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DISTRIBUCIÓN GAMMA
DANIEL AGUILERA
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DEFINICIÓN
Una variable aleatoria x tiene una distribución Gamma si su densidad de probabilidad esta dada por:
0k0,,x0 )(
)( 1
kxexk
xF
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DEFINICIÓN
Esta distribución continua depende de dos parámetros
parámetro que varia la forma de la distribución
k parámetro que varia la escala de la distribución
Parámetros en R
A continuación veremos una breve explicación de la función gamma que interviene en la definición de la distribución gamma
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DEFINICIÓN
Función Gamma o Función factorial o Integral Euleriana de
Segunda especieEs una función que extiende el concepto
de factorial a los números complejos.
Si k es un numero entero positivo entonces)!1()(
0
1 0 x0 )( kdxex xk
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Demostración vamos a integrar por partes
y sucesivamente () = ( -1)( -2)( -3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa.
( +1) = () (5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1
0
2 )1()1()1()( dxex x
DEFINICIÓN
x-2
-x1
-e v )1(
edv
dxxdu
dxxu
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CASOS PARTICULARES DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
Distribución exponencial caso particular cuando =1 y sabiendo que (1)=1
kx
kx
kx
kx
keXF
exk
XF
exk
XF
exk
XF
)(
1)(
)1()(
)()(
0
111
1
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MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
= E[X] = , 2 = V[X] = 2
PROPIEDADES
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El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina
para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución
Gamma con parámetros =3, =2
a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas
EJEMPLO
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22
2133
1
16
1
)3(2
1
)(
1)(
x
x
x
ex
ex
exXF
SoluciónSea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)Su densidad de probabilidad es:
EJEMPLO
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Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas
El área Resaltada corresponde a P(x>8)
2381.016
11)8(1
8
0
22 dxexxPx
EJEMPLO