万有引力

惑星（planet）の運動

ケプラーの法則

万有引力

中心力の下での運動

「角運動量の時間的変化率は力のモーメントに等しい」

𝑑𝑳

𝑑𝑡= 𝑵 = 𝒓 × 𝑭

中心力では、力 F が座標 r と（反）平行。

力のモーメント 𝑵 = 𝒓 × 𝑭 = 0 𝑑𝑳

𝑑𝑡= 0

中心力を受けている運動では、角運動量は変化しない。保存する。（面積速度一定）

万有引力（universal gravitational law）

惑星（planet) cf. 恒星

ティコ・ブラーエによる 惑星の位置の観測データー

ヨハネス・ケプラーの解析

ケプラーの３法則

空の放浪者

ケプラーの第一法則

すべての惑星は太陽を一方の焦点とする楕円軌道を運動する。

ケプラーの第二法則（面積速度一定）

太陽と惑星を結ぶ線分は、同じ時間には同じ広さの面積を通り過ぎる。

ケプラーの第三法則

惑星の周期 T の２乗は、

軌道の長径 R の３乗に比例する。 𝑇2~𝑅3

角運動量保存 中心力

万有引力の法則

ケプラーは法則がなぜ成り立つかは解らなかった。

ニュートンが導入した万有引力はこれらの法則を説明する。

「２つの物体の間には、その質量の積に比例し、距離の２乗に反比例する引力が働く」

𝐹 = −𝐺𝑚𝑀

𝑟2

万有引力のもとでの物体の運動

E > 0 双曲線軌道

E = 0 放物線軌道

E < 0 楕円軌道 （ケプラーの第１法則）

地上の力 と 天上の力

そして同じ年私は重力について考えはじめ、月の軌道にまでひろげました。 ケプラーの法

則から惑星をその軌道に保っている力は、それが回っている中心からの距離の逆自乗に比例しなければならないことを結論しました。それで月が軌道を保つに必要な力と地球表面上の重力とを比べてみたのです。そうするとそれらは見事に一致することがわかりました。

Newton の 1666 年の講演

地球半径の約 60 倍離れた月の位置

では、地球のおよぼす重力加速度は

地表での g の 1

60

2

地上で、初速度 0 で落下する物体は

1 秒間に 1

2𝑔𝑡2 = 4.9 m 落ちる。

4.9 ×1

(60)2 = 0.0014 m = 1.4 [mm]

月は 1 秒間に 1.4 mm 落ちる。

地球の周りを回転する。

逆２乗則

re

60𝑟𝑒

地球

月

静止人工衛星

地球の周りを１日で１周する人工衛星は、地球半径の何倍の高さの位置を回るか？ 5.53𝑟𝑒

周期 T したがって角速度 𝜔 =2𝜋

𝑇 の半径 𝑟 の等速

円運動をする質量 m の物体にはたらく力は 𝑚𝑟𝜔2

この力が地球との万有引力であれば

𝑚𝑟2𝜋

𝑇

2= 𝐺

𝑚𝑀𝑒

𝑟2 =𝑔𝑟𝑒

2

𝑀𝑒

𝑚𝑀𝑒

𝑟2 =𝑚𝑔𝑟𝑒

2

𝑟2

𝑟3 =𝑔𝑇2𝑟𝑒

2

4𝜋2=

𝑔𝑇2

4𝜋2𝑟𝑒𝑟𝑒

3

𝑟 =𝑔𝑇2

4𝜋2𝑟𝑒

1/3

× 𝑟𝑒 = 6.63𝑟𝑒 re

地球

r