gejalakuantum20101018
-
Upload
jakapamungkas6990 -
Category
Documents
-
view
217 -
download
0
Transcript of gejalakuantum20101018
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 1/13
Catatan Kuliah 1
FISIKA KUANTUM
oleh:
Prof. Freddy P. Zen, D. Sc ([email protected])
Agus Suroso, M. Si ([email protected])
Laboratorium Fisika Teoretik, FMIPA-ITB
1terakhir diperbaharui pada 18 Oktober 2010.
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 2/13
Daftar Isi
Daftar Isi i
Daftar Gambar ii
1 Gejala Kuantum 11.1 Radiasi Benda Hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Gejala radiasi termal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Hukum Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Hukum Raleygh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Model osilator harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Energi rata-rata osilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Rapat jumlah osilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Kerapatan energi radiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Teori kuantum radiasi Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Efek Fotolistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Hamburan Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Model Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Sejarah Teori Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Model Atom Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 3/13
Daftar Gambar
1.1 Kurva intensitas radiasi termal per satuan panjang gelombang . . . . . . 21.2 Perbandingan antara hasil yang didapat hukum Raleygh-Jeans dan Teori
Kuantum Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Skema efek Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ii
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 4/13
Bab 1
Gejala Kuantum
1.1 Radiasi Benda Hitam1.1.1 Gejala radiasi termal
Kajian tentang radiasi benda hitam bertujuan menjelaskan fenomena yang terkait de-ngan intensitasi radiasi (daya emisi) suatu benda pada temperatur tertentu. Pada tahun1792, T. Wedjwood mendapati bahwa sifat universal dari sebuah objek yang dipanaskantidak bergantung pada komposisi dan sifat kimia, bentuk, dan ukuran benda. Selanjut-nya, pada tahun 1859 G. Kirchoff membuktikan sebuah teorema yang didasarkan padasifat termodinamika benda bahwa pada benda dalam kesetimbangan termal, daya emisi
(pancar ) dan daya absorbsi (serap) sama besar. Ide Kirchoff dinyatakan dalam sebuah
persamaanef = J (f, T ) Af , (1.1)
dengan ef adalah daya emisi per frekuensi cahaya tiap satuan luas, f adalah frekuensicahaya, T suhu mutlak benda, dan Af daya absorbsi (yaitu fraksi daya masuk yangdiserap per frekuensi tiap satuan luas. Benda hitam didefinisikan sebagai benda yangmenyerap semua radiasi elektromagnetik yang mengenainya, sehingga benda tersebutmenjadi berwarna hitam, atau pada persamaan (1.1) berlaku Af = 1 sehingga ef =J (f, T ) (daya emisi per frekuensi per satuan luas hanya bergantung pada f dan T saja).
1.1.2 Hukum Stefan
Pada tahun 1879, J. Stefan menemukan (secara eksperimental) bahwa daya total tiapsatuan luas yang dipancarkan oleh benda padat pada semua frekuensi bergantung padapangkat empat dari suhu (T 4), atau
etotal =
∞
0
ef (f, T ) df = aσT 4, (1.2)
dengan 0 < a <= 1 merupakan koefisien serap dan σ = 5, 67 × 10−8 W.m−2.T−4 adalahtetapan Stefan-Boltzman.
Contoh. Hukum Stefan dapat diterapkan untuk memperkirakan suhu di permu-kaan bintang. Sebagai contoh, kita akan memperkirakan suhu di permukaan matahari.Diketahui jejari matahari adalah RS = 7, 0 × 108 m, jarak rata-rata matahari ke bumi
1
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 5/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 2
Gambar 1.1: Kurva intensitas radiasi termal per satuan panjang gelombang. Jumlahradiasi yang dipancarkan (luas daerah di bawah kurva) bertambah seiring dengan naiknyatemperatur. (Gambar diambil dari [?])
adalah R = 1, 5 × 1011 m, dan fluks (daya per satuan luas) energi matahari yang terukurdi permukaan bumi adalah 1400 Wm−2. Seluruh energi yang dipancarkan matahari dapat
dianggap berasal dari reaksi nuklir yang terjadi di dalamnya, bukan berasal pantulan da-ri radiasi yang mengenainya (seluruh radiasi yang mengenai matahari dianggap terserapsempurna). Sehingga, matahari dapat dianggap sebagai benda hitam (a = 1). Energiradiasi total yang mengenai bumi dan titik-titik lain di alam semesta yang berjarak Rdari matahari adalah et (R) 4πR2, sedangkan energi total yang meninggalkan permukaanmatahari adalah et (RS) 4πR2
S. Menurut hukum kekekalan energi, besar kedua energitersebut haruslah sama, sehingga
et (R) 4πR2 = et (RS) 4πR2
S ⇒ et (RS) = et (R)R2
R2S
. (1.3)
Lalu, menurut hukum Stefan et (RS) = σT 4
, sehingga diperoleh
T =
et(R)R2
σR2S
1/4
=
1400W m−2
1, 5 × 1011m
2(R)R2
(5, 67 × 10−8W.m−2.T −4) (7, 0 × 108m)2
1/4
≈ 5800K. (1.4)
Berdasarkan persaaan (1.1), untuk benda hitam akan berlaku ef = J (f, T ). Selan- jutnya, didefinisikan besaran kerapatan spektrum energi per satuan volume per satuan
frekuensi u(f, T ), sehingga untuk cahaya (kecepatannya c) akan diperoleh
J (f, T ) = u(f, T )c
4. (1.5)
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 6/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 3
Berdasarkan kurva spektrum radiasi benda hitam, Wien membuat tebakan bentuk fungsi
kerapatan spektrum energi tersebut sebagai u(f, T ) = Af 3e−βfT . Ternyata bentuk fungsi
tersebut dikonfirmasi secara eksperimental oleh Paschen untuk λ = 1−4 µm (infra merah)dan T = 400 − 1.600 K (hasil eksperimen untuk λ lebih besar menyimpang dari prediksiWien).
1.1.3 Hukum Raleygh-Jeans
Model osilator harmonik
Bentuk kurva spektrum pancar benda hitam juga coba dijelaskan melalui hukum Rayleigh-
Jeans. Menurut hukum tersebut, benda hitam dimodelkan sebagai sebuah rongga, dancahaya yang memasukinya membentuk gelombang berdiri. Energi radiasi per satuanvolume per satuan frekuensi merupakan moda dari osilator-osilator harmonik per satuanvolume dengan frekuensi yang terletak pada selang f dan f + df . Sehingga, kerapatanenergi dapat dinyatakan sebagai
u(f, T )df = E N (f )df (1.6)
dengan N (f ) menyatakan rapat jumlah osilator per satuan volume per satuan frekuensi .Benda hitam dianggap berada pada kesetimbangan termal, sehingga terbentuk gelombangelektromagnetik berdiri di dalam rongga (gelombang berdiri EM ekivalen dengan osilatorsatu dimensi).
Fungsi probabilitas osilator klasik memenuhi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann,
P () = P 0e−
(−0)kBT , (1.7)
dengan 0 adalah energi dasar (terendah) osilator, energi osilator, P 0 = P (0) merupakanpeluang osilator memiliki energi sebesar 0, kB konstanta Boltzmann, dan T suhu mutlaksistem (dalam hal ini rongga).
Energi rata-rata osilator
Energi rata-rata osilator dihitung dengan memanfaatkan fungsi probabilitas (1.7),
=
P ()
P ()
, (1.8)
atau untuk nilai energi yang sinambung (kontinyu), notasi jumlah () berubah menjadiintegral. Lalu dengan mengingat persamaan (1.7), diperoleh
=
∞
0P 0e
−(−0)kBT d
∞
0P 0e
−(−0)kBT d
=
∞
0e−
kBT d
∞
0e−
kBT d
. (1.9)
Pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir dapat dihitung dengan cara sebagaiberikut. Misalkan β = (kBT )−1, maka penyebut persamaan terakhir menjadi
∞
0
e−βd = −1
β
e−β∞
=0
=1
β. (1.10)
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 7/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 4
Lalu, dengan memanfaatkan hubungan tersebut, dapat diperoleh
d
dβ
∞
0
e−βd
=
d
dβ
1
β
⇔ ∞
0
d
dβ e−β d = −1
β2
⇔ −
∞
0
e−
kBT d = −
1
β2
⇔
∞
0
e−
kBT d =
1
β2. (1.11)
Sehingga, energi rata-rata osilator adalah
=
∞
0e−
kBT d
∞0 e−
kBT d
=β−2
β−1=
1
β= kBT. (1.12)
Rapat jumlah osilator
Tinjau sebuah kubus dengan panjang rusuk L yang di dalamnya terdapat gelombang elek-tromagnetik stasioner. Berdasarkan persamaan Maxwell, diperoleh persamaan gelombangstasioner untuk medan elektromagnetik berbentuk
2 E + k2 E = 0, (1.13)
dengan 2 ≡ ∂ 2
∂x2 + ∂ 2
∂y2 + ∂ 2
∂z2 , E = E (E x, E y, E z), serta E x, E y, dan E z masing-masingmerupakan fungsi dari koordinat x,y,z. Dengan menganggap berlakunya separasi variabel
pada tiap komponen medan E , misalnya E x(x,y,z) ≡ u(x)v(y)w(z), dan k2 = k2x+k2y+k2z
diperoleh
d2u
dx2+ k2
xu = 0, (1.14)
d2v
dy2+ k2
yv = 0, (1.15)
d2w
dz2+ k2
zw = 0, (1.16)
dengan solusi
u(x) = Bx cos(kxx) + C x sin(kxx), (1.17)
v(y) = By cos(kyy) + C y sin(kyy), (1.18)
w(z) = Bz cos(kzz) + C z sin(kzz). (1.19)
Selanjutnya, diterapkan syarat batas bahwa u = v = w = 0 pada x = y = z = 0 danx = y = z = L, sehingga Bx = By = Bz = 0 dan kx,y,z = nx,y,zπ/L dengan nx,y,z
merupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian, diperoleh
u(x) = C x sin(kxx), (1.20)
v(y) = C y sin(kyy), (1.21)
w(z) = C z sin(kzz), (1.22)
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 8/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 5
yang memberikan solusi untuk komponen E x
E x(x,y,z) = A sin(kxx)sin(kyy) sin(kzz), (1.23)
dan berlaku pula
k
2
=
π2
L2 n
2
x + n
2
y + n
2
z =
n2π2
L2 , (1.24)dengan n menyatakan jumlah osilator dalam kotak.
Sebuah kotak dalam ruang k (dimensi/satuannya m−1) dengan volumeπL
3berisi
satu buah gelombang berdiri. Sebuah elemen volum berbentuk kulit bola berjejari kyang terletak pada sebuah kotak dengan rusuk k memiliki volum 1
8× 4πk2dk (karena
kotak berusuk k menempati satu oktan /perdelapan dari sebuah bola berjejari k). Lalu,diperoleh N (k) yaitu rapat jumlah gelombang berdiri dengan bilangan gelombang terletakantara k dan dk,
N (k)dk =1
8× 4πk2dk
πL3=
L3k2
2π2dk. (1.25)
Dengan mengingat bahwa terdapat dua keadaan polarisasi untuk setiap modus gelombangEM, diperoleh jumlah gelombang berdiri tiap satuan volume (V = L3) sebesar
N (k)dk ≡N (k)dk
V = 2 ×
k2dk
2π2, (1.26)
atau dengan memanfaatkan hubungan besaran-besaran gelombang EM k = 2πλ dan c = λf
diperoleh
N (f )df =8πf 2
c3df ⇔ N (λ)dλ = −
8π
λ4dλ. (1.27)
Kerapatan energi radiasi
Berdasarkan hasil untuk E dan N (f ) seperti di atas, diperoleh nilai kerapatan energiradiasi
u(f, T )df =8πf 2
c3kBT df ⇔ u(λ, T )dλ =
8π
λ4kBTdλ. (1.28)
Hasil ini memungkinkan terjadinya bencana ultraviolet , bahwa rapat energi untuk cahayadengan panjang gelombang kecil (atau frekuensi besar) dapat bernilai takhingga. Dan inibertentangan dengan hasil eksperimen.
1.1.4 Teori kuantum radiasi PlanckUntuk mengatasi masalah yang timbul pada hukum Rayleigh-Jeans, Max Planck mempos-tulatkan bahwa energi osilator adalah sebanding dengan frekuensi gelombang, n = nhf (n bilangan bulat positif dan h konstanta Planck). Penerapan postulat ini ke persamaanuntuk energi rata-rata menurut statistik Maxwell-Boltzman (persamaan 1.8) memberikan
=
∞
n=0nhfe
−nhfkBT
∞
n=0e−
nhfkBT
. (1.29)
Dengan mengingat rumus jumlah pada deret geometri,
∞n=0
rn =1
1 − r|r| < 1, (1.30)
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 9/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 6
maka penyebut persamaan energi rata-rata tersebut dapat dituliskan sebagai
∞n=0
e−
hfkBT
n=
1
1 − e−
hfkBT
(1.31)
Bagian pembilang dihitung seperti pada persamaan (1.11). Misalkan α = hf kBT , makan
ne−αn = −d
dα
n
e−αn
= −d
dα
1
1 − e−
hfkBT
=e−α
(1 − e−α)2. (1.32)
Jadi, diperoleh energi rata-rata
=hf
1 − e
−hfkBT
e−
hfkBT
1 − e−
hfkBT
2=
hf e−
hfkBT
1 − e−
hfkBT
=hf
ehfkBT − 1
(1.33)
Selanjutnya, diperoleh rapat energi radiasi
u(f, T )df =8πf 2
c3
hf
ehfkBT − 1
df ⇔ u(λ, T )dλ =
8πhc dλ
λ5
e
hfkBT − 1
. (1.34)
Terlihat bahwa postulat Planck mampu mengatasi masalah yang muncul pada hukumRayleigh-Jeans. Bahkan, hasil ini sesuai dengan data eksperimen (Gambar ??). PostulatPlanck juga mampu menjelaskan hukum Stefan-Boltzman. Substitusi persamaan rapatenergi radiasi ke persamaan untuk radiasi total, menghasilkan
et =c
4
∞
λ=0
u(λ, T ) dλ
=
∞
λ=0
8πhc dλ
λ5
e
hfkBT − 1
. (1.35)
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 10/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 7
Gambar 1.2: Kurva intensitas radiasi termal menurut hukum Raleygh-Jeans dan TeoriKuantum Planck. Terlihat bahwa teori Planck sesuai dengna hasil eksperimen (yang di-nyatakan oleh titik), sedangkan hukum Raleygh-Jeans hanya sesuai untuk daerah panjanggelombang besar. (Gambar diambil dari [?])
Ambil x ≡ hcλkBT
sehingga dx = − hcλ2kBT
dλ atau dλ = −λ2kBT hc dx = − hc
kBT dxx2 , sehingga
et = −kBT
hc2πhc2
0
x=∞
hckBT
dxx2
hcxkBT 5 (ex − 1)
=2πk4
BT 4
h3c2
∞
x=0
x3
ex − 1dx
=π4
15
=2π5k4
B
15h3c2T 4
= σT 4, (1.36)
dengan
σ = 2π5
k4
B
15h3c2≈ 5, 67 × 10−9 W.m−2 K−4 (1.37)
merupakan konstanta Stefan-Boltzmann.
Soal Latihan
1. Turunkan hukum pergeseran Wien, λmT = C , dengan memaksimumkan u(λ, T ).
1.2 Efek Fotolistrik
Tugas 1 (28 Agustus 2009)Gejala Kuantum: Efek Fotolostrik
(dikumpulkan sebelum Jum’at, 4 September 2009)
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 11/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 8
1. Beri penjelasan tentang efek fotolistrik yang menganggap bahwa cahaya berbentukkuanta (partikel)!
2. Hitung kecepatan photoelectron yang dilepas dari bahan seng (zinc, dengan stop-
ping potential 4,3 eV) yang diberi cahaya ultraviolet. Dibanding kecepatan cahaya,
berapa persen besar kecepatan tersebut?3. Cahaya dengan intensitas 1,0 µW/cm2 jatuh pada permukaan besi seluas 1,0 cm2.
Anggap bahwa besi memantulkan 96% cahaya yang mengenainya dan hanya 3%dari energi yang terserap terletak pada daerah ultraviolet.
(a) Hitunglah intensitas yang dipakai untuk menghasilkan efek fotolistrik!
(b) Jika panjang gelombang sinar ultraviolet adalah 250 nm, hitunglah banyaknyaelektron yang diemisikan tiap detik!
(c) Hitunglah besar arus yang ditimbulkan pada efek fotolistrik!
(d) Jika frekuensi cut off f 0 = 1, 1 × 1015 Hz, carilah fungsi kerja φ0 untuk besi!
1.3 Hamburan Compton
fek Compton adalah gejala yang timbul jika radiasi (sinar x) berinteraksi dengan partikel(elektron). Foton sinar x bersifat sebagai partikel dengan momentum p = hf
c = hλ . Skema
efek Compton diberikan pada gambar 1.3. Efek Compton dapat dijelaskan menggunak-
Gambar 1.3: Skema efek Compton. Foton datang dengan momentum p dan menumbukelektron yang diam. Lalu foton terhambur dengan momentum p dan elektron terhambur
dengan momentum pe. Sudut hamburan foton θ dihitung terhadap arah datangnya.(Gambar diambil dari [?])
an konsep momentum dan tumbukan. Tumbukan dianggap bersifat lenting sempurna,sehingga berlaku hukum kekekalan energi,
E + mec2 = E + E e ⇔ E e = hf − hf + mec2. (1.38)
dengan E adalah energi foton sebelum tumbukan, mec2 energi elektron sebelum tumbukan(berupa energi diam), E energi foton setelah tumbukan, dan E e energi elektron setelahtumbukan. Seperti kasus tumbukan pada umumnya, pada peristiwa efek Compton jugaberlaku kekekalan momentum.
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 12/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 9
• Pada arah sumbu x (searah dengan arah datang foton)
p = p cos θ + pe cos φ ⇔ p2 + p2 cos2 θ − 2 pp cos θ = p2e cos2 φ (1.39)
dengan p momentum foton sebelum tumbukan, p momentum foton setelah tum-
bukan, pe momentum elektron setelah tumbukan, dan φ sudut hambur elektron(dihitung terhadap arah foton datang).
• Pada arah sumbu y (tegaklurus arah datang foton)
p sin θ = pe sin φ ⇔ p2 sin2 θ = p2e sin2 φ. (1.40)
Jumlah dari kedua persamaan terakhir menghasilkan
p2 + p2 − 2 pp cos θ = p2e. (1.41)
Dengan mengingat hubungan antara momentum dengan frekuensi, persamaan terakhirdapat ditulis menjadi
p2e =
hf
c
2
+
hf
c
2
−2h2f f
c2cos θ. (1.42)
Di lain pihak, elektron memenuhi persamaan energi relativistik,
E 2e = ( pec)2 +
mec22
. (1.43)
Substitusi persamaan (1.38) dan (1.42) ke persamaan terakhir, menghasilkan
hf − hf + mec2
2=
hf
c
2
+
hf
c
2
−2h2ff
c2cos θ.
2+
mec22
(1.44)
Setelah disederhanakan, persamaan tersebut menghasilkan
−f mec2 + f mec2 = hf f − hf f cos θ
⇔ mec2 c
λ−
c
λ
=
hc2
λλ(1 − cos θ)
⇔ λ − λ =h
mec
(1 − cos θ) , (1.45)
yang menyatakan hubungan antara panjang gelombang foton terhambur (λ) dan suduthamburannya (θ) dengan panjang gelombang foton datang (λ) dan massa diam elektron(me). Persamaan tersebut telah sesuai dengan hasil percobaan.
1.4 Model Atom
1.4.1 Sejarah Teori Atom
Cerita tentang model atom dari model Democritus, Dalton, Thomson, Rutherford. Laluberi pengantar tentang model Bohr.
8/6/2019 gejalakuantum20101018
http://slidepdf.com/reader/full/gejalakuantum20101018 13/13
BAB 1. GEJALA KUANTUM 10
1.4.2 Model Atom Bohr
Menurut postulat Bohr, elektron dalam atom hidrogen mengelilingi inti atom (proton)pada orbit stasioner berbentuk lingkaran (misal dengan jejari a). Pada orbit elektron,gaya Coulumb berperan sebagai gaya sentripetal, sehingga berlaku
14πε0
Ze2
a2= mv2
a⇒ mv2 = 1
4πε0
Ze2
a. (1.46)
Sehingga energi kinetik elektron adalah
K =1
2mv2 =
1
8πε0
Ze2
a. (1.47)
Postulat Bohr: keadaan stasioner sistem dikarakterisasi oleh momentum sudut
pφ = mva = n, n = 1, 2, 3, . . . . (1.48)
Berdasarkan postulat tersebut, diperoleh v = nma . Substitusi nilai v tersebut ke persama-
an gaya sentripetal menghasilkan
a =4πε2
mZe2n2 ≈ 0, 528n2 A. (1.49)
Lalu, diperoleh energi total elektron
E = K + V
=1
2mv2 −
1
4πε0
Ze2
a
= −1
8πε0
Ze2
a
=13, 6
n2eV. (1.50)