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Procesos Estocsticos

stos se definen como los procesos dependientes de leyes causales yprobabilsticas, por lo que estn sometidos al azar y son objeto de anlisisestadstico. Este tipo de procesos nos servirn para poder comprender lacorrelacin, la cual se entiende estadsticamente como la relacin entre varios

datos, por ejemplo la estatura de los padres con los hijos.Para este tipo de procesos debemos de definir lo que es el ValorEsperado :

E{x} = Promedio =

(Varianza)

Figura 1 . Funcin de Densidad de Probabilidad

As tenemos que la definicin de Valor Esperado es:

E{ f ( x ) } = f ( x ) Px ( x )

Para una Distribucin Normal Uniforme

E{x}= x (1/N) = (1/N) x (Esto es un Promedio)

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Figura 2. Distribucin Normal Uniforme

Un proceso estocstico depende de un valor aleatorio y del tiempo comose puede observar en la figura 3.

Figura 3. Proceso Estocstico

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Todas las seales mostradas son diferentes pero pertenecen a un mismoproceso, si sumamos estos valores en un instante determinado por ejemplo ent1, nos genera una variable aleatoria x ( , t1) ==> x ( t1 ) As podemos observarque pueden generarse por ejemplo para dos instantes t1 y t2 , quedando lassiguientes funciones de densidad de probabilidad.

Figura 4. Funciones de Densidad de Probabilidad en t1 y t2

Si estas variables aleatorias tienen iguales valores, en un mismo instantey su esperanza y varianza iguales generan Procesos Estacionarios.

As podemos definir la Autocorrelacin, la cual compara dos variablesaleatorias provenientes de un proceso estocstico y analiza sus diferencias, estolo podemos expresar como:

Rxx (t1 , t2) ==> Proceso Estocstico x entre t1 y t2

Esto se define mediante el Valor Esperado como

Rxx (t1 , t2) = E{ x( t1 ) x ( t2 ) } = x ( t1 ) x ( t2 ) Pxt1 Pxt2 ( x( t1 ) x ( t2 ) )Ahora si suponemos un proceso estacionario tenemos:

Rxx ( t2 - t1 ) = Rxx () = E { x ( t ) x( t + ) } = x( t ) x( t +) Px( x ( t ) )Donde: = t2 - t1

Lo nico que cambia con la correlacin cruzada es que se tienen dosprocesos por ejemplo a y b

Rab ( t1 , t2 ) = E{ a ( t1 ) b ( t2 ) } = a ( t1 ) b ( t2 ) Pat1 Pbt2 ( a ( t1 ) b ( t2 ))

Algo que podemos observar en la figura 5 es que el valor mximo seencuentra en cero.

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Figura 5. Funcin de Autocorrelacin

En la figura 6 podemos observar la relacin existente entre Rxx y Gxx yque la funcin de autocorrelacin siempre tiene simetra par, por lo que siempre

son reales .

Figura 6. Densidad Espectral de Potencia

Gxx(f) = F ( Rxx

( t ) )

Donde: Gxx

(f) es la Densidad Espectral de Potencia

Sin embargo, normalmente slo tenemos una nica realizacin, es decir

1 y no 2...n. Para poder estimar lo anterior se debe suponer que el procesosea ergdico, esto se logra por los promedios temporales que se denotan {}E Quedando

< > = 1/N S x ( t )

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Un Proceso Ergdico se define como aquel proceso donde los promediosestadsticos son iguales a los temporales. Por lo que podemos ver que

Con lo cual podemos demostrar lo siguiente , que nos servir msadelante.

=)(fGXX x ( f ) x *( f )