Estatica - Cables

7/22/2019 Estatica - Cables

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ESTATICA CABLES

INGENIERIA CIVIL- 2012-I 1

C BLES

Los cables se utilizan en muchas aplicaciones ingenieriles tales como puentes

colgantes, lneas de transmisin, telefricos, contravientos para torres altas, etc. Los

cables pueden dividirse en dos categoras de acuerdo con las cargas que actan sobre

estos 1) cables que soportan cargas concentradas y 2) cables que soportan cargas

distribuidas.

CABLES CON CARGAS CONCENTRADASConsidrese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan n cargas

concentradas verticales, , ,..., (figura 7.13a).Se supone que el cable es flexible,estos, que su resistencia a la flexin es pequea y puede despreciarse. Adems,

tambin se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en

comparacin con las cargas que soporta. Por lo tanto, cualquier porcin del cable entre

dos caras consecutivas se puede considerar como un elemento sometido a la accin de

dos fuerzas y, por consiguiente las fuerzas internas en cualquier punto del cable se

reducen a una fuerza de tensin dirigida a lo largo del cable.

Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una lnea vertical dada, esto

es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es

conocida; adems, tambin se supone que las distancias horizontal y vertical entre los

apoyos son conocidas. Se desea determinar la forma del cable, esto es, la distancia

vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos ,, y tambin se deseaencontrar la tensin T en cada una de las porciones del cable.


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C1

C2

C3

P3P2

P1

A

B

L

Y1

Y2Y3

d

X1

X2

X3

C1

C2

C3

P3P2

P1

A

B

L

Y1

Y2Y3

d

X1

X2

X3

B

B

y

x

A

A

y

x

a) b)

Figura 7.13

D

Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre para todo el

cable (figura 7.13b). Como la pendiente de las porciones del

cable unidas en A y B no es conocida, cada una de las

reacciones en A y B debe representarse con dos

componentes. Por lo tanto estn involucradas cuatro incgnitas

y las tres ecuaciones de equilibrio que se tienen disponibles no

son suficientes para determinar las reacciones en A y B. Por lo

tanto, se debe obtener una ecuacin adicional considerando el

equilibrio de una porcin del cable. Lo anterior es posible si se

conocen las coordenadasxyy de un punto D del cable.

Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porcin AD del

cable (figura 7.14a) y escribiendo , se obtiene unarelacin adicional entre las componentes escalaresyy sepueden determinar las reacciones en A y B. Sin embargo, el

problema continuara siendo indeterminado si no se conocieran

las coordenadas de D, a menos que se proporcionara otra

relacin entrey(o entre y ).

C1 D

P1

A

Y1

X1

X

A x

a)

T

y

A y

C1

C2

P2

P1

A

Y1

Y2

X1

X2

A x

b)

A y

T

Fig. 7.14


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Como se indica por medio de las lneas discontinuas en la figura 7.13b, el cable podra

colgar en cualquiera de varias formas posibles.

Una vez que se han determinado y, se puede encontrar fcilmente la distanciavertical desde A hasta cualquier punto del cable. Por ejemplo, considerando el punto ,se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porcin Adel cable (figura7.14b).escribiendo , se obtiene una ecuacin que puede resolverse para.escribiendo y , se obtienen las componentes de la fuerza T querepresenta la tensin en la porcin del cable que est a la derecha de . Se observa queTcos= -; por lo tanto, la componente horizontal de la fuerza de tensin siempre es lamisma en cualquier punto del cable. Se concluye que la tensin T es mxima donde coses mnimo, esto es, en la porcin del cable que tiene el mayor ngulo de inclinacin .Obviamente, dicha porcin del cable debe ser adyacente a uno de los dos apoyos delcable.

CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDASConsidrese un cable que est unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga

distribuida (figura 7.15a).En la seccin anterior se vio que, para un cable que soporta

cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensin

dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, ste

cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de

tensin T dirigida a lo largo de la tangente de la curva. En esta seccin, se aprender a

determinar la tensin en cualquier punto de un cable que soporta una carga distribuida

dada. En las secciones siguientes se determinara, la forma que adopta el cable para dos

tipos particulares de cargas distribuidas.


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Considerando el caso ms general de carga distribuida, se dibuja el diagrama de cuerpo

libre de la porcin del cable que se extiende desde el punto ms bajo C hasta un puntodado D del cable (figura 7.15b).las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre son la fuerza

de tensin en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensin T en D, la cual esta dirigida alo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada

por la porcin CD del cable .Dibujando el tringulo de fuerzas correspondiente (figura

7.15c), se obtiene las siguientes relaciones:

A partir de las relaciones (7.5), resulta evidente que la componente horizontal de la fuerzade tensin T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a

la magnitud W de la carga medida a partir del punto ms bajo. Las relaciones (7.6)

muestran que la tensin Tes mnima en el punto ms bajo y mxima en uno de los dos

puntos de apoyo.

cos ; sen (7.5)

+ ; tan 0. (7.6)

A

C

B

D

C

D

T 0

T

W

WT

T0

a)

b) c)

Figura 7.15


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CABLE PARABOLICOAhora, supngase que el cable AB soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo

de la horizontal (figura 7.16a).Se puede

suponer que los cables de los puentes

colgantes estn cargados de esta forma

puesto que el peso del cable es pequeo

en comparacin con el peso de la calzada.

La carga por unidad de longitud (medida

horizontalmente) se representa con

y se

expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionando

ejes coordenados con su origen en el punto

ms bajo C del cable, se encuentra que la

magnitud W de la carga total soportada por

la porcin del cable que se extiende desde

C hasta el punto D de coordenadas y esta dad por W = .De esta forma, lasrelaciones (7.6) que definen la magnitud y

la direccin de la fuerza en D, se

convierten en:

+ ; tan 0 ...(7.7)

b)

a)

Figura 7.16

A

C

B

D(x,y)

Y

X

C

D(x,y)Y

Xx/2 x/2

T

T 0

W=x


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Adems, la distancia desde D hasta la lnea de accin de la resultante W es igual a la

mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D (fig. 7.16 b)

Sumando momentos con respecto a D, se escribe:

Y resolviendo para ,se obtiene:

Esta es la ecuacin de una parbola con un eje vertical y con su vrtice en el origen del

sistema de coordenadas. Por lo tanto, la curva formada por los cables que estn cargados

uniformemente a lo larga de la horizontal es una parbola.

Cuando los apoyos A y B del cable y tienen la misma elevacin, la distancia L entre los

apoyos se conoce como el claro del cabley la distancia verticalh desde los apoyos hasta

el punto ms bajo se denomina la flecha del cable. (Figura 7.17a).Si se conocen el claro y

la flecha de un cable y si la carga por unidad de longitud horizontal

esta dada, se puede

encontrar la tensin mnima sustituyendo y en la ecuacin(7.8).Entonces, las ecuaciones (7.7) proporcionaran la tensin y la pendiente en cualquierpunto del cable y la ecuacin (7.8) definir la forma del cable.

Cuando los apoyos tienen elevaciones diferentes, no se conoce la posicin del punto ms

bajo del cable y se deben determinar las coordenadas ; y; de los apoyos .Paratal fin, expresa que las coordenadas de A y B satisfacen la ecuacin (7.8) y que y , donde L yd representan respectivamente, Las distancias horizontal yvertical entre los dos apoyos (figura 7.17b y c).

MD x y .. 7.8y 2T07.9


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La longitud del cable desde su punto ms bajo C

hasta su apoyo B se puede obtener a partir de la

frmula:

CATENARIAConsidrese un cable homogneo que no

lleva carga excepto su propio peso. En

este caso, la carga esta uniformemente

distribuida a lo largo de la longitud del

cable; es decir, , donde es elpeso del cable por unidad de longitud y la

distancia se mide a lo largo del cable.Por lo tanto, la resultante de la carga

mostrada en la figura 7.18b es

.

Las siguientes relaciones tiles pueden

ahora obtenerse de las ecuaciones (7.7).

1 +

.. (7.10)

A BL

Y

X

h

A

BL

Y

XxA xB

yA

yB

A

B

Y

Cx < 0A xB

L

yA

yB

d

b)

a)

c)

Figura 7.17

1 + T0 + T0 *T0 + 1 + T0 (7.11)

b)

a)

Figura 7.18

A

O

B

C

Y

X

O

C

Y

X

T

T 0

x

s y

W

s


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Sustituyendo en la ecuacin (7.6) resulta:

La longitud del cable:

Las funciones y , llamadas seno hiperblico y coseno hiperblico,respectivamente se definen como:

; +

La curva representada por la ecuacin se llama catenaria.

De acuerdo con la ecuacin (7.6), la tensin en el cable es:

EJEMPLOS:1. El cable AE soporta tres cargas verticales en los puntos indicados. Si el punto C est a

5 ft por debajo del apoyo izquierdo, determnese a) la elevacin de los puntos B y D y

b) la pendiente mxima y la tensin mxima en el cable.

T0 ;

+

.. (7.12)

T0 T0 . (7.13)

T0 .. (7.15)

T0

T0 1 .. (7.14)


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SOLUCION-Reacciones en los apoyos:las componentes de reaccin

yse determinan de la siguiente manera: DCL detodo el cable M

++1+1

-Cuerpo libre ABC: M + 1

Resolviendo las 2 ecuaciones se obtiene.

18 ; a) Elevacin de los puntos A y B.DCL de AB: considerando la porcin AB del cable.M 18y y . DCL de ABCD: considerando la porcin ABCD del cable.M 18yD + + 11 yD .8 b) Pendiente mxima y tensin mxima se observa que la pendiente mx. ocurre en la porcin DE. Como la

componente horizontal de la tensin es constante e igual a 18 kp, se escribe.t a n 1.171 ; . 18 ; .8

DCL

20ft 10ft 15ft 15ft

4 kp

12 kp

6 kp

20ft

5ftA

B C

D

E

20ft 10ft 15ft 15ft

4 kp

12 kp6 kp

20ft

5ftA

B C

D

E

A

A

y

x

E

E

y

x

20ft 10ft

12 kp6 kp

5ftA

B C

A

A

y

x

20ft

6 kp

A

B

5 kp

18 kp y B

20ft 10ft 15ft

4 kp

12 kp6 kp

5ftA

B C

D5 kp

18 kp

yD

4 kp

12 kp6 kp

5ftA

B C

D

E

E

E =

y

x

15 ft

5.83 ft

14.17 ft

5 kp

18 kp

18 k

+

+


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2. Un cable ligero esta unido a un apoyo A, pasa sobre una polea pequea en B ysoporta una carga P. Sabiendo que la flecha del cable es de 0.5m y que la masa por

unidad de longitud del cable es de 0.75kg/m, determnesea) la magnitud de la carga,

b) la pendiente del cable en B. Como la relacin entre la flecha y el claro es pequea,

supngase que el cable es parablico. Adems, ignrese el peso de la porcin del

cable que va desde B hasta D.

a) Carga P: se representa con el punto C el punto ms bajo del

cable y se dibuja el diagrama de cuerpo libre

correspondiente a la porcin CB del cable. Suponiendo que

la carga esta uniformemente distribuida a lo largo de la

horizontal, se escribe: .7 9.81 7.La carga total para la porcin CB del cable est dada:

x 7. 17.

Y se aplica a la mitad entre C y B. Sumando momentos con

respecto de B, se escribe.

M (147.2 N)(10m) - (0.5m) = 0= 2944 N pat e tanuo e uezas se otene.= + 9 + 17. 98Como la tensin en ambos lados de la polea es la misma, se

encuentra que: P=

=2948N

b) Pendiente del cable en B. Adems,a partir del tringulo de fuerzas tambin se obtiene.t a n T0=. . . 9

C

B

T 0

T

W = 147.2 N

B

Y

X10 m 10 m

0.5m

W

T 0

C

B

T 0

TBY

X

0.5m

20m

T B

AB

D

P

40 m

0.5 m


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3. Para el cable cargado como se muestra en la figura, determnese los ngulos y ,la fuerza en cada segmento y la longitud del cable.

-Del DCL del cable se obtiene.M

+ 1 17 La componente horizontal constante de la tensinen el cable puede encontrarse calculando la

componente horizontal de . 191 -En el nudo 2): y

cos ;

+

+ 2 19.8 ; .1 -En el nudo 1): y cos ; sen +

2 sen sen +1 9.78 ; 91 -Longitud del cable: + + cos + 11 cos + 7 9.78 + 1119.8 + 7

9.9+ 11.+ 8. 9.8 pes

A

B2 3=35

6 pies

6 pies 11 pies7 pies

1

1600 lb 2000 lb

A

B2 3=35

1

W1=1600 lb W2=2000 lb

T3

24

S1

S2

S31

2

T1

1

2

DCL


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4. Para el cable cargado como se muestra en la figura, calcule los ngulos , y yla fuerza en cada segmento del cable.

SOLUCION.El DCL de todo cable se muestra en

la figura. Ahora nuestra funcin

principal es identificar las variables y

hacer valer las convenciones de

signos definidas. 1 1

+ + 8 +1 +1 + +

8

+1

+1

Se resuelve por sustitucin.

1789 . .8 . Las tensiones en los cables son

1789cos.

1789cos.8 1971 1789cos. 1

A

B2 3

6 pies1

1600 lb 2000 lb

A

B2

3

1

W1=1600 lb W2=2000 lb

T3

24

S1

S2

S31

2

T1

1

2

24 pies

8

pies

12pies

10pies


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5. El cable de 36 m mostrado en la figura pesa 1.5 KN/m. Determine la flecha H y la

tensin mxima en el cable.

En la ecuacin (7.13) sustituya

1.y las coordenadas de B( 18 1 T0 T0 18 T0. .T0

1.1En la ecuacin: 1 1.11. [ 1.11.1 1] 8.77 En la ecuacin: T0 1.1 1.11.1 .

A B

O

30 m

H

longitud=36 m

O

B

T 0

T =TmaxBY

X

H

15 m

longitu

d=18m

b) DCL del segmento OB

a)

1.5 KN/m


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6. La figura muestra un cable que

soporta la carga uniformemente

distribuida 8 ,donde la distancia se mide a lolargo de la horizontal.

Determine el cable ms corto

para el cual la tensin en el

cable no excede 10000 lb y

encuentre la distancia correspondiente vertical H.

Solucin:

Como la carga esta uniformemente distribuida sobre la distancia horizontal,

se sabe que la forma a del cable es parablica .

Las fuerzas que aparecen sobre el diagrama son las tensiones de los

cables en los puntos extremos (y ) y la resultante de la cargadistribuida: es 1.Se infiere que la tensin esmxima en el punto B, es decir que 1.El DCL contiene tresincgnitas: los ngulos y y la tensin.

A

O

BY

X

H

40 pies

200 pies

A

O

B

40 pies

200 pies

TB

TA

W = 16000 lb

100 piesA

B

LA LB

SASB

DCL de todo el cable


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El siguiente paso es dibujar el DCL de la

porcin OB del cable como se muestra en

la figura.

Del DCL del cable entero:M ,1 1 11 . . 8 La raz positiva ms pequea de esta ecuacin puede encontrarse por

mtodos numricos: .98Del DCL de OB: , = 1cos.98 8 1.98898 Por lo tanto, 111. y 111. 88. M 8

1.98111. 1.98 8 .2 19. Con la siguiente ecuacin calculamos la longitud de cada una de los segmentos:

1 + ( ) + 1 ( )( ) + 1 + ( )

88. 1+1.11 + 8 1.11+ 1+1.11 117.

El resultado negativo se debe a la convencin de signos, la direccin positiva se

seala hacia la derecha mientras que el punto A est a la izquierda.

111. 1+111. + 8 111.+ 1+111. 1.1 + 117+1.18.1

DCL de OB

B

TB=10000 lb

H

To

W = 80LB

O

B

LB

LB/2


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7. En la figura se muestra el cable AB el

cual sostiene una carga uniformemente

distribuida a lo largo de la horizontal. Si

se sabe que el cable en B forma un

Angulo con respecto de lahorizontal, determnese

a) la tensin mxima en el cable.

b) La distancia vertical medida desde A

al punto ms bajo del cable.


Parte a) En el DCL de todo el cable.

M ; 9.8111 97. 1.811.8 178. 87.8 Parte b) En el DCL de la porcin OB.

M ; +

9.81 + 87.8 87.8DCL de la porcin OB

9.81 7.

7.79

.7

81.99

.7 1.8 .87

A

O

BY

X

1.8 m

12 m

45 kg/m

a

B

A

A

O

B

Y

X

12 m

a

B

A

Tmax=TB

TA

W=45 kg/m

6 m

LA LB

O

BY

X

B=35

TB

W

LB

LB/2

H

T0

.7 +81.99 7.79 .


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8. En la figura se muestra el cable AB el cual

sostiene una carga uniformemente

distribuida a lo largo de la horizontal. Si se

sabe que el punto ms bajo del cable est

localizado a una distancia . pordebajo del punto A, determnese:

a) la tensin mxima en el cable.

b) El ngulo que el cable forma conrespecto a la horizontal en B.


En el DCL de todo el cable M 9.811 +1.8 1

En el DCL de la porcin OBM +. 9.81 +. ; 9.819.81 +. 9.81. 9.81 . , . M ; . 9.81

.2

.

2 ..

9.811 + ..2. 19.81 7.99 7.99 El resultado negativo se debe a la convencin de signos, la direccin positiva se

seala hacia la derecha mientras que el punto A est a la izquierda.

A

O

BY

X

1.8 m

12 m

45 kg/m

a

B

A

A

O

BY

X

0.6 m

B

A

TB

TA

W

6 m

LA LB

1.8 m

O

BY

X

B

TB

W=LB

LB

LB/2

2.4 m

T0


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Luego reemplazamos 7.99 en :. ; 9.79Luego en .2. : 871.9 Luego 98.

9. Determine la tensin en cada segmento del cable y la longitud del cable.

Considere P=80 lb.

a) M 8 + 7 1

9

8.8

b) DCL en D 9. + TT 1 8.81 .

c) DCL en C

; + 8 t T2T2 .. ; . ; 79. d) Longitud del cable

+ + + + 1.9

A

B

80 lb50 lb

CD

2 pies

5 pies

3 pies4 pies3 pies

T3

S1A

B

80 lb50 lb

C

D

T1

S2

S3

a


T3

50 lb

DT2

DCL en D

80 lb

C

T1

aT2

DCL en C


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10.Determine la mxima carga uniforme distribuida que puede soportar el cable,si la tensin mxima que puede sostener es de 4000 lb.

a) En la ecuacin:

y 2

T0

1 1 2 2 1+187 1.7

b) Reemplazo L en

+

22 + , como 1.79 + 1.7 1.79 +1.7

.

b)

a)

A

B

CT0

15 pies

25 pies

10 pies

15 pies

W

TB

L/2 L/2

DCL de CB

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