e ly r e l a te d t o t h e f o r e g o i n g d i s c u s s io n a r e q u e s t i o n s o f d i f f e r e n t fo r m u l a t i o n s o f t h e p r o b l e m o f

t h e m e c h a n i c s o f d e f o r m a b l e s o l i d s i n t e r m s o f s tr e s s es . I n w h a t f o l l o w s w e t a k e n = 3 a n d d r o p t h e

supe rsc r ip t s ind ica t ing th e r ank s o f the t enso rs e~2~, w~z} and @2} .


3/6

I n d e p e n d e n t c o m p a t i b i li t y e q u a t i o n s i n t h e m e c h a n i c s o f d e f o r m a b l e s o li d s 9 43

As i s wel l known [8 ] , t he c l ass i ca l fo rmu la t i on o f t he s t a t i c p rob l em o f t he i so t rop i c t heo ry o f e l as ti c it y

in terms of s t resses consist s of solving, in a three -dim ensio nal dom ain 1,1, he thr ee equi l ibr ium equa t ions,

w h i c h a r e , i n v e c t o r f o r m

S - D i v ~ r + p F = 0 , r e V (2 .1 )

and t he s i x Sa in t -Venan t compat ib i l i t y equa t i ons

I i ( ~ ) = 0 , r e V ( 2 .2 )

w h e r e ~ i i s t h e K r 6 n e r i n c o m p a t ib i l it y t e n s o r w i t h C a r t e s i a n c o m p o n e n t s

] ] i j ---- E i k l E j m p E l m k p

(2.3)

wh ich fo l l ow f rom Eqs (1 .1 ) ; the so lu t i on i s a lso r equ i r ed t o sa t is fy t h ree s t a t ic bound ary con d i t i ons on

t h e b o u n d a r y 2 = V

o . n = p 0 ) , r e Z 2 . 4 )

wh ere p F and p (0 ) a re g iven vo lume a nd su r face l oads , and a r and e a re t he t enso r s o f s t r esses and sm al l

d e f o r m a t i o n s , w h i c h a r e r e l a t e d b y H o o k e s l a w

1 1

= ~ S [ - 3 v t ~ I + ( l + v ) a l , ~ = ~ t r~ ( 2.5 )

Sys t em (2 .1 ) , (2 .2 ) is equ iva l en t t o t he sys t em o f t h ree equa t i ons (2 .1 ) and t he s ix Bel t r am i -Mi t ch e l l

e q u a t i o n s , w r i t te n i n t e n s o r f o r m a s

3 Grad (gr ad e) + 2p D ef F + lP_-~Vv(divF)I = 0 , r e V (2 .6)

I - I - A a + 1 + v

Th e so lu t i on o f boun dary -va lue p rob l em (2 .1 ) , (2 .2 ) , (2 .4 ) (o r (2,1 ), (2 .6 ) , (2 .4 ) ) is un iqu e i rE > 0

and -1 < v < 1 /2 . The c l assi ca l fo rmu la t i on (2 .1 ), (2.6) , (2 .4) co r respon ds t o t he var i a ti ona l fo rm ula t i on

fo r t he Cas t i g l iano func t i ona l . Th i s var i a t i ona l p r i nc ip le i s t he bas i s o f the F i l o nen ko-B orod i ch m etho d

fo r t he a pp rox ima te so lu t i on o f t he s t a t i c p rob l em o f t he t heo ry o f e l as ti c i ty in t e rms o f s t r esses [9] .

S ince Mi t che l l (1900) der i ved Eq s (2.6) , wh ich had i n f ac t been ob t a ined p rev ious ly by Bel t r ami (1892)

a s s u m i n g z e r o v o l u m e f o r c e s , m a n y i n v e s ti g a to r s h a v e t a c k l e d t h e p r o b l e m o f t h e o v e r - d e t e r m i n a t i o n

of t he c l ass ica l fo rmula t i on , s i nce t he num ber o f Eqs (2 .1 ) and (2 .6 ) i n t he do ma in V i s t h ree t imes

t h e n u m b e r o f u n k n ow n c o m p o n e n t s o f th e t e n s o r o . A t t h e s a m e t im e , t h e n u m b e r o f b o u n d a r y

cond i t i ons (2 .4 ) is on ly one t h i rd o f the nu m ber o f unknow n func t i ons . In t ha t connec t i on , i t has bee n

p r o p o s e d t h a t t h r e e o f t h e n i n e e q u a t i o n s ( 2 . 1) , ( 2. 6) ( i n d i ff e r e n t c o m b i n a t io n s ) m a y b e r e m o v e d o n

the bo und ary Y,.

T h e s e q u e s t i o n s a r e o f c o u r s e i n h a r m o n y w i t h t h e q u e s t i o n d i s c u s se d i n S e c ti o n 1 o f t h e n u m b e r o f

i n d e p e n d e n t S a i n t- V e n a n t c o m p a t i b i li t y e q u a t i o n s . T h e a p p a r e n t o v e r - d e t e r m i n a t i o n i s re m o v e d b y a

n e w f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m o f t h e m e c h a n i c s o f d e f o r m a b l e s o l id s in t e r m s o f s t re s s e s, p r o p o s e d

by one o f u s [10 , 11 ] . As app l i ed t o t he i so t rop i c t heo ry o f e l as t i c i t y , i t cons i s t s o f f i nd ing t he s i x

componen t s o f t he symmet r i c t enso r ~r by so lv ing t he s i x equa t i ons (2 .6 ) i n t he domain V assuming

the sa t i s f ac t ion on Y~ o f t he t h ree bou nda ry cond i t i ons (2 .4 ) and t he t h re e cond i t i ons

S = 0 , r E Z (2.7)

Th i s fo rm ula t i on d i f f e r s f rom the c l ass ica l one i n tha t sa t i s f ac t i on o f t he e qu i l i b r i um equ at i ons i s

r e q u i r e d o n l y o n t h e b o u n d a r y o f t h e b o d y ( a t i n fi n it y i f t h e b o d y i s u n b o u n d e d ) . T h e e x i s te n c e t h e o r e m

for a so lu t i on o f t he p ro b l em o f t he t heo ry o f e las t i c it y in t e rms o f st r esses has been p rove d fo r t he f i r st

t ime, as wel l as i t s e l l ip t i c it y ; and a new var i a t i ona l p r i nc ip l e h as be en fo rm ula t ed fo r a cer t a i n sca l a r

o p e r a t o r d e p e n d i n g o n t h e s t r e s s g ra d i e n t.

H o w e v e r , a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e i n s o m e p u b l i c a t io n s t o r e m o v e f r o m t h e n i n e e q u a t i o n s ( 2 .1 ) ,

( 2 .6 ) o n t h e b o u n d a r y o f V n o t ( 2 .7 ) , b u t o t h e r t r i p le s , t a k e n f r o m t h e B e l t r a m i - M i t c h e l l e q u a t i o n s

( 2.6 ). T h e m o s t f r e q u e n t a m o n g t h e s e t r i p le s a r e t h o s e c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h r e e d i a g o n a l c o m p o n e n t s

o f t h e t e n s o r H o r t h e t h r e e n o n - d i a g o n a l o n e s .


4/6

9 4 4 D . V . G e 0 r g i y e v s k i i a n d B . Y e . P o b e d r y a

3 . S O M E C O U N T E R E X A M P L E S

T h e f o l lo w i n g ex a m p l e s i l lu s t r at e t h a t t h e f o r m u l a t i o n s o b t a i n e d i n t h a t c a s e a r e n o t e q u i v a l e n t t o t h e

c l a ss i ca l f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m o f t h e t h e o r y o f e l a s t i c it y i n t e r m s o f s t r e ss e s . To f ix o u r i d e a s , l e t

u s a s s u m e t h a t F - 0 , c h o o s e a s p h e r i c a l s y s t e m o f c o o r d i n a t e s { r; 0; (p }, a n d c o n f i n e o u r a t t e n t i o n t o

t h e c a s e i n w h i c h t h e s t r e s s f i e ld is i n d e p e n d e n t o f t h e m e r i d i o n a l a n g l e tp . T h e n

1 1

S r = I r r , r + ~ l J r O , 0 + ~ 2 J r r - ~ 0 0 - ~ p p +

t ~ r o C t g 0 )

S O = ~ r 0, r + F I ~ 0 0 , 0 + ~ l ~ 0 0 -

t0t0)ctg0 + 3~0)

,

S ~ = ~ , ~+ r 6O ~ ,o + ( 3 ~ e + 2 ~ c t g 0 )

1 2 i n 2 0 ( ~

~ p = ~ ( r ~ , ~ ) j + ~ r o s i n 0 ) o , ~ , ~ = r , 0 , q~

E x a m p l e

1 . T h e p r o b l e m i s t o s o l v e th e f o l l o w i n g s ix e q u a t i o n s i n t h e d o m a i n o f t h e b o d y

S r = S O = S ~ = O , H r o = H o , P = H~ ,p = O , r E V

3 . 1 )

i n s u c h a w a y t h a t s i x c o n d i t i o n s a r e s a t i s fi e d o n t h e b o u n d a r y : t h e t h r e e s t a t ic c o n d i t i o n s ( 2 .4 ) a n d t h e

c o n d i t i o n s

H r r = H 0 0 = H ~ = 0 , r ~ E ( 3 .2 )

T h e f o l l o w i n g s tr e s s f ie l d is a s o l u t i o n o f p r o b l e m ( 3 .1 ) , ( 2 .1 ) , ( 3 .2 ) b u t n o t o f p r o b l e m ( 2 .1 ) , ( 2 .6 ) ,

(2 . 4 ) (o r (2 . 6 ) , (2 . 4 ). (2 . 7 ) ) . We ta ke

V = { r : r < R } , Z = { r : r = R } (3 .3 )

o o 0

P r = 3R4, P0 = P~ = 0, r ~ Z (3,4)

a n d d e f i n e, f o r e x a m p l e s

IJrr

= 3 r 4 - 1 0 R r 3 + 1 0 R 2 r 2

t~0e = cy~ = 9r 4 - 25R r3+ 20R2r 2 ,

~p

0

3 . 5 )

O n e c a n v e r i t y d i re c t l y t h a t E q s ( 3 . 1 ) a r e s a t is f i e d t h r o u g h o u t V , a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 .4 )

w i t h l o a d s ( 3 . 4) a r e s a t i sf i e d o n t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e ( 3 .3 ) . I n a d d i t i o n ,

60

r

R ) ( 7 r 5 R ) ~ 0

r r

= 6 0 ( r - R ) 2 + ~ ( -

H 0 0

= H ~ = 6 0 ( r - R ) ( 3 r - 2R ) ~ 0

w h i c h m e a n s t h a t c o n d i t i o n s ( 3 . 2) a r e s a t i sf i e d b u t c o n d i t i o n s ( 2 .6 ) a r e n o t .

E x a m p l e 2 . T h e p r o b l e m i s t o s o l v e t h e f o l l o w i n g s ix e q u a t i o n s i n t h e d o m a i n o f t h e b o d y

S r

= S O = S i p = 0 ,

n r r = H o O = H ~ = O , r ~ V

(3.6)

i n s u c h a w a y t h a t t h e t h r e e s t a t i c c o n d i t i o n s ( 2 .4 ) a n d t h e c o n d i t i o n s

H r o = H o ~ = H r ~ = O , r ~ y

Hr0 = H0t0 = H r , = 0 , r ~ V , r ~ o o

3 . 7 )

a re s a t i s f i ed . We take ( s ee F ig . 1 )


5/6

I n d e p e n d e n t c o m p a t i b i li t y e q u a t io n s i n t h e m e c h a n i c s o f d e f o r m a b l e s o l i ds

~

\

E l 2 Z ~

9 4 5

Fig. 1

V = { r : r > R , 0 < 8 1 < 8 < 8 2 < r c } , Z = Z l u Z 2 t ,. ) Z 3

Z t = { r : r = R , 8 1 < 8 < 8 2 } ( 3 .8 )

Z 2 = { r : r > R , 8 = S t } , Z 3 = { r : r > R , 8 = 8 2 }

o o o

P ,. = P o = P q , = 0 , r e Z

( 3 . 9 )

a n d p r e s e n t a s tr e s s f ie l d w h i c h s o l v e s p r o b l e m ( 3 . 6 ) , ( 2 . 4 ), ( 3 .7 ) b u t n o t p r o b l e m ( 2 . 1 ), ( 2 .6 ) , ( 2 .4 ) .

P u t

Y r r = Y O 0 = Y e e = ~ r O - ~ 0

, 1

3 ( r - R_.) )2f

3 . 1 0 )

s in 8 r2s in 28 J

-

w h e r e f ( 8 ) i s s o m e d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n , t h e r e b y s a t i s fy i n g E q s ( 3 .6 ) . T o sa t is f y c o n d i t i o n s ( 3 .7 ) a n d

( 3 . 9 ) o n t h e s u r f a c e ~ a n d a t i n f i n i t y , i t i s s u f f i c i e n t t o t a k e , f o r e x a m p l e ,

f ( O ) ( 0 - - 8 1 ) 4 ( 0 - - 0 2 ) 4

( 3 . 1 1 )

T h e e x p l ic i t e x p r e s s i o n s f o r H , v = A c ute a n d H o e = A ~ 0 e a r e t o o c u m b e r s o m e t o p r e s e n t h e r e . W e

n o t e t h a t t h e c o m p o n e n t s H , v a n d H o e e v a lu a t e d f r o m ( 3 .1 1 ) a r e b o u n d e d i n t h e d o m a i n V , s i nc e t h e

w h o l e p o l a r a x is si n 0 = 0 d o e s n o t b e l o n g t o V , a n d t h e y v a n i sh o n ~ 1 , Z 2, Z 3 a n d a t i n fi n it y . T h e

c o m p o n e n t s H , ~ a n d H o e o f t h e t e n s o r ( 2 . 6 ) d o n o t v a n i s h i d e n t ic a l l y i n t h e d o m a i n V .

T h u s , r e m o v a l o f t h e t h r e e d i a g o n a l o r n o n - d i a g o n a l B e l t r a m i - M i t c h e l l e q u a t io n s o n t h e b o u n d a r y

m a k e s t h e f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m i n t e r m s o f s t r e s s e s n o n - e q u i v a l e n t t o t h e c la s s ic a l f o r m u l a t i o n .

C o u n t e r e x a m p l e s c a n b e p r e s e n t e d a n a l o g o u s l y w h i c h i n s i m i la r f a s h i o n i ll u s t ra t e t h e i n a d m i s s i b i li t y

o f r e m o v i n g a l l o t h e r t r ip l e s o f t h e n i n e e q u a t i o n s ( 2 .1 ) , (2 . 6) o n t h e b o u n d a r y ( e x c e p t f o r t h e t r i p le

( 2 . 1 ) ) .

T h i s r e s e a r c h w a s s u p p o r t e d f i na n c i al ly b y t h e R u s s i a n F o u n d a t i o n f o r B a s i c R e s e a r c h ( 0 2 -0 1 - 0 0 7 8 0) .

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Translated by D .L .

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