CABLES1.- CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS Los cables se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniera como puentes colgantes, lneas de trasmisin, telefricos, contravientos para torres altas, ect. Los cables pueden dividirse en dos categoras de acuerdo con las cargas que actan sobre ellos.Considere un cable unido a dos puntos fijos A y B que soportan n cargas concentradas verticales P1, P2,..,Pn (figura 7.13a). Se supone que el cable es flexible, esto es, que su resistencia a la flexin es pequea y se puede despreciar. Adems, tambin se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparacin con las cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sujeto a dos fuerzas y, por consiguiente las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensin dirigida a lo largo del cable.Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una lnea vertical dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es conocida; adems, tambin se suponen que se conocen la distancia horizontal y vertical entre los apoyos. Se busca determinar la forma del cable, esto es, la distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos C1, C2,,Cn, y tambin se desea encontrar la tensin T en cada uno de los segmentos del cable.

PROCEDIMIENTO:Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre para todo el cable. Como las pendientes de las porciones del cable unidas en A y B deben representarse con dos componentes. Por tanto, estn involucradas cuatro incgnitas y las tres ecuaciones del equilibrio que se tiene disponible no son suficientes para determinar las reacciones en A y B. de esta manera, se debe obtener una ecuacin adicional considerando el equilibrio de una porcin del cable. Lo anterior es posible si se conocen las coordenadas x y y de un punto D del cable. Dibujando el diagrama de cuerpo libre el segmento AD del cable (figura 7.14a) y escribiendo MD = 0, se obtiene una relacin adicional entre las componentes escalares AX y AY y se pueden determinar las reacciones en A y B. sin embargo, el problema continuara siendo indeterminado si no se conocieran las coordenadas de D, a menos que se proporcionara otra relacin entre AX y AY (o entre BX y BY). Como se indica por medio de las lneas discontinuas en la figura 7.13b, el cable podra colgar en varias formas posibles.Una vez que se han determinado AX y AY se puede encontrar fcilmente la distancia vertical desde A hasta cualquier punto del cable. Por ejemplo, considerando el punto C2 se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porcin AC2 del cable (7.14b). Si se escribe Mc2 = 0, se obtiene una ecuacin que se puede resolver para Y2. Al escribir Fx=0 y Fy=0 se obtienen las componentes de la fuerza T que representa la tensin en la porcin del cable que esta a la derecha de C2. Se observa que T cos = -Ax; por tanto, la componente horizontal de la fuerza de tensin siempre es la misma en cualquier punto del cable. Se concluye que la tensin T es mxima cuando cos es mnimo, esto es, en la porcin del cable que tiene el mayor ngulo de inclinacin . Obviamente, dicha porcin del cable debe ser adyacente a uno de los apoyos del cable.

2.- CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDASConsiderando un cable que esta unido a dos puntos fijos A y B que soporta una carga distribuida (figura 7.15a). En la seccin anterior se vio que para un cable que soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensin dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, esta cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensin T dirigida a lo largo de la tangente de la curva. En esta seccin se aprender a determinar la tensin en cualquier punto de un cable que soporta una carga distribuida dada. En la seccin siguiente se determinara la forma que adopta el cable para dos tipos particulares de cargas distribuidas.

Considerando el caso mas general de cargas distribuidas, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porcin de cable que se extiende desde el punto mas bajo C hasta un punto D del cable (figura 7.15b). las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre son las fuerzas de tensin T0 en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensin T en D, la cual esta dirigida a lo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porcin CD del cable. Si se dibuja el triangulo de fuerzas correspondiente (figura 7.15c), se obtiene las siguientes relaciones:

T cos = T0 T sen = W T = tan = A partir de la relacin (7.5), es evidente que la componente horizontal de la fuerza de tensin T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a la magnitud W de la cara medida a partir del punto mas bajo. Las relaciones (7.6) muestra que la tensin T es mnima en el punto mas bajo y mxima en uno de los dos puntos de apoyo.

3.- CABLE PARABOLICOAhora supongamos que el cable AB soporta una carga distribuida de manera uniforme a lo largo de la horizontal (figura 7.16a). Se puede suponer que los cables de los puentes colgantes estn cargados de esta forma puesto que el peso del cable es pequeo en comparacin con el peso de la calzada. La carga por unidad de longitud (medida en forma horizontal) se representa con y se expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionado ejes coordenados con su origen en el punto mas bajo C del cable, se encuentra que la magnitud W de la carga total soportada por el segmento del cable que se extiende desde C asta al punto D de coordenadas X y Y esta dada por W=x. De esta forma, las relaciones (7,6) que definen la magnitud y la direccin de la fuerza en D, se convierten en

Adems la distancia desde D hasta la lnea de accin de la resultante W es igual a la mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D (figura 7.16b). Si se suman momentos con respecto a D, se escribe:

+ wx

Y, resolviendo para Y, se obtiene: (7.8)Y =

Esta es la ecuacion de una parabola con un eje vertical y con su vertice en el origen del sistema de coordenadas. Por tanto, la curva formada por cables que estan cargados uniformemente a lo largo de la horizontal es una parabola.Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevacion, la distancia L entre los apoyos se conoce como el claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto ma bajo se llama la flecha del cable (figura 7.17a). si se conocen el claro y la flecha del cable, y si la carga por unidad de longitud horizontal esta dada, se puede encontrar la tension minima T0 sustituyendo X =L/2 y Y= h ,en la ecuacion (7.8). entonces, las ecuaciones (7.7) proporcionaran la tension y la pendiente en cualquier punto del cable y la ecuacion (7.7) proporcionara la tension y la pendiente en cualquier punto del cable y la ecuacion (7.8) definira la forma de cable.Cuando los apoyos tiene elevaciones deferentes, no se conoce la posicion del punto mas bajo del cable y se deben determinar las coordenadas XA, YA y XB, YB de los apoyos. Con ese proposito, se expresa que las coordenadas de A y B satisfacen la ecuacion (7.8) y que XB XA = L y YB YA =d, donde L y d representan, respectivamente, las distancias horizontal y vertical entre los dos apoyos (figura 7.17b y c).La longitud del cable desde su punto ma bajo C hasta su apoyo B se puede obtener a partir de la formula:dx (7.9)

Si se obtiene la diferencial de la ecuacin (7.8) se obtiene la derivada dy/dx = x/T0; si se sustituye este resultado en la ecuacin (7.9) y se utiliza el teorema del binomio para expandir el radical en una serie infinita, se obtiene:dx =

Y, como (7.10)

La serie converge para valores de la relacin YB/XB menores que 0.5; en la mayora de los casos, dicha relacin es menor y solo es necesario calcular los dos primeros trminos de la serie.

4.- CATENARIAAhora considrese un cable AB que soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo del mismo cable (figura 7.18a). Los cables que cuelgan bajo la accin de su propio peso estn cargados de esta forma.La carga de unidad por longitud, medida a lo largo del cable, se representa con con y se expresa en N/m o en lb/ft. La magnitud W de la carga total soportada por un tramo del cable de longitud s, el cual se extiende desde el punto mas bajo C hasta un punto D, esta dado por W = s. Al sustituir este valor de W en la ecuacin (7.6), se obtiene la tensin presente en el punto D.

Para simplificar los clculos subsecuentes, se introduce la constante c = T0/. Entonces se escribe: (7.11)

En la figura 7.18b se muestra el diagrama de cuerpo libre para la porcin CD del cable. Sin embargo, este diagrama no puede utilizarse para obtener directamente la ecuacin de la curva que adopta el cable puesto que no se conoce la distancia horizontal desde D hasta la lnea de accin de la resultante W de la carga. Para obtener dicha ecuacin, primero se escribe que la proyeccin horizontal de un pequeo elemento de cable de longitud ds es dx = ds cos . Se observa a partir de la figura 7.18c que = T0/T y con la ecuacin (7.11), se escribe:

Si se selecciona el origen O del sistema de coordenadas a una distancia directamente por debajo de C (figura 7018a) y se integra desde C(0,c), hasta D(x,y), se obtiene:

Esta ecuacin, que relaciona la longitud s de la porcin CD del cable y la distancia horizontal x, se puede escribir de la siguiente forma: (7.15)

Ahora se puede obtener la relacin entre las coordenadas x,y. escribiendo dy = dx tan . Observe que a partir de la figura 7.18c que tan = W/T0 y con las ecuaciones (7.11) y (7.15), se escribe:

(7.12)

(7.13)

(7.14)

Si se integra desde C(0,c) hasta D(x,y) y con las ecuaciones (7.12) y (7.13), se obtiene la siguiente expresin:

La cual se reduce a: (7.16)

Esta es la ecuacin de una catenaria con eje vertical. La ordenada c del punto ms bajo C recibe el nombre de parmetro de la catenaria. Elevando al cuadrado ambos lados de las ecuaciones (7.15) y (7.16), restndolas y tomando en cuenta la ecuacin (7.14), se obtiene la siguiente relacin entre y y s: (7.17)

Al resolver la ecuacin (7.17) para s2 y llevando este resultado a la ltima de las relaciones (7.11), se pueden escribir dichas relaciones de la siguiente forma: (7.18)

La ltima relacin indica que la tensin en cualquier punto D del cable es proporcional a la distancia vertical desde D hasta la lnea horizontal que representa el eje x.Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevacin, la distancia L entre los apoyos recibe el nombre de claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto mas bajo C se conoce como la flecha del cable. Estas definiciones son las mismas que las proporcionadas para el caso de cables parablicos, pero se debe sealar que, debido a la forma en que se seleccionaron los ejes coordenados, ahora la flecha h esta dada por: (7.19)

EJRCICIOS1.-El cable AE soporta tres cargas verticales en los puntos indicados. Si el punto C esta a 5 ft por debajo del apoyo izquierdo, determine:a) La elevacin de los puntos B y D.b) La pendiente mxima en el cable.

SolucinReacciones en los apoyos. Las componentes de reaccin AX y AY se determina de la siguiente forma:Diagrama de cuerpo libre del cable:+

diagrama de cuerpo libre: ABC+ Si se resuelve en forma simultanea las dos ecuaciones, se obtiene:

a) Elevacin de los puntos B y D.Diagrama de cuerpo libre: AB. Considerando la porcin AB del cable como un cuerpo libre, se escribe:+

Diagrama de cuerpo libre: ABCD. Con el uso de la porcin ABCD del cable como un cuerpo libre, se escribe+ : b) Pendiente y tensin mxima. Se observa que la pendiente mxima ocurre en la porcin DE. Como la componente horizontal de la tensin es constante e igual a 18 kilolibras, se escribe:

2.- Un cable ligero esta unido a un apoyo en A, pasa sobre una polea pequea en B y soporta una carga P, si se sabe que la flecha del cable es de 0.5 m y que la masa por unidad de longitud del cable es de 0.75 kg/m, determine:a) La magnitud de la carga P.b) La pendiente del cable en B.c) La longitud total del cable desde A hasta B. como la relacin entre la flecha y el claro es pequea. Suponga que el cable es parablico. Adems, se ignora el peso del tramo del cable que va desde B hasta D.

Solucin

a) Carga P. se representa con C al punto mas bajo del cable y se dibuja el diagrama de cuerpo libre correspondiente a la porcin CB del cable.Suponiendo que la carga esta uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, se escribe:

La carga total para el tramo CB del cable esta dada por:

Y se aplica justo a la mitad entre C y B. sumando momentos con respecto a B, se escribe:

+

A partir del triangulo de fuerzas se obtiene:

Como la tensin en ambos lados de la polea es la misma, se encuentra que:

b) Pendiente del cable en B. Adems, a partir del triangulo de fuerzas se obtiene que:

c) Longitud del cable. Aplicando la ecuacin (7.10) entre C y B, se escribe:

La longitud del cable entre A y B es el doble de este valor,

3.- un cable uniforme que pesa 3 lb/ft se suspende entre dos puntos A y B, como se muestra en la figura, determine:a) los valores de la tensin mxima y minima en el cable.b) la longitud del cable.

Solucin

Ecuacin del cable. El origen de las coordenadas se coloca a una distancia C por debajo del punto mas bajo del cable. De forma, la ecuacin del cable esta dada por la ecuacin (7.16) (7.16)Las coordenadas del punto B son las siguientes:

Si se sustituyen estas coordenadas en la ecuacin del cable, se obtiene:

El valor c se determina suponiendo valores de prueba sucesivos, como se muestra en la siguiente tabla:

c

3000.8330.3331.3331.367

3500.7140.2861.2861.266

3300.7580.3031.3031.301

3280.7620.3051.3051.305

Tomando c = 328, se tiene que:

a) Valores mximos y mnimos de la tensin. Con las ecuaciones (7.18), se obtiene:

b) Longitud del cable. La mitad de la longitud del cable se encuentra al resolver la ecuacin (7.17).

Por tanto, la longitud total del cable esta dada por: