PERKEMBANGAN MATEMATIKA

Tahap komparatif

Tahap kuantitatif

Ditinjau dari perkembangannya, ilmu dapat dibagi dalam tiga tahap, yakni:

LANGKAH-LANGKAH BERPIKIR DEDUKTIF

MATEMATIKA SEBAGAI SARANA BERPIKIR LOGIS

Di samping bahasa, matematika juga berfungsi sebagai alat berpikir. Menurut Wittgenstein, matematika tak lain adalah metode berpikir logis. Semakin lama masalah yang dihadapi menjadi semakin rumit dan membutuhkan struktur analisis yang lebih sempurna sehingga logika berkembang menjadi matematika. Hal ini sejalan dengan Russel yang menyatakan matematika sebagai masa kedewasaan logika sedangkan logika adalah masa kecil matematika.

MATEMATIKA SEBAGAI SARANA BERPIKIR LOGIS

Secara garis besar, matematika merupakan pengetahuan yang disusun secara konsisten berdasar logika deduktif. Russel dan Whitehead dalam karyanya “Principia Mathematika” mencoba membuktikan bahwa dalil-dalil matematika pada dasarnya adalah pernyataan logika, meskipun tidak semuanya berhasil.

MATEMATIKA DENGAN POLA PIKIR DEDUKTIF

Pierre de Ferrmat (1601-1665) mewariskan teorema terakhir yang merupakan teka-teki tak kunjung terpecahkan, yakni xn + yn = zn dengan x, y, z dan n adalah bilangan bulat positif, yang tidak mempunyai jawaban bila n > 2. Dengan kata lain hanya 1 dan 2 yang dapat memenuhi rumus tersebut.31 + 41 = 71 (penjumlahan biasa)32 + 42 = 52

Sayangnya Ferrmat tidak meyertakan pembuktian deduktifnya sehingga sampai sekarang ini menjadi tantangan bagi logika deduktif.

MATEMATIKA DENGAN POLA PIKIR DEDUKTIF

Tidak semua ahli filsafat setuju bahwa matematika adalah pengetahuan yang bersifat deduktif. Immanuel Kant berpendapat bahwa matematika bergantung dunia pengalaman kita. Namun dewasa ini orang berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan yang bersifat rasional yang kebenarannya tidak bergantung pembuktian secara empiris.

Perhitungan matematika bukanlah suatu eksperimen, sejalan dengan Wittgenstein bahwa pernyataan matematika tidaklah mengekspresikan produk pikiran (tentang objek faktual).

MATEMATIKA DENGAN POLA PIKIR DEDUKTIF

Menurut akal sehat sehari-hari kebenaran matematika memang tidak ditentukan oleh pembuktian secara empiris, melainkan melalui penalaran deduktif. Misalnya jika seseorang memasukkan dua ekor bebek ke kandangnya pada pagi hari lalu dia memasukkan dua ekor bebek lagi di malam hari, maka dia akan mengharapkan mempunyai empat ekor bebek di dalam kandangnya. Jika malam itu dia melakukan verivikasi dan bebeknya hanya ada tiga ekor, maka berdasar penalaran rasionalnya dia menyimpulkan bahwa ada sesuatu yang salah karena seharusnya ada empat ekor bebek.

MATEMATIKA DENGAN POLA PIKIR DEDUKTIF

MANFAAT PRAKTIS DAN ESTETIK MATEMATIKA

Di samping sebagai sarana berpikir yang sebagai aspek estetik, matematika juga mempunyai kegunaan praktis dalam kehidupan sehari-hari. Ada banyak masalah kehidupan yang memerlukan pemecahan secara cermat dan teliti dan mau tidak mau harus menggunakan matematika. Bahkan mengukur panjang papan untuk rumah pun memerlukan pengukuran dan perhitungan matematik. Dalam perkembangannya kedua aspek estetik dan praktis dari matematika silih berganti mendapatlan perhatian terutama bila dikaitkan dengan pendidikan.

PERKEMBANGANSEJARAH MATEMATIKA

Griffits dan Howson (1974) membagi perkembangan sejarah matematika menjadi empat tahap, yakni:

Matematika zaman Mesir kuno dan sekitarnya yaitu Babylonia dan Mesopotamia

Matematika zaman Yunani kuno

Matematika Timur (sekitar 1000 M)

Matematika modern

HUBUNGAN MATEMATIKA DENGAN KOMUNIKASI ILMIAH

Menurut Fehr, matematika dalam hubungannya dengan komunikasi ilmiah mempunyai peranan ganda yakni sebagai ratu sekaligus pelayan ilmu.

RATU•Matematika merupakan bentuk tertinggi dari logika

PELAYAN•Matematika memberikan buhan hanya pengorganisasian limu yang bersifat logis namun juga penryataan-pernyataan dalam bentuk model matematik

KRITERIA KEBENARANMATEMATIKA

Kriteria kebenaran dari matematika adalah konsistensi dari berbagai postulat, definisi dan berbagai aturan permainan lainnya. Untuk itu maka matematika sendiri tidak bersifat tunggal, seperti juga logika, melainkan bersifat jamak. Dengan mengubah salah satu postulatnya maka dapat dikembangkan sistem matematika yang baru dan sangat berbeda dibandingkan sistem sebelumnya.

KRITERIA KEBENARANMATEMATIKA

Perubahan salah satu postulat Euclid “dari satu titik di luar sebuah garis hanya dapat ditarik satu garis sejajar dengan garis tersebut” menjadi “dari satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik garis-garis sejajar dengan garis tersebut yang jumlahnya tak terhingga”, ternyata tidak menimbulkan inkonsistensi malah menimbulkan sistem matematika baru yang sangat berbeda dengan ilmu ukur Euclid.

KRITERIA KEBENARANMATEMATIKA

Sistem matematika yang baru tersebut dikenal sebagai Ilmu Ukur Non-Euclid yang sudah dikemukakan oleh Gauss (1777-1855) pada tahun 1979 dan dikembangkan oleh Lobachevskii (1793-1856), Bolyai(1802-1860) dan Riemann (1826-1866). Ilmu Ukur Non-Euclid ini mulanya hanya merupakan sesuatu yang bersifat akademis dan baru menemukan kegunaannya waktu Einstein menyusun Teori Relativitas.

KRITERIA KEBENARANMATEMATIKA

Adanya dua sistem ilmu ukur yang keduanya bersifat konsisten ini bukan berarti bahwa sistem Ilmu Ukur Euclid atau Ilmu Ukur Non-Euclid ini bersifat benar atau salah sebab hal ini harus dilihat dalam ruang lingkupnya masing-masing. Matematika bukanlah merupakan pengetahuan mengenai objek tertentu melainkan cara berpikir untuk mendapatkan pengetahuan tersebut.