いろいろな次元の球

東京大学 大学院 数理科学研究科　金井雅彦

２０１８年３月１１日

ー　次元が変わるとなにかが変わる　ー

第７回「数学の魅力」

数学界におけるこの四半世紀の重大ニュースフェルマーの「最終定理」(1630頃)， ワイルズにより証明される (1994)．

サーストンの幾何学化予想 (1982) をペレルマンが肯定的に解決 (2003)．その系として，ポアンカレ予想 (1904) が従う．

ケプラー予想 (1600頃) をヘイルズが肯定的に解決 (1998)．

xn + yn = zn (n � 3)

ケプラー予想とは？

1611年，ケプラー『六角形の雪に ついて』を記す．

16世紀末，ハリオットが問題提起

ハリオット

トーマス・ハリオット 1560年頃 - 1621年

ヨハネス・ケプラー 1571年 - 1630年

これより密にボールを積む方法はないだろう．最密充填問題・パッキング問題

脱線：ハリオットの定理復習：平面においては

�

↵

�

↵+ � + � = ⇡

単位

球面３角形＝３つの大円で囲まれた図形大円の例：赤道・経線

(↵+ � + �)� ⇡ = A

球面では？

球面３角形の面積

半径の長さが１の

↵+ � + � > ⇡

= 180�<latexit sha1_base64="icYl+/8ML84GjrJOV5jk/7lsLZA=">AAAB8HicbZDLSsNAFIZPvNZ6q7p0M1gEVyURoe1CLLhxWcXYYhvLZDpph04mYWYilNC3cONCxa1P4MqHcOfbOE2KePth4OM/53DO/H7MmdK2/WHNzS8sLi0XVoqra+sbm6Wt7SsVJZJQl0Q8km0fK8qZoK5mmtN2LCkOfU5b/uh0Wm/dUqlYJC71OKZeiAeCBYxgbazrY6dm33QJk6RXKtsVOxP6C84Myidvrxdg1OyV3rv9iCQhFZpwrFTHsWPtpVhqRjidFLuJojEmIzygHYMCh1R5aXbxBO0bp4+CSJonNMrc7xMpDpUah77pDLEeqt+1qflfrZPooOalTMSJpoLki4KEIx2h6fdRn0lKNB8bwEQycysiQywx0SakYhZCPRPKoXo0g7rzFYJ7WKlX7HO73KhBrgLswh4cgANVaMAZNMEFAgLu4AEeLWXdW0/Wc946Z81mduCHrJdPwDiSaw==</latexit><latexit sha1_base64="SeB4uv7UXJH20Yxi+pXLfQaen7c=">AAAB8HicbZDLSgMxFIYzXmu9VV0KEiyCq5IRoe1CLLhx2YJji+1YMmmmDc1khiQjlKFL38CNCxW3PkFXPoQ7n8GXMJ0p4u2HwMd/zuGc/F7EmdIIvVtz8wuLS8u5lfzq2vrGZmFr+1KFsSTUISEPZcvDinImqKOZ5rQVSYoDj9OmNzyb1ps3VCoWigs9iqgb4L5gPiNYG+vqxK6g6w5hknQLRVRCqeBfsGdQPH2dND5u9yb1buGt0wtJHFChCcdKtW0UaTfBUjPC6TjfiRWNMBniPm0bFDigyk3Si8fwwDg96IfSPKFh6n6fSHCg1CjwTGeA9UD9rk3N/2rtWPsVN2EiijUVJFvkxxzqEE6/D3tMUqL5yAAmkplbIRlgiYk2IeXTEKqpYAbl4xlU7a8QnKNStYQaqFirgEw5sAv2wSGwQRnUwDmoAwcQIMAdeACPlrLurSfrOWuds2YzO+CHrJdPx+6UsA==</latexit><latexit sha1_base64="SeB4uv7UXJH20Yxi+pXLfQaen7c=">AAAB8HicbZDLSgMxFIYzXmu9VV0KEiyCq5IRoe1CLLhx2YJji+1YMmmmDc1khiQjlKFL38CNCxW3PkFXPoQ7n8GXMJ0p4u2HwMd/zuGc/F7EmdIIvVtz8wuLS8u5lfzq2vrGZmFr+1KFsSTUISEPZcvDinImqKOZ5rQVSYoDj9OmNzyb1ps3VCoWigs9iqgb4L5gPiNYG+vqxK6g6w5hknQLRVRCqeBfsGdQPH2dND5u9yb1buGt0wtJHFChCcdKtW0UaTfBUjPC6TjfiRWNMBniPm0bFDigyk3Si8fwwDg96IfSPKFh6n6fSHCg1CjwTGeA9UD9rk3N/2rtWPsVN2EiijUVJFvkxxzqEE6/D3tMUqL5yAAmkplbIRlgiYk2IeXTEKqpYAbl4xlU7a8QnKNStYQaqFirgEw5sAv2wSGwQRnUwDmoAwcQIMAdeACPlrLurSfrOWuds2YzO+CHrJdPx+6UsA==</latexit><latexit sha1_base64="SeB4uv7UXJH20Yxi+pXLfQaen7c=">AAAB8HicbZDLSgMxFIYzXmu9VV0KEiyCq5IRoe1CLLhx2YJji+1YMmmmDc1khiQjlKFL38CNCxW3PkFXPoQ7n8GXMJ0p4u2HwMd/zuGc/F7EmdIIvVtz8wuLS8u5lfzq2vrGZmFr+1KFsSTUISEPZcvDinImqKOZ5rQVSYoDj9OmNzyb1ps3VCoWigs9iqgb4L5gPiNYG+vqxK6g6w5hknQLRVRCqeBfsGdQPH2dND5u9yb1buGt0wtJHFChCcdKtW0UaTfBUjPC6TjfiRWNMBniPm0bFDigyk3Si8fwwDg96IfSPKFh6n6fSHCg1CjwTGeA9UD9rk3N/2rtWPsVN2EiijUVJFvkxxzqEE6/D3tMUqL5yAAmkplbIRlgiYk2IeXTEKqpYAbl4xlU7a8QnKNStYQaqFirgEw5sAv2wSGwQRnUwDmoAwcQIMAdeACPlrLurSfrOWuds2YzO+CHrJdPx+6UsA==</latexit><latexit sha1_base64="SeB4uv7UXJH20Yxi+pXLfQaen7c=">AAAB8HicbZDLSgMxFIYzXmu9VV0KEiyCq5IRoe1CLLhx2YJji+1YMmmmDc1khiQjlKFL38CNCxW3PkFXPoQ7n8GXMJ0p4u2HwMd/zuGc/F7EmdIIvVtz8wuLS8u5lfzq2vrGZmFr+1KFsSTUISEPZcvDinImqKOZ5rQVSYoDj9OmNzyb1ps3VCoWigs9iqgb4L5gPiNYG+vqxK6g6w5hknQLRVRCqeBfsGdQPH2dND5u9yb1buGt0wtJHFChCcdKtW0UaTfBUjPC6TjfiRWNMBniPm0bFDigyk3Si8fwwDg96IfSPKFh6n6fSHCg1CjwTGeA9UD9rk3N/2rtWPsVN2EiijUVJFvkxxzqEE6/D3tMUqL5yAAmkplbIRlgiYk2IeXTEKqpYAbl4xlU7a8QnKNStYQaqFirgEw5sAv2wSGwQRnUwDmoAwcQIMAdeACPlrLurSfrOWuds2YzO+CHrJdPx+6UsA==</latexit>

円周率（パイ）= 3.14 · · ·

<latexit sha1_base64="Zmsxte0nl0YxfWtv2AIeoTxZLCI=">AAAB8XicbZDLSgMxFIbP1Futt6pLN8EiuCozWmi7EAtuXFZxrNCWkknTNjQzGZIzQil9DDcuVNz6Aq58CHe+jem0iLcfAh//OYdz8gexFAZd98PJLCwuLa9kV3Nr6xubW/ntnWujEs24z5RU+iaghksRcR8FSn4Ta07DQPJGMDyb1hu3XBuhoiscxbwd0n4keoJRtFbz5LjolVqsq9B08gW36KYif8GbQ+H07fUSrOqd/Hurq1gS8giZpMY0PTfG9phqFEzySa6VGB5TNqR93rQY0ZCb9jg9eUIOrNMlPaXti5Ck7veJMQ2NGYWB7QwpDszv2tT8r9ZMsFdpj0UUJ8gjNlvUSyRBRab/J12hOUM5skCZFvZWwgZUU4Y2pVwaQjUVmUG5NIeq9xWCf1SsFr0Lt1CrwExZ2IN9OAQPylCDc6iDDwwU3MEDPDro3DtPzvOsNePMZ3bhh5yXT1jpksE=</latexit><latexit sha1_base64="Itpz8U9X9ZcYCxbhyy2fxsdTMHc=">AAAB8XicbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyXRQtuFWHDjsgVjC2kok+m0HTrJhJkToYQufQQ3LlTc+gJd+RDufAZfwjQp4u2HgY//nMM583uh4BpM891YWFxaXlnNreXXNza3tgs7u9daRooym0ohVdsjmgkeMBs4CNYOFSO+J1jLG13M6q0bpjSXwRWMQ+b6ZBDwPqcEEss5Oy1Z5Q7tSdDdQtEsmanwX7DmUDx/nTY/bg+mjW7hrdOTNPJZAFQQrR3LDMGNiQJOBZvkO5FmIaEjMmBOggHxmXbj9OQJPkqcHu5LlbwAcOp+n4iJr/XY95JOn8BQ/67NzP9qTgT9qhvzIIyABTRb1I8EBoln/8c9rhgFMU6AUMWTWzEdEkUoJCnl0xBqqXAGlfIcatZXCPZJqVaymmaxXkWZcmgfHaJjZKEKqqNL1EA2okiiO/SAHg0w7o0n4zlrXTDmM3voh4yXT2CflQY=</latexit><latexit sha1_base64="Itpz8U9X9ZcYCxbhyy2fxsdTMHc=">AAAB8XicbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyXRQtuFWHDjsgVjC2kok+m0HTrJhJkToYQufQQ3LlTc+gJd+RDufAZfwjQp4u2HgY//nMM583uh4BpM891YWFxaXlnNreXXNza3tgs7u9daRooym0ohVdsjmgkeMBs4CNYOFSO+J1jLG13M6q0bpjSXwRWMQ+b6ZBDwPqcEEss5Oy1Z5Q7tSdDdQtEsmanwX7DmUDx/nTY/bg+mjW7hrdOTNPJZAFQQrR3LDMGNiQJOBZvkO5FmIaEjMmBOggHxmXbj9OQJPkqcHu5LlbwAcOp+n4iJr/XY95JOn8BQ/67NzP9qTgT9qhvzIIyABTRb1I8EBoln/8c9rhgFMU6AUMWTWzEdEkUoJCnl0xBqqXAGlfIcatZXCPZJqVaymmaxXkWZcmgfHaJjZKEKqqNL1EA2okiiO/SAHg0w7o0n4zlrXTDmM3voh4yXT2CflQY=</latexit><latexit sha1_base64="Itpz8U9X9ZcYCxbhyy2fxsdTMHc=">AAAB8XicbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyXRQtuFWHDjsgVjC2kok+m0HTrJhJkToYQufQQ3LlTc+gJd+RDufAZfwjQp4u2HgY//nMM583uh4BpM891YWFxaXlnNreXXNza3tgs7u9daRooym0ohVdsjmgkeMBs4CNYOFSO+J1jLG13M6q0bpjSXwRWMQ+b6ZBDwPqcEEss5Oy1Z5Q7tSdDdQtEsmanwX7DmUDx/nTY/bg+mjW7hrdOTNPJZAFQQrR3LDMGNiQJOBZvkO5FmIaEjMmBOggHxmXbj9OQJPkqcHu5LlbwAcOp+n4iJr/XY95JOn8BQ/67NzP9qTgT9qhvzIIyABTRb1I8EBoln/8c9rhgFMU6AUMWTWzEdEkUoJCnl0xBqqXAGlfIcatZXCPZJqVaymmaxXkWZcmgfHaJjZKEKqqNL1EA2okiiO/SAHg0w7o0n4zlrXTDmM3voh4yXT2CflQY=</latexit><latexit sha1_base64="Itpz8U9X9ZcYCxbhyy2fxsdTMHc=">AAAB8XicbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyXRQtuFWHDjsgVjC2kok+m0HTrJhJkToYQufQQ3LlTc+gJd+RDufAZfwjQp4u2HgY//nMM583uh4BpM891YWFxaXlnNreXXNza3tgs7u9daRooym0ohVdsjmgkeMBs4CNYOFSO+J1jLG13M6q0bpjSXwRWMQ+b6ZBDwPqcEEss5Oy1Z5Q7tSdDdQtEsmanwX7DmUDx/nTY/bg+mjW7hrdOTNPJZAFQQrR3LDMGNiQJOBZvkO5FmIaEjMmBOggHxmXbj9OQJPkqcHu5LlbwAcOp+n4iJr/XY95JOn8BQ/67NzP9qTgT9qhvzIIyABTRb1I8EBoln/8c9rhgFMU6AUMWTWzEdEkUoJCnl0xBqqXAGlfIcatZXCPZJqVaymmaxXkWZcmgfHaJjZKEKqqNL1EA2okiiO/SAHg0w7o0n4zlrXTDmM3voh4yXT2CflQY=</latexit><latexit sha1_base64="4T9bbX6q19V5eCeyenFmgWK4ALg=">AAAB8XicbZDLSsNAFIYn9VbrrerSzWARXIVEC20XQsGNywrGCm0ok8mkHTrJhJkToYQ+hhsXKm59G3e+jdM0iLcfBj7+cw7nzB+kgmtwnA+rsrK6tr5R3axtbe/s7tX3D261zBRlHpVCqruAaCZ4wjzgINhdqhiJA8H6wfRyUe/fM6W5TG5gljI/JuOER5wSMNbg4tx2m0MaStCjesOxnUL4L7glNFCp3qj+PgwlzWKWABVE64HrpODnRAGngs1rw0yzlNApGbOBwYTETPt5cfIcnxgnxJFU5iWAC/f7RE5irWdxYDpjAhP9u7Yw/6sNMojafs6TNAOW0OWiKBMYJF78H4dcMQpiZoBQxc2tmE6IIhRMSrUihE4hvIRWs4SO+xWCd2Z3bPfaaXTbZRpVdISO0SlyUQt10RXqIQ9RJNEDekLPFliP1ov1umytWOXMIfoh6+0TnGOQug==</latexit>

証明 ２角形の場合（準備として）

（花型の面積）= 2↵+ 2� + 2� � 2A= 2(↵+ � + � �A)

A = ⇥ ↵

2⇡（球面の面積）

= 4⇡

花型

３角形の場合

αα

A

↵

� �A

↵

� �A

= 2↵

（花型の面積） = 2(↵+ � + � �A)

（球面の面積）⇥1

2= = 2⇡

↵+ � + � �A = ⇡ゆえに（証明終わり）

ー ＝

　　　　　　　　空間内に半径１のボールが（互いに重なりなく）配置されているとする． 1数学的定式化

同じ空間内に1辺の長さが L の立方体をとる．その中に「入っている」ボールの体積の総和を V(L) とする．すると，その立方体の中のボールの密度は，d(L)=V(L)/L3 である．

ハリオット予想：　d ≦ d0

1

L

1

L

V (L)

ハリオット予想：これより密にボールを 積む方法はない．

L → ∞　のときの d(L)の極限 d を充填率と呼ぶ．とくに「キャノンボール充填」の充填率を d0 とする．

ハリオット予想，解決の前後ジョン・ミルナーの苛立ち（ 1970年代？）：「正しい答えと見られるものがガウスの時代から知られていることを思えば，これは実に恥ずべき状況だ」「欠けているのは証明だけである」

トーマス・ヘイルズ（1998年）：ケプラー予想の解決を宣言 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（一部はファーガソンによる）ガボル・フェイエッシュ・トートなどの査読者たち：「（へイルズの証明に対し）それが正しいことは99パーセントまで確信できたが，完全なる確信には到達できなかった」

イアン・スチュアート：「フェルマーの最終定理に対するワイルズの証明は『戦争と平和』のようなものであり，ハリオット予想に対するヘイルズの証明は電話帳のようなものである」

トーマス・ヘイルズ他（2014年）：証明支援プログラムを用いた証明が完成する．

キッシング問題ひとつのボール（これを中心球と呼ぼう）に最大何個のボールが（互いに重なることなく）接触できるか？

中心球

第１層

第２層

第３層

12個か，それとも13個か？ （ニュートン ＝ グレゴリー論争；1694年）

（キッシング数）＝１２，それとも１３？

12個接触させることは容易

1954年：シュッテ - ファン・デル・ヴェルデン 　　　　（3次元キッシング数）＝ 121956年：リーチ，キッシング定理の 　　　　 別証明を与える

キッシング問題の解決

球面グラフ

（頂点の個数）ー（辺の個数）＋（面の個数）＝２オイラーの公式

難しさの比較： （ハリオット予想）>（キッシング問題）

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の間の距離が 1<latexit sha1_base64="g7SPPQufAE7E2T4QizD8fEWKMHs=">AAAB53icbZDLSsNAFIZP6q3WW9Wlm8EiuCqJCG1XFty4bMXYQhvKZDppx04mYWYilNAncONCxa1v4cqHcOfbOE2KePth4OM/53DO/H7MmdK2/WEVlpZXVteK66WNza3tnfLu3rWKEkmoSyIeya6PFeVMUFczzWk3lhSHPqcdf3I+r3duqVQsEld6GlMvxCPBAkawNlbbGZQrdtXOhP6Cs4DK2dvrJRi1BuX3/jAiSUiFJhwr1XPsWHsplpoRTmelfqJojMkEj2jPoMAhVV6aHTpDR8YZoiCS5gmNMvf7RIpDpaahbzpDrMfqd21u/lfrJTqoeykTcaKpIPmiIOFIR2j+azRkkhLNpwYwkczcisgYS0y0yaaUhdDIhHKonS6g4XyF4J5UG1WnbVeadchVhAM4hGNwoAZNuIAWuECAwh08wKN1Y91bT9Zz3lqwFjP78EPWyyfe5Y8S</latexit><latexit sha1_base64="92mg3cGkh3oLZKOSFQt/Hff2Iew=">AAAB53icbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyURoe3KghuXLRhbaEuZTE/asZNJmJkIJXTpyo0LFbe+RVc+hDufwZdwmhTx9sPAx3/O4Zz5vYgzpW373VpYXFpeWc2t5dc3Nre2Czu7VyqMJQWXhjyULY8o4EyAq5nm0IokkMDj0PRG57N68wakYqG41OMIugEZCOYzSrSxGk6vULRLdir8F5w5FM9ep42P24NpvVd46/RDGgcgNOVEqbZjR7qbEKkZ5TDJd2IFEaEjMoC2QUECUN0kPXSCj4zTx34ozRMap+73iYQESo0Dz3QGRA/V79rM/K/WjrVf6SZMRLEGQbNFfsyxDvHs17jPJFDNxwYIlczciumQSEK1ySafhlBNhTMon86h6nyF4J6UqiWnYRdrFZQph/bRITpGDiqjGrpAdeQiigDdoQf0aF1b99aT9Zy1LljzmT30Q9bLJ+abkVc=</latexit><latexit sha1_base64="92mg3cGkh3oLZKOSFQt/Hff2Iew=">AAAB53icbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyURoe3KghuXLRhbaEuZTE/asZNJmJkIJXTpyo0LFbe+RVc+hDufwZdwmhTx9sPAx3/O4Zz5vYgzpW373VpYXFpeWc2t5dc3Nre2Czu7VyqMJQWXhjyULY8o4EyAq5nm0IokkMDj0PRG57N68wakYqG41OMIugEZCOYzSrSxGk6vULRLdir8F5w5FM9ep42P24NpvVd46/RDGgcgNOVEqbZjR7qbEKkZ5TDJd2IFEaEjMoC2QUECUN0kPXSCj4zTx34ozRMap+73iYQESo0Dz3QGRA/V79rM/K/WjrVf6SZMRLEGQbNFfsyxDvHs17jPJFDNxwYIlczciumQSEK1ySafhlBNhTMon86h6nyF4J6UqiWnYRdrFZQph/bRITpGDiqjGrpAdeQiigDdoQf0aF1b99aT9Zy1LljzmT30Q9bLJ+abkVc=</latexit><latexit sha1_base64="92mg3cGkh3oLZKOSFQt/Hff2Iew=">AAAB53icbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyURoe3KghuXLRhbaEuZTE/asZNJmJkIJXTpyo0LFbe+RVc+hDufwZdwmhTx9sPAx3/O4Zz5vYgzpW373VpYXFpeWc2t5dc3Nre2Czu7VyqMJQWXhjyULY8o4EyAq5nm0IokkMDj0PRG57N68wakYqG41OMIugEZCOYzSrSxGk6vULRLdir8F5w5FM9ep42P24NpvVd46/RDGgcgNOVEqbZjR7qbEKkZ5TDJd2IFEaEjMoC2QUECUN0kPXSCj4zTx34ozRMap+73iYQESo0Dz3QGRA/V79rM/K/WjrVf6SZMRLEGQbNFfsyxDvHs17jPJFDNxwYIlczciumQSEK1ySafhlBNhTMon86h6nyF4J6UqiWnYRdrFZQph/bRITpGDiqjGrpAdeQiigDdoQf0aF1b99aT9Zy1LljzmT30Q9bLJ+abkVc=</latexit><latexit sha1_base64="92mg3cGkh3oLZKOSFQt/Hff2Iew=">AAAB53icbZDLSsNAFIYnXmu9VV0KMlgEVyURoe3KghuXLRhbaEuZTE/asZNJmJkIJXTpyo0LFbe+RVc+hDufwZdwmhTx9sPAx3/O4Zz5vYgzpW373VpYXFpeWc2t5dc3Nre2Czu7VyqMJQWXhjyULY8o4EyAq5nm0IokkMDj0PRG57N68wakYqG41OMIugEZCOYzSrSxGk6vULRLdir8F5w5FM9ep42P24NpvVd46/RDGgcgNOVEqbZjR7qbEKkZ5TDJd2IFEaEjMoC2QUECUN0kPXSCj4zTx34ozRMap+73iYQESo0Dz3QGRA/V79rM/K/WjrVf6SZMRLEGQbNFfsyxDvHs17jPJFDNxwYIlczciumQSEK1ySafhlBNhTMon86h6nyF4J6UqiWnYRdrFZQph/bRITpGDiqjGrpAdeQiigDdoQf0aF1b99aT9Zy1LljzmT30Q9bLJ+abkVc=</latexit><latexit sha1_base64="gGZnM4xZwRvuPc66qTPZRky1IXk=">AAAB53icbZBNS8NAEIYn9avWr6pHL4tF8FQSEdreCl48tmBsoQ1ls520azebsLsRSugv8OJBxat/yZv/xjQN4tcLCw/vzDCzrx8Lro1tf1iltfWNza3ydmVnd2//oHp4dKujRDF0WSQi1fepRsEluoYbgf1YIQ19gT1/drWs9+5RaR7JGzOP0QvpRPKAM2oyq+uMqjW7bucif8EpoAaFOqPq+3AcsSREaZigWg8cOzZeSpXhTOCiMkw0xpTN6AQHGUoaovbS/NAFOcucMQkilT1pSO5+n0hpqPU89LPOkJqp/l1bmv/VBokJml7KZZwYlGy1KEgEMRFZ/pqMuUJmxDwDyhTPbiVsShVlJsumkofQykVW0LgsoOV8heBe1Ft1p2vX2s0ijTKcwCmcgwMNaMM1dMAFBggP8ATP1p31aL1Yr6vWklXMHMMPWW+fIm6NCw==</latexit>

いろいろな次元の球S2 = {(x, y, z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 = 1}

Sn = { : x20 + · · ·+ x2

n = 1}Rn+1(x0, . . . , xn) 2 n次元球面

B3 = {(x, y, z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 1}

２次元球面

３次元球体

Bn+1 = {(x0, . . . , xn) 2 Rn+1 : x20 + · · ·+ xn 1} n+1次元球体

(x, y, z) 2 S2<latexit sha1_base64="JT1nWFsE7pwnSqth0HXqWAN6lj8=">AAACAHicbZBNS0JBFIbP7dPsy2ojtBmSwEDkXgnUndCmpVGmoCZzx1EH5869zMyN9GKb/kqbFhVt+xntgn5M41WirxcGHt5zDufM6wacKW3b79bC4tLyympiLbm+sbm1ndrZvVR+KAmtEZ/7suFiRTkTtKaZ5rQRSIo9l9O6OzyZ1uvXVCrmiws9Cmjbw33BeoxgbaxOKp29yY1y4yPUYgK1PKwHrhudT64KnVTGztux0F9w5pCppMcfYFTtpN5aXZ+EHhWacKxU07ED3Y6w1IxwOkm2QkUDTIa4T5sGBfaoakfxDybo0Dhd1POleUKj2P0+EWFPqZHnms7pjep3bWr+V2uGuldqR0wEoaaCzBb1Qo60j6ZxoC6TlGg+MoCJZOZWRAZYYqJNaMk4hHIsNIPi8RzKzlcItUK+nHfOTBglmCkB+3AAWXCgCBU4hSrUgMAt3MMjPFl31oP1bL3MWhes+cwe/JD1+gmafpfL</latexit><latexit sha1_base64="Tt8iJzYvR3wfMUixj9aTfTA6WHc=">AAACAHicbZBdSwJBFIZn+1T7sroRuhmSwEBkVwL1TuqmS6M2BTWZHUcdnJ1dZmajdTGC/ko3XVTUZT+ju6Af07hK9PXCwMN7zuGceR2fUalM892Ym19YXFpOJFMrq2vrG+nNrXPpBQITG3vMEw0HScIoJ7aiipGGLwhyHUbqzvBoUq9fEiGpx89U6JO2i/qc9ihGSluddCZ3lQ/zo33Yohy2XKQGjhOdji+KnXTWLJix4F+wZpCtZkYfyZuXw1on/dbqejhwCVeYISmblumrdoSEopiRcaoVSOIjPER90tTIkUtkO4p/MIZ72unCnif04wrG7veJCLlShq6jOyc3yt+1iflfrRmoXrkdUe4HinA8XdQLGFQenMQBu1QQrFioAWFB9a0QD5BAWOnQUnEIlVhwCqWDGVSsrxDsYqFSsE50GGUwVQLsgF2QAxYogSo4BjVgAwyuwR14AI/GrXFvPBnP09Y5YzazDX7IeP0Elm2ZSA==</latexit><latexit sha1_base64="Tt8iJzYvR3wfMUixj9aTfTA6WHc=">AAACAHicbZBdSwJBFIZn+1T7sroRuhmSwEBkVwL1TuqmS6M2BTWZHUcdnJ1dZmajdTGC/ko3XVTUZT+ju6Af07hK9PXCwMN7zuGceR2fUalM892Ym19YXFpOJFMrq2vrG+nNrXPpBQITG3vMEw0HScIoJ7aiipGGLwhyHUbqzvBoUq9fEiGpx89U6JO2i/qc9ihGSluddCZ3lQ/zo33Yohy2XKQGjhOdji+KnXTWLJix4F+wZpCtZkYfyZuXw1on/dbqejhwCVeYISmblumrdoSEopiRcaoVSOIjPER90tTIkUtkO4p/MIZ72unCnif04wrG7veJCLlShq6jOyc3yt+1iflfrRmoXrkdUe4HinA8XdQLGFQenMQBu1QQrFioAWFB9a0QD5BAWOnQUnEIlVhwCqWDGVSsrxDsYqFSsE50GGUwVQLsgF2QAxYogSo4BjVgAwyuwR14AI/GrXFvPBnP09Y5YzazDX7IeP0Elm2ZSA==</latexit><latexit sha1_base64="Tt8iJzYvR3wfMUixj9aTfTA6WHc=">AAACAHicbZBdSwJBFIZn+1T7sroRuhmSwEBkVwL1TuqmS6M2BTWZHUcdnJ1dZmajdTGC/ko3XVTUZT+ju6Af07hK9PXCwMN7zuGceR2fUalM892Ym19YXFpOJFMrq2vrG+nNrXPpBQITG3vMEw0HScIoJ7aiipGGLwhyHUbqzvBoUq9fEiGpx89U6JO2i/qc9ihGSluddCZ3lQ/zo33Yohy2XKQGjhOdji+KnXTWLJix4F+wZpCtZkYfyZuXw1on/dbqejhwCVeYISmblumrdoSEopiRcaoVSOIjPER90tTIkUtkO4p/MIZ72unCnif04wrG7veJCLlShq6jOyc3yt+1iflfrRmoXrkdUe4HinA8XdQLGFQenMQBu1QQrFioAWFB9a0QD5BAWOnQUnEIlVhwCqWDGVSsrxDsYqFSsE50GGUwVQLsgF2QAxYogSo4BjVgAwyuwR14AI/GrXFvPBnP09Y5YzazDX7IeP0Elm2ZSA==</latexit><latexit sha1_base64="Tt8iJzYvR3wfMUixj9aTfTA6WHc=">AAACAHicbZBdSwJBFIZn+1T7sroRuhmSwEBkVwL1TuqmS6M2BTWZHUcdnJ1dZmajdTGC/ko3XVTUZT+ju6Af07hK9PXCwMN7zuGceR2fUalM892Ym19YXFpOJFMrq2vrG+nNrXPpBQITG3vMEw0HScIoJ7aiipGGLwhyHUbqzvBoUq9fEiGpx89U6JO2i/qc9ihGSluddCZ3lQ/zo33Yohy2XKQGjhOdji+KnXTWLJix4F+wZpCtZkYfyZuXw1on/dbqejhwCVeYISmblumrdoSEopiRcaoVSOIjPER90tTIkUtkO4p/MIZ72unCnif04wrG7veJCLlShq6jOyc3yt+1iflfrRmoXrkdUe4HinA8XdQLGFQenMQBu1QQrFioAWFB9a0QD5BAWOnQUnEIlVhwCqWDGVSsrxDsYqFSsE50GGUwVQLsgF2QAxYogSo4BjVgAwyuwR14AI/GrXFvPBnP09Y5YzazDX7IeP0Elm2ZSA==</latexit><latexit sha1_base64="qQlVfnb1Bm4wW02+T8IdrOXmrgg=">AAACAHicbZDLSsNAFIYn9VbrLepGcDNYhAqlJEVouyu4cVnR2EIby2Q6aYdOJmFmIsZQN76KGxcqbn0Md76NSRrE2w8DH/85h3PmdwJGpTKMD62wsLi0vFJcLa2tb2xu6ds7l9IPBSYW9pkveg6ShFFOLEUVI71AEOQ5jHSd6Ula714TIanPL1QUENtDY05dipFKrKG+V7mpRtXbIzigHA48pCaOE5/PrupDvWzUjEzwL5g5lEGuzlB/H4x8HHqEK8yQlH3TCJQdI6EoZmRWGoSSBAhP0Zj0E+TII9KOsx/M4GHijKDri+RxBTP3+0SMPCkjz0k60xvl71pq/lfrh8pt2jHlQagIx/NFbsig8mEaBxxRQbBiUQIIC5rcCvEECYRVElopC6GVCc6hcZxDy/wKwarXWjXzzCi3m3kaRbAPDkAFmKAB2uAUdIAFMLgDD+AJPGv32qP2or3OWwtaPrMLfkh7+wRXJpYd</latexit>

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B3

O<latexit sha1_base64="VAnnaR6lwZfi2BL3m1/j3ra1tWE=">AAAB8HicbVDLSsNAFL2prxpfVZduBovgqiQi1C7Eoht3VjC22IYymU7aoZNJmJkIJRT8CDcuVNz6I+7d+TfmUcTXgYHDOfdyzxwv4kxpy/owSnPzC4tL5WVzZXVtfaOyuXWtwlgS6pCQh7LjYUU5E9TRTHPaiSTFgcdp2xufZX77lkrFQnGlJxF1AzwUzGcE61S66QVYj2SQXEz7lapVs3Kgv8SekerJm3l8BwCtfuW9NwhJHFChCcdKdW0r0m6CpWaE06nZixWNMBnjIe2mVOCAKjfJE0/RXqoMkB/K9AmNcvX7RoIDpSaBl05mCdVvLxP/87qx9o/chIko1lSQ4pAfc6RDlH0fDZikRPNJSjCRLM2KyAhLTHRakpmX0MiBClI/nJGG/VWCc1Br1OxLq9o8hQJl2IFd2Acb6tCEc2iBAwQE3MMjPBnKeDCejZditGTMdrbhB4zXT/ZXkzc=</latexit><latexit sha1_base64="m+Sdf9pzMV2Ju76v7wbwTR/V/5k=">AAAB8HicbVDLSgMxFM34rOOr6tJNsAiuyowItQux6MadFRxbbIeSSTNtaJIZkoxQhv6FGxcq4s4fce9G/BszM0V8HQgczrmXe3KCmFGlHefDmpmdm19YLC3Zyyura+vljc0rFSUSEw9HLJLtACnCqCCeppqRdiwJ4gEjrWB0mvmtGyIVjcSlHsfE52ggaEgx0ka67nKkh5Kn55NeueJUnRzwL3GnpHL8ah/Fz+92s1d+6/YjnHAiNGZIqY7rxNpPkdQUMzKxu4kiMcIjNCAdQwXiRPlpnngCd43Sh2EkzRMa5ur3jRRxpcY8MJNZQvXby8T/vE6iw0M/pSJONBG4OBQmDOoIZt+HfSoJ1mxsCMKSmqwQD5FEWJuS7LyEeg5YkNrBlNTdrxK8/Wq96l44lcYJKFAC22AH7AEX1EADnIEm8AAGAtyCe/BgKevOerSeitEZa7qzBX7AevkE5nKUqw==</latexit><latexit sha1_base64="m+Sdf9pzMV2Ju76v7wbwTR/V/5k=">AAAB8HicbVDLSgMxFM34rOOr6tJNsAiuyowItQux6MadFRxbbIeSSTNtaJIZkoxQhv6FGxcq4s4fce9G/BszM0V8HQgczrmXe3KCmFGlHefDmpmdm19YLC3Zyyura+vljc0rFSUSEw9HLJLtACnCqCCeppqRdiwJ4gEjrWB0mvmtGyIVjcSlHsfE52ggaEgx0ka67nKkh5Kn55NeueJUnRzwL3GnpHL8ah/Fz+92s1d+6/YjnHAiNGZIqY7rxNpPkdQUMzKxu4kiMcIjNCAdQwXiRPlpnngCd43Sh2EkzRMa5ur3jRRxpcY8MJNZQvXby8T/vE6iw0M/pSJONBG4OBQmDOoIZt+HfSoJ1mxsCMKSmqwQD5FEWJuS7LyEeg5YkNrBlNTdrxK8/Wq96l44lcYJKFAC22AH7AEX1EADnIEm8AAGAtyCe/BgKevOerSeitEZa7qzBX7AevkE5nKUqw==</latexit><latexit sha1_base64="m+Sdf9pzMV2Ju76v7wbwTR/V/5k=">AAAB8HicbVDLSgMxFM34rOOr6tJNsAiuyowItQux6MadFRxbbIeSSTNtaJIZkoxQhv6FGxcq4s4fce9G/BszM0V8HQgczrmXe3KCmFGlHefDmpmdm19YLC3Zyyura+vljc0rFSUSEw9HLJLtACnCqCCeppqRdiwJ4gEjrWB0mvmtGyIVjcSlHsfE52ggaEgx0ka67nKkh5Kn55NeueJUnRzwL3GnpHL8ah/Fz+92s1d+6/YjnHAiNGZIqY7rxNpPkdQUMzKxu4kiMcIjNCAdQwXiRPlpnngCd43Sh2EkzRMa5ur3jRRxpcY8MJNZQvXby8T/vE6iw0M/pSJONBG4OBQmDOoIZt+HfSoJ1mxsCMKSmqwQD5FEWJuS7LyEeg5YkNrBlNTdrxK8/Wq96l44lcYJKFAC22AH7AEX1EADnIEm8AAGAtyCe/BgKevOerSeitEZa7qzBX7AevkE5nKUqw==</latexit><latexit sha1_base64="m+Sdf9pzMV2Ju76v7wbwTR/V/5k=">AAAB8HicbVDLSgMxFM34rOOr6tJNsAiuyowItQux6MadFRxbbIeSSTNtaJIZkoxQhv6FGxcq4s4fce9G/BszM0V8HQgczrmXe3KCmFGlHefDmpmdm19YLC3Zyyura+vljc0rFSUSEw9HLJLtACnCqCCeppqRdiwJ4gEjrWB0mvmtGyIVjcSlHsfE52ggaEgx0ka67nKkh5Kn55NeueJUnRzwL3GnpHL8ah/Fz+92s1d+6/YjnHAiNGZIqY7rxNpPkdQUMzKxu4kiMcIjNCAdQwXiRPlpnngCd43Sh2EkzRMa5ur3jRRxpcY8MJNZQvXby8T/vE6iw0M/pSJONBG4OBQmDOoIZt+HfSoJ1mxsCMKSmqwQD5FEWJuS7LyEeg5YkNrBlNTdrxK8/Wq96l44lcYJKFAC22AH7AEX1EADnIEm8AAGAtyCe/BgKevOerSeitEZa7qzBX7AevkE5nKUqw==</latexit><latexit sha1_base64="YiRccKoGk0ao/MFtlI+VpyvjzrQ=">AAAB8HicbVDLSgMxFL1TX7W+qi7dBIvgqsyIULsrunFnBccW26Fk0rQNTTJDkhHK0L9w40LFrZ/jzr8xMx3E14HA4Zx7uScnjDnTxnU/nNLS8srqWnm9srG5tb1T3d271VGiCPVJxCPVDbGmnEnqG2Y47caKYhFy2gmnF5nfuadKs0jemFlMA4HHko0YwcZKd32BzUSJ9Go+qNbcupsD/SVeQWpQoD2ovveHEUkElYZwrHXPc2MTpFgZRjidV/qJpjEmUzymPUslFlQHaZ54jo6sMkSjSNknDcrV7xspFlrPRGgns4T6t5eJ/3m9xIzOgpTJODFUksWhUcKRiVD2fTRkihLDZ5ZgopjNisgEK0yMLamSl9DMgRakcVqQpvdVgn9Sb9a9a7fWOi/aKMMBHMIxeNCAFlxCG3wgIOEBnuDZ0c6j8+K8LkZLTrGzDz/gvH0CiOyRag==</latexit>

S1x

y

Sn = { : x20 + · · ·+ x2

n = 1}Rn+1(x0, . . . , xn) 2 n次元球面

Bn+1 = {(x0, . . . , xn) 2 Rn+1 : x20 + · · ·+ xn 1} n+1次元球体

B2 = {(x, y) 2 R2 : x2 + y2 1}

n = 1

S1 = { : x2 + y2 = 1}(x, y) 2 R2 円周＝１次元球面

円板＝２次元球体

B2

２次元キッシング問題同じ大きさの円板を多数用意する．ひとつの円板を選びその円板に他の円板を重なりを持たないよう接触させる．最大何個の円板を接触せることができるか． 答 ー ６個

六方配置

>充填率

2次元パッキング問題

1940年，トートが2次元ハリオット予想を肯定的に解決．2次元ハリオット予想：六方配置が「唯一」の最密充填であろう．

次元によって現象が異なる例：ポアンカレ＝ホップの定理 偶数次元の球面上の連続な接ベクトル場はゼロ点を有する．

事実：奇数次元の球面には，連続な接ベクトル場でゼロ点を持たないものが存在する．

S2S2

S1

ポアンカレ予想：n 次元の「図形」M が条件「．．．．」を満たすならば，M は n 次元球面と「同じ」である．n = 2: 初等的n ≧ 5: スメール (1960)n = 4: フリードマン (1980) n = 3: ペレルマン (2003) 次元によって手法が異なる！

一般次元におけるキッシング数 k １次元　k = 2 ２次元　k = 6 ３次元　k = 12

５次元　40 ≦ k ≦ 46 ６次元　72 ≦ k ≦ 82 ７次元　126 ≦ k ≦ 140

８次元　k = 240（1970年代）２４次元　k = 196560（1970年代）

９次元　klattice = 272 　　　　　k ≧ 306

注意：1, 2, 3, 4, 8, 24次元においては klattice ＝ k

※ 9次元においては 2) が破綻 !!

４次元　k = 24（ムスナー；2003）

1) 自然界は「最小」ないし「最大」を好む（変分原理）2)「最大」ないし「最小」なものは「対称性」が高い

a

b

a+2b

格子型充填

一般次元におけるパッキング問題1次元・2次元・3次元のパッキング問題は2000年ごろまでに解決済み

2016 年 3 月 14 日　マリナ・ビアゾフスカが 8次元パッキング問題を解決 !!

2016 年 3 月 21 日　ビアゾフスカ他4名が 24次元パッキング問題を解決．⇐　リーチ格子

⇐　E8 格子

マリナ・ビアゾフスカ1984 年生れこれらの格子は神出鬼没 ・・・

符号理論 有限単純群 リー環論4次元トポロジー K3曲面 保型関数論 解析数論

数学は全宇宙です．宇宙を解明するための新しい手段が次々と見いだされるこの時代をわたし達は大きな興奮とともに生きています．皆さんが将来新たな発見に至ることをわたしは心から願っています．（拙訳）

マリナ・ビアゾフスカから皆さんへのメッセージ

ハリオット予想に関する参考文献ジョージ・スピーロ著・青木薫訳「ケプラー予想 ー 四百年の難問が解けるまで」新潮社

Thomas C. Hales, “Cannonballs and honeycombs”, Notices Amer. Math. Soc. 47 (2000), 440--449.

Thomas C. Hales, “Historical overview of the Kepler conjecture”, Discrete Comput. Geom., 36 (2006), 5‒20.

Bill Casselman, "The difficulties of kissing in three dimensions", Notices Amer. Math. Soc., 51 (2004), 884--885.

Florian Pfender and Günter M. Ziegler, "Kissing numbers, sphere packings, and some unexpected proofs", Notices Amer. Math. Soc., 51 (2004), no. 8, 873‒883.

David de Laat and Frank Vallentin, “A breakthrough in sphere packing: the search for magic functions”, Nieuw Archief voor Wiskunde, Sept., 2016, 184 - 192.

Henry Cohn, “A conceptual breakthrough in sphere packing”, Notices Amer. Math. Soc., 64 (2017), no. 2, 102 - 115.